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第 10 节 利用导数研究函数的单调性
基础知识要夯实
1.函数的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
(1)若f′(x)>0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数；
(2)若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递减函数；
(3)若恒有f′(x)＝0，则f(x)在区间(a，b)内是常数函数．
讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原
则.
2.常用结论汇总——规律多一点
(1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且
f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
核心素养要做实
【例1】已知函数f(x)＝ln x＋ － (a∈R且a≠0)，讨论函数f(x)的单调性．
【解析】 f′(x)＝ (x>0)，
①当a<0时，f′(x)>0恒成立，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当a>0时，由f′(x)＝ >0，得x> ；
由f′(x)＝ <0，得0<x< ，
∴函数f(x)在 上单调递增，在 上单调递减．
综上所述，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，函数f(x)在 上单调递增，在 上单调递减．
【方法技巧】讨论函数f(x)单调性的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；(3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论 f′(x)的正负，由
符号确定f(x)在该区间上的单调性．
[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
【跟踪训练】
1．函数f(x)＝ex－ 在定义域内为________函数(填“增”或“减”)．
【答案】增
【解析】由已知得函数f(x)的定义域为{x|x≠－1}．
∵f(x)＝ex－ ，∴f′(x)＝ex＋ >0.
∴f(x)在定义域内为增函数．
2．已知函数f(x)＝aln x＋x2(a∈R且a≠0)，讨论函数f(x)的单调性．
【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
因为f(x)＝aln x＋x2，所以f′(x)＝ ＋2x＝ .
①当a>0时，f′(x)>0，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当a<0时，令f′(x)＝0，解得x＝ (负值舍去)，
当0<x< 时，f′(x)<0，
所以函数f(x)在 上单调递减；
当x> 时，f′(x)>0，
所以函数f(x)在 上单调递增．
综上所述，当a>0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a<0时，函数f(x)在 上单调递减，在 上单调递增．
【例2】(2022·湘东五校联考节选)已知函数f(x)＝(ln x－k－1)x(k∈R)．当x>1时，求f(x)的单调区
间．【解析】f′(x)＝ ·x＋ln x－k－1＝ln x－k，
①当k≤0时，因为x>1，所以f′(x)＝ln x－k>0，
所以函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间．
②当k>0时，令ln x－k＝0，解得x＝ek，
当1<x<ek时，f′(x)<0；当x>ek时，f′(x)>0.
所以函数f(x)的单调递减区间是(1，ek)，单调递增区间是(ek，＋∞)．
综上所述，当k≤0时，函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间；当k>0时，函数
f(x)的单调递减区间是(1，ek)，单调递增区间是(ek，＋∞)．
【方法技巧】利用导数求函数单调区间的方法
(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间．
(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各
区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．
(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据 f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，
从而确定单调区间．
【提醒】若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用
“，”“和”字隔开．
【跟踪训练】
1．若幂函数f(x)的图象过点 ，则函数g(x)＝exf(x)的单调递减区间为( )
A．(－∞，0) B．(－∞，－2)
C．(－2，－1) D．(－2,0)
【答案】D
【解析】设幂函数f(x)＝xα，因为图象过点 ，所以 ＝ α，α＝2，所以f(x)＝x2，故
g(x)＝exx2，令g′(x)＝exx2＋2exx＝ex(x2＋2x)<0，得－2<x<0，故函数g(x)的单调递减区间为(－
2,0)．
2．已知函数f(x)＝ －ln x－ ，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直
线y＝ x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．【解析】(1)对f(x)求导得f′(x)＝ － － ，
由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝ x，
知f′(1)＝－ －a＝－2，解得a＝ .
(2)由(1)知f(x)＝ －ln x－ (x>0)，
则f′(x)＝ ，令f′(x)＝0，
解得x＝－1或x＝5，
因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，所以舍去．
当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内单调递减；
当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内单调递增．
故f(x)的单调递减区间是(0,5)，单调递增区间是(5，＋∞)．
【例3】设函数f(x)＝ x3－ x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(1)求b，c的值；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
【解析】(1)f′(x)＝x2－ax＋b，
由题意得 即
(2)由(1)知f(x)＝ x3－ x2＋1，
则g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，
使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立，
即x∈(－2，－1)时，a< ＝－2 ，
max
当且仅当x＝ ，即x＝－ 时等号成立．
所以满足要求的a的取值范围是(－∞，－2 )．
【变式训练】
1.本例(2)变为：若g(x)在(－2，－1)内为减函数，其他条件不变，求实数a的取值范围．【解析】∵g′(x)＝x2－ax＋2，且g(x)在(－2，－1)内为减函数，
∴x2－ax＋2≤0在(－2，－1)内恒成立，
∴ 即 解得a≤－3.
即实数a的取值范围是(－∞，－3]．
2.本例(2)变为：若g(x)的单调递减区间为(－2，－1)，其他条件不变，求实数a的值．
【解析】∵g(x)的单调递减区间为(－2，－1)，
∴x＝－2，x＝－1是g′(x)＝0的两个根，
1 2
∴(－2)＋(－1)＝a，即a＝－3.
3.本例(2)变为：若g(x)在(－2，－1)内不单调，其他条件不变，求实数a的取值范围．
【解析】由1知g(x)在(－2，－1)内为减函数时，实数a的取值范围是(－∞，－3]．
若g(x)在(－2，－1)内为增函数，则a≥x＋ 在(－2，－1)内恒成立，
又∵y＝x＋ 在(－2，－ )内单调递增，在(－ ，－1)内单调递减，
∴y＝x＋ 的值域为(－3，－2 )，
∴实数a的取值范围是[－2 ，＋∞)，
∴函数g(x)在(－2，－1)内单调时，a的取值范围是(－∞，－3]∪[－2 ，＋∞)，
故g(x)在(－2，－1)上不单调时，实数a的取值范围是(－3，－2 )．
[解题技法]由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)由可导函数f(x)在D上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)对
x∈D恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”是否取到．
(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，
这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题．
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调
区间的子集，从而可求出参数的取值范围．
达标检测要扎实
一、单选题
1．已知函数 ，当 时，不等式 恒成立，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，则当 时，不等式 恒成立等价于
．设 ，则 ．当 时， ， 单
调递增；当 时， ， 单调递减．则 ，即 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立．设 ，则 ．由 ，得 ；
由 ，得 ．则 在 上单调递减，在 上单调递增．因为
， ，所以 有解，则 ，当且仅当
时，等号成立，从而 ，故 ．故选：B
2．若函数 在点 处的切线方程为 ，则函数 的增区间为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将 代入 得到 ，所以切点为 .
因为 ，所以 ，
所以 ，当 时， ， 为增函数.
所以函数 的增区间为 .故选：C
3．设函数 是偶函数 （ ）的导函数， ，当 时， ，
则使得 成立的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，则 ，
∵ ，∴ ，∴ 在 上为减函数，又∵ ，
∴函数 为定义域上的奇函数， 在 上为减函数.
又∵ ，∴ ，∴不等式 ，
∴ ， 或 ， ，∴ ，或 ，
∵ 成立的x的取值范围是 ，故选：D
4．已知函数 ，记 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ， ，
令 ，解得： ；令 ，解得： ，
所以 在 上单增，在 上单减；因为 ，所以 ，所以 ;
因为 , ,
所以 ，所以 .故选：D
5．如图是函数 的导数 的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在 内 是增函数 B．在 内 是增函数
C．在 时 取得极大值 D．在 时 取得极小值
【答案】B
【解析】由图可知， 在区间 上 递减；在区间 上
递增.
所以 不是 的极值点， 是 的极大值点.
所以ACD选项错误，B选项正确.故选：B
6．若函数 的所有零点之和为0，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】当 时，易得 的零点为 ，当 时， ，
∵当 时， ，∴ 的图象在 上关于直线 对称.又
，当 时， ，故 单调递增，
当 时， ，故 单调递减，且 ， .
因为 的所有零点之和为0，故 在 内有2个不同的零点，
且 ，解得 .故实数a的取值范围为 ．故选：A．
7．已知函数 的图像如图所示，则此函数可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于 ， ，有 ，解得 ，即 的定义域为 ，
在区间 上， ， ， ，与所给图象不符；
对于 ， ， 的定义域为 ，又由 ， 为奇函数，
在区间 上， ， ， ，在区间 上， ， ，
，与所给图象不矛盾；
对于 ， ，有 ，解得 ，即 的定义域为 ，在区间
上， ， ，
，
而x>3时，3x2+1<x3+x， ，f(x)在 上递减，与所给图象不符；
对于 ， ， 的定义域为 ，在区间 上， ， ，
，与所给图象不符.
故选：B
8．函数 的减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意， ，
令 ，得 ，则 ，故 的减区间是 .故选：C
9．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C．(1，4) D．(0，3)
【答案】B【解析】由题意， 令
故函数 的单调递增区间是： 故选：B
10．函数 的图象大致为（ ）
A． B． C．
D．
【答案】B
【解析】详解： 为奇函数，排除A,
，故排除D.
，
当 时， ，所以 在 单调递增，所以排除C；故选：B.
11．定义在 上的函数 其导函数 恒成立，且 ，则不等式 的解集
为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】设g（x）＝f（x）−3x，则g′（x）＝f′（x）−3，
又由f′（x）<3，则g′（x）<0，则g（x）在R上为减函数，
又由f（1）＝3，则g（1）＝f（1）−3＝0，
则g（x）过点 ，且在R上为减函数，由 得
即 ，由于 过点 ，且在R上为增函数，则必有 故选：C
12．函数 的递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数 的定义域为 ，且 ，
由 得 ，解得 ，所以 的递增区间为 .故选：A.
二、填空题
13．已知函数 是定义在 的奇函数，当 时， ，则不等
式 的解集为___________.
【答案】
【解析】函数 是定义在 的奇函数，
构造函数 ， ，
所以 为偶函数，当 时， ， 递减，
当 时， 递增.
， ，
当 ，即 时， ， ，
.
当 ，即 时， ，
.
综上所述，不等式 的解集为 .
故答案为：
14．已知可导函数 的定义域为 ，满足 ，且 ，则不等式
的解集是________．
【答案】
【解析】设 ，则 ，
因为 ， ，所以 ， 在 上单调递减，
，即 ，令 ，即 ， ，
所以 ， ，所以 ．故答案为： ．
15．若过定点 恰好可作曲线 的两条切线，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由 ，得 ，切点为 ，则切线的斜率为 ，所以切线方程为 ，因为 ，所以 ，因为点 在切线
上，所以 ，得 ，
令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减，所以 在 处取得极小值 ，
当 时， ，当 时， ，由题意可得直线 与函数 的图象有两
个交点，所以 ，解得 ，所以实数a的取值范围为 ，故答案为：
16．函数 （e为自然对数的底数）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值之和等
于___.
【答案】2
【解析】 ，
设h（x）＝f（x）﹣1，x∈[﹣1 ，1]，
则 ，所以h（x）为奇函数，
h′（x）＝f′（x） cosx＞0，
因此函数h（x）在x∈[﹣1，1]上单调递增.
∴h（x）的最大值和最小值之和＝h（1）+h（﹣1）＝0，
故f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值之和为2.故答案为：2.三、解答题
17．已知函数 .
（1）讨论 的极值情况；
（2）若 时， ，求证： .
【解析】（1） 定义域为 ，求导得 ，
①当 时， ， 为 上增函数，无极值，
②当 时， ，得 ，
时， ， 为减函数； 时， ， 为增函数，所以
时， 有极小值 ，无极大值.
（2）①当 时， ，使 ，则 ， ，
此时 成立，
②当 时，由（1）得 时， 有最小值 ，
，则 ，解得 ，
所以 ，
设 ，则 ，
因为 为 上减函数，且 ， ，
则存在唯一实数 ，使 ， ，
当 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数，
当 时 有最大值 ，
为 上增函数， 时， ，则 ，
所以 ，综上所述， .18．已知函数 ， ．
（1）证明：若 ，则函数 在R上是增函数；
（2）证明：若 ， ，则函数 在 处取得极小值．
【解析】（1） 的定义域为R， ，
， ， ， ，
即函数 在R上是增函数．
（2） ，
则 ．
令 ，则 ，
而 ，
当 时， ， ，则 ，
在 上单调递增，
， 在 上单调递增．
当 时， ，又
故存在 ，使得 ，且当 时， ，
∴当 时， 单调递增， ，即 在 上单调递减
在 上单调递减，在 上单调递增，
∴函数 在 处取得极小值．
19．已知函数f(x)＝x+alnx+1．（1）求函数f(x)的单调区间和极值；
（2）若f(x)在[1，e]上的最小值为－a+1，求实数a的值．
【解析】（1）函数f(x)的定义域为
当 时， ＞0恒成立，f(x)在 上单调递增，无极值；
当a＜0时，令 ＞0，解得x＞－a，令 ＜0，解得x＜－a，
所以f(x)的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
此时f(x)有极小值 ，无极大值；
（2） ，x∈[1，e]，由 ＝0得x＝－a，
①若a≥－1，则x＋a≥0，即 在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x) ＝f
min
（1）＝－a+1，即2＝－a+1，则a＝－1，符合条件．
②若a≤－e，则x＋a≤0，即 ≤0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为减函数，∴f(x) ＝
min
f(e)＝－a+1，即e＋a＋1＝－a+1，则a＝ ，不符合条件．
③若－e<a<－1，
当1<x<－a时， <0，∴f(x)在(1，－a)上为减函数；
当－a<x<e时， >0，∴f(x)在(－a，e)上为增函数，
∴f(x) ＝f(－a)＝﹣a+1，即－a+aln(－a)＋1＝﹣a+1，
min
则a＝0或a＝－1，均不符合条件．
综上所述，a＝－1．
20．已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）讨论函数 的单调性．【解析】（1）当 时， ，定义域为 ，
．
令 ，解得 ，或 ．
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
＋ － ＋
单调递增 单调递减 单调递增
当 时， 有极大值，且极大值为 ；
当 时， 有极小值，且极小值为 ．
（2）函数 定义域为 ， ．
令 得 或 ．
①若 ，则当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
②若 ，即 ，则当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
③若 ，即 ，则当 时， ， 单调递增，
④若 ，即 ，则当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
综上所述，当 时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；
当 时， 的单调递增区间是 ， ，递减区间是 ；
当 时， 的单调递增区间是 ，无单调递减区间；
当 时， 的单调递增区间是 ， ，单调递减区间是 ．
21．已知函数 ．
（1）求证：在区间 上，函数 的图象恒在函数 的图象的下方;
（2）若存在 ， ，使 成立，求满足上述条件的最大整数m．
【解析】（1）设 ，
则 ，
在区间 上， ， ，
所以当 时， ， 单调递减，
且 ，
故 时， ，
所以 ，
所以在区间 上函数 的图象恒在函数 的图象的下方．
（2）由 ，得 ，
当 时， ，
所以 ，．
存在 ， ，使 成立等价于 ，
即 ，
，
故满足条件的最大整数 为4．
22．已知函数 ， .
（1）求函数 的增区间；
（2）设 ， 是函数 的两个极值点，且 ，求证： .
【解析】（1）由题意得 ( ).
令 ，则 .
①当 ，即 时， 在 上恒成立，即 的增区间为 ；
②当 ，即 时， 或 ，即 的增区间为
和 .
综上，当 时， 的增区间为 ；当 时， 的增区间为 和
.
（2）因为 ( )， 有两个极值点 ， ，所以 ， 是方程 的两个不相等的正实数根，可求出
从而 ， ，解得 .
由 得 .因为 ，所以 且 .
令 ， 且 ，则 ，
所以当 时， ，从而 单调递增；当 时， ，从而 单调递减，
于是 ( ).
要证 ，只要证 ，只要证明 .
因为 ，所以只要证 .
令
则
.因为 ，
所以 ，即 在 上单调递增，
所以 ，即 ，所以 ，即 .
