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专题 24.4 求阴影部分的面积
◆ 典例分析
【典例1】如图所示，△≝¿中，∠≝=120°,DE+EF=24，点O在DF上，以O为圆心的半圆分别与
4π
DE、EF相切于M、N两点，且M´N的长度为 ，则图中的阴影部分面积为 ．
3
【思路点拨】
连 接 OM、ON、OE， 如 图 所 示 ， 根 据 题 意 得 到 △EMO ≌△ENO(SSS)， 从 而 有
1 4π
∠MOD+∠NOF=120°，∠EOM=∠EON= ∠MON=30°，由M´N的长度为 ，得到半径为4，
2 3
MO 4
在Rt△EOM中，∠EOM=30°,∠EMO=90°，则ME= = ❑√3，由S =S −2S −S
❑√3 3 影 △EDF △EMO 二扇形
16 16 16❑√3 16π
=48− ❑√3− π即可得到图中的阴影部分面积为48− − ．
3 3 3 3
【解题过程】
解：连接OM、ON、OE，如图所示：
∵以O为圆心的半圆分别与DE、EF相切于M、N两点，
∴ON⊥EF、OM⊥ED，EM=EN，OM=ON，
∵OE=OE，
∴ △EMO ≌△ENO(SSS)，
∴ ∠EOM=∠EON，
∵∠OME=∠ONE=90°，∠≝=120°，∴∠MON=360°−90°−90°−120°=60°，
1
∴∠MOD+∠NOF=120°，∠EOM=∠EON= ∠MON=30°，
2
4π
∵ M´N的长度为 ，
3
4
π
3 ，
∴OM=ON= ×6=4
2π
MO 4
在Rt△EOM中，∠EOM=30°,∠EMO=90°，则ME= = ❑√3，
❑√3 3
∵ DE+EF=24
∴S =S +S
△EDF △EFO △EDO
1 1
= ED⋅OM+ EF⋅ON
2 2
1
= (ED+EF)⋅OM
2
1
= ×24×4=48，
2
1 1 4 8 120 16
∵S = ME⋅MO= ×4× ❑√3= ❑√3，S = ×π×42= π，
△EMO 2 2 3 3 二扇形 360 3
16 16 16❑√3 16π
∴S =S −2S −S =48− ❑√3− π，即图中的阴影部分面积为48− − ，
影 △EDF △EMO 二扇形 3 3 3 3
16❑√3 16π
故答案为：48− − ．
3 3
◆ 学霸必刷
1．（2024·湖北·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径
的弧恰好与BC相切，切点为E，若AB=1，BC=3，则阴影部分的面积是（ ）
5 3 5 5
A．4❑√5− π B．2❑√5− π C．2❑√5− π D．3❑√5− π
4 4 4 4
2．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，⊙O半径OA=2，将圆沿BC折叠，点A与圆心O重合，图中阴影部分面积为（ ）
8 8 4
A．4π−2❑√3 B． π+❑√3 C． π−2❑√3 D． π+2❑√3
3 3 3
3．（2024·广东中山·三模）如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交
CD于点F，连接AE、AF.若AB=2，∠B=60°，则阴影部分的面积为（ ）
π 2π π 2π
A．❑√3− B．❑√3− C．2❑√3− D．2❑√3−
3 3 3 3
4．（2024·山西·模拟预测）如图，正六边形ABCDEF的边长为4，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得
E´C，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24❑√3−8π B．8π C．24❑√3 D．12❑√3−8π
5．（2023·山东临沂·二模）如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°,OD平分∠BOC交BC于点D，点E为
半径OB上一动点．若OB=3，则阴影部分周长的最小值为( )
6❑√2+π 2❑√2+π 6❑√2+π ❑√2+2π
A． B． C． D．
2 3 3 36．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，在⊙O中，A´B=B´C=C´D，⊙O的半径为4，A´B的长为π，则图
中阴影部分的面积是（ ）
A．4π B．4π+❑√2 C．2π+6 D．8π−4❑√2
7．（2024·山西阳泉·模拟预测）如图，在矩形ABCD，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交AB于点
F，再以点B为圆心，BA的长为半径画弧，交CD于点E．已知AB=❑√2，AD=1，则图中阴影部分的面积
为（ ）
3 1 3 1 π π 3
A． π− B． π+ C． −1 D． −
8 2 8 2 4 6 2
8．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=2，在对角线CF上取一点
P，使得∠APE=90°，以P为圆心，PE长为半径画弧，分别交边EF、AF于点M、N，则图中阴影部分
的面积为（ ）
3 1 4❑√3 1
A．3+❑√3− π B．❑√3− π C．2❑√3−π D． − π
2 2 3 2
9．（2023·重庆渝北·一模）如图，AB是半圆O的直径，AF是弦，点C为OA上一点，以点O为圆心，OC
为半径的半圆交AB于另一点D，与AF相切于点E．若OA=2，OC=❑√2，则图中阴影部分的面积是
．10．（2023·山东青岛·三模）如图所示，∠AOB=90°，OA=OB=8，将扇形OAB绕边OB的中点D顺时
针旋转90°得到扇形O′ A′B′，弧A′B′交OA于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
11．（2024·山东青岛·一模）如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，以AB为直径的⊙O交
BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
12．（2023·江苏泰州·三模）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以△ABC的三边为直径在BC同侧作半圆，
得两个月牙（图中阴影），过点A作BC的平行线，分别和以AB、BC为直径的半圆交于D、E两点，若
AD=4，AE=5，则阴影部分的面积和为 ．
13．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2❑√2，∠ACB=90°，D是AB的中
点，以点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰好在E´F上（点E，F不与点C重合），半径DE
，DF分别与AC，BC相交于点G，H，则阴影部分的面积为 ．14．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2❑√3，点O为AC上一
点，以O为圆心，OC长为半径的圆与AB相切于点D，交AC于另一点E，点F为优弧DCE上一动点，则
图中阴影部分面积的最大值为 ．
15．（23-24九年级下·福建福州·期中）如图，⊙O的半径是4，等边△ABC内接于⊙O，点D在A´C上，
点E在B´C上，且∠DOE=120°，OF⊥AB于点F，则阴影部分的面积是 ．
16．（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、
O均为格点，点C为A´B的三等分点（靠近点A），点E、F分别是线段AO、BO上的动点，且EF=5，点
G为EF的中点，连接CG、BG．在EF滑动的过程中，当CG值最小时，阴影部分的面积是 ．17．（23-24九年级上·四川广元·期末）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，点P是CD延长线上一
点，连接PB,BD,BD平分∠ABP．
（1）求证：PB是⊙O的切线．
（2）连接AP，延长BD交AP于点F，若BD⊥AP，DF=❑√3，求图中阴影部分面积．
18．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的
切线垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE，
BE=7❑√2．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求⊙O的半径；
（3）若B是OP的中点，求阴影部分的面积．19．（2024·广东惠州·三模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∠A=30°，BC=4
，弦CD⊥AB于F，点E是AB延长线上一点，且AF=EF，连接DE．
（1）填空：∠BCD= °；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）取CB的中点M，连接DM，求图中阴影部分的面积．
20．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，正方形ABCD内接于⊙O，在A´B上取一点E，连接AE，DE．
过点A作AG⊥AE，交⊙O于点G，交DE于点F，连接CG，DG．
（1）求证：△AFD≌△CGD；
（2）若AB=2，∠BAE=30°，求阴影部分的面积．
