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专题24.4 弧长、扇形面积和圆锥的侧面积（六大考点）
【考点1 弧长的计算】
【考点2 利用弧长公式求周长】
【考点3 计算扇形的面积】
【考点4计算不规则图形的阴影部分面积】
【考点5 旋转过程中扫过的路径或面积】
【考点6 圆锥的计算】
【考点1 弧长的计算】
1．（2024•清城区一模）如图， O的半径为2，四边形ABCD是圆内接四边形，∠C＝
⊙
120°，则 的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C π π
【解答】解：∵∠C＝120°，
∴∠A＝60°，
∴∠BOD＝2∠A＝120°，
∴ 的长为： ＝ ．
故选：C．
2．（2024•越秀区校级三模）如图，点 A，B，C在半径为3的 O上，∠ACB＝30°，则
⊙
的长为（ ）A．3 B． C． D．
【答案】C π
【解答】解：∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∴ 的长＝ ＝ ，
故选：C． π
3．（2024•贵州）如图，在扇形纸扇中，若∠AOB＝150°，OA＝24，则 的长为（ ）
A．30 B．25 C．20 D．10
【答案π】C π π π
【解答】解：因为∠AOB＝150°，OA＝24，
所以 的长为： ．
故选：C．
4．（2024春•廉江市校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝2，以
点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则 的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：连接CD，
∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝2，
∴∠A＝30°， ，
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝1，
∴ ，
故选：B．
5．（2024•峰峰矿区三模）某校在社会实践活动中，明明同学用一个直径为 24cm的定滑
轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转105°，假设绳索（粗细不计）
与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A．3.5 cm B．7 cm C．12 cm D．24 cm
【答案π】B π π π
【解答】解：根据题意得：l＝ ＝7 （cm），
则重物上升了7 cm． π
故选：B． π
6．（2024•广安）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，∠C＝70°，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D，E，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：连接OD，OE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠ABC＝70°，
∴∠OEB＝∠C＝70°，
∴OE∥AC，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ，
∵OE∥AC，
∴∠A＝∠ADO＝40°＝∠DOE，
∴ 的长度为 ，
故选：C．
7．（2024•沁水县二模）传送带是一种传送系统，可以运输各种形状的物料．如图，已知
某一条传送带转动轮的半径为 20cm，如果该转动轮转动了两周后又转过 120°，那么传
送带上的物体A被传送的距离为（物体A始终在传送带上）（ ）A． B．40 cm C．80 cm D．
【答案】D π π
【解答】解：传送带上的物体 A被传送的距离为 ＝
（cm）． π
故选：D．
【考点2 利用弧长公式求周长】
8．（2024•红河州一模）“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转
子发动机的设计就是利用了莱洛三角形．它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点
为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为10，则这个“莱洛三角形”
的周长是（ ）
A．10 B． C．30 D．10
【答案】D π π
【解答】解：如图，△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝10，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴ 的长＝ 的长＝ 的长＝ ＝ ，
∴这个“莱洛三角形”的周长是10 ． π
故选：D． π
9．（2023•郁南县校级模拟）最近“羊了个羊”游戏非常火热，杨老师设置了一个数学版
“羊了个羊”游戏．如图，一根6米长的绳子，一端拴在点A处，另一端拴着一只小羊
（把小羊近似看作点D）．已知墙体AB的左边是空地，∠ABC＝60°，墙体AB长3米，
小羊D可以绕到草地上活动，请问小羊D在草地上最大活动区域的周长是（ ）A． B．2 +6 C． +6 D．3
【答案】B π π π
【解答】解：小羊D在草地上最大活动区域的周长是 +6＝（2 +6）（米）．
故选：B． π
10．（2024•阿城区三模）如图，扇形AOB的圆心角为直角，边长为2的正方形OCDE的
顶点分别在半径OA、OB和弧AB上．则阴影部分的周长为 2 + ．
π
【答案】2 + ．
【解答】解：连接OπD，则∠BOD＝45°，
∵正方形边长为2，
∴ED＝2，OB＝OD＝2 ，
∴BE＝OB﹣OE＝2 ﹣2，
弧BD的长为 ＝ ，
π
故阴影部分的周长为2+2 ﹣2+ ＝2 + ．
π π
故答案为：2 + ．
11．（2024•遂平县三模）
π
在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点O，A，B，C均在小正方形的格点上（小正方形的顶点称为格点），则扇形AOC的周长为
．
【答案】 ．
【解答】解：连接AC，
由勾股定理，得： ，
∴OA2+OC2＝20＝AC2，
∴∠AOC＝90°，
∴ 的长为： ，
∴扇形AOC的周长为 ．
故答案为： ．
12．（2024•沂南县一模）如图，AB是 O的直径，分别以点A和点B为圆心、AB长为半
⊙
径作圆弧，两弧交于点C和点D，若AB＝2，则图中阴影部分图形的周长和为
．（结果保留 ） π
π【答案】 ．
【解答】解：π连接AC、BC、DA、DB，如图，
由作法得BC＝BA＝AC＝BD＝AD＝2，
∴△ACB和△ADB都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠BAD＝∠ABD＝60°，
∴图中 的长＝ 的长＝ ＝ ，
O的周长＝2 ×1＝2 ， π
⊙ π π
∴图中阴影部分图形的周长和为： + +2 ＝ ．
π π π π
故答案为： ．
π
13．（2024春•船营区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D
是AC的中点，以点A、C为圆心，以AD、CD的长为半径画圆弧，交AB于点E，交
BC于点F，则图中阴影部分的周长为 （结果保留 ）．
π
【答案】 ．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴ ，∠A+∠C＝90°，
∵点D是AC的中点，
∴ ，
∴AE＝AD＝CD＝CF＝2.5，
∴ 弧 DE 的 长 与 弧 DF 的 长 的 和 为
，
∴阴影部分的周长为 ，
故答案为： ．
14．（2023秋•海曙区期中）如图，在半径为2的扇形OAB中，∠AOB＝90°，将扇形OAB
沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上，折痕交OA于点C，则图中阴影部分的
周长是 + 4 ．
π
【答案】 +4．
【解答】π解：由翻折的性质可知，OC＝CD，OB＝BD＝2，
∴阴影部分的周长为：AC+CD+BD+
＝OA+OB+
＝2+2+
＝ +4．π
故π答案为： +4．
15．（2023秋•π高新区校级期中）如图，图1是由若干个相同的图2组成的图案，在图2中，
已知半径OA＝18cm，∠AOB＝150°，则图2的周长为 3 0 cm（结果保留 ）．
π π【答案】30 ．
π
【解答】解：由图1得： 的长+ 的长＝ 的长，
∵半径OA＝18cm，∠AOB＝150°，
则图2的周长为：2× ＝30 （cm），
故答案为：30 ． π
π
【考点3 计算扇形的面积】
16．（2024•甘井子区校级一模）已知某扇形弧长为 3 ，圆心角为60°，则扇形面积为（
） π
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：设扇形所在的圆的半径为r，由弧长公式可得，
＝3 ，
解得r＝9，π
所以扇形的面积为 ×3 ×9＝ （cm2）．
故选：D． π π
17．（2024•拱墅区二模）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，第一章“方田”中已
讲述了平面几何图形面积的计算方法，比如扇形面积的计算，“今有宛田，下周三十步，
径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的
直径是16步，则这块田的面积为（ ）A．120平方步 B．240平方步
C． 平方步 D． 平方步
【答案】A
【解答】解：∵扇形所在圆的直径是16步，
∴扇形所在圆的半径是8步，
∵弧长是30步，
∴扇形的面积＝ 弧长×半径＝ （平方步），
即这块田地的面积为120平方步，
故选：A．
18．（2024•应县一模）如图，在扇形AOB中，AO⊥OB，∠AOC＝∠BOC，若扇形AOB
的半径为2，则扇形AOC的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案π】B π
【解答】解：∵AO⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵∠AOC＝∠BOC，
∴∠AOC＝ ×（360°﹣90°）＝135°，
∵扇形AOC的半径为2，
∴扇形AOC的面积＝ ＝ ．
π
故选：B．19．（2024•深圳）如图，在矩形ABCD中， ，O为BC中点，OE＝AB＝4，则
扇形EOF的面积为 4 ．
π
【答案】4 ．
【解答】解π：∵OE＝AB＝4，
∴BC＝ AB＝4 ，
∵O为BC中点，
∴OB＝OC＝ BC＝2 ，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠OBE＝90°，
∴cos∠BOE＝ ＝ ，
∴∠BOE＝45°，
同理，∠COF＝45°，
∴∠EOF＝180°﹣∠BOE﹣∠COF＝90°，
∴S扇形EOF ＝ × •OE2＝4 ．
故答案为：4 ． π π
20．（2024•武侯π区模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＜180°，分别以点A和B为圆心，
以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线OP，若OA＝2，∠AOP＝35°，
则扇形AOB的面积为 （结果保留 ）．
π【答案】 ．
【解答】解：根据题中所给作图方式可知，
OP平分∠AOB，
∵∠AOP＝35°，
∴∠AOB＝2∠AOP＝70°，
∴ ．
故答案为： ．
21．（2024春•徐州期中）如图，以四边形ABCD各顶点为圆心，以2为半径画圆，则图
形中各扇形面积之和是 4 .
π
【答案】4 ．
【解答】解π：在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∴S阴影 ＝ ×22＝4 ．
故答案为：π 4 ． π
22．（2024•二道π区校级模拟）一个闹钟的时针长是6cm，从下午1点到下午4点，时针所
扫过的面积是 9 cm2．
【答案】9 ． π
【解答】解π：由题知，
从下午1点到下午4点，时针扫过了90°，
又因为闹钟的时针长是6cm，所以时针所扫过的面积是： （cm2）．
故答案为：9 ．
【考点4计算不
π
规则图形的阴影部分面积】
23．（2024•东莞市校级三模）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，对角线AC，BD交于点
O，以点A为圆心，AO长为半径作弧，交AD于点E；以点C为圆心，CO长为半径作
弧，交BC于点F．若∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝4，AD∥BC，OA＝OC，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，∠BAD＝120°，
∴AC＝AB＝AD，∠DAC＝∠ACB＝60°，
∴结合作图可得：点E是AD的中点，点F是BC的中点，
∴AE＝AO＝CO＝CF＝2，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ；
故选：D．
24．（2024•迎泽区校级三模）如图，将扇形OAB沿OB方向平移，使点O平移到OB的中点O′处，得到扇形O'A'B'．若∠AOB＝90°， ，则阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，设O′A′与 交于点T，连接OT，
∵点O′是OB的中点， ，
∴ ，
∵OT＝OB，
∴ ，
由平移的性质，得∠A′O′B′＝∠AOB＝90°，即∠OO′T＝180°﹣∠A′O′B′＝
90°，
∵ ，
∴∠TOO′＝60°，
∴ ，∠AOT＝∠AOB﹣∠TOO′＝30°，
由平移的性质，得S阴影+S
1
＝S
2
+S
1
，∴ ，
故选：B．
25．（2024•旺苍县三模）如图．点C、D是以AB为直径的半圆的三等分点， 的长为
．则图中阴影部分的面积为（ ）
π
A． B． C． D． +
【答案π】A π π
【解答】解：连接CO、DO、AC，如图所示，
∵C，D是以AB为直径的半圆上的三等分点，弧CD的长为 ，
π
∴∠COD＝60°，圆的半周长＝ r＝3× ＝2 ，
∴r＝2， π π π
∵△ACD的面积等于△OCD的面积，
∴S阴影 ＝S扇形OCD ＝ ＝ ．
π
故选：A．
26．（2024•南海区校级模拟）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型能让美食锦上添花．
图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通
过测量得到AC＝BD＝10cm，C，D两点之间的距离是3cm，∠AOB＝60°，则摆盘的面
积是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，连接CD．
∵OC＝OD，∠O＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD＝3cm，
∴S阴 ＝S扇形OAB ﹣S扇形OCD ＝ ，
故选：B．
27．（2024•运城三模）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，P是AD的中点，以点B为圆
心，BP的长为半径画弧，交BC于点E，以点C为圆心，CP的长为半径画弧，交BC于
点F，若AB＝3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：如图，过点P作PM⊥BC于点M，由题意可知，∠PBM＝45°，
∴BM＝PM＝AB＝3，
∴ ，
∴ ， ，
∴阴影部分的面积＝ ．
故选：D．
28．（2024•射洪市一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的 O与AB，BC
分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部⊙分的面积为（
）
A． B． C． D．
【答案】A π
【解答】解：连接OE，OD，
∵AC为 O的直径，
∴∠AEC⊙＝90°，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
即点E是BC的中点，
∵点O是AC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AB，
∴S△AOD ＝S△AED ，
∴S阴影 ＝S扇形OAD ，
∵∠AEC＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∵∠BED＝45°，
∴∠AED＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
29．（2024•重庆）如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，
两弧有且仅有一个公共点．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．32﹣8 B．16 ﹣4 C．32﹣4 D．16 ﹣8
π π π π
【答案】D
【解答】解：连接AC．∵两弧有且仅有一个公共点，AD＝4，
∴AC＝2AD＝8，
∴在Rt△ADC 中，CD＝ ＝ ＝4 ，
∴S矩形ABCD ＝AD•CD＝16 ，
∵两个扇形均为 圆，而且它们的半径相等，
∴两个扇形为 圆，面积之和为S两个扇形 ＝ AD2＝8 ，
π π
∴S阴影 ＝S矩形ABCD ﹣S两个扇形 ＝16 ﹣8 ．
π
故选：D．
30．（2024•市中区校级模拟）如图，在扇形MON中，∠MON＝105°，半径OM＝6，将扇
形MON沿过点P的直线折叠，点O恰好落在 上的点Q处，折痕交OM于点P，则阴
影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：连接OQ，交PN于E，∵沿PN对折O和Q重合，OQ＝6，
∴PN⊥OQ，QE＝OE＝3，∠QNE＝∠ONE，ON＝NQ＝6，
∴∠NEO＝90°，△QON是等边三角形，
∴∠QON＝∠QNO＝60°，
∵∠MON＝105°，
∴∠POQ＝∠MON﹣∠QON＝45°，
∵∠OEP＝90°，
∴PE＝OE＝3，
∴阴影部分的面积
＝S扇形MOQ ﹣S△POQ
＝ ﹣ ×6×3
＝ ﹣9，
故选π：D．
31．（2024•朔州模拟）如图， O半径OA＝2，将圆沿BC折叠，点A与圆心O重合，图
中阴影部分面积为（ ） ⊙
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：连接AB，OB，OC，AC，OA与BC交于D，由折叠性质可得，AB＝OB＝2，OC＝AC＝2，OA⊥BC，
∵OA＝OB＝OC，
∴AB＝OB＝OA＝2，OC＝AC＝OA＝2，
∴△OBA，△OAC是等边三角形，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BOA＝∠COA＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴ ，
∵OA⊥BC，OB＝OC，
∴∠OBD＝∠OCB＝30°，BD＝CD，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
32．（2024•西湖区校级二模）如图，扇形的圆心角为 120°，点C在圆弧上，∠ABC＝
30°，OA＝2，阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． ﹣ D． ﹣
【答案】B
【解答】解：连接AC，CO，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°．又∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAO＝60°．
又∵∠AOB＝120°，
∴∠CAO+∠AOB＝180°，
∴AC∥OB，
∴S△ABC ＝S△AOC ，
∴ ．
故选：B．
33．（2024春•渠县校级月考）如图，AB为半圆的直径，且AB＝2，半圆绕点B顺时针旋
转60°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案π】C π
【解答】解：∵半圆绕点B顺时针旋转60°，点A旋转到A′的位置，
∴S半圆AB ＝S半圆A′B ，∠ABA′＝60°，
∴S阴影+S半圆AB ＝S半圆A′B +S扇形ABA′ ，
∴
故选：C．
34．（2024•平原县模拟）如图，Rt△BCO中，∠BCO＝90°，∠CBO＝30°，BO＝4cm，将
△BCO绕点O逆时针旋转至△B′C′O，点C'在BO延长线上，则边BC扫过区域（图
中阴影部分）的面积为（ ）A． cm2 B．
π
C．4 cm2 D．
π
【答案】C
【解答】解：∵将△BCO绕点O逆时针旋转至△B'C'O，∠OBC＝30°，
∴OC＝OC'，∠COC'＝∠BOB'，OB＝OB'＝4cm，S△COB ＝S△C'OB '，
∵∠BCO＝90°，∠OBC＝30°，
∴∠COB＝90°﹣∠OBC＝60°， ，
∴∠COC'＝180°﹣∠COB＝120°，
∴∠BOB'＝120°，
∴阴影部分的面积 S＝S 扇形BOB '+S△C'OB '﹣S 扇形COC '﹣S△COB ＝S 扇形BOB '﹣S 扇形COC '＝
＝ ＝4 （cm2），
π
故选：C．
【考点5 旋转过程中扫过的路径或面积】
35．（2024春•武城县校级月考）如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，已知
AC＝10，BC＝6，则线段AB扫过的图形面积为（ ）
A．10 B． C． D．
π【答案】D
【解答】解：如图：
；
；
则 ．
故选：D．
36．（2024•石家庄模拟）如图，△ABC的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长
均为1个单位长度）的格点上，将△ABC绕点B顺时针旋转到△A′BC′的位置，且点
A′、C′仍落在格点上，则线段AB扫过的图形的面积是（ ）平方单位（结果保留
）．
π
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝ ＝ ＝ ，
由图形可知，线段AB扫过的图形为扇形ABA′，旋转角为90°，∴线段AB扫过的图形面积＝ ＝ ＝ ．
故选：B．
37．（2023秋•浙江期末）如图，在四边形 ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ACB＝
∠ACD＝30°，AC＝4，以AC中点O为圆心作弧AB及弧AD，动点P从C点出发沿线段
CB，弧BA，弧AD，线段DC的路线运动，点P从点C运动到点D时，线段OP扫过的
面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，连接OB，OP，PB，PB交AC于点T．
由题意，AB＝AP＝OB＝OP＝OA＝OC＝2，
∴△ABO，△APO都是等边三角形，
∴BP⊥OA，∠AOB＝∠AOP＝60°，
∴AT＝OT＝1，∠BOP＝120°，
∴BT＝ ＝ ＝ ，
由题意，线段 OP 扫过的面积＝2S△COB +S 扇形OBP ＝2× ×2× + ＝2 +．
故选：B．
38．（2023•乐至县校级模拟）将两块全等的三角板ABC和DEC按如图所示的位置放置．
∠B＝60°，AC＝2，若三角板ABC绕点C沿逆时针方向旋转，使点E恰好落在斜边AB
上，则点A运动路径的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴CE＝CB，
又∵∠B＝60°，
∴△CEB为等边三角形，
∴∠ECB＝60°，
∴∠ACE＝30°，
则A运动路径的长度＝ ＝ ．
故选：B．
39．（2024•杭锦后旗模拟）如图，等边△ABC的边长是4，O是△ABC的中心，连接
OB，OC，把△BOC绕着点CO旋转到△AO′C的位置，在这个旋转过程中，线段OB
所扫过的图形的面积是 ．
【答案】见试题解答内容【解答】解：∵等边△ABC的边长是4，O是△ABC的中心，
∴OB＝OC＝ ，
∴ 线 段 OB 所 扫 过 的 图 形 的 面 积 ＝ S 扇 形 ACB ﹣ S 扇 形 OCO′ ＝ ﹣
＝ ﹣ ＝ ，
故答案为： ．
40．（2023秋•龙潭区期末）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝8cm，将矩形绕点A旋转
90°，到达AB'C'D'的位置，则在转动过程中，边CD扫过的图形的面积S＝ 1 6 ．
π
【答案】16 ．
【解答】解π：
设AD＝x cm，
则AC2＝x2+82＝x2+64，
∴AC2﹣x2＝64，
∵CD扫过的图形为扇环，
∴面积S＝ （AC2﹣AD2）＝ ×64 ＝16 ，
故答案为：16π ． π π
π41．（2022•枣庄）在活动课上，“雄鹰组”用含 30°角的直角三角尺设计风车．如图，
∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使
点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长
为 ．（结果保留 ）
π
【答案】 ．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°，
由旋转的性质得，∠BAB′＝∠BAC＝60°，
∴B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 ＝ ，
故答案为： ．
42．（2023秋•定南县期末）如图，在边长为1的正方形网格中，△AOB的顶点均在格点
上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后
得到△A OB ．
1 1
（1）点A 的坐标为 （﹣ 2 ， 3 ） ；∠AOA 的度数为 90 ° ．
1 1
（2）在旋转过程中，点B经过的路径为 ，求 的长．【答案】（1）（﹣2，3），90°；
（2） ．
【解答】解
π
：（1）如图所示：
由图可得，点A 的坐标为（﹣2，3）；∠AOA 的度数为90°．
1 1
故答案为：（﹣2，3），90°；
（2）∵B（1，3），
∴OB＝ ＝ ，
∴ 的长为： ＝ ．
π
【考点6 圆锥的计算】
43．（2024•无锡二模）圆锥的展开图的面积为200 cm2，圆锥母线与底面圆的半径之比为
2：1，则母线长为（ ） π
A．10 B．20 C． D．20
【答案】B【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r cm，则圆锥母线长为2r cm，
由题意得： ×2 r×2r＝200 ，
解得：r＝10（负π值舍去），π
则圆锥母线长为20cm，
故选：B．
44．（2024•垦利区模拟）在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径 15cm，圆心角120°的
扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形
生日帽的底面圆半径是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】C
【解答】解：半径为15cm、圆心角为120°的扇形弧长是： ＝10 cm，
设圆锥的底面半径是r cm， π
则2 r＝10 ，
解得π：r＝5π．
故选：C．
45．（2024•港南区二模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为16cm，圆心角为90°的扇形，
则此圆锥底面圆的半径为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
【答案】C
【解答】解：设此圆锥底面圆的半径为x cm，
由题意得：2 x＝ ，
解得：x＝4，π
∴此圆锥底面圆的半径为4cm，
故选：C．
46．（2024•绥化）用一个圆心角为126°，半径为10cm的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 cm．
【答案】 ．
【解答】解：扇形的弧长＝ ＝7 （cm），
π
故圆锥的底面半径为7 ÷2 ＝ （cm）．
π π
故答案为： ．
47．（2024•黑龙江）若圆锥的底面半径为3，侧面积为36 ，则这个圆锥侧面展开图的圆
心角是 9 0 °． π
【答案】90．
【解答】解：设圆锥的母线长为l，圆锥侧面展开图的圆心角是n°，
∵侧面积为36 ，
∴ ×3×l＝36 ，π
解π得：l＝12，π
∴扇形面积为36 ＝ ，
π
解得：n＝90，
∴圆锥侧面展开图的圆心角是90度．
故答案为：90．
48．（2023秋•宿迁期末）如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角∠ACB＝90°的扇
形CAB．
（1）求阴影部分面积；
（2）用所裁剪的扇形纸片CAB围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．
【答案】（1） ；（2）该圆锥的底面圆的半径是 ．
【解答】解：（1）连接AB，OC，
∵∠ACB＝90°，
∴AB是圆O的直径，
∴点A、O、B三点共线，
∴OB＝OC＝OA，
又∵AC＝BC，
∴AO⊥BC，
∵圆的直径为2，
则 ，
故 ．
∴ ；
（2）AB的长 ，
则 ，
解得： ．
故该圆锥的底面圆的半径是 ．
