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2011年数学（三）真题解析
一、选择题
(1)【答案】(C).
工3
(3^)3
【解】 方法一 由 sin x =x — — o (工3 ) 9 sin 3x -----—：------ o(j:3) 9
J ! J !
. 得 3sin x 一 sin = (------x3 + o (jc 3 )〜4z3，故 c = 4M = 3：应选(C)・
亠 万法 、_ 一 _ 由 , l . i . m- 3 -- s - i - n -- - x -- - 一 -- -- s - i - n - -----= l . i . m -- 3 - s -- i - n - - j - c - , -- — -- ------ . H . l . i m 3x — sin 3x
工一>0 JXQ 3 X-*O Xx3 x3
工, 3sm x 一 3jc sin x 一 x cos x 一 1 丄
HTJ 11m-----------------= 31im--------------= lim-------------- I
•r-*0
XJC
3 工-*°
X
工〜°
X
[. 3x 一 sin 3x __v 一 sm 3$ = r t 一 sin t c〔. 1 — cos t 2
lim-----------------= 271im----- -----—----== z71im 91im I
工->0 x lo (( 33jjcc )) 3 lo 3 z->0
所以 lim '"n "__§ 血 ％ =4，艮卩 3sjn x — sin 3x 〜4无3，应选(C).
x
x-*0
（2）【答案】（E）.
【解]lim也匚竺□ 了Q）T（O） _ 2 ★（工3）_ 于（°）】
=lim
L0 x 0 X 3
应选（B）.
（3）【答案】（A）.
【解】 令S” = "1 + “2 + •••+"”，若工"”收敛，贝U limS”存在且lim%” =0.
n = \
"~8 ”~8
令 S： = （"1 + «2）+（W3 + u4）+ ••• +（"2”一1 + "2”）
="1 + "2 + "3 + “4 + •" + "2”一1 + “2” =S2” ,
因为limS”存在，所以limS2n存在，即limS'”存在，于是级数£ 仏”一】+%）收敛，应选（A）.
Tlf8 九―
>OO 71—” =]
取"”=（一1）"，显然工（"2”-1 + "2”）收敛，但Y "”发散，（E）不对；
n = l
n = 1
z _ -I \ n-1 00 00 00 1
取= ，显然收敛，但工（"“I— "2”）=工一发散，（C）不对；
71 n = l n = l n = l 71
-i 00 00 /_ ] \ n-1 00
取un =一，显然 Y（“2”_1 一 “2”）=工------- 收敛，但工"”发散，（D）不对.
71 n = l n = l 71 n = l
方法点评：常数项级数的基本性质主要有：
（1） 级数的敛散性与级数前有限项无关；
（2） 添加括号提高级数收敛性；
（3） 添加绝对值提高级数的发散性.(4)【答案】(B).
兀
【解】 当 00,故九(工)尸2(工)+/2(2)厂(工)为某个随机变量的
密度函数，应选(D).
(8)【答案】(D).
【解】 ECTJ =丄乞E(XQ =E(X)=入，
E(T2)-^—yE(X,)+—E(x„) = (1 + —^E(X) = (1+ 丄)入，
n — 1 7 = 1 n \ n / \ n /
因为 ECTJ < E(T2)，所以(A),(B)不对；
=A£d(X,)=丄 D(X)
DCTJ
n , = i ""一 入 入
1 1 1
D(T2) = ------ 》D(X<) H—£)(X”)=------- H—2 ,
7-7
(n — 1) ! = i n n — 1 n
显然DCTJ 0 1 0 4 2 10
5丿 ♦
—2丿
1 5 1 3 0 1 -1 0
p =2ai + 4口2 — Ch ,
于是 ”2=5 +2a2+0a3，
103 = 5ai + 10a 2 — 2a 3.
(21)【解】(I )因为r(A)=2<3,所以|A|=0,于是入】=0为A的一个特征值.
入2= —1为A的特征值，其对应的全部特征向量为cj 0 （0为任意非零常数）;
入3 =1为A的特征值，其对应的全部特征向量为C2 C2为任意非零常数）.
/1 \ r^\
设§2= 0 , §3= 0 ,令§1= 02为入1 =0对应的特征向量，由实对称矩阵不同特征
-1 1 工3
[§{§2=0， 仗 1 一 工 3=0,
值对应的特征向量正交得〒 即 基础解系为・
£§3=0, 01+#3=0,
则属于特征值小=0的全部特征向量为C3 1 （ C3为任意非零常数）.
/0 1 1\ /0 0 0\
（n ）令 P =（d ,§2，§3）= 1 o 0 ,由 P_1AP= 0 -1 0 ,得
'o -1 r '0 0 r
1°
/° 0 0 !\
0 -1 0 p = 0 0 0
11 I J
'0 0 0
(22)【解】(I )由 =丫2} =1,得 p{X2 ^y2} =0,
于是 P {X = 0,Y = — 1} — P {X = 0,Y = 1} = P {X = 1,Y = 0} = 0,
故(X,Y)的联合分布律为y
X
-1 0 1
1
0 0 0
3
1 1
1 0
T T
(II) Z=XY的可能取值为一 1,0,1,且
P {Z = — 1} = P {X =1,Y = — 1}=—,
P{Z=0} = P{X=0,Y = — l}+P{X=0,Y = 0}+P{X=0,Y = l> +P{X=l,Y = 0}
丄
I
P{Z = 1}=1 — P{Z= — 1}—P{Z=O}=*,
厂 1 0 1\
则z的分布律为z “7 1 1 1 •
\ 3
T 3 '
2
(皿)由 E(X) =y, E(Y)==0, E(XY) =E(Z) =0,
得 Cov(X,Y) ^E(XY) -E(X)E(Y) =0,于是 pXY=0.
Cx ,y) € G,
（23）【解】（I） （X,Y）的概率密度函数为fCx,y） =
(•z @ G ,
X的概率密度为心（工）=J_/（D）dy,
当 zWO 或工$2 时，/x（z）=0；
当0＜攵＜1时，/\（工）=]曲=工；
J 0
当 1 ＜ 2 时，/\（攵）=[dy=2 — 攵,
J 0
A , 0 V jc V 1,
贝 9 f 攵 V 2,
= \ ~ x ? 1 W
[o, 其他.
f+°O
(n ) Y 的概率密度为 /y(j/) = J f(x,y)dj：,
当 0 VjyV 1 时，/'『(》)= [ dr = 2(1—y),
J
y
当 y £0 或夕 时，/y(j/) =0,
则 A（.）=）r 0 V y V 1,
其他.
当Y=y（O V y V 1）时，X的条件概率密度为
fG，夕） _y V z V 2 — y ,
X|Y(Z I y) 2（1 — y ）
几（夕）
0, 其他.
