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2011年数学（二）真题解析
一、选择题
（1）【答案】（C）.
【解】方法一 麦克劳林公式法
r 3 (3/)3
由 sin x —x — o (工3 ) , sin 3工=3工--- - ----o (工彳)，
o ! J !
得 3sin x 一 sin 3工 x3 + o(z3)
故 c = 4M = 3：应选(C).
方法二 待定次数法
丄) .. 3sin x — sin 3x 3cos x — 3cos 3x
由 lim —— = lim----------------------= lim--------- ----口------
工*-0 X 工十° X 工~0 kx
―3sin x + 9sin 一 3cos x + 27cos 3x
lim =lim-----------------------------
工一*• 0 k(k - 1)工1 — 1)(^ — 2)/t
得 k =3,且lim "予)=4,故 k = 3,c = 4,应选(C).
X
•r f 0
（2）【答案】（B）.
了⑺一f（0） _2/（a：3）-fm
【解]lim= lim
X X
工-*。 JC 3
= y'(0) —2/'(0) =—y'(0),
应选（:B）.
方法点评：本题考查导数的定义，本题虽然是+型的极限，因为/Xh）在y=0的去心邻
域内没有可导的条件，所以若采用洛必达法则求极限方法将是错误的.
（3）【答案】（C）.
【解】/(□?) = In | x — \ |+ In | 工 _ 2 |+ In | x — 3 \ ,
1___ ] ] _ 3川二 12工 +11
令/'（工）
jc — 1 x — 2 x — 3 (j; — 1) ( jc — 2) (jc — 3)
得工=2 土眷，即函数/■&）有两个驻点，应选（C）.
方法点评：本题考查函数求导数及驻点的定义，很多考生对含绝对值的函数求导数
不熟悉，一般情况下，先将其写成分段函数，再分别求导数，但本题不需要这样讨论，事
实上（In|工 |）'=—.
JC
（4）【答案】（C）.
【解】0的特征根为入1=入，入2=—入，
y" y = eAj的特解形式为ax eAj >yf，— y — e_A 1的特解形式为bx e_Aj ,
则 y = e" + e-^ 的特解形式为 r （aeAj; + be~Al），应选（C）.
• 101 •
淘宝店铺：光速考研工作室方法点评：本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程y"py' ~V（iy ）当f〈工）=
Pn（x）ekx时的特解的形式.
情形一：若&非特征根，则% （工）=（a。+a 口 +…+ "）占；
情形二：若怡与其中一个特征根相等，则jo （a： ） —x （a0 + arx +…+a”z" ）ek,；
情形三：若怡与两个特征根都相等，则yQ （x ） ==x 2 （a0 + UjX +…+ a”H " ）/ .
⑸【答案】(A).
驴=八広)g(jy),
ox
【解】』
d Z r
—=f(JC )g (y),
dy
显然3占 z
=0,即（0,0）为函数z=/（%（》）的驻点.
OX (0,0) (0,0)
= /〃(0)g(0), B =0 = /（0）g〃（0），
dx 3y 9 C
(0,0) “ j (0,0) (0,0)
AC-B2 =y〃(0)g(0”(0)g〃(0),则(0,0)为z=f^)gCy)的极小值点的一个充分条件
为 /'〃(0) V 0,g〃(0) > 0,应选(A).
(6)【答案】(E).
【解】 当z G （°冷）时，由sin X 0 x •zf0 2 x*0~
得lim
■r —0
(10) 【答案】sin x .
【解】方法一由“+y=e cos x，得
e_Jr cos x • dz + C ) e dr sin x + C)e_J: =Ce~x +e sin x ,
因为夕(0) = 0,所以C =0,于是y = e-" sin x .
方法二 + y = 0的通解为jy=Ce"=Ce7.
令原方程的通解为y=C(x)e~x ,代入原方程得C'(")eF =e COS X ,
解得C(z ) = sin x + C,即原方程的通解为y = (sin + C)e_J ,
由夕(0)= 0得C = 0,故原方程满足初始条件的特解为y — sin x .
(11) 【答案】ln(l+施).
【解】由ds = dr = v 1 + tan2 x Ax = sec x dj? 9 得
r
sec x Ax = ln(sec x + tan x ) =ln( 1 +
0
a/2~).
方法点评：本题考查变积分限函数求导、弧微分的公式、定积分的计算.
需要熟练掌握曲线的弧长计算公式：
(1) 若 L :y =/(x )(a W 工 W b),则 ds =丿1 + 广(工)dr ,s = [ f，2 (x ) dx ；
a/1 +
J a
(工=® (t)， _________________ CP _____________
(2) 若 L：｛ 则 ds=丿申"(/)'+0"(/)ck,$= 2 (i) + 0/2 Q) dt ；
» = 0(t) J a
(3) 若 I> ：r = r(0)(a W 0 W/3),则 ds =丿r" (0) + r? (0) d0 ,s = | Jr 2 (^) + r2 ((9) dd.
J a
(12)［答案】 y
r+°° f-*-J-OO 、 —Ax i ,
【解】 J —OO •z f (工)chz =J ( Ax e dx = — Xx e_Aj d(Ajc )
0 A J o
t e_/ = ^-T(2)= 1
A r
方法点评：积分区间无限的反常积分的计算，一般采用分部积分法，但很多情况下若采
用r函数的定义和性质计算将减少运算量，提高结果的可靠性.
r函数的定义为：IXa)
r函数的性质为：F(a + 1)= ~a r(a ),卩("+ 1)="!，卩*)=^(/^.如 ：
【例｝】 计算
・ 104 .
淘宝店铺：光速考研工作室【解】 *4-00 \Tx e~ r dz = F —I— ] ) -2--『P(1
0 2 / 2
*-|~oo 2
【例2] 计算 x2 e~r dx
0
"°°^2e~x2d^ 丄^ g 1 d 1 严
【解】 t e • -----dr — ~ 4t efdt — + 1
0 0 24t 2 o 2 \ Z
7
(13)【答案】 -
【解】方法一极坐标法
x = rcos 9 9
令 . 则
y = rsin 9 ,
9
D = (r ,(9 ) —d《fsOW 厂 W 2sin 9 /
4 2
丿
于是
[de 2sin 0 厂3 sin 9 cos 9 Ar = :sin(9 cos 0 de ■2 sin e r=迈 7 .
T 0 1 o
D
方法二 区域划分
+ Jj 9
xyAo xyda
D Di D2
JJ = J yd dj? *〕:心=+
其中 』]x
2
D] ° °
在中，令 jc = rcos 0， o£0W ㊁ RW 厂 £1) 9 则 x
\y 一 1 = rsin 9
7dd I r2cos 0(1 + rsin 0)d厂
o J o
D2
cos 6 H— sin 6 cos 0)d0
4 >
丄 2 cos ede + * 2 sin 0d(sin 9 ) = £ + * 9
0 3 o
dc=£・
于是卜夕
D
方法三 直角坐标法
由 D={(z,;y) | OWz + J\_ x1 },得
1+ J1-/
卜仙= =*( 攵[(1 + \/1 — x2 ) - x2~\^x
x dj? y^y
0 0
D
I 1 1 1 _丄 7
(2 + z yi—jc2 j：3 )djc = ---------(1 —工 2)2
0 0 4 12"
• 105 •
淘宝店铺：光速考研工作室方法点评：二重积分一般都是对基本计算方法的考查，所以要熟练掌握二重积分的直
角坐标法和极坐标法.注意使用极坐标法计算的特征有两个：
(1)积分区域的边界曲线含工？+/； (2)被积函数中含x2 +y2・
x — a = rcos 0 ?
若区域为 y2 £ 2ax + 2by 则往往使用
D :jc2 + 9
y — b = rsin 0.
(14)【答案】2.
/! 1 !\ A - 1 - 1 - 1
【解】A =1 3 1 ,由 | AE-A | = -1 A - 3 - 1 =A (A — 1) (A — 4)=0?
h 1 1>
-1 - 1 A - 1
得A 1 0 9入2 1,入 3 = 4,则/的正惯性指数为2.
三、解答题
(15)【解】 因为当a=0时，limF(z)= + 所以a > 0.
oo,
工_> _|_8
ln(l + 厂)dt
o ln( 1 + 工 $) ■^■9 即]ln( 1 + 2 ) 1
由洛必达法则得lim lim 3
—X
X -*■()+ 2 •Z-*■()+ 3x2 0 3
故由 lim F(h)=O 得 a V3;
•Zf 0+
ln(l + r2)d/
叫"0,得 a-l>0,
由洛必达法则limFS)= lim 0 lim
工—+ 8 X*4--OO 无' ax
即a〉1,故a的取值范围为1 V3.
方法点评：本题考查无穷小与无穷大及其层次比较，注意如下几个小技巧:
(1)对除幕函数之外的无穷小确定其阶数时，一般可采用待定次数法.
■才
2 •
【例
1J
设)= —~—dz 9且/(J：)〜心"，求a』的值.
工 sin t i sin x2
------------ch 4Lx •- 2
t----------.. X 2
【解】由lim = lim -0- -----------=lim :-----= lim ,
兀xn 工 ~0 X r， 工 —0 nx -------- 工亠 o njc
得 n — 2=0,即 〃=2，且 lim f =1，即 f O 〜j:",故 a =1,6 =2.
—o x.
【例2】设/(j;) 一阶可导 且lim d = 2 又g (w )=
9 9 t f(x — t)dt 〜ax "，求 a Ji.
x
X*O- 0
【解】g(H)= x tf 、 (+oo时Jn > 0),
bx (b > 1)的无穷大的阶是由低到高的，即lim 一I tn r qr ==00, lliimm 耳I □ T* =0, lim 牛T' U =0.
丁*+°-° x 9 •rf+8 aaJ 工*+- 8 b°
• 106 •
淘宝店铺：光速考研工作室（16）【解】
dT1 — dx/dt ~ （厂 +1尸'
i2 -I
当/ = 一1时，工=一1,夕=1,因为丁W V0,所以当工=一1时，函数y =y （工）
djc t = —i /
取极大值_y = 1;
当 ul时，工=［,$= — £,因为當 =£>0,所以当工=糅时，函数y =》&）
3 3 qjc | _i / o
取极小值y= — ~ .
令Q岭=0得t = 0,且/ =0时,工=£，参数/ V0对应工6 （― °°，£）;参数/〉0对应
djr 3 \ 3 /
工6 （*，+T・
当£ < 0 9由f 1 V0得曲线歹=夕（工）的凸区间为（一°°9百）；当/〉0时9由］> 0得
ax \ 3 / Ajc
曲线夕=夕（工）的凹区间为工6 （£，+* ），且（*，£）为曲线了 =夕（工）的拐点.
方法点评：本题是讨论由参数方程确定的函数的单调性与凹凸性，利用参数方程求导
数的方法求函数的一阶导数和二阶导数，根据其符号讨论单调性与凹凸性，根据参数的情况
得到函数的极值与凹、凸区间.
（17）［解】 方法一 由题意得g'（l）=0,
学=yf \ + yf\' g'Q），
OX
+于'：2 • g&）］ + f'z • g'Q）+yg'S）R咒i + 咒2 • gS）］，
ox dy
d2z
将 h = 1, g（l）=l, g'（l）=0 代入得~— — f\（1,1）+/"li（1,1） +/'爲（1 ‘ 1）.
（i,i）
方法二 由题意得g'd） =0,
=yf \ + yf\ • g'Q），将工=1 代入得 J = （:y，y），
d*jt JC 工=1
= (y，y)] = /；(l,l)+rUl,l)+/；2(l,l).
（18）【【解解】】 由题意得J/(O) =0,y'(0) = 1且tan a —
• 107 •
淘宝店铺：光速考研工作室令p=学，则原方程化为p^=p+p3,因为p H0,所以字=1 + /2,
Ax dy dy
7T
解得 arctan p = y Cx ,由夕（0）=0, j/（0） = 1 得 & =玄，
于是y' = tariff +手），分离变量得-----------= 山，
tan N + -
积分得 In sin(夕 + 刊=工 + In c2 ,即 sin(y + 詈)=C2ex ,
由 $(0) = 0 得 C2 =晋，于是 y =arcsin俘e") — 中.
方法点评：本题需要注意两点：
(1) «为z的函数，即a =a (力)；
(2) 根据导数的几何意义得— tan a・
ax
(19)【证明】(I )方法一 单调性
令/(工)=ln(l + jr ) — —-y—9 f (0) = 0,
1十工
/•'(小二亠—書〉0(工>0),
1十工 (1+无)
由(/,0)=0, 得八工)>0(工 >0),即当工〉0 时— 0Q > 0) 1+工
令 g(j?) =x — ln(14-jr), g(0)=()9 g'(«z)=l — -―—〉0(乂〉0),
由 ， 得 g(2)〉0Q〉0)9 即当工〉0 时,ln(l + jc ) ln(l + l) + ln(l + y) + …+ ln(l + +) —In n = InCzz + 1) 一 In n〉0,
所以仏”｝单调减少且有下界，故｛a”｝收敛.
方法点评：在本题基础上需要掌握不等式证明中使用的放缩法.
1 1
【例】 证明：ln(l+/2)1 + —- + -----1 + In n.
2 n
‘2 1 '2 1 1
【证明】 当x G [1，2]时，由丁》一得| ~dx AI ~djr，即1 $ I — dx，
1 1 i x
当x 6 [2,3]时，由+上丄得|'3三 1山 21 '3 —1 dx，即三1 $ | '3 —1 dj：,
2 2 2 X 2 2 x
同理1 丄dz 9・••，丄$ s+i ]
,相加得
—d.x
33 J 3 x n n X
'卄1 1
1 + +------------$ —d1
于是 W=W] +W2 =7ipg 2 (1 —j/2)(l + j/)dj/ + Ttpg (1 — y2 ) (2 一 y )dy
3胡］17)d「討汁吟
方法点评：定积分的物理应用是数学一、数学二考查的内容，需要熟练掌握元素法的思想.
1
(21)【解】 显然 | djr | /(jr a 9
o
dz [ yf^y ,y)dy =[
I =^yfxy (g ,y)cLr dy =
D 0 Jo J (0 J 0
由[闷[冗(広，y)] =”;(2 ) [f：C，夕)dy = f ,1) — [ ,y)dy 得
J 0 Io Jo J 0
I = x f ? l)djr 一 dr /'[(■z ,y)dy ,
J 0 0 J 0
由工f ：〈工,l)dz = x d[/(jr ,1)] = 0 得
J 0 o
I =一 J x djr [ (j? ^y)dy
~ \ dy\ q)cLz =— dy | x d[/(jr ,_y)],
o Jo0 Jo JJ 00 J(0
再由 jrd/(jr
)I o — jQ/(^ ,^)dz = /(l,3/)— I 1/(jc ,j/)dz
=—f
/'Cz，3/)dz 得
J 0 J 0 J 0
fl
1 1
| /(z )(Lz = \ dx \ f(x ,y)dy a・
0 0 0
方法点评：本题主要考查二重积分转化为累次积分及改变累次积分的积分次序，抽象
函数的定积分的分部积分法.
• 110 •
淘宝店铺：光速考研工作室1 0 1
(22)［解】(1)方法一 口1卫2，化为三个三维向量，因为| a1,a2,a3 1= 0 1 3=1工0,
1 1 5
所以aj ,a2 ,a3线性无关.因为你，02，03 一定可由a! ,a2 ,a3线性表示，而ax,a2 ,口3不能
由01，02，03线性表不，所以P1 ,02,03的秩小于a 1 ,a2 ,a3的秩,
1 1 3 1 1 3
从而 1 01902 903、= 1 2 4 = 0 1 1 =a — 5=0,故 a = 5.
13a 0 2 a — 3
方法二 01 ,02,卩3,=1,2,3)为四个三维向量，则卩I ,02，03,a,G =1,2,3) 一定线
性相关.
若01 ,02,03线性无关，而件,02,03,a,(=1,2,3)线性相关，则a, G =1,2,3)可由向量
组01，02，03线性表示，矛盾，于是| 01，02，03 1 = 0.
1 1 3
由 I ，“2 ,03 丨=1 2 4 —a —5=0,得 a=5.
13a
(II )将矩阵(5皿2 ,。3 ,01 ,02，“3)进行初等行变换得
/I 0 1 1 1 3、 I1 0 0 2 1 5
(a 1 ct23 90i 902 903)= 1 3 1 2 4 1 0 4 2 10
4 3 5/ 'o
1 5 1 0 1 -1 0 -2
趴二=2ai + 4a2 -- a 3 9
于是 P ==a i + 2 + 0a 3 9
、03 ==5ai + 10a 2 —2a3 •
方法点评：本题使用向量组的如下性质：
(1) 若一个向量组的向量个数大于向量的维数，则该向量组一定线性相关；
(2) 若一个向量组的个数与维数相等，则该向量组线性相关的充分必要条件是该向量
组构成的行列式为零；
(3) 若向量组A可由向量组E线性表示，但向量组E不可由向量组A线性表示，则向量
组A的秩小于向量组B的秩.
(23)【解】(I )由r(A) =2 < 3,得|A | = 0,于是入1 = 0为A的一个特征值.
1
又由已知条件得A 0 ，根据特征值与特征向量的定义得:
—1
'1
入2 = — 1为A的特征值，其对应的特征向量为g 2 0
1
入3 = 1为A的特征值，其对应的特征向量为§3 = (o
・ 111 .
淘宝店铺：光速考研工作室工1
令=卜2 |为入1 =0对应的一个特征向量，由实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正
'攵3 /
2 0, x ； 一 x 3 = 0,
交得 即 基础解系为L = 1 ，即S 1为入1 =0对应的一个
0, X ! + X 3 = 0 ,
•o'
特征向量.
故A的特征值为小=0,入 —1,入3=1，其对应的所有特征向量为C,^1,C^2,C3^3(C1,
2 =
c2,c3为全不为零的任意常数).
/° 1 /0 0 0\
(H)方法一 令 P =(§1，§2'§3) 0 ,由 P AP = 0 -1 0 ，得
]/
'0 -1 0 1'
0 0 °\ /° 0
A =P 0 -1 0 P 1 _ (, 0 0 •
J
h
'0 0 0
方法二 由 A(§1 ,§2，§3)= (Ag 1 ,A§2 ,A§3)=(()，— §2，§3)，得
0 - 1 1 0 1 0 0 1\
0 0 0 1 0 0 0 0 0 .
0 1 1 0 - 1 1 1 0 0
方法点评：本题注重考查特征值与特征向量的定义，很多考生忽视了定义而不知道本
题所给已知条件如何解读.事实上求特征值常用方法有：
(1) 公式法，即由|入E — A 1 = 0求出特征值；
(2) 定义法，即令AX =AX,根据矩阵的关系式，求出矩阵A的特征值；
(3) 关联矩阵法，即找矩阵使得P XAP= 即A〜B,从而| AE-A |= | AE-B | ,
于是求出A的特征值.
求特征向量的常用方法有：
(1) 设入。为A的特征值，则属于入。的特征向量为(A0E-A)X= 0的非零解；
(2) 定义法，满足AX =A0X的非零X即为心对应的特征向量；
(3) 利用矩阵关系求特征向量，如A~la =Aoa ,则a为A的属于特征值丄的特征向量.
• 112 •
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