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第 10 节 利用导数研究函数的单调性
基础知识要夯实
1.函数的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
(1)若f′(x)>0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数；
(2)若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递减函数；
(3)若恒有f′(x)＝0，则f(x)在区间(a，b)内是常数函数．
讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原
则.
2.常用结论汇总——规律多一点
(1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且
f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
核心素养要做实
【例1】已知函数f(x)＝ln x＋ － (a∈R且a≠0)，讨论函数f(x)的单调性．
【方法技巧】讨论函数f(x)单调性的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；
(3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论 f′(x)的正负，由
符号确定f(x)在该区间上的单调性．
[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
【跟踪训练】
1．函数f(x)＝ex－ 在定义域内为________函数(填“增”或“减”)．
2．已知函数f(x)＝aln x＋x2(a∈R且a≠0)，讨论函数f(x)的单调性．
【例2】(2022·湘东五校联考节选)已知函数f(x)＝(ln x－k－1)x(k∈R)．当x>1时，求f(x)的单调区
间．
【方法技巧】利用导数求函数单调区间的方法
(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间．
(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各
区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据 f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，
从而确定单调区间．
【提醒】若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用
“，”“和”字隔开．
【跟踪训练】
1．若幂函数f(x)的图象过点 ，则函数g(x)＝exf(x)的单调递减区间为( )
A．(－∞，0) B．(－∞，－2)
C．(－2，－1) D．(－2,0)
2．已知函数f(x)＝ －ln x－ ，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直
线y＝ x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
【例3】设函数f(x)＝ x3－ x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(1)求b，c的值；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
【变式训练】
1.本例(2)变为：若g(x)在(－2，－1)内为减函数，其他条件不变，求实数a的取值范围．
2.本例(2)变为：若g(x)的单调递减区间为(－2，－1)，其他条件不变，求实数a的值．
3.本例(2)变为：若g(x)在(－2，－1)内不单调，其他条件不变，求实数a的取值范围．
[解题技法]由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)由可导函数f(x)在D上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)对
x∈D恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”是否取到．
(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，
这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题．
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调
区间的子集，从而可求出参数的取值范围．
达标检测要扎实
一、单选题
1．已知函数 ，当 时，不等式 恒成立，则k的取值范围是（ ）A． B． C． D．
2．若函数 在点 处的切线方程为 ，则函数 的增区间为
（ ）
A． B． C． D．
3．设函数 是偶函数 （ ）的导函数， ，当 时， ，
则使得 成立的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数 ，记 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
5．如图是函数 的导数 的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在 内 是增函数 B．在 内 是增函数
C．在 时 取得极大值 D．在 时 取得极小值
6．若函数 的所有零点之和为0，则实数a的取值范围为（ ）A． B． C． D．
7．已知函数 的图像如图所示，则此函数可能是( )
A． B．
C． D．
8．函数 的减区间是（ ）
A． B． C． D．
9．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C．(1，4) D．(0，3)
10．函数 的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
11．定义在 上的函数 其导函数 恒成立，且 ，则不等式 的解集
为（ ）
A． B． C． D．
12．函数 的递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知函数 是定义在 的奇函数，当 时， ，则不等
式 的解集为___________.
14．已知可导函数 的定义域为 ，满足 ，且 ，则不等式
的解集是________．
15．若过定点 恰好可作曲线 的两条切线，则实数a的取值范围是__________．
16．函数 （e为自然对数的底数）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值之和等
于___.
三、解答题17．已知函数 .
（1）讨论 的极值情况；
（2）若 时， ，求证： .
18．已知函数 ， ．
（1）证明：若 ，则函数 在R上是增函数；
（2）证明：若 ， ，则函数 在 处取得极小值．
19．已知函数f(x)＝x+alnx+1．
（1）求函数f(x)的单调区间和极值；
（2）若f(x)在[1，e]上的最小值为－a+1，求实数a的值．
20．已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）讨论函数 的单调性．
21．已知函数 ．
（1）求证：在区间 上，函数 的图象恒在函数 的图象的下方;
（2）若存在 ， ，使 成立，求满足上述条件的最大整数m．
22．已知函数 ， .
（1）求函数 的增区间；
（2）设 ， 是函数 的两个极值点，且 ，求证： .
