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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 10 练 指数与指数函数（精练）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·全国·学军中学校联考二模）已知集合 或x≤−2}，则
（ ）
A． 或 B． 或x≤−2}
C． 或 D．
【答案】B
【分析】解法一：根据题意求集合M，进而根据交集运算求解；解法二：取特值检验排除.
【详解】解法一：由题可得 或 或x≤−2}，
所以 或x≤−2}.
故选：B.
解法二：由题可得 ，所以 ，故排除A、D；
又 且 ，所以 ，故排除C.
故选：B.
2．（2023·北京朝阳·高三专题练习）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合指数函数的单调性即可得出答案.
【详解】因为指数函数 单调递增，
由 可得： ，充分性成立，
当 时， ，但不一定 ，必要性不成立，
故选：A
3．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）为了预防某种病毒，某学校需要通过喷洒药物对教室进行全面消毒．出于对学生身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方
米时，学生方可进入教室．已知从喷洒药物开始，教室内部的药物浓度y（毫克/立方米）与时间t（分钟）
之间的函数关系为 ，函数的图像如图所示．如果早上7：30就有学生进入教室，那么开
始喷洒药物的时间最迟是（ ）
A．7：00 B．6：40 C．6：30 D．6：00
【答案】A
【分析】函数的图像过点 ，代入函数的解析式求得未知系数a，解函数不等式即可.
【详解】根据函数的图像，可得函数的图像过点 ，
由函数图像连续，代入函数的解析式，可得 ，解得 ，
所以 ，
令 ，可得 或 ，
解得 或 ．
所以如果7：30学生进入教室，那么开始喷洒药物的时间最迟是7：00．
故选：A．
4．（2023·陕西商洛·统考二模）函数 的部分图象大致是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】奇偶性定义判断函数奇偶性，结合 上函数符号，应用排除法即可得答案.
【详解】因为 ，所以 且定义域为R，
所以 是奇函数，则 的图象关于原点对称，排除A、B.
当 时， ，排除D.
故选：C
5．（2023秋·吉林辽源·高三校联考期末）已知函数 ，若 ，则实数a
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ，研究函数 的单调性与奇偶性，利用函数性质解不等式.
【详解】令 ，定义域为 ，且 ，
所以函数 为定义域内的奇函数，且在 上单调递增；
则 ，则 ，即 ，即 ，
又因为 为定义域内的奇函数，所以 ，
又因为 在 上单调递增，所以 ，解得 或 ，
故实数a的取值范围是 .
故选：C
6．（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称取整函
数，例如： ， 已知 则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分离常数得 ，进而求得 ，从而可得答案.
【详解】
， ， ， ，
当
当 .
故选:D
二、多选题
7．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）若 ，其中 为自然对数的底数，
则下列命题正确的是（ ）
A． 在 上单调递增 B． 在 上单调递减
C． 的图象关于直线 对称 D． 的图象关于点 中心对称
【答案】BC
【分析】根据复合函数的单调性判断A、B，根据奇偶性的定义判断函数为偶函数，即可判断C、D.
【详解】因为 在 上单调递减，在 上单调递增， 在定义域 上单调递增，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，故A错误，B正确；
又 ，所以 为偶函数，函数图象关于 轴对称，即关于直线
对称，故C正确，D错误；
故选：BC
8．（2023春·云南昭通·高三校考阶段练习）已知函数 ，下列说法中正确的是（ ）
A． 不是周期函数 B． 在(0， )上是单调递增函数
C． 在(0， )内有且只有一个零点 D． 关于点( ，0)对称
【答案】BCD
【分析】根据周期函数的定义、指数函数、正弦函数、余弦函数的单调性，结合零点定义和点对称的性质
逐一判断即可.
【详解】∵ ，∴ 是周期函数，A错误；
当x∈(0， )时，sinx是增函数，cosx是减函数，∴ 是增函数， 是减函数， 是增函数，∴
是增函数，B对；
由 得sinx=cosx，因为 ，所以有 ，C对；
∵ ，
∴ 关于点( ，0)对称，D对，
故选：BCD.
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习） ________.
【答案】19
【分析】根据指数幂的运算性质即可求解.【详解】
.
故答案为：19
10．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则 ______.
【答案】4
【分析】根据函数的奇偶性，结合代入法进行求解即可.
【详解】设 ， 为偶函数，
所以 .
故答案为：
11．（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域为________.
【答案】
【分析】根据二次函数的图像性质和指数函数的性质求解.
【详解】因为函数 的对称轴为 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为: .
12．（2023·全国·高三专题练习）写出一个同时满足下列三个性质的函数 __________．
①若 ，则 ；② ；③ 在 上单调递减．【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据函数的三个性质，列出符合条件的函数即可.
【详解】比如 ， ，故 ，又
，也即 成立，
又 在 上单调递减．
故答案为： .
13．（2023春·河南郑州·高三校考阶段练习）已知函数 ，若实数a， 满足
且 ，则 ___________.
【答案】
【分析】根据指数式的运算和指数函数函数值的运算求解.
【详解】 ,
由 ，可得
所以 ①，
因为 ，
所以 ，
解得 ②，
联立①②解得
，
故答案为: .14．（2023·全国·高三练习）若关于 的方程 有实根，则实数 的取值范围为______．
【答案】
【分析】方程 有实根可转化为 在 上有解，根据 的范围求解
的取值范围即可.
【详解】方程 有实根，
所以 有实根，
令 ，因为 ，所以 ，
所以 在 上有解，
又因为当 时 ，
所以 ，
故答案为：
四、解答题
15．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， ，若 ，求：
（1）实数m的取值范围；
（2）函数 定义域.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）根据数量积的坐标表示，求解不等式即可得出答案；
（2）根据（1）中m的取值范围，再运用指数函数的单调性求解定义域即可.
【详解】（1）由题意得， ，，即m的取值范围为 ；
（2）由题意知 ，即 ，
由（1）知 ，根据指数函数的单调性得： ，解得 或 ，
所以函数 的定义域为 .
16．（2023·全国·高三专题练习）已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，求实
数a的取值范围．
【答案】
【分析】讨论01，作出函数y＝|a－2|与y＝3a的图象，由数形结合即可求解.
【详解】①当01时，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|a－2|与y＝3a的图象如图2．
若直线y＝3a与函数y＝|a－2|(a>1)的图象有两个交点，
则由图象可知0<3a<2，此时无解．
所以实数a的取值范围是 ．【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·甘肃武威·统考三模）函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】 ，排除BC，当 时， ，当 时， ，A不满足，排除，得到答案.
【详解】 ，排除BC；当 时， ，当 时， ，A不满足，排除.
故选：D
2．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）设函数 在定义域 上满足 ，若 在 上
是减函数，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据题意可得函数 在定义域 上奇函数，进而可得 在 上是减函数，根据题意结合
单调性解不等式即可.
【详解】∵ ，即 ，
故函数 在定义域 上奇函数，
若 在 上是减函数，则 在 上是减函数，
∵ ，且 ，
若 ，则 ，解得 ，
故不等式 的解集为 .
故选：A.
3．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）已知 ， ， ，则下列结论
正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作商与1比较进而比较指数幂的大小, 再构造函数 ，根据单调性比较函数值大小即
可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
因为 ,
令设 ，令 ，可得 ，且 时， ，所以 ，即 ，可得 ，即
所以
故选:
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ， 是偶函数， 是奇
函数，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数 的解析式，再利用基本不等式可求得 的最小值.
【详解】因为函数 为偶函数，则 ，即 ，①
又因为函数 为奇函数，则 ，即 ，②
联立①②可得 ，
由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故函数 的最小值为 .
故选：B.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， 则实数a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＞a＞b B．a＞b＞c
C．a＞c＞b D．c＞b＞a
【答案】A
【分析】先利用作商法比较a，b的大小，再借助中间值“0.5”得到 ，得到a＜c，即可得到结果．【详解】易知 ，
所以 ，
因为
由 得
所以 ，所以a＜c．
所以实数a，b，c的大小关系为c＞a＞b．
故选：A．
6．（2023·贵州·统考模拟预测）若函数 的最小值为 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据x的范围分类讨论去掉 的绝对值符号，再根据二次函数的性质和f(x)的最小值即可求
出关于a的方程 ，令 ，根据g(a)的单调性即可求出a的范围．
【详解】当 时， ，
当 时， ，
∵ ，
∴ 的最小值为 ，∴ ，即 ，
设 ，则 是R上的增函数，∵ ， ，
∴ ．
故选：C．
二、多选题
7．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，方程 有两个解
【答案】AC
【分析】结合 在定义域内单调性，判断A；利用导数判断函数 在 单调性，由此判断
B；判断函数 ，在 上的单调性，由此判断C；，举反例判断D.
【详解】 在定义域内单调递增，
所以当 时， ，
即当 时， ，
所以 ，故A正确；
当 时，要证明 ，
只需证明 ，
故考虑构造函数 ，则 ，
当 时， ，函数 在 单调递增，所以当 时， ，即 ，所以B错误；
设 ，则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，即 ，C正确；
取 可得，方程 等价于 ，解得 ，
即 时，方程 只有一个解，D错误.
故选：AC.
8．（2023·全国·模拟预测）已知 ， 为 导函数， ， ，则下列说法正确的
是（ ）
A． 为偶函数 B．当 且 时， 恒成立
C． 的值域为 D． 与曲线 无交点
【答案】AD
【分析】对A，由偶函数定义判断；对B，结合指数函数的非负性，判断存在 即可；对C，化简
，求指数函数复合型函数的值域即可.对D，联立两曲线，判断方程的解即可.
【详解】对A， ， ，∴ 为偶函数，A对；
对B， ，因为 ，所以当 ， ，B错；
对C，由 可得 ，
∵ ，∴ ，∴ ，C错；
对D，由 ，方程无解，∴ 与曲线 无交点，D对.
故选：AD
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 所过的定点在一次函数
的图像上，则 的最小值为__________.
【答案】
【分析】由指数函数性质与基本不等式求解，
【详解】令 得 ，
由题意得 过的定点为 ，则 ，
，
当且仅当 即 时等号成立，
故 的最小值为 ，
故答案为：
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ( 且 )在区间 上是减函数，则实数 的取
值范围是________．
【答案】
【分析】令 ，则 ，则由题意可得 在区间 上为减函数， 为增函数，则 ，所以得 对任意的 恒成立，从而可得 ，进而可求出结果.
【详解】令 ，则 ，
由于 且 ，内层函数 在区间 上为减函数，
所以外层函数 为增函数，所以 ．
由题意可知，不等式 对任意的 恒成立，
所以 ，解得 ．
综上所述，实数 的取值范围是 ．
故答案为：
11．（2023·北京朝阳·高三专题练习）若函数 的值域为 ，则实数 的一个取值可以为
___________.
【答案】1
【分析】考察函数 的图像，
就是先把 向上或向下平移 个单位（取决于 的符号），
如果图像存在小于零的部分，则再把小于零的部分以x轴为对称轴翻折上去，
最后再把整个图像向下平移一个单位.
【详解】如果 ， ，其值域为 ，
，不符合题意；
如果 ，当 时， ，
就是把函数 的部分 以x轴为对称轴翻折上去，
∴此时 的最小值为0， 的最小值为-1，值域为 ，
所以 ，不妨取 ；
故答案为：1.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在R上的奇函数，若不等式对任意的 恒成立，则实数m的取值范围是__________．
【答案】
【分析】利用函数的奇偶性和单调性可得不等式 在 恒成立，换元法讨论函数在给
定区间的单调性和最值，结合分类讨论即可求 的范围.
【详解】因为函数 是定义在R上的奇函数，
所以 解得 ，
此时 ，
函数为奇函数，满足题意，
所以 ，
因为 在R上单调递增，所以 在R上单调递减，
所以 在R上单调递增，
所以由 可得，
即 ，
所以 即 在 恒成立，
令 ，即 ，
当 时， ，
不等式可化为 ，
令 ， 单调递减，所以 ，
所以 ；
当 时， ，不等式 显然成立；
当 时， ，
不等式可化为 ，
令 ， 单调递减，
所以 ，所以 ；综上， ,故答案为: .
四、解答题
13．（2023·全国·高三专题练习）设定义在 上的偶函数 和奇函数 满足 （其中
），且 .
(1)求函数 和 的解析式；
(2)若 的最小值为 ，求实数 的值.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】(1)由已知可得 ，结合奇函数和偶函数的性质变形求解即可；
(2)令 ，函数 可化为关于 的函数，结合二次函数性质求其最小值，列方程求 的值.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为函数 为偶函数，函数 为奇函数，所以 ，
即 ，
所以 ， ，
又 ， ，所以 或 (舍)，从而 ， .
（2）因为 ， ， ，
所以 ，
令 ，则 ：
所以 ，
因为 ，当且仅当 时取等号， ，
所以 ，所以 .
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023·浙江温州·统考三模）已知函数 ，存在实数 使得
成立，若正整数 的最大值为6，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分类讨论 的值域，然后根据值域端点的倍数关系可解.
【详解】记
因为 ，所以 ，所以
当 时， ，所以
显然存在任意正整数 ，使得 成立；
当 时， ，所以要使正整数 的最大值为6，则 ，解得 ；
当 时， ，所以
显然存在任意正整数 ，使得 成立；
当 时， ，所以
要使正整数 的最大值为6，则 ，解得
综上， 的取值范围为
故选：C
2．（2023·北京朝阳·二模）已知函数 是 上的奇函数，当 时， .若关于x的方程
有且仅有两个不相等的实数解则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用奇函数性质求分段函数解析式，根据指数函数性质画出 函数图象，数形结合判断不同值
域范围的函数值对应自变量的个数，再由 有两个解，对应 的解的个数确定 范围，进而求
m的范围.
【详解】由题设 ，若 ，则 ，
所以 ，值域为R，函数图象如下：当 时，只有一个 与之对应；
当 时，有两个对应自变量，
记为 ，则 ；
当 时，有三个对应自变量且 ；
当 时，有两个对应自变量，
记为 ，则 ；
当 时，有一个 与之对应；
令 ，则 ，要使 有且仅有两个不相等的实数解，
若 有三个解，则 ，此时 有5个解，不满足；
若 有两个解 且 ，此时 和 各有一个解，
结合图象知，不存在这样的 ，故不存在对应的m；
若 有一个解 ，则 有两个解，此时 ，
所以对应的 ，
综上， .故选：C.
二、多选题
3．（2023·全国·高三专题练习）函数 的定义域为 ，值域为 ，下列结论中一定成
立的结论的序号是（ ）A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】先研究值域为 时函数的定义域，再研究使得值域为 得函数的最小值的自变量的取值集合，
研究函数值取1，2时对应的自变量的取值，由此可判断各个选项.
【详解】由于 ，
， ， ， ，
即函数 的定义域为
当函数的最小值为1时，仅有 满足，所以 ，故D正确；
当函数的最大值为2时，仅有 满足，所以 ，故C正确；
即当 时，函数的值域为 ，故 ，故 不一定正确，故A正确，B错误；
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题考查函数的定义域及其求法，解题的关键是通过函数的值域求出函数的定义域，
再利用元素与集合关系的判断，集合的包含关系判断，考查了学生的逻辑推理与转化能力，属于基础题.
三、填空题
4．（2023·北京东城·统考二模）定义在区间 上的函数 的图象是一条连续不断的曲线， 在区
间 上单调递增，在区间 上单调递减， 给出下列四个结论：
①若 为递增数列，则 存在最大值；
②若 为递增数列，则 存在最小值；
③若 ，且 存在最小值，则 存在最小值；
④若 ，且 存在最大值，则 存在最大值.
其中所有错误结论的序号有_______．
【答案】①③④
【分析】结合函数的单调性判断最值，即可判断①②，利用取反例，判断③④.
【详解】①由条件可知，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，那么在区间 ，函数的最大值是 ，若数列 为递增数列，则函数 不
存在最大值，故①错误；
②由条件可知，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，若 为递
增数列，那么在区间 的最小值是 ，且 为递增数列，所以函数 在区间
的最小值是 ，故②正确；
③若 ，取 , ,
则 ，存在最小值，但此时 的最小值是 的最小值，函数单调递减，
无最小值，故③错误；
④若 ，取 ，则 恒成立，
则 有最大值，但 的最大值是 的最大值，函数单调递增，无最大值，
故④错误.
故答案为：①③④
5．（2023·全国·模拟预测）已知 ，若存在 ，使得 ，则
的取值范围为___________.
【答案】
【分析】先讨论 、 与1的大小关系确定 、 ，进而确定 的取值范围，再结合函数的单调
性进行求解.
【详解】①当 时，则 ， ，又由 ，得 ，
所以 ，则 ；
②当 时，因为 ， ，
所以不存在 ，使得 ；
③当 时，则 ， ，
又由 ，得 ，
则 ， ，
令 ，则 在 上单调递增，
所以 ，则 ；
综上所述， 的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题
6．（2023·全国·高三专题练习）定义：若对定义域内任意x，都有 （a为正常数），则称
函数 为“a距”增函数．
（1）若 ， (0， )，试判断 是否为“1距”增函数，并说明理由；
（2）若 ， R是“a距”增函数，求a的取值范围；
（3）若 ， (﹣1， )，其中k R，且为“2距”增函数，求 的最小值．
【答案】（1）见解析； （2） ； （3） .【分析】（1）利用“1距”增函数的定义证明 即可；（2）由“a距”增函数的定义得
到 在 上恒成立，求出a的取值范围即可；（3）由 为“2
距”增函数可得到 在 恒成立，从而得到 恒成立，分
类讨论可得到 的取值范围，再由 ，可讨论出 的最小值．
【详解】（1）任意 , ,
因为 , , 所以 ，所以 ，即 是“1距”增函数．
（2） .
因为 是“ 距”增函数，所以 恒成立，
因为 ,所以 在 上恒成立，
所以 ，解得 ，因为 ,所以 .
（3）因为 ， ，且为“2距”增函数，
所以 时， 恒成立，
即 时， 恒成立，
所以 ，
当 时， ，即 恒成立，
所以 , 得 ;
当 时， ，得 恒成立，
所以 ,得 ,
综上所述，得 .
又 ，
因为 ,所以 ，
当 时，若 ， 取最小值为 ；
当 时，若 ， 取最小值.
因为 在R上是单调递增函数，
所以当 ， 的最小值为 ；当 时 的最小值为 ，
即 .
【点睛】本题考查了函数的综合知识，考查了函数的单调性与最值，考查了恒成立问题，考查了分类讨论
思想的运用，属于中档题．
