文档内容
第 03 讲 平面向量基本定理及其拓展
（“爪子定理”）（高阶拓展）
（3 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2023年全国乙卷文数，第6 数量积的运算律
用基底表示向量
题,5分 数量积的坐标表示
2022年新I卷，第3题,5分 用基底表示向量 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1.理解平面向量基本定理及其意义
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示
3.掌握基底的概念及灵活表示未知向量
4.会综合应用平面向量基本定理求解
【命题预测】本节一般考查平面向量数量积基本定理的基底表示向量、在平面几何图形中的应用问题，易
理解，易得分，需重点复习。
知识讲解1.平面向量基本定理
如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一
1 2
对实数λ ，λ ，使a＝λ e ＋λ e .
1 2 1 1 2 2
其中，不共线的向量e ，e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
1 2
（1）．基底e ，e 必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
1 2
（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
应用平面向量基本定理应注意的问题
(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．
(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、
减运算或数乘运算.
3. 形如 条件的应用（“爪子定理”）
“爪”字型图及性质：
A
（1）已知 为不共线的两个向量，则对于向量 ，必存在 ，使得
。则 三点共线
B D C
当 ，则 与 位于 同侧，且 位于 与 之间
当 ，则 与 位于 两侧
时，当 ，则 在线段 上；当 ，则 在线段 延长线
A
上
（2）已知 在线段 上，且 ，则
B m D n C
3、 中 确定方法
（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定
（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程 ，可考虑两边对同一向量作数
量积运算，从而得到关于 的方程，再进行求解
（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于 的方
程，再进行求解
考点一、 基底的概念及辨析1．（2024高三·全国·专题练习）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】不共线的非零向量可以作为向量的基底.
【详解】因为 与 不共线，其余选项中 、 均共线，所以B选项中的两向量可以作为
基底．
故选：B
【点睛】本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题.
2．（2024高三·全国·专题练习）如果 是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作
为平面内所有向量的一组基底的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】D
【分析】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案.
【详解】选项A中，设 ，无解，则两向量不共线；
选项B中，设 ，则 ，无解，则两向量不共线；
选项C中，设 ，则 ，无解，则两向量不共线；
选项D中， ，所以两向量是共线向量．
故选:D.
【点睛】本题考查了基底的涵义，考查了两向量是否共线的判定.本题的关键是判断两向量是否共线.
3．（2023高三·福建·阶段练习）下列向量组中，可以用来表示该平面内的任意一个向量的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】根据平面向量基本定理可知，表示平面内的任意向量的两个向量不能共线，结合选项，即可判断.
【详解】表示平面内的任意一个向量的两个向量不能共线，A.向量 是零向量，所以不能表示平面内的任意向量，故A错误；
B. ，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故B错误；
C. ，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故C错误；
D.不存在实数 ，使 ，所以向量 不共线，所以可以表示平面内的任意向量，故D正确.
故选：D
1．（2023·陕西西安·一模）设 ，下列向量中，可与向量 组成基底的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据构成基地向量的条件不共线的两个非零向量解决.
【详解】对于AB项，若 时， ， 不满足构成基向量的条件，所以AB都错误；
对于D项，若 时， 不满足构成基向量的条件，所以D错误；
对于C项，因为 ，又因为 恒成立，说明 与 不共线，复合构
成基向量的条件，所以C正确.
故选：C
2．（2023高三·全国·专题练习）设 为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是
（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【答案】C
【分析】根据基底的概念确定正确答案.
【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，
C选项中， ，即 和 为共线向量，
所以它们不能作为基底.
其它选项中的两个向量都没有倍数关系，所以可以作为基底.
故选：C考点二、 平面向量的基本定理综合
1．（2022·全国·高考真题）在 中，点D在边AB上， ．记 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上， ，所以 ，即 ，
所以 ．
故选：B．
2．（全国·高考真题）在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 ，之后应用向
量的加法运算法则-------三角形法则，得到 ，之后将其合并，得到 ，下一步
应用相反向量，求得 ，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以 ，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加
法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.3．（2024·陕西安康·模拟预测）在 中， 是 的中点， 与 相交于点 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算、三点共线等知识列方程组，由此求得正确答案.
【详解】设 ，由 是 的中点，得 ，
由 ，得 ，
所以 ，且 ，
由 与 相交于点 可知，点 在线段 上，也在线段 上，
由三点共线的条件可得 ，解得 ，所以 .
故选：B
1．（广东·高考真题）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与
CD交于点F，若 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面几何知识求解
【详解】如图，可知= ，选B.
【点睛】本题考查向量的运算及其几何意义，同时要注意利用平面几何知识的应用，
2．（2024·山西吕梁·三模）已知等边 的边长为1，点 分别为 的中点，若 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】取 为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可.
【详解】在 中，取 为基底，
则 ，
因为点 分别为 的中点， ,
所以 ，
所以 .
故选：B.
3．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）在 中，点 是 的中点， 点分 的比为
与 相交于 ，设 ，则向量 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三点共线性质以及平面向量基本定理解方程组即可得解.
【详解】
由题意 三点共线，所以存在 ，使得 ，
同理 三点共线，所以存在 ，使得 ，
由平面向量基本定理可得 ，解得 ，
所以 .
故选：C.
考点三、 “爪子定理”的综合 应用
1．（全国·高考真题）设 为 所在平面内一点，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：AA
B C D
解析：由图可想到“爪字形图得： ，解得：
2. 如图，在 中， ， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为（
）
A. B. C. D.
解：观察到 三点共线，利用“爪”字型图，可得
，且 ，由 可得 ，
所以 ，由已知 可得： ，所以
答案：C
3. 如图，在 中， ， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为（
）
A. B. C. D.
解：观察到 三点共线，利用“爪”字型图，可得，且 ，由 可得 ，
所以 ，由已知 可得： ，所以
答案：C
1．（2024·云南昆明·一模）在 中，点 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的加减法则，根据向量定比分点代入化简即可得出结果.
【详解】如下图所示：
易知 ；
即可得 .
故选：C
2．（2024·广东广州·一模）已知在 中，点 在边 上，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算即可.
【详解】在 中， ，又点 在边 上，且 ，则 ，
故选：A.
3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，在 中，点 在 的延长线上，
，如果 ，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】用向量的线性运算把向量 分解成 形式即可得答案.
【详解】∵ ，
∴ ，
故选：B．
4．（2023·江苏苏州·模拟预测）（多选）在 中，记 ， ，点 在直线 上，且
.若 ，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】BC
【分析】分点内分与外分线段 讨论，再由向量的线性运算求解即可.
【详解】当 点在线段 上时，如图，，
所以 ，
当 点在线段 的延长线上时，如图，
，
则 ，
故选：BC.
1．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量 、 ，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底
的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和【答案】C
【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可.
【详解】对A：不存在实数 ，使得 ，
故 和 不共线，可作基底；
对B：不存在实数 ，使得 ，
故 和 不共线，可作基底；
对C：对 和 ，因为 是不共线的两个非零向量，
且存在实数 ，使得 ，
故 和 共线，不可作基底；
对D：不存在实数 ，使得 ，故 和 不共线，可作基底.
故选：C.
2．（2024·浙江绍兴·二模）已知四边形 是平行四边形， ， ，记 ， ，
则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算求解即得.
【详解】在 中， ， ， ， ，
所以 .
故选：A
3．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形 中， ，记 ，则
（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】由向量的线性运算，用 表示
【详解】因为 ，则有 ，
所以 .
故选：B．
4．（2024·山东济南·二模）在 中， 为边 的中点， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得解.
【详解】因为 为边 的中点， ，
所以 .
故选：D.
5．（2024·全国·模拟预测）已知等边三角形 的边长为2， 为 的中心， ，垂足为 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 并延长，交 于点 ，根据 为 的中心，易得 为 的中点，E为 的中点，利用平面向量的线性运算求解.
【详解】解：如图所示：
连接 并延长，交 于点 ，
因为 为 的中心，
所以 为 的中点．
又 为 的中点，
，
，
故选：B．
6．（2024·陕西安康·模拟预测）在梯形 中， 为线段 的中点， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先用向量和三角形减法法则得 ，再对它们进行线性运算转化为 ，
此时继续找到 ，从而可得结果.
【详解】
由图可得： ，由 为线段 的中点可得，
，再由 可得，
，又因为 ，代入得：
，
故选：A.
7．（2024·四川·模拟预测）已知平行四边形 中， 为 中点. 为线段 上靠近点 的四等分点，
设 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的线性运算可得答案.
【详解】如图所示，由题意可得 ，
而 ，
故选：C.
8．（2024·黑龙江·模拟预测）已知在梯形 中， 且满足 ，E为 中点，F为线段
上靠近点B的三等分点，设 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】如图所示，
由题意可得 ，
而 .
故选：C．9．（2024·广东汕头·三模）已知四边形 是平行四边形， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用向量的加法，结合共线向量求解即得.
【详解】在 中，由 ， ，
得 .
故选：A
10．（2024·广东佛山·模拟预测）在 中， ，若 ，线段 与
交于点 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据中线性质得出 ，再由平面向量线性运算即可求得结果.
【详解】如下图所示：
由 可得 分别为 的中点，
由中线性质可得 ，
又 ，所以 ，
因此 .
故选：B一、单选题
1．（2024·福建漳州·模拟预测）在 中， 是边 上一点，且 是 的中点，记
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量的线性运算法则进行运算即可.
【详解】
，
故选：D．
2．（2024·辽宁·二模）已知平行四边形ABCD，点P在 的内部（不含边界），则下列选项中，
可能的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，设 ，结合平面向量的基本定理，逐项判定，即可求解.
【详解】设 ，由平面向量的基本定理，可得：
当 时，此时点P在直线BD上；
当 时，此时点P在点A和直线BD之间；
当 时，此时点P在点C和直线BD之间；
当 时，此时点P在过点C且与直线BD平行的直线上，
对于A中，由向量 ，满足 ，所以点 在 内部，所以A错误；对于B中，由 ，满足 ，所以点 在 上，所以B错误；
对于C中，由 ，满足 ，所以点 可能在 内部，所以C正确；
对于D中，由 ，满足 ，此时点P在过点C且与直线BD平行的直线上，所以D
错误.
故选：C.
3．（2023·湖南·一模）在 中，点 满足 为 重心，设 ，则 可
表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算、三角形的重心等知识求得正确答案.
【详解】 .
.
故选：C
4．（22-23高三上·全国·阶段练习）在平行四边形 中， ， ，若
，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】D
【分析】根据向量的加减运算及数乘运算可得 ，从而得解.
【详解】 ，
，
，，
，
， ， ．
故选：D．
5．（2024·内蒙古包头·一模）如图，在菱形 中， ， ， 分别为 上的点，
， ．若线段 上存在一点 ，使得 ，则 等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以 为基底可表示出 ，由三点共线可构造方程求得 ，将所求数量积化为
，根据数量积的定义和运算律可求得结果.
【详解】
， ， ， ，
，
，
三点共线， ，解得： ， ，
.
故选：A.
6．（2024·河北衡水·模拟预测）在 中， 是 的中点，直线 分别与 交于点 ，
且 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量运算法则，利用 表示 ，结合向量三点共线的定理列式运算求解.
【详解】由 ，得 .
因为 共线，所以 ，解得 .
故选：B.
7．（2024·宁夏银川·模拟预测）在 中， ，过点 的直线分别交直线 、 于点 、 ，
且 ，其中 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意以 为基底表示出 ，再根据 三点共线，利用共线定理可得 ，
再由基本不等式即可求得 的最小值为 .
【详解】如下图所示：
因为 ，易知 ，
又 ，所以 ，
易知 三点共线，利用共线定理可得 ，
又 ， ，所以 ；
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：C
二、多选题
8．（2024·河北廊坊·模拟预测）如图，在矩形 中， 是 的中点， 是 上的一
点，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】利用向量加法法则运算判断AB，先用加法法则求得 ，再利用数量积的定义及运算
律求解判断CD.
【详解】 ，故A正确，B错误；
因为 ，
所以
，故C错误，D正确.
故选：AD.
三、填空题
9．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）如图，在 中， ，点 是 的中
点，点 在边 上， 交 于点 ，设 ，则 ；
点 是线段 上的一个动点，则 的最大值为 ．【答案】 /
【分析】利用平面向量的基本定理计算即可得空一，利用平面向量数量积的运算律计算即可得空二.
【详解】
设 ，
由题意可知 ， ，
则 ，
因为 不共线，所以有 ，
此时 ；
可设 ，
则 ，
当 重合时取得等号.
故答案为： ； .
10．（2024·天津·模拟预测）如图，在 中， ， ， ，D是边 上一点，
且 .若 ，记 ，则 ；若点P满足 与共线， ，则 的值为 .
【答案】 / 或
【分析】把 两边用 表示即可得解；利用共线向量建立 ， 之间的数乘关系，进
而结合第一空把 用 表示，利用垂直向量点积为零可得解．
【详解】 ，
∴ ，
∴ ，
则
，
又 ，∴ ，
所以 ；
∵ 与 共线，
∴可设 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴
= ，
= ，∴ = ，①
∵ ，
∴ ， ， ，②
把②代入①并整理得：
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 或 ，
故 的值为 或 ．
故答案为： ； 或 ．
1．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形 ，点 ， 分别是 ， 的中点（如图所示），设
， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】连结 ，则 为 的中位线，，
故选：A
2．（全国·高考真题）在 中， ， ．若点 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析： ，故选
A．
3．（·全国·高考真题）在 中， 是 边上一点.若 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的加法的法则，以及其几何意义，把 化为 ，和已知的条件作对比，求出
值．
【详解】解： ，
， ，
故选：A．
4．（全国·高考真题） 中，点 在 上， 平分 ．若 ， ， ， ，
则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图所示，由题设条件知∠1＝∠2，∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ( － )＝ b－ a，
∴ ＝ ＋ ＝a＋ b－ a＝ a＋ b.
5．（安徽·高考真题）在 中， ，M为BC的中点，则 _______．
（用 表示）
【答案】
【详解】解： ， ，所以
。
6．（北京·高考真题）在△ABC中，点M，N满足 ，若 ，则x＝
，y＝ .
【答案】
【详解】特殊化，不妨设 ，利用坐标法，以A为原点，AB为 轴， 为 轴，
建立直角坐标系， ， ，则
， .
考点：本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.
7．（江苏·高考真题）如图，在 中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点 .
若 ，则 的值是 .【答案】 .
【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.
【详解】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.
，
得 即 故 .
【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几
何法，利用数形结合和方程思想解题.
