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专题 2.19 函数模型及其应用-重难点题型精讲
1．实际问题中函数建模的基本步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型.
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.
(3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解.
(4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果
要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答.
2．一次函数模型的应用
一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0).
一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.
3．二次函数模型的应用
二次函数模型：f(x)= +bx+c(a,b,c为常数,a≠0).
二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值
问题常用到二次函数模型.
4．指数、对数函数模型的应用
指数、对数函数模型应用的求解策略
(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.
(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.
5．分段函数模型的应用
由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有
广泛的应用.
6．“对勾”函数模型的应用
对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+ (a>0,b>0)，当x>0时，在(0, ]上递减，在( ,+ )上递增.另外，还要注意换元法的运用.
【题型1 利用函数图象刻画实际问题的变化】
【方法点拨】
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不
符合实际的情况，选出符合实际的情况.
【例1】（2021秋•邹城市期中）甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步；
乙先跑步到两地的中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑自行车比乙骑自行车的速度
快，并且两人骑车的速度均大于跑步的速度．现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图
象表示如下：
则上述四个函数图象中，甲、乙两人运行的函数关系的图象应该分别是（ ）
A．图①、图② B．图①、图④ C．图③、图② D．图③、图④
【解题思路】先研究两个人赶往B地的速度变化规律，然后对照四个函数图象的变化特点得答案．
【解答过程】解：甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，可知甲前半程的速度大于后半程的速度，则
前半程图线的斜率大于后半程图线的斜率；
乙先跑步到两地的中点再改为骑自行车，可知乙前半程的速度小于后半程的速度，则前半程图线的斜率
小于后半程图线的斜率；
又甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，可知甲前半程图线的斜率大于乙后半程图线的斜率．
∴甲是图①、乙是图④．
故选：B．
【变式1-1】（2021秋•东乡县校级期中）如图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行
驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，
给出下列说法：
①汽车共行驶了120千米；②汽车在行驶途中停留了0.5小时；
80
③汽车在整个行驶过程中的平均速度为 千米/时；
3
④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少．
其中正确的说法共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】本题主要考查了函数图象上特殊点的实际意义，根据图象上的特殊点的实际意义即可作出
判断．
【解答过程】解：由图象可知，汽车走到距离出发点120千米的地方后又返回出发点，所以汽车共行驶
了240千米，①错；
从1.5时开始到2时结束，时间在增多，而路程没有变化，说明此时在停留，停留了2﹣1.5＝0.5小时，
②对；
160
汽车用4.5小时走了240千米，平均速度为；240÷4.5= 千米/时，③错．
3
汽车自出发后3小时至4.5小时，图象是直线形式，说明是在匀速前进，④错．
故选：A．
【变式1-2】如图，l 反映了某公司销售一种医疗器械的销售收入（万元）与销售量（台）之间的关系，l
1 2
反映了该公司销售该种医疗器械的销售成本（万元）与销售量（台）之间的关系．当销售收入大于销售
成本时，该医疗器械才开始盈利．根据图象，则下列判断中错误的是（ ）A．当销售量为4台时，该公司盈利4万元
B．当销售量多于4台时，该公司才开始盈利
C．当销售量2台时，该公司亏本1万元
D．当销售量6台时，该公司盈利1万元
【解题思路】利用图象交点得出公司赢利以及公司亏本情况，进而可以求解．
【解答过程】解：根据已知图中关系可得：
选项A：当销售量为4台时，该公司赢利0万元，故A错误；
选项B：当销售量多于4台时，该公司才开始赢利，故B正确；
选项C：当销售量为2台时，该公司亏本1万元，故C正确；
选项D：当销售量为6台时，该公司赢利1万元，故D正确，
故选：A．
【变式1-3】（2022春•睢县校级月考）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治
理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量 W 与时间 t 的关系为 W＝f（t），用
f(b)−f(a)
− 的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企
b−a
业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论，其中描述错误的是（ ）
A．在[t ，t ]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强
1 2
B．在t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强
2
C．在t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标
3
D．甲企业在[0，t ]，[t ，t ]，[t ，t ]这三段时间中，在[0，t ]的污水治理能力最强．
1 1 2 2 3 1
【解题思路】结合甲乙企业污水排放量与时间关系图象，利用曲线在区间的变化率判断企业的治污能力，
进而判断各选项的正误即可．
f(b)−f(a)
【解答过程】解：对于A，− 表示区间端点连线斜率的负数，在[t ，t ]这段时间内，甲的
1 2
b−a
斜率比乙的小，
所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强，选项A正确；对于B，在t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，
2
所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强，选项B正确；
对于C，在t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，
3
所以都已达标；选项C正确；
对于D，甲企业在[0，t ]，[t ，t ]，[t ，t ]这三段时间中，
1 1 2 2 3
甲企业在[t ，t ]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，
1 2
即在[t ，t ]的污水治理能力最强；选项D错误．
1 2
故选：D．
【题型2 已知函数模型解决实际问题】
【方法点拨】
(1)求解已知函数模型解决实际问题的关注点
①认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；
②根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.
(2)利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
【例2】（2021秋•云南期末）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降
低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日
平均最高容许浓度应小于等于0.1%．若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且y随时间t（单位：
分钟）的变化规律可以用函数 − t 描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少
y=0.05+0.15e 12
需要的时间为（ ）（参考数据ln3≈1.1）
A．10分钟 B．14分钟 C．15分钟 D．20分钟
【解题思路】根据题意写出不等式 − t 0.1，再解不等式，即可得到答案．
y=0.05+0.15e 12≤
t
t − 1
【解答过程】解：由题意知，
y=0.05+0.15e
−
12≤
0.1，解得e 12≤ ，
3
t
所以− ≤−ln3，t≥12ln3≈13.2．
12
故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为14分钟．
故选：B．
【变式2-1】（2022•西城区校级开学）星等分为两种：目视星等与绝对星等，但它们之间可用公式 M＝d
m+5﹣5lg 转换，其中M为绝对星等，m为目视星等，d为到地球的距离（单位：光年）．现在地
3.26
球某处测得牛郎星目视星等为0.77，绝对星等为2.19；织女星目视星等为0.03，绝对星等为0.5．则距
离地球更近的星球和它们到地球的距离之比（较远距离与较近距离之比）分别是（ ）
（参考数据：100.19≈1.549，100.906≈8.054，100.716≈5.199）
A．牛郎星，约1.5 B．织女星，约1.5
C．牛郎星，约2.9 D．织女星，约2.9
【解题思路】设牛郎星到地球的距离为d ，织女星到地球的距离为d ，根据所给公式及指数与对数的关
1 2
系，求出 d 、 d ，即可判断，再求出d 即可；
1 2 2
3.26 3.26 d
1
【解答过程】解：设牛郎星到地球的距离为d ，织女星到地球的距离为d ，
1 2
d d
所以2.19＝0.77+5﹣5lg 1 ，0.5＝0.03+5﹣5lg 2 ，
3.26 3.26
d d
即lg 1 =0.716，lg 2 =0.906，
3.26 3.26
d d
所以 1 =100.716≈5.199， 2 =100.906≈8.054，
3.26 3.26
d
2
d 3.26 100.906
所以d ＞d ，所以距离地球更近的星球为牛郎星，且 2= = =100.19≈1.549．
2 1 d d 100.716
1 1
3.26
故选：A．
【变式2-2】（2022•安徽开学）物理学中，声衰减是声波在介质中传播时其强度（声强）随着传播距离的
增加而逐渐减弱的现象．一般地，声衰减遵从指数规律，即声强I（单位：瓦/平方米）与传播距离x
（单位：米）之间有如下的函数关系： ，其中I 为初始声强， 为常数．若某声波传播2米时，
I=I eαx 0
0
α
声强减小了30%，则声强减小80%时，传播距离大约为（ ）（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.5，
lg7≈0.8）
A．6米 B．7米 C．8米 D．9米
【解题思路】由题意，利用给定的模型得到e2 ＝0.7，设当声波传播x米时，声强减小80%，则I e x＝
0
α α
（1﹣80%）I ，解对数方程即可求解．
0【解答过程】解：由题意得，I e2 ＝（1﹣80%）I ，即e2 ＝0.7，
0 0
α α
设当声波传播x米时，声强减小80%，
则I e x＝（1﹣80%）I ，即e x＝0.2，
0 0
α α
∴（e x）2＝（0.2）2，
α
∵（e x）2＝（e2 ）x，
α α
∴（0.2）2＝（0.7）x，
即lg（0.2）2＝lg（0.7）x，
∴xlg0.7＝2lg0.2，
即x（1g7﹣1）﹣2（lg2﹣1），
∴x≈7．
故选：B．
【变式2-3】（2022春•密云区期末）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公
S
式：C＝Wlog （1+ ）．它表示，在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度 C取决于信道带宽W，
2
N
S
信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 叫作信噪比．当信噪比比较大时，
N
S
公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽 W，而将信噪比 从1000提升至
N
6000，则C的增长率为（ ）（lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
A．10% B．16% C．26% D．33%
【解题思路】根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得C的增长率．
S
【解答过程】解：当 =1000时，C ＝Wlog 1000，
1 2
N
S
当 =6000时，C ＝Wlog 6000，
2 2
N
∴C Wlog 6000 lg6000 3+lg2+lg3 3+0.3010+0.4771 ，
2= 2 = = ≈ ≈1.26
C Wlog 1000 lg1000 3 3
1 2
∴C的增长率约为26%．
故选：C．
【题型3 构建二次函数模型】
【方法点拨】根据具体条件，构建二次函数模型，在应用二次函数解决实际问题时，不能简单套用顶点坐标公式，因为
抛物线的顶点纵坐标不一定是实际问题的最值，一定要注意自变量的取值范围，特别注意隐含条件，如：
月份、天、周、商品件数等应为正整数.
【例3】（2021秋•资阳期末）临近年终，郑州一蔬菜加工点分析市场发现：当月产量在10吨至25吨时，
月生产总成本y（万元）可以看成月产量x（吨）的二次函数，当月产量为10吨时，月总成本为20万元，
当月产量为15万吨时，月总成本最低且为17.5万元．
（1）写出月总成本y（万元）关于月产量x（吨）的函数关系；
（2）已知该产品销售价位每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获得最大利润，并求出最大利润．
【解题思路】（1）由题意可设：y＝a（x﹣15）2+17.5（a R，a≠0），将x＝10，y＝20代入上式解出
即可得出． ∈
1 1
（2）设利润为 Q（x），则Q(x)=1.6x−y=1.6x−( x2−3x+40)=− (x−23) 2+12.9，
10 10
（10≤x≤25），利用二次函数的单调性即可得出．
【解答过程】解：（1）由题意可设：y＝a（x﹣15）2+17.5（a R，a≠0），
将x＝10，y＝20代入上式得：20＝25a+17.5， ∈
1
解得a= ，
10
1
∴y= (x−15) 2+17.5（10≤x≤25）．
10
（2）设利润为Q（x），
1 1
则Q(x)=1.6x−y=1.6x−( x2−3x+40)=− (x−23) 2+12.9，（10≤x≤25），
10 10
因为x＝23 [10，25]，所以月产量为23吨时，可获得最大利润12.9万元．
【变式3-1】（∈2021秋•西陵区校级期中）在刚刚结束的十九大会议上，习总书记代表党中央明确强调“坚
持房子是用来住的…”，得到了各级政府及相关单位的积极响应．在宜昌，随着致喜大桥的贯通、奥体
中心开建、一中江南新校开学等，江南房价也在不断攀升，在政府的有力管控下，这种势头得到了有效
的遏制．近日，一中附近的一个楼盘开盘价已限定在每平米7千元以下，其中一栋高33层的高层住宅
最低销售价为底层（一楼）每平米6千元，最高价为第20层每平米7千元，其余各层每平米的价格y与
楼层x之间符合一个二次函数的变化规律．
（Ⅰ） 根据以上信息写出这个二次函数的表达式y＝f（x）及定义域；
（Ⅱ） 考虑到一中老师的实际需要，学校在尽力争取团购优惠的政策，如果得到的优惠政策是在每套
房总价的基础上减去2万元后，再以余款的九五折将建筑面积为95平米的房型出售给一中老师，张老师和李老师分别选定了19楼和25楼，请你根据函数性质比较哪位老师获得的优惠额度更大一些？这一
优惠的额度为多少？（注：九五折﹣﹣按原价的95%折为现价）
【解题思路】（Ⅰ）由题意可设y＝f（x）＝a（x﹣20）2+7，代值计算即可求出a的值，即可得到函数
的解析式和定义域．
1
（Ⅱ）设优惠额度为w，则w＝{[− （x﹣20）2+7]×95﹣20}×（1﹣0.95）+20，代值计算比较即可．
361
【解答过程】解：（Ⅰ）由于最高价为第20层每平米7千元，其余各层每平米的价格y与楼层x之间符
合一个二次函数的变化规律，可设y＝f（x）＝a（x﹣20）2+7，a≠0，当x＝1，y＝6，
∴6＝a（1﹣20）2+7，
1
解得a=− ，
361
1
∴y＝f（x）=− （x﹣20）2+7，函数的定义域为{x|1≤x≤33，且x N}，
361
∈
1
（Ⅱ）设优惠额度为w，则w＝{[− （x﹣20）2+7]×95﹣20}×（1﹣0.95）+20，
361
1
当x＝19时，w张 ＝{[− （19﹣20）2+7]×95﹣20}×（1﹣0.95）+20≈52.237，即为52237元，
361
1
当x＝25时，w李 ＝{[− （25﹣20）2+7]×95﹣20}×（1﹣0.95）+20≈51.921，即为51921元，
361
故张老师获得的优惠额度更大一些，这一优惠的额度为52237元.
【变式3-2】（2021秋•丽江期末）绿水青山就是金山银山，“两山”的转换不仅发生在青山绿水之间，还
切实融入人们的生产生活．某企业在这样的思想引领下，积极行动起来，把废弃物回收转化为某种产品，
经测算，处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为y＝x2﹣50x+900，且每
处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．
（1）当x [10，15]时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出
国家最少补∈贴多少万元，该工厂才不会亏损？
（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？
【解题思路】（1）由题意求出利润的关系式，然后根据二次函数的性质即可求解；（2）求出成立成本，
利用基本不等式即可求解．
【解答过程】解：（1）根据题意可得，利润P和处理量x之间的关系，
则P＝（10+10）x﹣y＝20x﹣x2+50x﹣900
＝﹣x2+70x﹣900＝﹣（x﹣35）2+325，x [10，15]，
∈因为x＝35 [10，15]，且在[10，15]上为增函数，
则当x＝10∉时，y
min
＝﹣300，当x＝15时，y
max
＝﹣75，所以P [﹣300，﹣75]，
所以国家最少补贴75万元，该工厂才不会亏损； ∈
y 900 √ 900
（2）设平均处理成本为Q= =x+ −50≥2 x⋅ −50＝10，
x x x
900
当且仅当x= 时等号成立，由x＞0得x＝30，
x
因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元．
【变式3-3】（2021秋•九江期末）某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基地，已知x年内付出的各
种维护费用之和y满足二次函数y＝ax2+c，且第一年付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种
维护费用为9万元，龙虾养殖基地每年收入90万元
（Ⅰ）扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地从第几年开始获取纯利润？
（Ⅱ）若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两种处理方案：
①年平均利润最大时，以138万元出售该龙虾养殖基地；
②纯利润总和最大时，以30万元出售该龙虾养殖基地．问该水产养殖户会选择哪种方案？
{ a+c=3
【解题思路】（Ⅰ）通过 ，解得a，c，得到函数的解析式，得到第x年获得纯利润为y＝
4a+c=12
90x﹣3x2﹣243（x N*），
通过x2﹣30x+81＜∈0，求解x，说明从第4年开始获得纯利润．
（Ⅱ）方案①：利用基本不等式求解年平均利润的最大值．方案②：求解纯利润的最大值以及时间，然
后比较即可得到方案．
【解答过程】解：（Ⅰ）由已知得，当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝12，
{ a+c=3
即 ，解得a＝3，c＝0，
4a+c=12
∴y＝3x2．
又投资243万元，x年收入共90x万元，
∴第x年获得纯利润为y＝90x﹣3x2﹣243（x N*），
令y＞0，即90x﹣3x2﹣243＞0，∴x2﹣30x+8∈1＜0，
解得3＜x＜27（x N*），∴从第4年开始获得纯利润．
∈ 90x−243−3x2 81 9
（Ⅱ）方案①：年平均利润t= =90−3( +x)=36−3( −√x) 2 ，
x x √x
9
当 =√x，即x＝9时，t取最大值36．
√x∴年平均利润最大时，以138万元出售该基地共获利润36×9+138＝462（万元）．
方案②：纯利润总和y＝90x﹣3x2﹣243＝﹣3（x﹣15）2+432（n N*），
当x＝15时，纯利润总和最大，为432万元， ∈
∴纯利润总和最大时，以30万元出售该基地共获利润432+30＝462（万元），
两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①．
【题型4 构建指数、对数函数模型】
【例4】（2021秋•南宁期末）某地为践行总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的理念，大力开展植树
造林．假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，使森林面积的年平均增长率为20%，
且x年后森林的面积为y亩．
（1）列出y与x的函数解析式并写出函数的定义域；
（2）为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？
参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg1.2≈0.0792．
【解题思路】（1）直接由题意可得y与x的函数解析式；
（2）设为使森林面积至少达到6a亩，至少需要植树造林n年，则a（1+20%）n≥6a，求解指数不等式
得答案．
【解答过程】解：（1）森林原来的面积为a亩，森林面积的年平均增长率为20%，
x年后森林的面积为y亩，
则y＝a（1+20%）x（x＞0且x N*）；
（2）设为使森林面积至少达到∈6a亩，至少需要植树造林n年，
则a（1+20%）n≥6a，
lg6 lg2+lg3 0.3010+0.4771
6 6 ≥ = ≈ ≈
∴( ) n≥6，得nlg ≥lg6，即n 6 2lg2+lg3−1 2×0.3010+0.4771−1 9.837，
5 5 lg
5
∴n≥9.837，即n取10，
故为使森林面积至少达到6a亩，至少需要植树造林10年．
【变式4-1】（2022春•湖北期中）自2014年9月25日起，三峡大坝旅游景点对中国游客（含港、澳、台
同胞、海外侨胞）施行门票免费，去三峡大坝旅游的游客人数增长越来越快，经统计发现 2017年三峡
大坝游客总量约为200万人，2018年约为240万人，2019年约为288万人，三峡大坝的年游客人数y与
年份代码x（记2017年的年份代码为x＝1，2018年年份代码为x＝2，依此类推）有两个函数模型y＝
kax（k＞0，a＞1）与y=p√x+q（p＞0）可供选择．
（1）试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该模型的函数解析式；（2）问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．
（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，lg2≈0.30，lg3≈0.48．）
【解题思路】（1）由增长人数可判断增长速度越来越快，符合指数增长模型，将（1，200），（2，
240）代入，求得a与k值，则函数解析式可求；
（2）当三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍时，游览人数约是480万人，代入函数解析式，利
用对数的运算性质求解x值，则答案可求．
【解答过程】解：（1）2017至2018年增长了40万人，2018至2019增长了48万人，增长速度越来越
快，符合指数增长模型，
故函数模型y＝kax（k＞0，a＞1）更适合．
将（1，200），（2，240）代入，可得{ak=200 ，解得a＝1.2，k 500，
=
a2k=240 3
500
∴函数解析式为y= ⋅1．2x；
3
（2）2018年约为240万人，当三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍时，游览人数约是480万人，
500 6 72 lg72−lg25 2(lg6−lg5)+lg2 lg2
∴ ⋅1．2x=480，即( ) x= ，则x= = =2+
3 5 25 lg6−lg5 lg6−lg5 2lg2+lg3−1
0.3
≈2+ =5.75≈6．
2×0.3+0.48−1
故大约在2022年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．
【变式4-2】（2021秋•渝中区校级期末）我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变，物
理学中称为“声压”，用P表示（单位：Pa（帕））；“声压级”S（单位：dB（分贝））表示声压的
相对大小，已知它与“某声音的声压P与基准声压 的比值的常用对数（以10为底的对
P =2×10−5Pa
0
P
数）值成正比”，即S=klg （k是比例系数）．当声压级S提高60dB时，声压P会变为原来的
2×10−5
1000倍．
（1）求声压级S关于声压P的函数解析式；
（2）已知两个不同的声源产生的声压P ，P 叠加后得到的总声压 ，而一般当声压级
1 2 P=√P ❑ 2+P ❑ 2
1 2
S＜45dB时人类是可以正常的学习和休息的．现窗外同时有两个声压级为40dB的声源，在不考虑其他
因素的情况下，请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习？并说明理由．（参考数据：lg2≈0.3．）
P 1000P
【解题思路】（1）由题意可得，klg +60＝klg ，再结合对数函数的公式，即可求解．
2×10−5 2×10−5
（2）将声压级代入解析式求出声压，根据P 求出叠加后的声压，代入
=√P2+P2=√2P =2√2×10−3
1 2 1
解析式可求出对应的声压级，与45比较大小，即可求解．
P 1000P
【解答过程】解：（1）由题意可得，klg +60＝klg ，
2×10−5 2×10−5
P P
则klg + 60 =k(3+lg )，
2×10−5 2×10−5
所以3k＝60，解得k＝20，
P
故声压级S关于声压P的函数解析式为S=20lg ．
2×10−5
（2）不会干扰我们的学习，理由如下：
P P
将S＝40代入S=20lg 可得，lg =2，解得P＝2×10﹣3，即P ＝P ＝2×10﹣3，
2×10−5 2×10−5 1 2
P
所以P=√P2+P2=√2P =2√2×10−3，代入S=20lg 可得，
1 2 1 2×10−5
S＝20lg2√2×10−3 40+10lg2≈43＜45．
=20lg(√2×102 )=
2×10−5
【变式4-3】（2021秋•南平期末）在国家大力发展新能源汽车产业政策下，我国新能源汽车的产销量高速
增长．某地区2019底新能源汽车保有量为1500辆，2020年底新能源汽车保有量为2250辆，2021年底
新能源汽车保有量为3375辆．
（1）根据以上数据，试从y＝a•bx（a＞0，b＞0且b≠1），y＝a•log x，（a＞0，b＞0且b≠1），y＝
b
ax+b（a＞0）三种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势（不必说明理
由），设从2019年底起经过x年后新能源汽车保有量为y辆，求出新能源汽车保有量y关于x的函数关
系式；
（2）假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百
分比相同，2019底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，预计到2024年底传统能源汽车保有量将下
降10%．试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．（参考数据：lg2≈0.3，
lg3≈0.48）
【解题思路】（1）根据题中的数据，即可判断出函数模型的选择；（2）利用（1）的结论，列出不等式，即可解出．
【解答过程】解：（1）选择y＝a•bx（a＞0，b＞0且b≠1）模型，
{1500=ab0
由题意可得 ，
2250=ab1
3375=ab2
{a=1500
∴ 3 ，
b=
2
3
∴y＝1500×( ) x；
2
（2）设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为x，
则50000（1﹣x）5＝50000（1﹣10%），
9
∴(1−x) 5= ，
10
假设经过n年后新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量，
3
即1500×( ) n ＞50000（1﹣x）n，
2
n
3 9
∴3×( ) n ＞100×( )5，
2 10
n
∴lg3+n（lg3﹣lg2）＞2+ （2lg3﹣1），
5
∴0.188n＞1.52，
∴n＞8.09，
即到2028年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．
【题型5 构建分段函数模型】
【方法点拨】
根据具体条件，构建分段函数模型，涉及分段函数的实际应用题，可以先将其当作几个问题，将各段的变
化规律分别找出来，再合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.
【例5】（2022春•湖北月考）某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为600万元，除此之外每台机器
的额外生产成本与产量满足一定的关系式．设年产量为x（0＜x≤200，x N）台，若年产量不足70台，
∈
1
则每台设备的额外成本为y = x+40万元；若年产量大于等于70台不超过200台，则每台设备的额外
1 26400 2080
成本为y =101+ − 万元．每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设
2 x2 x
备能全部售完．
（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（台）的关系式；
（2）当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？
【解题思路】（1）根据题意，分段表示出函数模型，即可求解；
（2）根据题意，结合一元二次函数以及均值不等式，即可求解．
1 1
【解答过程】解：（1）当0＜x＜70，x N*时，W =100x−( x+40)x−600=− x2+60x−600；
2 2
∈
6400 2080 6400
当70≤x≤200，x N*时，W =100x−(101+ − )x−600=1480−(x+ )．
x2 x x
∈
1
{− x2+60x−600，0＜x＜70，x∈N∗
∴ 2 ；
W =
6400
1480−(x+ )，70⩽x⩽200，x∈N∗
x
1 1
（2）①当0＜x＜70，x N*时，W =− x2+60x−600=− (x−60) 2+1200，
2 2
∈
∴当x＝60时，y取得最大值，最大值为1200万；
6400 √ 6400
②当70≤x≤200，x N*时，W =1480−(x+ )≤1480−2 x⋅ =1320，
x x
∈
6400
当且仅当x= ，即x＝80时，y取得最大值1320，
x
∵1320＞1200，
∴当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元．
【变式5-1】（2022春•德州期末）高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，促进了区域经济和社会发展
已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，t N*．经测算，高铁的载客
量与发车时间间隔t相关：当10≤t≤20时，高铁为满载状态，载客量为1200∈人；当2≤t＜10时，载客
量会在满载基础上减少，减少的人数与（10﹣t）2成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为950
人．论发车间隔为t分钟时，高铁载客量为P（t）．
（1）求P（t）的表达式；
t
（2）若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益Q(t)= P(t)−40t2+660t−2048元，当发车时间间
5Q(t)
隔为多少时，单位时间的浄收益 最大？最大为多少？
t
【解题思路】（1）由题意先求出2≤t＜10时P（t）的表达式，从而得出答案．
Q(t)
（2）先由题意得出Q（t）的表达式，从而得出 的解析式，然后利用导数分段求出各段的最大值，
t
即可得出答案．
【解答过程】解：（1）设当2≤t＜10时，减少的人数与（10﹣t）2成正比，比例系数为k.
所以P（t）＝1200﹣k（10﹣t）2，2≤t＜10．
当t＝5时，P（5）＝950，1200﹣k（10﹣5）2＝950，解得k＝10．
所以P（t） {1200−10(10−t) 2 ，2≤t＜10．
=
1200，10≤t≤20
（2）
由题意可得：Q（t） {700t−2048−2t3 ，2≤t＜10 ．
=
900t−40t2−2048，10≤t≤20
2048
{700−2t2− ，2≤t＜10
所以Q(t) t ．
=
t 2048
900−40t− ，10≤t≤20
t
令H（t） Q(t)，当2≤t＜10时，H′（t）＝﹣4t 2048 2048−4t3．
= + =
t t2 t2
令H'（t）＝0得t＝8；当2≤t＜8时，H'（t）＞0，当8＜t＜10时，H'（t）＜0．
所以H（t）的最大值为H（8）＝316；
2048
当10≤t≤20时，H'(t)=−40+ ＜0，
t2
所以H（t）最大值为H（10）＝295.2；
因为295.2＜316，所以单位时间的净收益最大为316元；
综上，当发车时间间隔为8分钟时，单位时间净收益最大，且最大为316元．
【变式5-2】（2022春•保定期末）某电子厂生产某电子元件的固定成本是4万元，每生产x万件该电子元1
{ x2+3x，0＜x≤6，
件，需另投入成本f（x）万元，且 4 已知该电子元件每件的售价为
f(x)=
64
9x+ −38，6＜x≤20．
x
8元，且该电子加工厂每月生产的这种电子元件能全部售完．
（1）求该电子厂这种电子元件的利润y（万元）与生产量x（万件）的函数关系式；
（2）求该电子厂这种电子元件利润的最大值．
【解题思路】（1）利用已知条件，分0＜x≤6和6＜x≤20两种情况，求出y，即可得到函数的解析式．
（2）利用二次函数的性质求解最值，基本不等式求解最值，比较即可得到结果．
1 1
【解答过程】解：（1）当0＜x≤6时，y=8x−( x2+3x)−4=− x2+5x−4；
4 4
64 64
当6＜x≤20时，y=8x−(9x+ −38)−4=−x− +34．
x x
故 该 电 子 厂 这 种 电 子 元 件 的 利 润 y （ 万 元 ） 与 生 产 量 x （ 万 件 ） 的 函 数 关 系 式 为 y
1
{− x2+5x−4，0＜x≤6
4 ；
=
64
−x− +34，6＜x≤20
x
1
（2）当0＜x≤6时，函数y=− x2+5x−4图象的对称轴方程为x＝10，
4
1
所以y=− x2+5x−4在（0，6]上单调递增，
4
1
则y =− ×62+5×6−4=17（万元）．
max 4
64
当6＜x≤20时，因为x+ ≥2√64=16，当且仅当x＝8时，等号成立，
x
64
所以y=−x− +34≤−16+34=18，即当x＝8时，y取得最大值18．
x
因为17＜18，所以当x＝8时，y取得最大值18，则利润的最大值为18万元．
【变式5-3】（2022春•舟山期末）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国
举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕，本届奥运会共设7个大项，15
个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车、雪橇、高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬
奥会的举办可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇．某冰雪
装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为 2000万元，每生产x千件，需另投入成本C（x）
1
（万元）．经计算若年产量x千件低于100千件，则这x千件产品成本C(x)= x2+10x+1100；若年
2
4500
产是x千件不低于100千件时，则这x千件产品成本C(x)=120x+ −5400．每千件产品售价为
x−90
100万元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完．
（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？
【解题思路】（1）年利润L为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可；
（2）当0＜x＜100时，根据二次函数单调性求L最大值，当x≥100时，根据基本不等式求最大值，比
较即可得到答案．
1 1
【解答过程】解：（1）当0＜x＜100时，L＝100x− x−10x﹣1100﹣2000=− x2+90x﹣3100；
2 2
4500 4500
当x≥100时，L＝100x﹣（120x+ −5400）﹣2000＝﹣20x− +3400，
x−90 x−90
1
{− x2+90x−3100，0＜x＜100
所以L 2 ；
=
4500
−20x− +3400，x≥100
x−90
1 1
（2）当0＜x＜100时，L=− x2+90x﹣3100=− （x﹣90）2+950，
2 2
所以当x＝90时，L取最大值950；
4500 225
当x≥100时，L＝﹣20x− +3400＝﹣20（x﹣90+ ）+1600≤﹣20×2√225+1600＝1000，
x−90 x−90
当且仅当x＝105时取等号，
综上：L的最大值为1000，此时年产量为105．
【题型6 构建“对勾”函数模型】
【方法点拨】
结合实际问题，构建“对勾函数”模型，利用对勾函数的单调性或基本不等式进行解题，注意取值要满足
实际情况.【例6】（2021秋•张家口期末）习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车
环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表
示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．江苏
某新能源公司某年初购入一批新能源汽车充电桩，每台13500元，到第x年年末（x N ）每台设备的累
+
计维修保养费用（300x2+3200x）元，每台充电桩每年可给公司收益8000元．（√19∈≈4.36）
（1）每台充电桩第几年年末开始获利；
（2）每台充电桩在第几年年末时，年平均利润最大．
【解题思路】（1）构造二次函数模型，由二次函数f（x）＞0 解得结果；
f(x)
（2）由（1）知年平均利润g(x)= ，结合对勾函数单调性，验证可知g（7）＞g（6），由此可得
x
结果．
【解答过程】解：（1）设每台充电桩在第x年年末的利润为f（x），
则f（x）＝8000x﹣（300x2+3200x）﹣13500＝﹣300x2+4800x﹣13500，
令f（x）＞0，解得：8−√19＜x＜8+√19，又√19≈4.36，∴3.64＜x＜12.36，
∵x N ，
+
∴每∈台充电桩从第4年年末开始获利；
（2）设g（x）为每台充电桩在第x年年末的年平均利润，
f(x) 13500
则g(x)= =−(300x+ )+4800；
x x
13500
∵y=300x+ 在(0，3√5)上单调递减，在(3√5，+∞)上单调递增，
x
∴g（x） 在 (0，3√5) 上单调递增，在(3√5，+∞)上单调递减，
又 x∈N ，3√5≈6.708，g(6)=750，g(7)≈771，
+
∴g（7）＞g（6），
∴每台充电桩在第7年年末时，年平均利润最大．
【变式6-1】（2022春•汉中期末）为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造
一间墙高为4米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠
墙，无需建造费用，公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米400元，左右两侧报价为每平
方米300元，屋顶和地面报价共计9600元，设应急室的左右两侧的长度均为x米（1≤x≤5），公司甲
的整体报价为y元．
（1）试求y关于x的函数解析式；（2）现有公司乙也要参与此应急室建造的竞标，其给出的整体报价为（580x+20000）元，若采用最低
价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由．
【解题思路】（1）根据给定条件，用x表示出应急室正面墙的长度，再列式作答．
（2）由（1）的结论，利用均值不等式、函数单调性分别求出甲公司报价最小值、乙公司报价最大最小
值，再比较作答．
24
【解答过程】解：（1）因应急室的左右两侧的长度均为x米，则应急室正面的长度为 米，于是得y
x
24 16
＝300×4×2x+400×4× +9600＝2400（x+ ）+9600，1≤x≤5，
x x
16
所以y关于x的函数解析式是y＝2400（x+ ）+9600（1≤x≤5）；
x
16 √ 16 16
（2）由（1）知，对于公司甲2400（x+ ）+9600≥2400×2 x⋅ +9600＝28800，当且仅当x= ，
x x x
即x＝4时取“＝”，
则当左右两侧墙的长度为4米时，公司甲的最低报价为28800元，
对于乙，函数580x+20000在[1，5]上单调递增，20580≤580x+20000≤22900，即乙公司最高报价为
22900元，
因22900＜28800，因此，无论x取何值，公司甲的报价都比公司乙的高，
所以公司乙能竞标成功．
【变式6-2】（2022春•秀英区校级期中）某中学生活区拟建一个游泳池，池的深度一定，游泳池的造价按
其平面图纸上的面积和长度计算现有两个方案：
方案一：游泳池的平面图形为矩形且面积为200m2，池的四周墙壁建造价格为400元/m，中间一条隔壁
（与矩形的一边所在直线平行）建造价格为100元/m，池底建造价格为60元/m2（池壁厚度忽略不计）．
方案二：游泳池的平面图形为圆形且面积为64 m2，池的四周墙壁建造价格为500元/m，中间一条隔壁
（圆的直径）建造价格为100元/m，池底建造价π格为60元/m2（池壁厚度忽略不计）．
（Ⅰ）若采用方案一，游泳池的长设计为多少时，可使总造价最低？
（Ⅱ）以总进价最低为决策依据，应该选择哪个方案？
【解题思路】（Ⅰ）设矩形的一条边长为x，则可以表示出方案一的总造价，利用基本不等式，即可解
出；
（Ⅱ）利用题中的条件，即可表示出总造价，再由（Ⅰ）即可解出；
200
【解答过程】解：（Ⅰ）设矩形的一条边长为x，则另一条边长为： ，
x200 160000
所 以 总 造 价 为 S ＝ 200×60+ （ x+ ） ×2×400+100x ＝ 12000+900x+ ≥12000+2
1
x x
√ 160000
900x× =36000，
x
160000 40
当且仅当900x= ，即x= 时取等号，
x 3
40 40
所以当游泳池的一边长为 米，另一边长为15米，中间的隔壁长为 米时，方案一的总造价最低为
3 3
36000元．
（Ⅱ）设方案二的总造价为S 元，则，
2
√64π √64π
S ＝64 ×60+ ×2π×500+ ×2×100=1600+11840 ＞1600+11840×3＝37120，
2
π π
π π
∴S ＜S ，
1 2
所以选择方案一．
【变式6-3】（2022春•郫都区校级月考）某厂家拟定在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年
k
销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m（m≥0）万元满足x＝3− （k为常数）．如果不举
m+1
行促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生
产1万件该产品需要再投16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍．
（1）将2021年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；
（2）该厂家2021年投入多少万元促销费用时，获得的利润最大？
2
【解题思路】（1）由m＝0，x＝1可求得k＝2，可得x＝3− （m≥0），将产品的售价减去成本，
m+1
结合已知条件可得出y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；（2）利用基本不等式可求得y的
最大值，利用等号成立的条件可求得m的值，即可得出结论．
【解答过程】解：（1）由题意知，当m＝0时，x＝1，
所以3﹣k＝1，可得k＝2，
2
所以x＝3− （m≥0），
m+1
8+16x 12(2x+1)
每件产品的销售价格为1.5× = 元，
x x
12(2x+1) 2 16
所以2021年的利润y＝x× −8﹣16x﹣m＝8x+4﹣m＝8（3− ）+4﹣m＝28﹣（ +
x m+1 m+116
m）＝29﹣（ +m+1），其中m≥0．
m+1
（2）因为m≥0，则m+1≥1，
16 √ 16
由基本不等式可得y＝29﹣（ +m+1）≤29﹣2 ⋅(m+1)=21，
m+1 m+1
16
当且仅当 =m+1，即m＝3时，等号成立，
m+1
故该厂家2021年投入3万元促销费用时，获得的利润最大，为21万元．
