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第 8 练 函数模型及其应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．下列函数中，随着 的增大，函数值的增长速度最快的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
当x＞1时，指数函数增长最快，幂函数其次，对数函数最慢，故函数 的增长速度
最快．
故选：D.
2．声强级 （单位： ）与声强 的函数关系式为： ，若女高音的声强级
是 ，普通女性的声强级为 ，则女高音声强是普通女性声强的（ ）
A．10倍 B．100倍 C．1000倍 D．10000倍
【答案】C
【详解】
设女高音声强为 ，普通女性声强为 ，则 ，所以 ①，
，所以 ②，则①÷②得： ，故女高音声强是普通女性
声强的1000倍.
故选：C
3．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺
炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成
平均耗时t（n）（单位：小时）大致服从的关系为 （ ， 为常数）．
已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天（n）和第81天检测过程平均耗时均为
8小时，那么可得到第36天检测过程平均耗时大致为（ ）
A．12小时 B．11小时 C．10小时 D．9小时
【答案】B
【详解】
由第64天和第81天检测过程平均耗时均为8小时知， ，所以 ，得 ，
又由 得 ，
所以当 时， ，
故选：B．
4．药物在体内的转运及转化形成了药物的体内过程，从而产生了药物在不同器官、组织、
体液间的浓度随时间变化的动态过程，根据这种动态变化过程建立两者之间的函数关系，
可以定量反映药物在体内的动态变化，为临床制定和调整给药方案提供理论依据．经研究
表明，大部分注射药物的血药浓度 （单位： ）随时间t（单位：h）的变化规律
可近似表示为 ，其中 表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，k表示
该药物在人体内的消除速率常数．已知某麻醉药的消除速率常数 （单位： ），
某患者第一次静脉注射该麻醉药后即进人麻醉状态，测得其血药浓度为 ，当患者
清醒时测得其血药浓度为 ，则该患者的麻醉时间约为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意得， ，即 ，
则 ，解得 .
故选：B
5．2022年4月16日，神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天的中国空间站，安全
返回地球中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速
度增量的公式 ，其中△v为火箭的速度增量， 为喷流相对于火箭的速度，
和 分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，假设人类设计的某火箭 达到5
公里/秒 ，从100提高到600，则速度增量 增加的百分比约为（ ）（参考数据：
， ，
A．15% B．30% C．35% D．39%
【答案】D
【详解】
由题意，当 时，速度的增量为 ；当 时，速度的增量为 ，
所以 .
故选：D.
6．2021年11月24日，贵阳市修文县发生了4.6级地震，所幸的是没有人员伤亡和较大财
产损失，在抗震分析中，某结构工程师提出：由于实测地震记录的缺乏，且考虑到强震记
录数量的有限性和地震动的不可重复性，在抗震分析中还需要人工合成符合某些指定统计
特征的非平稳地震波时程，其中地震动时程强度包络函数 ，
（单位：秒）分别为控制强震平稳段的首末时刻； （单位：秒）表示地震动总持时；
是衰减因子，控制下降段衰减的快慢．在一次抗震分析中，地震动总持时是20秒，控制强
震平稳段的首末时刻分别是5秒和10秒，衰减因子是0.2，则当 秒时，地震动时程强
度包络函数值是（ ）
A． B．1 C．9 D．
【答案】A
【详解】
由题可知 ， ， ，
∴当 时， ，
∴当 秒时，地震动时程强度包络函数值是 .
故选：A.
7．中国是全球最大的光伏制造和应用国，平准化度电成本（LCOE）也称度电成本，是一
项用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数
对计算度电成本具有重要影响．等年值系数 和设备寿命周期 具有如下函数关系
， 为折现率，寿命周期为 年的设备的等年值系数约为 ，则对于
寿命周期约为 年的光伏-储能微电网系统，其等年值系数约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由已知可得 ，解得 ，
当 时，则 .
故选：D.
8．医学上用基于SEIR流行病传播模型测算基本传染数 （也叫基本再生数）来衡量传染
性的强弱，基本传染数可表示为 .计算基本传染数 需要确定
的参数有：（1）参数 ： ，即需要知道第一例病例发生的时间（确定起点以
便计算t），以及之后某一时刻的累计病例数 ，时间t的单位为天数；（2）参数 和
ρ：只要确定了潜伏期TE和传染期TI， 和ρ就都确定了.已知2022年2月15日某地发现
首例A型传染性病例，到2022年3月28日累计A型传染性病例数达到425例.取 ，
，根据上面的公式计算这41天A型传染性基本传染数 约为（注：参考数据：
）（ ）
A．2.63 B．2.78 C．2.82 D．3.04
【答案】D
【详解】
由 ， ，
代入到 的计算公式可以得到 .
故选：D.
9．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，
地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，则下
列说法正确的是（ ）
A．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级
B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍
C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍
D．记地震里氏震级为n（n=1，2，···，9，10），地震释放的能量为an，则数列{an}是等
比数列
【答案】ACD
【详解】
对于A：当 时，由题意得 ，解得 ，即地震里氏震级约为七级，故A正确；
对于B：八级地震即 时， ，解得 ，
所以 ，
所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的 倍，故B错误；
对于C：六级地震即 时， ，解得 ，
所以 ，
即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C正确；
对于D：由题意得 （n=1，2，···，9，10），
所以 ，所以
所以 ，即数列{an}是等比数列，故D正确；
故选：ACD
10．某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，
注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的
曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（
）
A．
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C．注射该药物 小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为 时
【答案】AD
【详解】由函数图象可知 ，
当 时， ，即 ，解得 ，
，故 正确，
药物刚好起效的时间，当 ，即 ，
药物刚好失效的时间 ，解得 ，
故药物有效时长为 小时，
药物的有效时间不到6个小时，故 错误， 正确；
注射该药物 小时后每毫升血液含药量为 微克，故 错误，
故选： ．
11．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为 （不超过 按起步价付
费）；超过 但不超过 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过 时，超过部分
按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元，下列结论正确的是（ ）
A．出租车行驶 ，乘客需付费8元
B．出租车行驶 ，乘客需付费9.6元
C．出租车行驶 ，乘客需付费25.45元
D．某人两次乘出租车均行驶 的费用之和超过他乘出租车行驶 一次的费用
【答案】CD
【详解】
对于A：出租车行驶 ，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，故A错误；
对于B：出租车行驶 ，乘客需付费8+2.15+1=11.15元，故B错误；
对于C：出租车行驶 ，乘客需付费 元，故C正确；
对于D：某人两次乘出租车均行驶 的费用之和为 元，
一次行驶 的费用为25.45元， ，故D正确.
故选：CD
12．如图，某池塘里浮萍的面积 （单位： ）与时间 （单位：月）的关系为 ，关
于下列说法正确的是（ ）A．浮萍每月的增长率为2
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．第4个月时，浮萍面积超过
D．若浮萍蔓延到 所经过的时间分别是 ，则
【答案】ACD
【详解】
由图可知，过 ，所以 ， ，
对A，由 为指数函数，为爆炸式增长，
每月增长率为 ，
故每月增长率为2，故A正确；
对B，第一个月为3 ，第二个月为9 ，第三个月为27 ，
浮萍每月增加的面积不相等，
对C， ， ，故C正确；
对D， ，
所以 ， ，
所以 ，故D正确，
故选：ACD
13．某地在20年间经济高质量增长，GDP的值 （单位，亿元）与时间 （单位：年）之
间的关系为 ，其中 为 时的 值.假定 ，那么在 时，
GDP增长的速度大约是___________.（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：
，当 取很小的正数时，
【答案】0.52【详解】
由题可知 ，
所以 ，
所以 ,
即GDP增长的速度大约是 .
故答案为： .
14．交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成，红灯表示禁止通行，绿灯表示准许通行，黄灯
表示警示，黄灯设置的时长与路口宽度、限定速度、停车距离有关．经过安全数据统计，
驾驶员反应距离 （单位：m）关于车速v（单位： ）的函数模型为 ；刹
车距离 （单位：m）关于车速v（单位： ）的函数模型为 ，反应距离与
刹车距离之和称为停车距离，在某个十字路口标示小汽车最大限速 （约 ），
路口宽度为 ，如果只考虑小车通行安全，黄灯亮的时间是允许最大限速的车辆离停车
线距离小于停车距离的汽车通过十字路口，那么信号灯的黄灯至少要亮____________s（保
留两位有效数字）．
【答案】
【详解】
解：依题意当小汽车最大限速 （约 ）时，
反应距离 ，刹车距离 ，
所以停车距离为 ，
又路口宽度为 ，所以 ，
所以时间 ；
故答案为：
15．如图，某荷塘里浮萍的面积y（单位： ）与时间t（单位：月）满足关系式：
（a为常数），记 （ ）．给出下列四个结论：①设 ，则数列 是等比数列；
②存在唯一的实数 ，使得 成立，其中 是 的导函数；
③常数 ；
④记浮萍蔓延到 ， ， 所经过的时间分别为 ， ， ，则 ．
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①②④
【详解】
解：依题意 ，因为 ，所以 且 ，
又 ，所以 ，所以 ，即 ，
令 ， ，则 ，
则 在 上单调递增，又 ，所以 ，故③错误；
由已知可得 ，则 ， ，
所以 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，故①正确；
令 ，则 ， ， ，
令 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，在
上单调递增，
因为 ，所以 ， ， ，
令 ， ，则 ，所以 ，在
上单调递减，
且 ，即 ，
令 ， ，则 ，所以 在
上单调递增，
又 ，所以 ，
所以 ，
，
故存在 上， ，故②正确；依题意 、 、 ，所以 ，
所以 ，则 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，故④正确；
故答案为：①②④
16．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.当基本传染数高于1时，
每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长.当基本
传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散.广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数.假设
某种传染病的基本传染数为 ，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N人中有
V个人接种过疫苗( 称为接种率)，那么1个感染者新的传染人数为 .已知新冠
病毒在某地的基本传染数 ，为了使1个感染者传染人数不超过1，该地疫苗的接种
率至少为___________.
【答案】60%
【详解】
为了使1个感染者传染人数不超过1，
只需 ，即 ，∴ ，
由题意可得 ，∴ ，
解得 ，
故答案为：60%﹒
