思维拓展02抽象函数和复合函数的应用（精讲+精练）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）原卷版_2.2025数学总复习_2025年新高考资料_一轮复习

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用） 思维拓展 02 抽象函数与复合函数的应用（精讲 +精练） ①抽象函数的性质（定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性） ②常见抽象函数模型①—一次函数、二次函数、反比例函数 ③常见抽象函数模型②—指对幂函数、三角函数 ④复合函数的应用 一、必备知识整合 一、抽象函数的性质 1.周期性： ； ； ；（ 为常数）； 2.对称性： 对称轴： 或者 关于 对称； 对称中心： 或者 关于 对称； 3.如果 同时关于 对称，又关于 对称，则 的周期 4.单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ① 在 上是奇函数，且 单调递增 若解不等式 ，则有 ； 在 上是奇函数，且 单调递减 若解不等式 ，则有 ； ② 在 上是偶函数，且 在 单调递增 若解不等式 ，则有 （不 变号加绝对值）； 在 上是偶函数，且 在 单调递减 若解不等式 ，则有 （变号加绝对值）； ③ 关于 对称，且 单调递增 若解不等式 ，则有 ； 关于 对称，且 单调递减 若解不等式 ，则有 ； ④ 关于 对称，且 在 单调递增 若解不等式 ，则有 （不变号加绝对值）； 关于 对称，且 在 单调递减 若解不等式 ，则有 （不变号加绝对值）； 5.常见的特殊函数性质一览 ① 是奇函数 ② （ 为常数）是奇函数 ③ 或者 或者 或者 是奇函数 ④ 关于 对称 ⑤ 复合函数的奇偶性：有偶为偶，全奇为奇 二、抽象函数的模型 【反比例函数模型】 反比例函数： ，则 ， 【一次函数模型】 模型1：若 ，则 ； 模型2：若 ，则 为奇函数； 模型3：若 则 ； 模型4：若 则 ； 【指数函数模型】 模型1：若 ，则 ；模型2：若 ，则 ； 模型3：若 ，则 ； 模型4：若 ，则 ； 【对数函数模型】 模型1：若 ，则 模型2：若 ，则 模型3：若 ，则 模型4：若 ，则 模型5：若 ，则 【幂函数模型】 模型1：若 ，则 模型2：若 ，则 代入 则可化简为幂函数； 【余弦函数模型】 模型1：若 ，则 模型2：若 ，则 【正切函数模型】 模型：若 ，则 模型3：若 ，则 三、复合函数 1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。复合函数形式： ，令： ，则 转化为 其中 叫作中间变 量. 叫作内层函数， 叫作外层函数. 2.求复合函数单调性的步骤： ①确定函数的定义域 ②将复合函数分解成两个基本函数 分解成 ③分别确定这两个函数在定义域的单调性 ④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。 在 上的单调性如下表所示，简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 二、考点分类精讲 【题型训练-刷真题】 一、单选题 1．（2022·全国·高考真题）已知函数 的定义域为R，且 ，则 （ ） A． B． C．0 D．1 2．（2022·全国·高考真题）已知函数 的定义域均为R，且 ． 若 的图像关于直线 对称， ，则 （ ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2023·全国·高考真题）已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）． A． B． C． 是偶函数 D． 为 的极小值点 4．（2022·全国·高考真题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若 ， 均为偶函数，则（ ）A． B． C． D． 【题型训练-刷模拟】 1 . 抽象函数的性质（定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性） 一、单选题 1．（23-24高三上·陕西渭南·阶段练习）已知 的定义域为 ，则函数 的定义域 为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）定义域均为R的函数 ， 满足 ，且 ，则（ ） A． 是奇函数 B． 是偶函数 C． 是奇函数 D． 是偶函数 3．（2024·全国·模拟预测）已知不恒为零的函数 为定义在 上的奇函数，且函数 为偶函数， 则 （ ） A． B．0 C．1 D．2 4．（2024·全国·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 ，且 为奇函数， ，则 （ ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 5．（2024·湖南长沙·二模）已知定义在 上的函数 是奇函数，对任意 都有 ， 当 时，则 等于（ ） A．2 B． C．0 D． 6．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知定为域为R的函数 满足： 为偶函数， ，且 ，则 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（22-23高二下·浙江衢州·期末）已知函数 定义域为 ，对 ，恒有，则下列说法错误的有（ ） A． B． C． D．若 ，则 周期为 8．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）定义在 上的函数 满足 ， 为偶函数， 函数 的图象关于 对称，则 （ ） A． B． C． D． 9．（2024·河南·三模）设函数 的定义域为 为奇函数， 为偶函数，若 1，则 （ ） A．1 B． C．0 D． 二、填空题 10．（2024·湖北武汉·二模）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 . 11．（23-24高三下·安徽·阶段练习）若函数 为偶函数， 是奇函数，且 ，则 . 12．（2024·宁夏银川·一模）若定义在 上的函数 满足 是奇函数， ， ，则 ． 13．（2024·河南·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，若 ， 且 ，则 . 2 . 常见抽象函数模型①—一次函数、二次函数、反比例函数 一、单选题 1．（2023·河南新乡·一模）已知定义在 上的函数 满足 ， ， ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，且 ，则（ ）A． B． C． 是偶函数 D． 没有极值点 3．（2024·河北·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 ， 则（ ） A． 是奇函数且在 上单调递减 B． 是奇函数且在 上单调递增 C． 是偶函数且在 上单调递减 D． 是偶函数且在 上单调递增 4．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数 的定义域为 ，且 ，若 ，则下列结论错误的是（ ） A． B． C．函数 是偶函数 D．函数 是减函数 5．（2024·河南·三模）已知函数 满足： ，且 ， ，则 的最小值是（ ） A．135 B．395 C．855 D．990 6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且满足 ，则下列结论正确的是（ ） A． B．方程 有解 C． 是偶函数 D． 是偶函数 7．（23-24高三上·河北保定·期末）已知函数 满足： ， ， 成立， 且 ，则 （ ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（23-24高三上·云南昆明·开学考试）已知函数 的定义域为 ，且 ， 则（ ） A．B． C． 是奇函数 D． 是偶函数 9．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知非常数函数 的定义域为 ，且 ，则（ ） A． B． 或 C． 是 上的增函数 D． 是 上的增函数 3 . 常见抽象函数模型②—指对幂函数、三角函数 一、单选题 1．（2023·全国·模拟预测）已知函数 满足 ，当 ，若在区间 内， 函数 有两个不同零点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数 的定义域为R，值域为 ， ，则（ ） A． B． C． D． 是函数 的极小值点 3．（22-23高一上·江苏南京·期末）已知函数 ，对于任意 ， ，则（ ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且 ， 时， ， ，则（ ） A．B．函数 在区间 单调递增 C．函数 是奇函数 D．函数 的一个解析式为 三、填空题 5．（2023·全国·模拟预测）已知 在 上是减函数，且 对任意的 都成立，写出一个满足以上特征的函数 . 4 . 复合函数的应用 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数 的值域为（ ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北·二模）已知函数 在 上单调递增，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·甘肃·开学考试）函数 的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数 ，若 的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·山东日照·阶段练习）已知函数 在区间 上单调递减，则a的取值范 围是（ ） A． B． C． D． 6．（2024·山西吕梁·二模）已知函数 在区间 上单调递减，则函数 的解析式可以为 （ ） A． B．C． D． 7．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数 的值域为R，则a的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 8．（2023·河北邯郸·模拟预测）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范 围是（ ） A． B． C． D． 9．（2024·全国·模拟预测）函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（22-23高一上·江苏镇江·阶段练习）函数 ，则正确的有（ ） A． 的定义域为 B． 的值域为 C． 是偶函数 D． 在区间 上是增函数 11．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A．函数 值域为 B．函数 是增函数 C．不等式 的解集为 D． 12．（23-24高三下·湖北·开学考试）设函数 且 在区间 上单调递减， 则 的取值可以为（ ） A． B． C． D． 三、填空题13．（2023高三·全国·专题练习）已知集合 ， ，则 14．（22-23高三上·北京朝阳·阶段练习）函数 的定义域是 ，值域是 ． 15．（23-24高三上·安徽亳州·阶段练习）若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取 值范围为 . 16．（22-23高三上·上海杨浦·阶段练习）已知函数 ，对于任意的 都能找到 ，使得 ，则实数 的取值范围是 .