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专题 04 勾股定理常考压轴题汇总
一．选择题（共23小题）
1．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦
图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．如图，直角三
角形的直角边长为a、b，斜边长为c．若b﹣a＝2，c＝10，则a+b的值为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
2．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B
处吃食物，那么它爬行最短路程是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S 、S 、S 、S 的关系为（ ）
1 2 3 4
A．S +S +S ＝S B．S +S ＝S +S
1 2 3 4 1 2 3 4
C．S +S ＝S +S D．不能确定
1 3 2 4
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，
若AC+BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（ ）A．3 B． C．2 D．
5．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重
合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2
6．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径向上作三个半圆所组成的两个新月形，
面积分别记作S 和S ．若S +S ＝7，AC＝3，则BC长是（ ）
1 2 1 2
A．3.5 B． C．4 D．5
7．如图，在长方体ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，长为
10cm的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触，当木棒的
端点Ⅰ在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（ ）
A．（10﹣5 ）cm B．3cm C．（10﹣4 ）cm D．5cm
8．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，
则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积
关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝
10，点 D，E，F，G，H，I 都在长方形 KLMJ 的边上，则长方形 KLMJ 的面积为
（ ）A．420 B．440 C．430 D．410
9．国庆假期间，妍妍与同学去玩寻宝游戏，按照藏宝图，她从门口 A处出发先往东走
9km，又往北走3km，遇到障碍后又往西走7km，再向北走2km，再往东走了4km，发现
走错了之后又往北走1km，最后再往西走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B
的直线距离是（ ）
A．3 km B．10km C．6 km D． km
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝9，BC＝6，则BD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．如图，某小区有一块长方形花圃，为了方便居民不用再走拐角，打算用瓷砖铺上一条
新路，居民走新路比走拐角近（ ）
A．2m B．3m C．3.5m D．4m
12．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成
的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，
得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）A．148 B．100 C．196 D．144
13．如图，四边形ABCD中，AD⊥CD于点D，BC＝2，AD＝8，CD＝6，点E是AB的中
点，连接DE，则DE的最大值是（ ）
A．5 B． C．6 D．
14．如图，长为8cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉
升3cm到D点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm
15．如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1
个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表
示的实数为（ ）
A． B． C． D．
16．“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，则大正方
形的边长是（ ）
A． B． C． D．
17．如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至
少需要地毯的长度为（ ）
A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
18．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学
家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形 ABC的三条边为边长向外作正方
形ACKJ，正方形ABFE，正方形BCIH，连接AH．CF，具中正方形BCIH面积为1，正
方形ABFE面积为5，则以CF为边长的正方形面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．分别以 AB、AC、BC为边在 AB的同侧作正方形
ABEF、ACPQ、BCMN．四块阴影部分的面积如图所示分别记为S、S 、S 、S ，若S＝
1 2 3
10，则S +S +S 等于（ ）
1 2 3A．10 B．15 C．20 D．30
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以AB、AC、BC为直径向外作半圆，它们的面
积分别记作S 、S 、S ，若S ＝25，S ＝16，则S 为（ ）
1 2 3 1 3 2
A．9 B．11 C．32 D．41
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形
ABEF、ACPQ、BDMC，记四块阴影部分的面积分别为S
1
、S
2
、S
3
、S
4
．若已知S△ABC ＝
S，则下列结论：
①S ＝S；
4
②S ＝S；
2
③S +S ＝S ；
1 3 2
④S +S +S +S ＝2.5S．
1 2 3 4
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
22．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高
出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇
的长度为（ ）尺．
A．10 B．12 C．13 D．14
23．将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和
正方形EFGH．现将四个直角三角形的较长直角边分别向外延长，且 A′E＝ME．B′F＝NF，C′G＝PG，D′H＝HQ，得到图2所示的“新型数学风车”的四个叶片，即
△A′EF，△B′FG，△C′CH．△D′HE．若FM平分∠BFE，正方形ABCD和正方
形EFGH的边长比为1：5．若”新型数学风车”的四个叶片面积和是 m，则正方形
EFCH的面积是（ ）
B． C．3m D．
A．
二．填空题（共14小题）
24．如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形
是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．
如果图①中的直角三角形的长直角边为7cm，短直角边为3cm，连结图②中四条线段
得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为 cm．
25．如图，在△ABC中，已知：∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，
沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，连接PA，当△ABP为等腰三角
形时，t的值为 ．26．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形
是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段
AB的“勾股分割点”，若AM＝4，MN＝5，则斜边BN的长为 ．
27．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形
ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB＝6，CD＝10，则AD2+BC2＝ ．
28．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的顶点A、C的坐标分别为（30，0）（0，
12），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为15的等腰三角形时，
点P的坐标为 ．
29．《勾股》中记载了这样一个问题：“今有开门去阃（kǔn）一尺不合2寸，问门广几
何？”意思是：如图推开两扇门（AD和BC），门边沿D，C两点到门槛AB的距离是1
尺（1尺＝10寸），两扇门的间隙CD为2寸，则门槛AB长为 寸．
30．如图，在某次军事演习中，舰艇1号在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇2号
在指挥中心南偏东60°的B处，并且OA＝OB．接到行动指令后，舰艇1号向正东方向
以60海里/小时的速度前进，舰艇2号沿北偏东60°的方向以m海里/小时的速度前进．
1.5小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达点 E，F处，若∠EOF＝75°，EF＝210海
里，则m的值为 ．31．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直
角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD．连结EG并延长
交BC于点M．若AB＝5，EF＝1，则GM的长为 ．
32．如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，AB⊥AD于A，CD⊥AD于
D，已知AB＝15km，CD＝10km，现在要在铁路AD上建一个土特产品收购站P，使得
B、C两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A 千米．
33．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有
一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从
外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm（杯壁厚度不计）．
34．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC．若P、Q分别是AD
和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．35．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝ ，AC＝6，BC＞4，点E，F分别在BC，
AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为 ．
36．如图，在△ABC 中，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，M 是 BC 边上的动点，
MD⊥ AB ， ME⊥ AC ， 垂 足 分 别 是 D 、 E ， 线 段 DE 的 最 小 值 是
cm．
37．如图，Rt△ABC 中， ．点 P 为△ABC 内一点，
PA2+PC2＝AC2．当PB的长度最小时，△ACP的面积是 ．
三．解答题（共4小题）
38．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出
发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，
恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人
行走的路程BC是多少？39．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从B出发沿射线
BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）求BC边的长．
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
40．今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，
有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为
一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又
AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
41．请阅读下列材料：
已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两
动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路
是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请
你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条
件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请
你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角
形顶角的度数．
