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专题 06 函数 y＝Asin(ωx＋φ)
目录
题型一： 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换...................................................................................3
题型二： 已知函数图象求解析式..................................................................................................5
题型三： 三角函数图象变换与性质的综合..................................................................................9
题型四： 三角函数模型及其应用................................................................................................16
知识点总结
知识点一、函数y＝Asin(ωx＋φ)
(1)匀速圆周运动的数学模型
如图，点P从P(t＝0)开始，逆时针绕圆周匀速运动(角速度为ω)，则点P距离水面的高度
0
H与时间t的函数关系式为 H ＝ r sin( ωt ＋ φ ) ＋ h .
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
①用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)的简图：
列表．先由ωx＋φ＝0，，π，，2π分别求出x的值，再由ωx＋φ的值求出y的值，列出下
表.
ωx＋φ 0 π 2 π
xy＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
描点．在同一平面直角坐标系中描出各点．
连线．用光滑的曲线连接这些点，得到一个周期内的图象．
成图．利用函数的周期性，通过左、右平移得到定义域内的简图．
②由y＝sin x的图象通过图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的方法：
知识点二、三角函数的应用
(1)如果某种变换着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述．
(2)在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中
A>0，ω>0.描述简谐运动的物理量，大都与这个解析式中的常数有关：
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx ＋ φ φ
例题精讲
题型一：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
【要点讲解】(1)解题时首先分清原函数与变换后的函数;(2)异名三角函数图象变换要利用诱导公式sin α=cos( π),cos α=sin( π)将不同名函
α− α+
2 2
数转换成同名函数;
(3)无论是先平移再伸缩,还是先伸缩再平移,只要平移|φ|个单位,都是自变量x变为x±|φ|,而不
是ωx变为ωx±|φ|.
【例1】（2023春•樟树市校级期中）将函数 的图象上各点向右平移
个单位长度得函数 的图象，则 的单调递增区间为
A． B．
C． D． ，
【变式训练1】（2022秋•上城区校级期末）已知曲线 ， ，
则下面结论正确的是
A．把 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单位长度，得到曲线
B．把 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
个单位长度，得到曲线
C．把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
个单位长度，得到曲线
D．把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
【变式训练2】（2022秋•上城区校级期末）将函数 的图象向左平移 个单位，再将
所的图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的 倍，得到函数 的图象．已知
，则
A． B．
C． D．
（2023•昌平区二模）将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应
的函数
A．在区间 上单调递增
B．在区间 上单调递减
C．在区间 上单调递增
D．在区间 上单调递减
题型二：已知函数图象求解析式
【要点讲解】 确定y=Asin(ωx+φ)+b(0A>0,ω>0)的步骤和方法
M−m M+m
(1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m,则A= ,b= ;
2 2
2π
(2)求ω:确定函数的周期T,则可得ω= ;
T
(3)求φ:常用的方法有:① 代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b已知)或代入图象与直线y=b的交点求
解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
② 五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口.
【例2】（2023春•驻马店月考）已知函数 ， 的部分图
象如图所示，则
A．0 B． C． D．
【变式训练1】（2021•宝鸡模拟）已知函数 的部分图象如
图所示，则关于函数 下列说法正确的是
A． 的图象关于直线 对称
B． 的图象关于点 对称
C． 在区间 上是增函数D．将 的图象向右平移 个单位长度可以得到 的图象
【变式训练2】（2023春•谯城区校级期中）已知函数 ， ，
的最大值为 ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，且 的图象关于点
中心对称，则下列判断正确的是
A．要得到函数 的图象只需将 的图象向右平移 个单位
B．函数 的图象关于直线 对称
C．当 时，函数 的最大值为
D．函数 在 上单调递减
【变式训练3】（2023 春•南阳期中）已知函数 ， ，
的部分图象如图，则
A． B． C． D．题型三：三角函数图象变换与性质的综合
【要点讲解】(1)将f(x)化为asin x+bcos x的形式;
(2)构造f(x)= · a ·sin x+ · b ·cos x;
√a2+b2 √a2+b2
√a2+b2 √a2+b2
(3)和角公式逆用,得f(x)= sin(x+φ)(其中φ为辅助角);
√a2+b2
(4)利用f(x)= sin(x+φ)研究三角函数的性质.
√a2+b2
【例3】（2023春•丽水期末）已知函数 ， ．
（1）求 的最小正周期和单调递增区间；
（2）将 的图象向左平移 个单位，得到 的图象，求 ， 的值域．
【变式训练1】（2023春•焦作期末）已知函数 的图象
与 轴的相邻两个交点之间的距离为 ，且 ．
（1）求 的解析式；
（2）将 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，求函数
的单调递减区间．
【变式训练2】（2023春•成都期末）已知函数 ， 的部分
图象如图所示．
（1）求 的解析式；
（2）若 ，求 的取值范围．【变式训练3】（2023春•朝阳区校级月考）函数 的部分图
像如图所示．
（1）求 的解析式；
（2）若 ， ，求 的取值范围．
【例4】（2023春•河南期中）如图为函数 ， 的图象，则函
数 的图象与直线 在区间 ， 上交点的个数为
A．9个 B．8个 C．7个 D．5个
【变式训练1】（2023春•河南期中）如图为函数 ， 的图象，则函数 的图象与直线 在区间 ， 上交点的个数为
A．9个 B．8个 C．7个 D．5个
【变式训练2】（2023春•柯桥区期末）已知函数 的部分图
象如图所示， ， 是 的两个零点，若 ，则下列为定值的量是
A． B． C． D．
【变式训练3】（2023•郑州模拟）已知函数 （其中 ，
的图象如图所示，且满足 ，则
A． B． C． D．【变式训练4】（2023•鲤城区校级模拟）已知函数 在区间
内没有零点，但有极值点，则 的取值范围
A． B． C． D．
题型四：三角函数模型及其应用
【要点讲解】(1)解题关键:准确理解自变量的意义及自变量与因变量之间的对应法则,建立
三角函数关系式;
(2)建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题,尤其是利用已知数据建立拟合函数解决实际
问题;
(3)与角度有关的呈周期性变化的问题常转化为三角函数模型.
【例5】（2023春•沂水县期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环
保，至今还在农业生产中得到使用．现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动 6
圈，如图，将该筒车抽象为圆 ，筒车上的盛水桶抽象为圆 上的
点 ，已知圆 的半径为 ，圆心 距离水面 ，且当圆 上点 从水中浮现时（图
中点 开始计算时间．根据如图所示的直角坐标系，将点 到水面的距离 （单位：
在水面下， 为负数）表示为时间 （单位： 的函数，当 时，点 到水面的距离为
A． B． C． D．【变式训练1】（2023春•西城区校级期中）如图所示，一个大风车的半径为 ，每
旋转一周，最低点离地面 ，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的
端点 离地面的距离 与时间 之间的函数关系是
A． B．
C． D．
【变式训练2】（2023春•肥城市期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济
又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图 ．假
定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图 2，将筒车抽
象为一个半径为4米的圆，筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当 时，筒车上
的某个盛水筒 位于点 处，经过 秒后运动到点 ，点 的纵坐标满足
．
已知筒车的轴心 距离水面的高度为2米，设盛水筒 到水面的距离为 （单位：米）
（盛水筒 在水面下时，则 为负数）．
（1）将距离 表示成旋转时间 的函数；
（2）求筒车在 ， 秒的旋转运动过程中，盛水筒 位于水面以下的时间有多长？【变式训练3】（2023•香洲区校级模拟）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客
坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图 某摩天轮的最高
点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图
，开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩
天轮转完一周后在相同的位置离开座舱摩天轮转一周需要 30分钟，当游客甲坐上摩天轮的
座舱开始计时．
（1）经过 分钟后游客甲距离地面的高度为 米，已知 关于 的函数关系式满足
（其中 ， ， ，求摩天轮转动一周的解析式 ；
（2）问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？课后练习
一．选择题（共6小题）
1．（2023•广东学业考试）要获得 ，只需要将正弦图像
A．向左移动 个单位 B．向右移动 个单位
C．向左移动 个单位 D．向右移动 个单位
2．（2023春•顺德区校级期中） ， ， 的一段图象如图，
则其解析式为
A． B．
C． D．
3．（2023春•金安区校级期中）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．
我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图 1．由物理学
知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移 和时间
的函数关系为 ， ，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续
三次到达同一位置的时间分别为 ， ， ，且 ， ，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于 的总时间为
A． B． C． D．
4．（2023•桃城区校级三模）函数 的部分图象如图所示，
则
A． B． C．0 D．
5．（2023春•河南期中）如图为函数 ， 的图象，则函数
的图象与直线 在区间 ， 上交点的个数为
A．9个 B．8个 C．7个 D．5个
6．（2023春•深圳期中）要得到函数 的图象，只需将函数的图象
A．向右平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
二．多选题（共2小题）
7．（2023•临沂二模）已知函数 ， ， 在一个周期
内的图象如图，则
A．
B．点 是一个对称中心
C． 的单调递减区间是 ，
D．把函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，再向左平
移 个单位，可得 的图象
8．（2023•郴州模拟）设函数 向左平移 个单位长度得到函数 ，
已知 在 ， 上有且只有5个零点，则下列结论正确的是
A． 的图象关于点 对称
B． 在 上有且只有5个极值点
C． 在 上单调递增D． 的取值范围是
三．填空题（共4小题）
9．（2023•汉滨区校级模拟）把函数 的图象向右平移 个单位
后，图象关于 轴对称，若 在区间 ， 上单调递减，则 的最大值为 ．
10．（2022秋•河北区期末）已知函数 的部分图象如图所示，
则 ．
11．（2023春•顺庆区校级期中）将函数 的图象向左平移 个单位得
到一个偶函数的图象，则 ．
12．（2023春•桐柏县校级月考）函数 的图象向左平移 个单
位后与函数 的图象重合，则 ．
四．解答题（共3小题）
13．（2023•桃城区校级模拟）如图， ， 是以原点为圆心的单位圆上的两个动点，若
它们同时从点 出发，沿逆时针方向做匀角速度运动，其角速度分别为 （单位：
弧度 秒）， 为线段 的中点，记经过 秒后（其中 ， ．
（1）求 的函数解析式；
（2）将 图像上的各点均向右平移 2 个单位长度，得到 的图像，求函数的单调递减区间．
14．（2023春•朝阳区校级期末）某同学用“五点法”画函数 ，
， 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
0
0 2 0 0
（Ⅰ）函数 的解析式为 （直接写出结果即可）；
（Ⅱ）求函数 的单调递增区间；
（Ⅲ）求函数 在区间 ， 上的最小值．
15．（2023春•长寿区期末）若函数 ．
（1）求函数 的最小正周期；
（2）若将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，当 时，
求 的值域．
