文档内容
第 09 讲 函数模型及其应用(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：几类不同增长的函数模型
高频考点二：利用常见函数模型解决实际问题（二次模型；分段模
型）
高频考点三：利用常见函数模型解决实际问题（指、对、幂函数模
型）
高频考点四：利用给定函数模型解决实际问题
第四部分：高考真题感悟
第五部分： 第 09 讲 函数模型及其应用（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆1、常见函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 ( 为常数， )
反比例函数模型 ( 为常数且 )
二次函数模型 （ 均为常数， ）
指数函数模型 （ 均为常数， ， ， ）
对数函数模型 （ 为常数， ）
幂函数模型 （ 为常数， ）
分段函数
2、指数、对数、幂函数模型性质比较
函数
性质
在(0，＋∞)上的
单调递增 单调递增 单调递增
增减性
介于指数函数与
增长速度 先慢后快，指数爆炸 先快后慢，增长平缓 对数函数之间,相
对平稳
随x的增大，图象与 轴接 随x的增大，图象与 轴接 随 n 值变化而各
图象的变化
近平行 近平行 有不同值的比较 存在一个 ，当 时，有
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·湖南·新邵县教研室高一期末）有一组实验数据如下表所示：
x 2.01 3 4.01 5.1 6.12
y 3 8.01 15 23.8 36.04
则最能体现这组数据关系的函数模型是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
将各点 分别代入各函数可知，最能体现这组数据关系的函数模型是 ．
故选：D．
2．（2022·全国·高一阶段练习）下列函数中，随着 的增大，函数值的增长速度最快的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
当x＞1时，指数函数增长最快，幂函数其次，对数函数最慢，故函数 的增长速度最快．
故选：D.
3．（2022·贵州·六盘水市第一中学模拟预测）用32 的材料制作一个长方体形的无盖盒子, 如果底面的
宽规定为2m, 那么这个盒子的最大容积可以是（ ）
A．36 B．18 C．16 D．14
【答案】C
解：如图，长方体无盖盒子底面边长为 ，高为 ，体积为
表面积为：体积为：
令 ，则
当且仅当 时取等号.
故选：C
4．（2022·湖南·高一课时练习）据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近
似满足关系y＝alog (x＋2)，观测发现2013年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2019年冬有越冬
3
白鹤（ ）
A．4 000只 B．5 000只 C．6 000只 D．7 000只
【答案】C
由题意，当 时，可得 ，解得 ，
所以2019年冬有越冬白鹤为 .
故选: C.
5．（2022·云南·昆明一中高一期末）在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数y
（单位；人）与某产品销售单价x（单位：元）满足关系式： ，其中201时呈爆炸式增长，而且a越大，增长速度越快，
故选：D.
2．（2022·山东聊城·高一期末）某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：
3 9 27 81
2 4
以下函数中最符合变量 与 的对应关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
根据表格所给数据可知，函数的增长速度越来越慢，
A选项，函数 增长速度不变，不符合题意.
BC选项，当 时，函数 、 增长越来越快，不符合题意.
D选项，当 时，函数 的增长速度越来越慢，符合题意.
故选：D
3．（2022·江苏苏州·高一期末）若三个变量 、 、 ，随着变量 的变化情况如下表.
2
则关于 分别呈函数模型： 、 、 变化的变量依次是（ ）A． 、 、 B． 、 、 C． 、 、 D． 、 、
【答案】B
解：由表可知， 随着 的增大而迅速的增大，是指数函数型的变化，
随着 的增大而增大，但是变化缓慢，是对数函数型的变化，
相对于 的变化要慢一些，是幂函数型的变化.
故选：B.
4．（2022·云南·无高二开学考试）有一组实验数据如下
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最佳的一个是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
对于选项A：
当 时， ，与 相差较多，
当 时， ，与 相差较多，故选项A不正确；
对于选项B：
当 时， ，与 相差较多，
当 时， ，与 相差较多，故选项B不正确；
对于选项C：
当 时， ，
当 时， ，故选项C正确；
对于选项D：
当 时， ，与 相差较多，
当 时， ，与 相差较多，故选项D不正确；
故选：C.
5．（2022·山东聊城一中高一期末）某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：
x 3 9 27 81
y 2 3.1 4 5.2以下函数中最符合变量y与x的对应关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由表中的数据可得，y随x的增大而增大，且增大的幅度越来越小，
而函数 ， 在(3,+∞)的增大幅度越来越大；
函数 呈线性增大，只有函数 与已知数据的增大趋势接近.
故选：D
高频考点二：利用常见函数模型解决实际问题（二次模型；分段模
型）
1．（2022·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于 ，
已知一驾驶员某次饮酒后体内每 血液中的酒精含量 （单位： ）与时间 （单位： ）的关系是：
当 时， ；当 时， ，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过
__________ 才可驾车.
【答案】
当 时， ，
当 时，函数有最大值 ，所以当 时，饮酒后体内每 血液中的酒精含量小于
，
当当 时，函数 单调递减，令 ，因此饮酒后 小时体内每 血液中
的酒精含量等于 ，
故答案为：
2．（2022·云南玉溪·高一期末）某企业为抓住环境治理带来的历史性机遇，决定开发生产一款大型净水设
备．生产这款设备的年固定成本为 万元，每生产 台 需要另投入成本 （万元），当年产
量 不足 台时， 万元，当年产量 不少于 台时， 万元．
若每台设备的售价为 万元，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完．
(1)求年利润 （万元）关于年产量 （台）的函数关系式；
(2)年产量 为多少台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？【答案】(1) ；
(2)当年产量为 台时，该企业在这款净水设备的生产中获利润最大，最大为 万元．
(1)
当 ， 时，
；
当 ， 时，
；
综上所述： .
(2)
当 ， 时， ，
则当 时， 的最大值为 ；
当 ， 时，
（当且仅当 ，即
时等号成立）；
当年产量为 台时，该企业在这款净水设备的生产中获利润最大，最大为 万元．
3．（2022·甘肃张掖·高一期末）某公司今年年初用 万元收购了一个项目，若该公司从第 年到第 （
且 ）年花在该项目的其他费用（不包括收购费用）为 万元，该项目每年运行的总收入
为 万元．
(1)试问该项目运行到第几年开始盈利？
(2)该项目运行若干年后，公司提出了两种方案：
①当盈利总额最大时，以 万元的价格卖出；
②当年平均盈利最大时，以 万元的价格卖出．
假如要在这两种方案中选择一种，你会选择哪一种？请说明理由．
【答案】(1)第 年
(2)选择方案②，理由见解析
（2）计算出两种方案获利，结合两种方案的用时可得出结论.(1)
解：设项目运行到第 年的盈利为 万元，
则 ，
由 ，得 ，解得 ，
所以该项目运行到第 年开始盈利．
(2)
解：方案① ，
当 时， 有最大值 ．
即项目运行到第 年，盈利最大，且此时公司的总盈利为 万元，
方案② ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
即项目运行到第 年，年平均盈利最大，且此时公司的总盈利为 万元.
综上，两种方案获利相等，但方案②时间更短，所以选择方案②．
4．（2022·河北张家口·高一期末）习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.”新能源汽车
环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.工业部表示，
到 年中国的汽车总销量将达到 万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一.江苏某新能源
公司某年初购入一批新能源汽车充电桩，每台 元，到第 年年末 每台设备的累计维修保养费
用为 元，每台充电桩每年可给公司收益 元.（ ）
(1)每台充电桩第几年年末开始获利；
(2)每台充电桩在第几年年末时，年平均利润最大.
【答案】(1)第 年；
(2)第 年.
(1)
设每台充电桩在第 年年末的利润为 ，
则 ，
令 ，解得： ，又 ， ，
， 每台充电桩从第 年年末开始获利；
(2)
设 为每台充电桩在第 年年末的年平均利润，
则 ；在 上单调递减，在 上单调递增，
在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ， ， ， ，
每台充电桩在第 年年末时，年平均利润最大.
5．（2022·河北沧州·高一期末）某镇发展绿色经济，因地制宜将该乡镇打造成“特色农产品小镇”，根据
研究发现：生产某农产品，固定投入 万元，最大产量 万斤，每生产 万斤，需其他投入 万元，
，根据市场调查，该农产品售价每万斤 万元，且所有产量都能全
部售出.（利润 收入 成本）
(1)写出年利润 （万元）与产量 （万斤）的函数解析式；
(2)求年产量为多少万斤时，该镇所获利润最大？求出利润最大值.
【答案】(1) ；
(2)当年产量为 万斤时，该镇所获利润最大，最大利润为 万元
(1)
由题意得： ；
(2)
当 时， ，
则当 时， ；
当 时， （当且仅当 ，即
时取等号）， ；
， 当 ，即年产量为 万斤时，该镇所获利润最大，最大利润为 万元.
高频考点三：利用常见函数模型解决实际问题（指、对、幂函数模
型）
1．（2022·河南省直辖县级单位·二模（文））搭载神州十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，精准点火发射后约582秒，进入预定轨道，发射取得圆满成功．据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭
的最大速度 （单位：m/s）和燃料的质量M（单位：kg）、火箭的质量m（除燃料外，单位：kg）的函数
关系是 ．当火箭的最大速度为11.5km/s时， 约等于（ ）（参考数据：
）
A．313 B．314 C．312 D．311
【答案】A
火箭的最大速度为11.5km/s,即
所以 ，所以
即
故选：A
2．（2022·广东汕尾·高一期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：驾驶人血液中
的酒精含量大于（或等于） 毫克/毫升，小于 毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大
于（或等于） 毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上 点钟喝了一定量
的酒后，其血液中酒精含量上升到 毫克/毫升．如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时 的速
度减少，则他次日上午最早（ ）点（结果取整数）开车才不构成酒驾．（参考数据： ，
）
A． B． C． D．
【答案】D
假设经过 小时后，驾驶员开车才不构成酒驾，
则 ，即 ， ，
则 ， ，
次日上午最早 点，该驾驶员开车才不构成酒驾.
故选：D.
3．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（理））尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，
已经知道地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为
.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量大约是2022年1月2日在
云南丽江市宁蒗县发生5.5级地震所释放能量的倍数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A设日本地震释放的能量为 ，云南地震释放的能量为 ，则 ，
，所以 .
故选：A
4．（2022·山东聊城·一模）“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的
进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为 ，排放前每过滤一次，
该污染物的含量都会减少 ，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过 ，若要使该
工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（ ）（参考数据：
）
A．5 B．7 C．8 D．9
【答案】C
解：设该污染物排放前过滤的次数为 ，由题意 ，即 ，
两边取以10为底的对数可得 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8次.
故选：C.
5．（2022·北京·一模）李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过 天后，用户人数
，其中 为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过
的天数为（ ）（本题取 ）
A．31 B．32 C．33 D．34
【答案】D
经过 天后，用户人数
又 小程序在发布时已有500名初始用户
又 小程序发布经过10天后有2000名用户
即 ，可得
……①当用户达到50000名时有
即 ，可得
……②
联立①和②可得 ，即
故
用户超过50000名至少经过的天数为34天
故选：D.
6．（2022·江苏连云港·二模）某公司2021年实现利润100万元，计划在以后5年中每年比一年利润增长
8%，则2026年的利润是___________万元.（结果精确到1万元）
【答案】147
由题意可知，
(万元)，即2026年的利润大约是147万元.
故答案为：147
7．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润
低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y（百万元）与年投资成本x（百万
元）变化的一组数据：
年份 2015 2016 2017 2018
投资成本
3 5 9 17 …
年利润 1 2 3 4 …
给出以下3个函数模型：① ；② （ ，且 ）；③ （ ，且
）.
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；
(2)试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型.
【答案】(1)可用③来描述x，y之间的关系，
(2)该企业要考虑转型.
(1)
由表格中的数据可知，年利润 是随着投资成本 的递增而递增，而① 是单调递减，所以不符合
题意；
将 ， 代入 （ ，且 ），得 ，解得 ，∴ .
当 时， ，不符合题意；
将 ， 代入 （ ，且 ），
得 ，解得 ，∴ .
当 时， ；当 时， .
故可用③来描述x，y之间的关系.
(2)
由题知 ，解得 .
∵年利润 ，∴该企业要考虑转型.
8．（2022·海南·嘉积中学高一期末） 年，全世界范围内都受到“新冠”疫情的影响，了解某些细菌､
病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防疾病的传播､保护环境有极其重要的意义.某科研团队在培养基中放
入一定量某种细菌进行研究．经过 分钟菌落的覆盖面积为 ，经过 分钟覆盖面积为 ，后期
其蔓延速度越来越快；现菌落的覆盖面积 （单位： ）与经过时间 （单位： ）的关系有两个函
数模型 与 可供选择.
（参考数据： ， ， ， ， ， ， ）
(1)试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式；
(2)在理想状态下，至少经过多久培养基中菌落面积能超过 ？（结果保留到整数）
【答案】(1)应选模型为 ，理由见解析；
(2)
(1)
的增长速度越来越快， 的增长速度越来越慢，
应选模型为 ；
则 ，解得： ， ，又 ，
函数模型为 ；(2)
由题意得： ，即 ， ，
， ，
至少经过 培养基中菌落面积能超过 .
高频考点四：利用给定函数模型解决实际问题
1．（2022·江西·二模（理））茶文化起源于中国，中国饮茶据说始于神农时代．现代研究结果显示，饮茶
温度最好不要超过 ．一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为 ， ，
给出三个茶温T（单位： ）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟）的函数模型：①
；② ；③ ．根据生活常识，从这三个函
数模型中选择一个，模拟茶温T（单位： ）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟）的关系，并依此
计算该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时间为（参考数据 ）（ ）
A．2.72分钟 B．2.82分钟
C．2.92分钟 D．3.02分钟
【答案】B
依据生活常识，茶温一般不会低于室内温度，因此选择模型③，
得到 解得
因此 ．
故选：B
2．（2022·福建·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在
神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 ，其中 表示每一轮优化时使用的学习率， 表示
初始学习率， 表示衰减系数， 表示训练迭代轮数， 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型
的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到
0.05以下（不含 ）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据： ， ）
A．11 B．22 C．227 D．481
【答案】D
由于 ，所以 ，依题意 ，则 ，
由 得 ，
，
， ，
，
所以所需的训练迭代轮数至少为 轮.
故选：D
3．（2022·江西九江·二模）牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所
遵循的规律.如果物体的初始温度为 ，则经过一定时间t分钟后的温度T满足 ，其中
是环境温度，h为常数.现有一个105℃的物体，放在室温15℃的环境中，该物体温度降至75℃大约用时
1分钟，那么再经过m分钟后，该物体的温度降至30℃，则m的值约为（ ）（参考数据： ，
）
A．2.9 B．3.4 C．3.9 D．4.4
【答案】B
由 ，有 ，
又 ，有 ，即 ，
则 ，解得 ，
故选：B.
4．（2022·上海师大附中高三阶段练习）在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.当
基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长.
当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散.广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数.假设某种传染
病的基本传染数为 ，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N人中有V个人接种过疫苗( 称
为接种率)，那么1个感染者新的传染人数为 .已知新冠病毒在某地的基本传染数 ，为了使1个感染者传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为___________.
【答案】60%
为了使1个感染者传染人数不超过1，
只需 ，即 ，∴ ，
由题意可得 ，∴ ，
解得 ，
故答案为：60%﹒
5．（2022·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）某厂一产品有A、B两种型号.应市场情况变化每隔
10天按上下浮动10%左右（误差1%）调整出厂价.表中为2022年2月4号与3月13号出厂价.其中期间上
浮了4次.
A B
2月4号 5 8
3月13号 7.5 ？
(1)A产品每次提价达标吗?计算3月13号B型产品出厂价？（注： ≈1.106）
(2)宏发商场在2022年2月24号~3月13号采购了A、B型共计90件产品，出厂价以表中2月4号价按标准
上浮取整数计算（四舍五入）.已知A型产品售量t 与其售价x满足t =1.5x-5（元，x>0）;B型产品售量t
1 1 2
与其售价x满足t= x-5（元，x>0）.又B型产品售价是A型产品售价的1.5倍.
2
（i）写出总利润y关于A型产品售价t的函数关系式
（ii）当A型产品售价t为何值时，总利润y与t的比最低.（ 3.87，结果保留到0.1）
【答案】(1)达标， 型产品 月 号的出厂价为 元
(2)（i） ；（ii）当 型产品售价为 元时总利润 与 的比最低.
(1)
解：设每次提价率为 ，依题意可得 ，则 ，所以 ，
解得 ，即每次提价 ， ，故提价达标；
则 型产品 月 号的出厂价为 元；
(2)
（i）2月24号 型产品的出厂价为 元，
型产品的出厂价为 元， 产品销售利润 ， 产品销售利润，
所以
因为 ，且 ， ，所以 ；
所以 关于 的函数解析式为 ；
（ii）因为 ，因为 ，所以 ，当且仅当 ，即
时 ；所以当 型产品售价为 元时总利润 与 的比最低.
6．（2022·湖南·株洲二中高一阶段练习）2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性
更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到
了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常
防护依然不能有丝毫放松．某科研机构对变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记
录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：
1 2 3 4 5 6 …
y(万个) … 10 … 50 … 150 …
若该变异毒株的数量y(单位：万个)与经过 个单位时间T的关系有两个函数模型 与
可供选择．
(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个．(参考数据： ，
)
【答案】(1) 更合适， ；
(2)11.
(1)
若选 ，将 ， 和 ， 代入可得， ，解得 ，故
，将 代入 ， ；
若选 ，将 ， 和 ， 代入可得， ，解得 ，
故 ，将 代入 可得， ；所以选择函数 更合适，解析式为 ．
(2)
设至少需要 个单位时间，
则 ，即 ，两边同时取对数可得， ，
则 ，
，
的最小值为11，
故至少经过11个单位时间该病毒的数量不少于1亿个．
7．（2022·福建龙岩·高一期末）2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受
“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动
阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地 球引力，进入
宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式： ，
被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中 为发动机的喷射速度， 和 分别是火箭的初始质量和发动机熄火
（推进剂用完 ）时的质量． 被称为火箭的质量比．
(1)某单级火箭的初始质量为160吨，发动机的喷射速度为2千米/秒，发动机熄火时的 质量为40吨，求该
单级火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；
(2)根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10．如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千
米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度 千米/秒，并说明理由．（参考数据：
，无理数 ）
【答案】(1) 千米/秒；
(2)该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度 千米/秒，理由见解析.
(1)
， ， ，
该单级火箭的最大理想速度为 千米/秒.
(2)
， ，
，
，，
.
该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度 千米/秒.
8．（2022·湖南·长沙一中高一开学考试）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于
2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕.该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪
运动有关的商品销量持续增长.对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进
行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价P(x)（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函
数关系近似满足 （常数 .该款冰雪运动装备的日销售量Q(x)（套）与时间x的部分
数据如下表所示：
x 3 8 15 24
Q（x）（套） 12 13 14 15
已知第24天该商品的日销售收入为32400元.
(1)求k的值；
(2)给出以下两种函数模型：① ；② ，请你依据上表中的数据，从以上两种
函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来描述该商品的日销售量Q（x）与时间x的关系，说明
你选择的理由.根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入 （元）在哪一天达到最
低.
【答案】(1) ；
(2)②，理由见解析；第3天达到最低.
(1)
由题意，得 ，解得 ；
(2)
表格中 对应的数据递增速度不符合指数模型，排除模型①．
对于模型②，将 ， 代入②， ，解得 ，
此时 ，经验证 ， 均满足，故选模型②，
，
当且仅当 时等号成立，故日销售收入在第3天达到最低．第四部分：高考真题感悟
1．（2020·海南·高考真题）基本再生数R 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个
0
感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指
数模型： 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R ，T近似满足R
0 0
=1+rT.有学者基于已有数据估计出R =3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1
0
倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
【答案】B
因为 ， ， ，所以 ，所以 ，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为 天，
则 ，所以 ，所以 ，
所以 天.
故选：B.
2．（2020·全国·高考真题（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200
份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已
知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能
完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者
（ ）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
【答案】B
由题意，第二天新增订单数为 ，
，故至少需要志愿者 名.
故选：B
3．（2019·全国·高考真题（理））2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着
陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器
的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 点的轨道
运行． 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M ，月球质量为M ，地月距离为R，
１ ２
点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设 ，由于 的值很小，因此在近似计算中 ，则r的近
似值为
A． B．
C． D．
【答案】D
由 ，得
因为 ，
所以 ，
即 ，
解得 ，
所以
4．（2021·江苏·高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本 万元与年
产量 吨之间的函数关系可以近似地表示为 ，已知此生产线的年产量最小为60吨，最
大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?
并求最大利润.
【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万
元.
（1） ，
当且仅当 时，即 取“=”，符合题意；
∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.（2）
又 ，∴当 时， .
答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.
第五部分：第 09 讲 函数模型及其应用（精练）
一、单选题
1．（2022·广东·高三阶段练习）声强级 （单位： ）与声强 的函数关系式为： ，若女
高音的声强级是 ，普通女性的声强级为 ，则女高音声强是普通女性声强的（ ）
A．10倍 B．100倍 C．1000倍 D．10000倍
【答案】C
设女高音声强为 ，普通女性声强为 ，则 ，所以 ①， ，所以
②，则①÷②得： ，故女高音声强是普通女性声强的1000倍.
故选：C
2．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））药物在体内的转运及转化形成了药物的体内过程，从而产
生了药物在不同器官、组织、体液间的浓度随时间变化的动态过程，根据这种动态变化过程建立两者之间
的函数关系，可以定量反映药物在体内的动态变化，为临床制定和调整给药方案提供理论依据．经研究表
明，大部分注射药物的血药浓度 （单位： ）随时间t（单位：h）的变化规律可近似表示为
，其中 表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，k表示该药物在人体内的消除速率常
数．已知某麻醉药的消除速率常数 （单位： ），某患者第一次静脉注射该麻醉药后即进人麻醉
状态，测得其血药浓度为 ，当患者清醒时测得其血药浓度为 ，则该患者的麻醉时间约
为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题意得， ，即 ，
则 ，解得 .
故选：B
3．（2022·云南·高三阶段练习（理））新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．
某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时t（n）（单位：小时）大致服从的关系为 （ ， 为常数）．已知第16
天检测过程平均耗时为16小时，第64天（n）和第81天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第36
天检测过程平均耗时大致为（ ）
A．12小时 B．11小时 C．10小时 D．9小时
【答案】B
由第64天和第81天检测过程平均耗时均为8小时知， ，
所以 ，得 ，
又由 得 ，
所以当 时， ，
故选：B．
4．（2022·甘肃酒泉·高二期中（文））如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 （图
中阴影部分），上下空白各宽2 ，左右空白各宽1 ，则四周空白部分面积的最小值是（ ） .
A．56 B．65
C．120 D．88
【答案】A
设阴影部分的长为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2.
由题意得：y=(x+4) -72=8+2 ≥8+2×2 =56，当且仅当x= ，即x=12时等号成立.
故选：A
5．（2022·辽宁·一模）果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与
其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为 ．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采
摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度（ ）
A．25天 B．30天 C．35天 D．40天【答案】B
依题意， ，解得 ，当 时， ，
即 ，解得 ，于是得 ，解得 ，
所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度.
故选：B
6．（2022·四川·石室中学二模（理））基本再生数 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本
再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始
阶段，可以用指数模型 来描述累计感染病例数 随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率
r与 ，T近似满足 ，有学者基于已有数据估计出 ， ．据此，在新冠肺炎疫情初始
阶段，累计感染病例数增加2倍需要的时间约为（ ）（参考数据： ）
A．2天 B．5天 C．4天 D．3天
【答案】D
因为 ， ， ，则指数增长率
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加2倍需要的时间为 天
所以 ，则
所以 ，即 ．
所以 （天）．
故选：D
7．（2022·陕西西安·二模（文））按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于
经测定，刚下课时，空气中含有 的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为 ，且
随时间 （单位：分钟）的变化规律可以用函数 描述，则该教室内的二氧化碳浓度
达到国家标准至少需要的时间为（ ）（参考数据 ）
A． 分钟 B．11分钟 C． 分钟 D．22分钟
【答案】B
当 时， ，解得： ，
所以 ，当 ，解得 ，
所以至少需要11分钟.
故选：B
8．（2022·山东枣庄·高三期末）良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区瓶窑镇、良渚街道境内.1936年浙江省立西湖博物馆的施昕更先生首先在浙江省杭州市良渚镇一带发现．这里的巨型城址，面积近630万平方米，
包括古城、水坝和多处高等级建筑．国际学术界曾长期认为中华文明只始于距今3500年前后的殷商时期，
2019年7月6日，中国良渚古城遗址被列入世界遗产名录，这意味着中国文明起源形成于距今五千年前，
终于得到了国际承认！2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裏泥）上提取的
草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的 ．已知经过x年后，碳14的残
余量 ，碳14的半衰期为5730年，则以此推断此水坝大概的建成年
代是（ ）．（参考数据： ）
A．公元前2893年 B．公元前2903年
C．公元前2913年 D．公元前2923年
【答案】B
碳14的半衰期为5730年， ，当 时，
， ， 2010年之前的4912
年是公元前2902年， 以此推断此水坝大概的建成年代是公元前2903年.
故选：B.
二、填空题
9．（2022·全国·高三专题练习）自新冠病毒爆发以后，各国科技人员都在攻关疫苗的难题，近日我国在这
一领域取得重大突破，国产疫苗在国际上受到广泛认可.我国在实验阶段为了研究T型病毒的变化规律，将
T型病毒注入一个健康的小白鼠体内，根据观测统计的数据分析，小白鼠体内的病毒数y与天数n近似满
足 .已知T型病毒在体内超过109个时，小白鼠就会死亡，但如果注射了某种药物可有效杀
死体内的T型病毒，为使小白鼠在实验过程中不会死亡，第一次注射该种药物最迟应在第___________天
(参考数据： ).
【答案】19
由题意病毒细胞关于时间 的函数为 ，
则由 两边取对数得 ，解得 ．
即第一次最迟应在第19天注射该种药物．
故答案为：19.
10．（2022·广东·高二阶段练习）与传统燃油汽车相比较，新能源汽车具有环保、节能，减排等优势，既
符合我国的国情也代表了汽车产业发展的方向．工信部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万
辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．某公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台16200元，
第一年每台设备的维修保养费用为1100元，以后每年增加400元，估计每台充电桩每年可获利8100元，
则每台充电桩第______年开始获利．（参考数据： ）
【答案】3每年的维修保养费用是以1100为首项，400为公差的等差数列，设第n年时累计利润为 ，
则 ，
开始获利，即 ，即 ，
解得 ，即 ，
所以公司从第3年开始获利．
故答案为：3
11．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（文））某景区套票原价300元/人，如果多名游客组
团购买套票，则有如下两种优惠方案供选择：方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于
50，则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折.不重复打折.方案二：按原价计算，总金额每满5000
元减1000元.已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值
为___________元.
【答案】11710
方案一：满10人可打9折，则单人票价为270元，
方案二：满5000元减1000元，按原价计算 ，则满5000元至少凑齐17人，
，则单人票价为 ，
满10000元时， ，则需34人，单人票价为241元，
满15000元时， ，人数不足，
因为 ，
所以用方案二先购买34张票，剩余13不满足方案二，但满足方案一，
所以总费用为 （元），
故答案为：11710
12．（2022·湖南郴州·高一期末）为了提高员工的工作积极性，某外贸公司想修订新的“员工激励计划”
新的计划有以下几点需求：①奖金随着销售业绩的提高而提高；②销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐
上升；③必须和原来的计划接轨：销售业绩在10万元或以内时奖金为0，超过10万元则开始计算奖金，
销售业绩为20万元时奖金为1千元.设业绩为x（ ）万元时奖金为f（x）千元，下面给出三个函
数模型：① ；② ；③ .其中 .请选择合适的函数模
型，并计算：业绩为100万元时奖金为___________千元.
【答案】
根据题意，当 时，给出三个函数模型均满足“奖金随着销售业绩的提高而提高”，而只有模型
“ ”满足“销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升”，故模型选择：根据题意，则有：
解得：
则模型为：
当 时，
故答案为：
三、解答题
13．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高一期末）某商人计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额
为 万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别是 ，
，已知投资额为0时，收益为0.
(1)求a，b的值;
(2)若该商人投入 万元经营这两种商品，试建立该商人所获收益的函数模型；
(3)如果该商人准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，
并求出其收益的最大值.
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)投入A商品4万元，B商品1万元，最大收益12万元.
【解析】
(1)
由题可知：
(2)
由（1）可知： ，
设投入 商品投入 万元，投入 商品 万元
则收益为：
(3)
由题可知：
令 ，则所以
所以当 ，即 时， （万元）
所以投入A商品4万元，B商品1万元，最大收益12万元
14．（2022·全国·高一阶段练习）随着经济的发展，人们越来越注重生活的品质，对产品提出了更高的要
求．产品质量作为一个重要的因素，与价格共同对产品的销售量产生影响．某企业加大科研投入，提高产
品质量，增加利润．去年其旗下一产品的年销售量为1万只，每只销售价为6元，成本为5元，今年计划
投入科研，进行产品升级，预计年销售量P（万只）与投入科研经费x（万元）之间的函数关系为
，且当投入科研经费为20万元时，销售量为1.5万只，现每只产品的销售价为“原销售
价”与“年平均每只产品所占科研经费的 倍”之和．
(1)当投入科研经费为15万元时，要使得该产品年利润W不少于20万元，则 的最小值是多少？
(2)若 ，则当投入多少万元科研经费时，该产品可获最大年利润？最大年利润是多少？（ ，
精确到0.1万元）
【答案】(1)
(2)当投入约9.2（万元）科研经费时，该产品可获最大年利润，最大年利润约为0.8万元．
(1)
当投入科研经费为20万元时，销售量为1.5万只，
，解得 ，
∴ ，则当 时， ；
∴现每只产品的销售价为 ，∴ ，
解得： ，即 的最小值为 ．
(2)
由（1）知：∴ ；
当 时，现每只产品的销售价为 ，
∴（当且仅当 ，即 时取等号），
所以当投入约9.2（万元）科研经费时，该产品可获最大年利润，最大年利润约为0.8万元．
15．（2022·山东省临沂第一中学高一开学考试）近年来，中美贸易摩擦不断，美国对我国华为百般刁难，
并拉拢欧美一些国家抵制华为 ，然而这并没有让华为却步.今年，我国华为某企业为了进一步增加市场
竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本
250万元，每生产 千部手机，需另投入成本 万元，且 ，由市场调
研知，每部手机的售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
(1)求2020年的利润 （万元）关于年产量 （千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）.
(2)2020年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少.
【答案】(1) ；
(2)2020年产量为100千部时，企业所获得利润最大，最大利润为9000万元.
(1)
解：由题意可知，2020年的利润定于年销售额减去固定成本和另投入成本，
当 时，
当 时，
，
所以 .
(2)
当 时， ，
此时函数 开口向上的抛物线，且对称轴为 ，
所以当 时， （万元）；
当 时， ，
因为 ，当且仅当 即 时，等号成立，
即当 时， （万元），
综上可得，当 时， 取得最大值为 （万元），
即2020年产量为100千部时，企业获利最大，最大利润为9000万元.
16．（2021·湖北·武汉市第十四中学高一阶段练习）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商品一
种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格 （单位：
元）与时间 （单位：天）的函数关系近似满足 （ 为正常数），日销售量 （单位：件）
与时间 （单位：天）的部分数据如下表所示：
/天 10 20 25 30
/件 110 120 125 120
已知第10天的日销售收入为121元.
（1）求 的值；
（2）给出以下四种函数模型：① ，② ，③ ，④ .请
你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量 （单位：件）与时间 （单
位：天）的变化关系，并求出该函数的解析式.
（3）求该小物品的日销售收入 （单位：元）的最小值.
【答案】（1） （2）选② （3） .
【详解】
（1）依题意知第10天的日销售收入为 ，得 ；
（2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②，
，
从表中任意取两组值代入可得， ，解得 ，
；
（3）由（2）知 ，
所以 ，当 时， 在 上是减函数，在 是增函数，
所以 .
当 时， 为减函数，
所以 .
综上所述，当 时， 取得最小值， .
