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第20讲 导数的综合应用
【基础知识网络图】
导数的应用
切线
极 值
函 数
斜率 与 最
的 单
方程 值 问
调 性
题
问题
【基础知识全通关】
1、求切线方程的一般方法
（1）求出函数 在 处的导数 ；
（2）利用直线的点斜式得切线方程。
求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲
线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.
2、判定函数的单调性
（1）函数的单调性与其导数的关系
设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当 时，y=f(x)在相应区间上为增函数；
当 时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有 时，y=f(x)在相应区
间上为常数函数。
①在区间(a,b)内， 是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件！例如：
而f(x)在R上递增。
②学生易误认为只要有点使 ，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有 ，这个函数
y=f(x)在这个区间上才为常数函数。
③要关注导函数图象与原函数图象间关系。
（2）利用导数判断函数单调性的基本步骤
①确定函数f(x)的定义域；
②求导数 ；
③在定义域内解不等式 ；
④确定f(x)的单调区间。
函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应
根据问题的具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b)划分成若干小区间，在每个小区间
上分别判定单调性。
3、函数的极值
（1）极值的概念
一般地，设函数y=f(x)在x=x 及其附近有定义，
0
①如果对于x 附近的所有点，都有：f(x)f(x)，称f(x)为函数f(x)的—个极小值，
0 0 0
记作y =f(x)。
极小值 0
极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的
值，极值指的是函数值。
①在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x 及其附近有定义，否则无从比
0
较。
②函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念，在函数的整
个定义域内可能有多个极值，也可能无极值。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近
点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
③极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。极
小值不一定是整个定义区间上的最小值。
④函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
⑤连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们主要讨论可导
函数的极值问题，但是函数的不可导点也可能是极值点。如某些间断点也可能是极值点，
再如y=|x|，x=0。
⑥可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立。在函数取得极值
处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有 。但反过来不一定。如函
数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值
大，也不比它附近的点的函数值小。
（2）求极值的步骤
①确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程 的根；
④检查 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极
大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值。 (最好通过列表法)
函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可能有若干
个，而且极小值未必小于极大值。f＇(x)=0仅是函数f(x)在点x 处有极值的必要条件，
0 0
点x 是f(x)的极值点，当且仅当在x 的左右f＇(x)的符号产生变化。
0 0
4、函数的最值
函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数 f(x)在闭区间[a,b]上必有一
个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定
有最大值和最小值。
（1）最值与极值的区别与联系：
①函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一
个概念，而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念；
②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；
③极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点
可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
④有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值。
（2）在区间[a，b]上求函数y=f(x)的最大与最小值的步骤①求函数y=f(x)在(a，b)内的导数
②求函数y=f(x)在(a，b)内的极值
③将函数y=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大
的一个为最大值，最小的一个为最小值。
①函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数 f(x)在闭区间[a,b]上必有
一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一。
②在实际问题中，要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式 y=f(x),并注明其定义
域，当 在定义域内只有一个解时，并且最值一定存在，则此点即为函数 f(x)的
最值点。
【考点研习一点通】
考点01切线问题
1、求曲线 的分别满足下列条件的切线：
（1）在点 的切线；（2）过点 的切线；
y=2√x+1
【变式1-1】已知曲线 ，曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这
一点的切线方程。【变式1-2】设函数 的图象与直线 相切于点（1，－
11）,求a，b的值.
【考点易错】
1、已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当 时，求证： ；
（Ⅲ）设 ，记 在区间 上的最大值为M（a）．
当M（a）最小时，求a的值．
2、设函数 、 为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和 的零点均在集合 中，求f（x）的极小值；（3）若 ，且f（x）的极大值为M，求证:M≤ ．
3、已知函数 ， 为 的导函数．
（Ⅰ）当 时，
（i）求曲线 在点 处的切线方程；
（ii）求函数 的单调区间和极值；
（Ⅱ）当 时，求证：对任意的 ，且 ，有
．
4、已知函数 ．
（1）当 时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的
面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．【巩固提升】
1、已知函数 ，则函数 的单调递增区间为
A． B． C． D．
2、已知函数 是偶函数，当 时， ，则曲线 在
处的切线方程为
A． B． C． D．
3、函数 的图象大致是
A． B．
C． D．4、已知函数 ．则下面结论正确的是
A． 是奇函数 B． 在 上为增函数
C．若 ，则 D．若 ，则
5、函数 在点 处的切线方程为__________.
6、若曲线 在 处的切线方程为 ，则 __________
7、函数 在 上的单调递减，则实数 的取值范围为______.
8、已知函数 对于任意 ，均满足 ，当 时，
(其中 为自然对数的底数)，若存在实数
满足 ，则 的取
值范围为
A． B． C． D．
9、已知函数 ，若 ， ，使得 ，且
，则 的最大值为
A．2 B．3 C．4 D．6
10、已知函数 ，若对任意的 在区间 上总存在
唯一的零点，则实数 的取值范围是A． B．
C． D．
11、已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点，求 的取值范围.
12、已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有三个零点，求 的取值范围．
13、已知函数 ．
(Ⅰ)求曲线 的斜率等于 的切线方程；
(Ⅱ)设曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求
的最小值．14、已知 ，函数 ，其中e=2.71828…是自然对数的底数．
(Ⅰ)证明：函数 在 上有唯一零点；
(Ⅱ)记x 为函数 在 上的零点，证明：
0
(ⅰ) ；
(ⅱ) ．
15、已知关于 x 的函数 与 在区间 D 上恒有
．
(1)若 ，求h(x)的表达式；
(2)若 ，求k的取值范围；(3)若
求证： ．
16、已知函数 ．
(1)求 在 处的切线方程：
(2)已知实数 时，求证：函数 的图象与直线 ： 有3个交点．
17、已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
(3)在(2)的条件下(提示：可以用第(2)问的结论)，对任意的 ，证明：.
