文档内容
第 09 讲 函数模型及其应用(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：几类不同增长的函数模型
高频考点二：利用常见函数模型解决实际问题（二次模型；分段模
型）
高频考点三：利用常见函数模型解决实际问题（指、对、幂函数模
型）
高频考点四：利用给定函数模型解决实际问题
第四部分：高考真题感悟
第五部分： 第 09 讲 函数模型及其应用（精练）第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、常见函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 ( 为常数， )
反比例函数模型 ( 为常数且 )
二次函数模型 （ 均为常数， ）
指数函数模型 （ 均为常数， ， ， ）
对数函数模型 （ 为常数， ）
幂函数模型 （ 为常数， ）
分段函数
2、指数、对数、幂函数模型性质比较
函数
性质
在(0，＋∞)上的
单调递增 单调递增 单调递增
增减性
介于指数函数与
增长速度 先慢后快，指数爆炸 先快后慢，增长平缓 对数函数之间,相
对平稳随x的增大，图象与 轴接 随x的增大，图象与 轴接 随 n 值变化而各
图象的变化
近平行 近平行 有不同
值的比较 存在一个 ，当 时，有
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·湖南·新邵县教研室高一期末）有一组实验数据如下表所示：
x 2.01 3 4.01 5.1 6.12
y 3 8.01 15 23.8 36.04
则最能体现这组数据关系的函数模型是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一阶段练习）下列函数中，随着 的增大，函数值的增长速度最快的是( )
A． B． C． D．
3．（2022·贵州·六盘水市第一中学模拟预测）用32 的材料制作一个长方体形的无盖盒子, 如果底面的
宽规定为2m, 那么这个盒子的最大容积可以是（ ）
A．36 B．18 C．16 D．14
4．（2022·湖南·高一课时练习）据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近
似满足关系y＝alog (x＋2)，观测发现2013年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2019年冬有越冬
3
白鹤（ ）
A．4 000只 B．5 000只 C．6 000只 D．7 000只
5．（2022·云南·昆明一中高一期末）在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数y
（单位；人）与某产品销售单价x（单位：元）满足关系式： ，其中200）;B型产品售量t
1 1 2
与其售价x满足t= x-5（元，x>0）.又B型产品售价是A型产品售价的1.5倍.
2
（i）写出总利润y关于A型产品售价t的函数关系式
（ii）当A型产品售价t为何值时，总利润y与t的比最低.（ 3.87，结果保留到0.1）
6．（2022·湖南·株洲二中高一阶段练习）2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性
更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到
了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常
防护依然不能有丝毫放松．某科研机构对变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记
录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：
1 2 3 4 5 6 …
y(万个) … 10 … 50 … 150 …
若该变异毒株的数量y(单位：万个)与经过 个单位时间T的关系有两个函数模型 与
可供选择．
(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个．(参考数据： ，
)
7．（2022·福建龙岩·高一期末）2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受
“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动
阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地 球引力，进入
宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式： ，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中 为发动机的喷射速度， 和 分别是火箭的初始质量和发动机熄火
（推进剂用完 ）时的质量． 被称为火箭的质量比．
(1)某单级火箭的初始质量为160吨，发动机的喷射速度为2千米/秒，发动机熄火时的 质量为40吨，求该
单级火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；
(2)根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10．如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千
米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度 千米/秒，并说明理由．（参考数据：
，无理数 ）
8．（2022·湖南·长沙一中高一开学考试）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于
2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕.该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪
运动有关的商品销量持续增长.对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进
行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价P(x)（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函
数关系近似满足 （常数 .该款冰雪运动装备的日销售量Q(x)（套）与时间x的部分
数据如下表所示：
x 3 8 15 24
Q（x）（套） 12 13 14 15
已知第24天该商品的日销售收入为32400元.
(1)求k的值；
(2)给出以下两种函数模型：① ；② ，请你依据上表中的数据，从以上两种
函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来描述该商品的日销售量Q（x）与时间x的关系，说明
你选择的理由.根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入 （元）在哪一天达到最
低.
第四部分：高考真题感悟
1．（2020·海南·高考真题）基本再生数R 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个
0
感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R ，T近似满足R
0 0
=1+rT.有学者基于已有数据估计出R =3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1
0
倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
2．（2020·全国·高考真题（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200
份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已
知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能
完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者
（ ）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
3．（2019·全国·高考真题（理））2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着
陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器
的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 点的轨道
运行． 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M ，月球质量为M ，地月距离为R，
１ ２
点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
.设 ，由于 的值很小，因此在近似计算中 ，则r的近
似值为
A． B． C． D．
4．（2021·江苏·高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本 万元与年
产量 吨之间的函数关系可以近似地表示为 ，已知此生产线的年产量最小为60吨，最
大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?
并求最大利润.
第五部分：第 09 讲 函数模型及其应用（精练）
一、单选题
1．（2022·广东·高三阶段练习）声强级 （单位： ）与声强 的函数关系式为： ，若女
高音的声强级是 ，普通女性的声强级为 ，则女高音声强是普通女性声强的（ ）A．10倍 B．100倍 C．1000倍 D．10000倍
2．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））药物在体内的转运及转化形成了药物的体内过程，从而产
生了药物在不同器官、组织、体液间的浓度随时间变化的动态过程，根据这种动态变化过程建立两者之间
的函数关系，可以定量反映药物在体内的动态变化，为临床制定和调整给药方案提供理论依据．经研究表
明，大部分注射药物的血药浓度 （单位： ）随时间t（单位：h）的变化规律可近似表示为
，其中 表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，k表示该药物在人体内的消除速率常
数．已知某麻醉药的消除速率常数 （单位： ），某患者第一次静脉注射该麻醉药后即进人麻醉
状态，测得其血药浓度为 ，当患者清醒时测得其血药浓度为 ，则该患者的麻醉时间约
为 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·云南·高三阶段练习（理））新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．
某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告
生成平均耗时t（n）（单位：小时）大致服从的关系为 （ ， 为常数）．已知第16
天检测过程平均耗时为16小时，第64天（n）和第81天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第36
天检测过程平均耗时大致为（ ）
A．12小时 B．11小时 C．10小时 D．9小时
4．（2022·甘肃酒泉·高二期中（文））如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 （图
中阴影部分），上下空白各宽2 ，左右空白各宽1 ，则四周空白部分面积的最小值是（ ） .
A．56 B．65
C．120 D．88
5．（2022·辽宁·一模）果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与
其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为 ．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采
摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度（ ）
A．25天 B．30天 C．35天 D．40天
6．（2022·四川·石室中学二模（理））基本再生数 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本
再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型 来描述累计感染病例数 随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率
r与 ，T近似满足 ，有学者基于已有数据估计出 ， ．据此，在新冠肺炎疫情初始
阶段，累计感染病例数增加2倍需要的时间约为（ ）（参考数据： ）
A．2天 B．5天 C．4天 D．3天
7．（2022·陕西西安·二模（文））按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于
经测定，刚下课时，空气中含有 的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为 ，且
随时间 （单位：分钟）的变化规律可以用函数 描述，则该教室内的二氧化碳浓度
达到国家标准至少需要的时间为（ ）（参考数据 ）
A． 分钟 B．11分钟 C． 分钟 D．22分钟
8．（2022·山东枣庄·高三期末）良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区瓶窑镇、良渚街道境内.1936年浙江省
立西湖博物馆的施昕更先生首先在浙江省杭州市良渚镇一带发现．这里的巨型城址，面积近630万平方米，
包括古城、水坝和多处高等级建筑．国际学术界曾长期认为中华文明只始于距今3500年前后的殷商时期，
2019年7月6日，中国良渚古城遗址被列入世界遗产名录，这意味着中国文明起源形成于距今五千年前，
终于得到了国际承认！2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裏泥）上提取的
草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的 ．已知经过x年后，碳14的残
余量 ，碳14的半衰期为5730年，则以此推断此水坝大概的建成年
代是（ ）．（参考数据： ）
A．公元前2893年 B．公元前2903年
C．公元前2913年 D．公元前2923年
二、填空题
9．（2022·全国·高三专题练习）自新冠病毒爆发以后，各国科技人员都在攻关疫苗的难题，近日我国在这
一领域取得重大突破，国产疫苗在国际上受到广泛认可.我国在实验阶段为了研究T型病毒的变化规律，将
T型病毒注入一个健康的小白鼠体内，根据观测统计的数据分析，小白鼠体内的病毒数y与天数n近似满
足 .已知T型病毒在体内超过109个时，小白鼠就会死亡，但如果注射了某种药物可有效杀
死体内的T型病毒，为使小白鼠在实验过程中不会死亡，第一次注射该种药物最迟应在第___________天
(参考数据： ).
10．（2022·广东·高二阶段练习）与传统燃油汽车相比较，新能源汽车具有环保、节能，减排等优势，既
符合我国的国情也代表了汽车产业发展的方向．工信部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万
辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．某公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台16200元，
第一年每台设备的维修保养费用为1100元，以后每年增加400元，估计每台充电桩每年可获利8100元，
则每台充电桩第______年开始获利．（参考数据： ）
11．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（文））某景区套票原价300元/人，如果多名游客组
团购买套票，则有如下两种优惠方案供选择：方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折.不重复打折.方案二：按原价计算，总金额每满5000
元减1000元.已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值
为___________元.
12．（2022·湖南郴州·高一期末）为了提高员工的工作积极性，某外贸公司想修订新的“员工激励计划”
新的计划有以下几点需求：①奖金随着销售业绩的提高而提高；②销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐
上升；③必须和原来的计划接轨：销售业绩在10万元或以内时奖金为0，超过10万元则开始计算奖金，
销售业绩为20万元时奖金为1千元.设业绩为x（ ）万元时奖金为f（x）千元，下面给出三个函
数模型：① ；② ；③ .其中 .请选择合适的函数模
型，并计算：业绩为100万元时奖金为___________千元.
三、解答题
13．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高一期末）某商人计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额
为 万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别是 ，
，已知投资额为0时，收益为0.
(1)求a，b的值;
(2)若该商人投入 万元经营这两种商品，试建立该商人所获收益的函数模型；
(3)如果该商人准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，
并求出其收益的最大值.
14．（2022·全国·高一阶段练习）随着经济的发展，人们越来越注重生活的品质，对产品提出了更高的要
求．产品质量作为一个重要的因素，与价格共同对产品的销售量产生影响．某企业加大科研投入，提高产
品质量，增加利润．去年其旗下一产品的年销售量为1万只，每只销售价为6元，成本为5元，今年计划
投入科研，进行产品升级，预计年销售量P（万只）与投入科研经费x（万元）之间的函数关系为
，且当投入科研经费为20万元时，销售量为1.5万只，现每只产品的销售价为“原销售
价”与“年平均每只产品所占科研经费的 倍”之和．
(1)当投入科研经费为15万元时，要使得该产品年利润W不少于20万元，则 的最小值是多少？
(2)若 ，则当投入多少万元科研经费时，该产品可获最大年利润？最大年利润是多少？（ ，
精确到0.1万元）15．（2022·山东省临沂第一中学高一开学考试）近年来，中美贸易摩擦不断，美国对我国华为百般刁难，
并拉拢欧美一些国家抵制华为 ，然而这并没有让华为却步.今年，我国华为某企业为了进一步增加市场
竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本
250万元，每生产 千部手机，需另投入成本 万元，且 ，由市场调
研知，每部手机的售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
(1)求2020年的利润 （万元）关于年产量 （千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）.
(2)2020年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少.
16．（2021·湖北·武汉市第十四中学高一阶段练习）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商品一
种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格 （单位：
元）与时间 （单位：天）的函数关系近似满足 （ 为正常数），日销售量 （单位：件）
与时间 （单位：天）的部分数据如下表所示：
/天 10 20 25 30
/件 110 120 125 120
已知第10天的日销售收入为121元.
（1）求 的值；（2）给出以下四种函数模型：① ，② ，③ ，④ .请
你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量 （单位：件）与时间 （单
位：天）的变化关系，并求出该函数的解析式.
（3）求该小物品的日销售收入 （单位：元）的最小值.
