第13讲对数函数（原卷版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型（新高考专用）

第13讲 对数函数
【基础知识网络图】
对数与对数函数
对 数
对数
指对 对数 函 数
的概
互化 运算 的 图
念
运算 性质 像 与
性质
图象与性质
【基础知识全通关】
知识点01对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝log x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是
a
(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0<a<1
图象
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
性质
当x>1时，y>0； 当x>1时，y<0；
当0<x<1时，y<0 当0<x<1时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
知识点02反函数
对数函数y＝log x(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象
a关于直线y＝x对称．
【知识拓展】
1.换底公式的两个重要结论
(1)logb＝；(2)log m bn＝logb.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
a a a
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
3.对数函数y＝logx(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只
a
在第一、四象限.
【考点研习一点通】
考点01：对数函数的概念与图象
y log x
y  xa
【典例1】函数 与函数 a 在同一坐标系的图像只可能是（ ）
A． B． C． D．
1  1
y  ,y log x (a 0
 
【典例2】在同一直角坐标系中，函数 ax a  2 且a 0)的图象可
能是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】在同直角坐标系中， 与 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．考点02：对数函数的性质及应用
【典例4】设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2a log a4b 2log b
【典例5】若 2 4 ，则（ ）
a2b a2b a b2 ab2
A． B． C． D．
考点03 ：对数函数的性质及应用
 2x, x1,
f(x)
【典例6】若函数 则函数 的值域是（ ）
 log x, x1, f(x)
2
(,2) (,2] [0,) (,0) (0,2)

A． B． C． D．
1 1

7 4 95
【典例7】满足
f(x) f(x)0
，且在 (0,+� ) 单调递减，若a  
9


，b 
7


，
1
clog
2 9 ，则 f(a)， f(b)， f(c)的大小关系为（ ）
f(b) f(a) f(c) f(c) f(b) f(a)
A． B．
f(c) f(a) f(b) f(b) f(c) f(a)
C． D．
【典例8】【多选题】若实数 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
y  log (4x2 3x)
【典例9】函数 0.5 的定义域为 ．【典例10】已知函数 ，则 单调递增区间为__________；若
函数 在区间 上单调，则a的取值范围为__________．
【考点易错】
3
1.已知
f(x) ex1 4x4
，若正实数a满足
f(log
a 4
)1
，则a的取值范围为（ ）
3 3 4
a 0a a
A． 4 B． 4或 3
3
0a
C． 4或a1 D．a1
2．已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
f x [0， y  f x1
3.已知定义在R上的函数 在区间 上单调递增，且 的图象关于
f log a＜f 2
x1
对称，若实数a满足 2 ，则a的取值范围是（ ）
 1 1  1 
0, , ,4
     
A． 4 B．4  C．4  D．4,
4.如图为函数 ）的部分图象，已知 的定义域为 ， ，若
，则 的取值范围为______．【巩固提升】
1．函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数f(x)＝ 则函数y＝f(1－x)的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．3．如图，直线 与函数 和 的图象分别交于点 ， ，
若函数 的图象上存在一点 ，使得 为等边三角形，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4.设函数 ，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减
f x 0,+
5.设 是定义域为R的偶函数，且在 单调递减，则
1
3 2
A． f （log 4 ）＞ f （2  2）＞ f （2  3）
3
1
2 3
B． f （log 4 ）＞ f （2  3）＞ f （2  2）
3
1
3 2
C． f （2  2）＞ f （2  3）＞ f （log 4 ）
3
1
2 3
D． f （2  3）＞ f （2  2）＞ f （log 4 ）
3
6．已知函数 ，若 ，则的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．【多选题】若正实数a，b满足 且 ，下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数 满足 ，当 时，函数 ，则
__________．
9．已知函数 ，则不等式 的解集为___________.
log
1
10．求函数y= 2(-x2+2x+3)的值域和单调区间.
11. 判断下列函数的奇偶性.
(1) (2) .12．已知函数 为奇函数，函数 .
(1)求函数 的定义域.
(2)当 时，关于 的不等式 有解，求 的取值范围.