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第 13 讲 对数与对数函数
1、对数函数y＝logx(a>0，且a≠1)的图象与性质
a
底数 a >1 0< a <1
图
象
定义域：(0，＋∞)
值域：R
性 图象过定点(1，0)，即恒有log 1＝0
a
质 当x>1时，恒有y>0； 当x>1时，恒有y<0；
当0<x<1时，恒有y<0 当0<x<1时，恒有y>0
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
注
当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论
意
2、反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logx(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线
a
y ＝ x 对称．
对数函数的图象与底数大小的比较
3、如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
1、【2021年甲卷文科】青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记
录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（
）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【解析】由 ，当 时， ，
则 .
故选：C.
2、【2021年新高考2卷】已知 ， ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，即 .
故选：C.
3、【2022年全国甲卷】已知9m=10,a=10m−11,b=8m−9，则（ ）
A．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a
【答案】A
【解析】由9m=10可得m=log 10=
lg10
>1，而lg9lg11<
(lg9+lg11) 2
=
(lg99) 2
<1=(lg10) 2 ，所以
9 lg9 2 2
lg10 lg11
> ，即m>lg11，所以a=10m−11>10lg11−11=0．
lg9 lg10
又lg8lg10<
(lg8+lg10) 2
=
(lg80) 2
<(lg9) 2 ，所以
lg9
>
lg10
，即log 9>m，
2 2 lg8 lg9 8
所以b=8m−9<8log
8
9−9=0．综上，a>0>b．
故选：A.
4、【2021年乙卷理科】设 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ,所以 ;
下面比较 与 的大小关系.
记 ,则 , ，
由于
所以当0<x<2时， ,即 , ,
所以 在 上单调递增，
所以 ,即 ,即 ;
令 ,则 , ,
由于 ，在x>0时, ,
所以 ,即函数 在[0,+∞)上单调递减，所以 ,即 ,即b<c;
综上， ,
故选：B.
5、【2020年新课标3卷理科】已知55<84，134<85．设a=log 3，b=log 5，c=log 8，则（ ）
5 8 13
A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b
【答案】A
【解析】由题意可知 、 、 ，
， ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 .
综上所述， .故选：A.
6、【2020年新高考2卷（海南卷）】已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 得 或
所以 的定义域为
因为 在 上单调递增
所以 在 上单调递增
所以
故选：D
1、函数f(x)＝log (－x2＋2)的值域为( )
2
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】 由题意可得－x2＋2>0，即－x2＋2∈(0，2]
得所求函数值域为.故选B.
2、当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝log x的图象为( )
a
【答案】 C
【解析】： y＝a－x＝，∵a>1，∴0<<1，
则y＝a－x在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0，1)；
对数函数y＝log x在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1，0).故选C.
a
3、函数y＝log (x－2)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点 ．
a
【答案】 (3,2)【解析】：∵log 1＝0，
a
令x－2＝1，∴x＝3，
∴y＝log 1＋2＝2，
a
∴原函数的图象恒过定点(3,2)．
4、已知a＝log 0.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
2
A.a<b<c B.a<c<b
C.c<a<b D.b<c<a
【答案】 B
【解析】： 由对数函数的单调性可得a＝log 0.2<log 1＝0，
2 2
由指数函数的单调性可得b＝20.2>20＝1，0<c＝0.20.3<0.20＝1，所以a<c<b
5、函数f(x)＝log (2x＋1)的单调增区间为________．
2
【答案】
【解析】 因为y＝log x为单调增函数，y＝2x＋1也为单调增函数，所以f(x)的单调增区间即为函数的定义
2
域．令2x＋1>0，解得x>－，故函数f(x)的单调增区间为(－，＋∞).
考向一 对数函数的运算
例1 化简下列各式：
(1) ÷ ；
(2) log 25×log 4×log 9；
2 3 5
(3) lg －lg ＋lg .
【解析】 (1) 原式＝lg ×10＝－2×10＝－20.
(2) 原式＝××＝××＝8.
(3) 原式＝lg －lg 4＋lg 7 ＝lg (××7)＝.
变式1、（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链
技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有 种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行
次运算.现在有一台计算机，每秒能进行 次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密
码所需时间大约为（ ）（参考数据： ， ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间为 秒，则有 ；
两边取常用对数，得 ；
；
所以 .
故选：D.
方法总结：对数式的运算化简要注意变成同底的对数式来进行．
考向二 对数函数的性质及其应用
例1、（1）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
（2）设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________．
（3）若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为________．
【答案】（1） D. （2）(－1，0)∪(1，＋∞)． （3） [1，2)
【解析】
（1） 由题意， ，解得 且 ，即函数 的定义域为 .
故选：D.
（2）由题意可得
或解得a＞1或－1＜a＜0．
∴a的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)．
（3）．令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴x＝a，要使函数在上(－∞，1]递减，则有，
即，解得1≤a＜2，即a∈[1，2)．
变式1、（1）（2022·湖北·黄冈中学二模）已知函数 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】B
【解析】构造函数 ，则
，故函数 为奇函数.
又 ，∴ ，∴ .
故选：B
（2）（2022·湖南湖南·二模）已知函数 是R上的奇函数，当 时， ，若
， 是自然对数的底数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：依题意得 ， ，由 ，即 ，得
，所以当 时 ，所以 .
故选：D
变式2、（1）（2022·湖南·岳阳一中一模）设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ,
所以 ，，而 ，
所以 ．
故选：A．
（2）（2022·湖南·长郡中学一模）已知 ， ， ，则下列关系正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ，所以 ；
，所以 ；
，所以 .
综上， .
故选：D.
方法总结：对数函数的性质有着十分广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和
值域、最值等等．
(1)对数值大小比较的主要方法：①化为同底数后利用函数的单调性；②化为同真数后利用图像比较；
③借用中间量(0或1等)进行估值比较．
(2)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时
须分底数0<a<1和a>1两种情形进行分类讨论，防止错解．
考向三 对数函数的图像及其应用
例2、 已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.
【答案】 (1，＋∞)
【解析】如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表
示直线y＝－x＋a在y轴上的截距.
由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点.
变式1、 (1)已知函数f(x)＝log (2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则
a
a，b满足的关系是( )A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1
C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1
【答案】 A
【解析】 由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，log b)，由函数图象
a
可知－1<log b<0，解得<b<1.综上有0<<b<1.
a
(2)若方程4x＝log x在上有解，则实数a的取值范围为 ．
a
【答案】
【解析】 若方程4x＝log x在上有解，则函数y＝4x和函数y＝log x在上有交点，
a a
由图象知解得0<a≤.
变式2、（2022·湖北·蕲春县第一高级中学模拟预测）已知 ， ， 为正实数，满足 ，
， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设 ， ， ， ，在同一坐标系中作出函数
的图象，可得答案.
【详解】
设 ， ， ，
在同一坐标系中作出函数 的图象，如图
为函数 的交点的横坐标为函数 的交点的横坐标
为函数 的交点的横坐标
根据图像可得：
故选：D
方法总结：(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、
值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．
考向三 对数函数的综合及应用
例3、 已知函数 ．
（1）当 时，求该函数的值域；
（2）求不等式 的解集；
【解析】（1）令 ， ，则 ，
则 在 上递减，在 上递增，
所以当 时， 取得最小值为 ，当 时， 取得最大值为 ，
所以当 时，求该函数的值域为 .
（2）不等式 可化为 ，分解因式得 ，
所以 或 ，
所以 或 .
所以不等式 的解集为 或
变式1、(多选)已知函数f (x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝f (1－|x|)，则关于函数
h(x)有下列说法，其中正确的说法为( )
A．h(x)的图象关于原点对称 B．h(x)的图象关于y轴对称
C．h(x)的最大值为0 D．h(x)在区间(－1,1)上单调递增
【答案】 BC
【解析】 函数f (x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，
∴f (x)＝log x，h(x)＝log (1－|x|)，为偶函数，不是奇函数，
2 2
∴A错误，B正确；
根据偶函数性质可知D错误；
∵1－|x|≤1，∴h(x)≤log 1＝0，故C正确．
2
变式2、已知函数f(x)＝lg (k∈R).
(1) 当k＝0时，求函数f(x)的值域；
(2) 当k＞0时，求函数f(x)的定义域；
(3) 若函数f(x)在区间[10，＋∞)上是单调增函数，求实数k的取值范围．
【解析】 (1) 当k＝0时，f(x)＝lg ，则>0，解得x<1.
因为y＝在(－∞，1)上的值域为(0，＋∞)，
所以f(x)的值域为R.
(2) 当k>0时，f(x)＝lg ，则>0，
即(x－1)>0.
①当＝1，即k＝1时，(x－1)2>0，
解得x≠1，
所以f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)；
②当>1，即0<k<1时，则x<1或x>；
③当<1，即k>1时，则x<或x>1.
综上，当0<k<1时，f(x)的定义域为(－∞，1)∪；当k＝1时，f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)；当k>1时，f(x)的定义域为∪(1，＋∞).
(3) 设g(x)＝＝＋k.
因为f(x)在区间[10，＋∞)上单调递增，且y＝lg x在区间[10，＋∞)上单调递增，
所以g(x)在区间[10，＋∞)上单调递增，
所以解得<k<1，
所以实数k的取值范围是.
方法总结：高考对对数函数的考查多以对数与对数函数为载体，考查对数的运算和对数函数的图像和性质
的应用，且常与二次函数、方程、不等式等内容交汇命题．解决此类问题的关键是根据已知条件，将问题
转化为(或构造)对数函数或对数型函数，再利用图像或性质求解．
1、（2022·湖北·黄冈中学二模）已知 ， ， ，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：因为 所以 选C
2、设函数 ，则 （ ）
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减
【答案】D
【解析】由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称，
又 ，
为定义域上的奇函数，可排除AC；当 时， ，
在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，排除B；
当 时， ，
在 上单调递减， 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D正确．故选D
3、（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在如今这个5G时代，6G研究已方兴未艾．2021年8月
30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办．会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并
启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有
望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式 是被广泛公认的通信理论基础和研
究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率
S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 叫做信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比 从11提升
至499，则最大信息传递率C会提升到原来的（ ）参考数据： ．
A．2.4倍 B．2.5倍 C．2.6倍 D．2.7倍
【答案】B
【解析】设提升前最大信息传递率为 ，提升后最大信息传递率为 ，则
由题意可知， ，，
所以
倍.
所以最大信息传递率C会提升到原来的 倍.
故选：B.
4、（2022·广东佛山·三模）（多选题）已知 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】选项A：
由 ，可得 ，
则 ， ，
则 ，则 .判断错误；
选项B：由 ，可得 为 上减函数，
又 ，则 .判断正确；
选项C：由 ，可知 为R上减函数，又 ，则
由 ，可知 为 上增函数，又 ，则 ，则
又 为 上增函数，则 ，则 .判断正确；
选项D：令 ，则 ，
，则 ，即 .判断错误.
故选：BC
5、（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）若函数 满足：（1）对于任意实数 ，当 时，
都有 ；（2） ，则 ___________.(答案不唯一，写出满足这些条
件的一个函数即可)
【答案】 型的都对
【解析】：对于任意实数 ， ，当 时，都有 ，说明该函数在 上单调递增，
又对数函数满足运算性质： ，
故可选一个递增的对数函数： ．
故答案为： ．
6、 已知函数f(x)＝log (8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是
a
________；
【答案】
【解析】 当a>1时，f(x)＝log (8－ax)在区间[1，2]上单调递减．由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，得f(x)
a min
＝f(2)＝log (8－2a)>1，且8－2a>0，解得1<a<；当0<a<1时，f(x)在区间[1，2]上单调递增．由f(x)>1在区
a
间[1，2]上恒成立，得f(x) ＝f(1)＝log (8－a)>1，且8－2a>0，无解．综上可知，实数a的取值范围是.
min a
7、已知函数f(x)＝|log x|，实数a，b满足0<a<b，且f(a)＝f(b).若f(x)在[a2，b]上的最大值为2，则＋b＝
2
________．
【答案】4
【解析】 如图，画出f(x)＝|log x|的图象．因为f(a)＝f(b)，且0<a<b，所以0<a<1，b>1，且ab＝1，所以
2
a2<a.由图，知f(x) ＝f(a2)＝|log a2|＝－2log a＝2，所以a＝，所以b＝2，所以＋b＝4.
max 2 2
