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第 13 讲 对数与对数函数
1、对数函数y＝logx(a>0，且a≠1)的图象与性质
a
底数 a >1 0< a <1
图
象
定义域：(0，＋∞)
值域：R
性 图象过定点(1，0)，即恒有log 1＝0
a
质 当x>1时，恒有y>0； 当x>1时，恒有y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
注
当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和00，且a≠1)与对数函数y＝logx(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线
a
y ＝ x 对称．
对数函数的图象与底数大小的比较
3、如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
1、【2021年甲卷文科】青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记
录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（
）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【解析】由 ，当 时， ，
则 .
故选：C.
2、【2021年新高考2卷】已知 ， ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，即 .
故选：C.
3、【2022年全国甲卷】已知9m=10,a=10m−11,b=8m−9，则（ ）
A．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a
【答案】A
【解析】由9m=10可得m=log 10=
lg10
>1，而lg9lg11<
(lg9+lg11) 2
=
(lg99) 2
<1=(lg10) 2 ，所以
9 lg9 2 2
lg10 lg11
> ，即m>lg11，所以a=10m−11>10lg11−11=0．
lg9 lg10
又lg8lg10<
(lg8+lg10) 2
=
(lg80) 2
<(lg9) 2 ，所以
lg9
>
lg10
，即log 9>m，
2 2 lg8 lg9 8
所以b=8m−9<8log
8
9−9=0．综上，a>0>b．
故选：A.
4、【2021年乙卷理科】设 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ,所以 ;
下面比较 与 的大小关系.
记 ,则 , ，
由于
所以当00时, ,
所以 ,即函数 在[0,+∞)上单调递减，所以 ,即 ,即b0，即－x2＋2∈(0，2]
得所求函数值域为.故选B.
2、当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝log x的图象为( )
a
【答案】 C
【解析】： y＝a－x＝，∵a>1，∴0<<1，
则y＝a－x在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0，1)；
对数函数y＝log x在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1，0).故选C.
a
3、函数y＝log (x－2)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点 ．
a
【答案】 (3,2)【解析】：∵log 1＝0，
a
令x－2＝1，∴x＝3，
∴y＝log 1＋2＝2，
a
∴原函数的图象恒过定点(3,2)．
4、已知a＝log 0.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
2
A.a20＝1，00，解得x>－，故函数f(x)的单调增区间为(－，＋∞).
考向一 对数函数的运算
例1 化简下列各式：
(1) ÷ ；
(2) log 25×log 4×log 9；
2 3 5
(3) lg －lg ＋lg .
【解析】 (1) 原式＝lg ×10＝－2×10＝－20.
(2) 原式＝××＝××＝8.
(3) 原式＝lg －lg 4＋lg 7 ＝lg (××7)＝.
变式1、（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链
技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有 种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行
次运算.现在有一台计算机，每秒能进行 次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密
码所需时间大约为（ ）（参考数据： ， ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间为 秒，则有 ；
两边取常用对数，得 ；
；
所以 .
故选：D.
方法总结：对数式的运算化简要注意变成同底的对数式来进行．
考向二 对数函数的性质及其应用
例1、（1）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
（2）设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________．
（3）若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为________．
【答案】（1） D. （2）(－1，0)∪(1，＋∞)． （3） [1，2)
【解析】
（1） 由题意， ，解得 且 ，即函数 的定义域为 .
故选：D.
（2）由题意可得
或解得a＞1或－1＜a＜0．
∴a的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)．
（3）．令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴x＝a，要使函数在上(－∞，1]递减，则有，
即，解得1≤a＜2，即a∈[1，2)．
变式1、（1）（2022·湖北·黄冈中学二模）已知函数 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】B
【解析】构造函数 ，则
，故函数 为奇函数.
又 ，∴ ，∴ .
故选：B
（2）（2022·湖南湖南·二模）已知函数 是R上的奇函数，当 时， ，若
， 是自然对数的底数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：依题意得 ， ，由 ，即 ，得
，所以当 时 ，所以 .
故选：D
变式2、（1）（2022·湖南·岳阳一中一模）设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ,
所以 ，，而 ，
所以 ．
故选：A．
（2）（2022·湖南·长郡中学一模）已知 ， ， ，则下列关系正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ，所以 ；
，所以 ；
，所以 .
综上， .
故选：D.
方法总结：对数函数的性质有着十分广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和
值域、最值等等．
(1)对数值大小比较的主要方法：①化为同底数后利用函数的单调性；②化为同真数后利用图像比较；
③借用中间量(0或1等)进行估值比较．
(2)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时
须分底数01两种情形进行分类讨论，防止错解．
考向三 对数函数的图像及其应用
例2、 已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.
【答案】 (1，＋∞)
【解析】如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表
示直线y＝－x＋a在y轴上的截距.
由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点.
变式1、 (1)已知函数f(x)＝log (2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则
a
a，b满足的关系是( )A．01.函数图象与y轴的交点坐标为(0，log b)，由函数图象
a
可知－10，解得x<1.
因为y＝在(－∞，1)上的值域为(0，＋∞)，
所以f(x)的值域为R.
(2) 当k>0时，f(x)＝lg ，则>0，
即(x－1)>0.
①当＝1，即k＝1时，(x－1)2>0，
解得x≠1，
所以f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)；
②当>1，即0；
③当<1，即k>1时，则x<或x>1.
综上，当01时，f(x)的定义域为∪(1，＋∞).
(3) 设g(x)＝＝＋k.
因为f(x)在区间[10，＋∞)上单调递增，且y＝lg x在区间[10，＋∞)上单调递增，
所以g(x)在区间[10，＋∞)上单调递增，
所以解得0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是
a
________；
【答案】
【解析】 当a>1时，f(x)＝log (8－ax)在区间[1，2]上单调递减．由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，得f(x)
a min
＝f(2)＝log (8－2a)>1，且8－2a>0，解得11在区
a
间[1，2]上恒成立，得f(x) ＝f(1)＝log (8－a)>1，且8－2a>0，无解．综上可知，实数a的取值范围是.
min a
7、已知函数f(x)＝|log x|，实数a，b满足01，且ab＝1，所以
2
a2
