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专题2.20 函数模型及其应用-重难点题型精练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2021秋•红桥区期末）面对突如其来的新冠病毒疫情，中国人民在中国共产党的领导下，上
下同心、众志成城抗击疫情的行动和成效，向世界展现了中国力量、中国精神．下面几个函数模型中，
能比较近似地反映出右图中时间与治愈率关系的是（ ）
A．y＝ax+b B．y＝ax2+bx+c C．y＝ax D．y＝log x
a
【解题思路】根据已知条件，结合函数图象，以及函数的单调性，即可求解．
【解答过程】解：由图象可知，治愈率先减后增，选项B符合题意，
ACD选项均是单调函数，不符合题意．
故选：B．
2．（5分）（2022•西城区校级开学）星等分为两种：目视星等与绝对星等，但它们之间可用公式 M＝
d
m+5﹣5lg 转换，其中M为绝对星等，m为目视星等，d为到地球的距离（单位：光年）．现在地
3.26
球某处测得牛郎星目视星等为0.77，绝对星等为2.19；织女星目视星等为0.03，绝对星等为0.5．则距
离地球更近的星球和它们到地球的距离之比（较远距离与较近距离之比）分别是（ ）
（参考数据：100.19≈1.549，100.906≈8.054，100.716≈5.199）
A．牛郎星，约1.5 B．织女星，约1.5
C．牛郎星，约2.9 D．织女星，约2.9
【解题思路】设牛郎星到地球的距离为d ，织女星到地球的距离为d ，根据所给公式及指数与对数的关
1 2d d d
系，求出 1 、 2 ，即可判断，再求出 2 即可；
3.26 3.26 d
1
【解答过程】解：设牛郎星到地球的距离为d ，织女星到地球的距离为d ，
1 2
d d
所以2.19＝0.77+5﹣5lg 1 ，0.5＝0.03+5﹣5lg 2 ，
3.26 3.26
d d
即lg 1 =0.716，lg 2 =0.906，
3.26 3.26
d d
所以 1 =100.716≈5.199， 2 =100.906≈8.054，
3.26 3.26
d
2
d 3.26 100.906
所以d ＞d ，所以距离地球更近的星球为牛郎星，且 2= = =100.19≈1.549．
2 1 d d 100.716
1 1
3.26
故选：A．
3．（5分）（2022春•西山区校级期中）第19届亚洲运动会将于2022年9月10日至2022年9月25日在
浙江省杭州市举行，换上智慧脑、聪明肺的黄龙体育中心将承办足球、体操、水球等项目．为了倡导绿
mg
色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水污染物数量N( )
L
与时间t的关系为 （N 为最初污染物数量）．如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染
N=N e−kt 0
0
物消除至最初的64%还需要（ ）
A．3.6小时 B．3.8小时 C．4小时 D．4.2小时
ln0.8
【解题思路】根据题意先求出k，再得出 ⋅t即可求出．
0.64N =N e 4
0 0
ln0.8
【解答过程】解：因为前4小时消除了20%的污染物，所以0.8N =N e−4k，解得k=− ，
0 0 4
ln0.8
设经过t小时污染物消除至最初的64%，则 ⋅t，
0.64N =N e 4
0 0
ln0.8
即 t=ln0.64，解得t＝8，
4
所以污染物消除至最初的64%还需要8﹣4＝4小时．
故选：C．
4．（5分）（2021秋•南昌期末）一般来说，产品进入市场，价格越高，销量越小．某门店对其销售产品定价为 p 元/件，日销售量为 q 件，根据历史数据可近似认为 p，q 满足关系 q＝200﹣p
（80≤p≤150），如当定价p＝90元，毛收入为9900元．为了追求最大利润，不会无限提高售价，根
据信息推测每天最少毛收入为（ ）
A．7500元 B．9600元 C．9900元 D．10000元
【解题思路】根据已知条件，结合二次函数的性质，即可求解．
【解答过程】解：设每天的毛收入为y元，单价为p元/件，
则y＝pq＝（200﹣p）p＝﹣p2+200p，
由对称轴为p＝100，开口向下，
故当p＝150时，毛收入y有最小值，（200﹣150）×150＝7500元．
故选：A．
5．（5分）（2022•攀枝花模拟）中央经济工作会议将做好“碳达峰、碳中和”工作列为 2022年的重点任
务之一，要求持续提升能源利用效率，加快能源消费方式转变．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗
1L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确
的是（ ）
A．消耗1L汽油，乙车最多可行驶5km
B．甲车以80km/h的速度行驶1h，消耗约10L汽油
C．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
D．某城市机动车最高限速80km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【解题思路】根据已知条件，结合图象，逐项分析，即可判断．
【解答过程】解：对于A：当乙车速度大于40km/h时，乙车每消耗1L汽油行驶的里程都超过了5km，
所以A错误；
对于B：甲车以80km/h的速度行驶时，燃油效率为10km/L，则行驶1h消耗约8L汽油，所以B错误；
对于C：以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高耗油越少，故三辆车中，甲车消耗汽油最少，所以 C错误；
对于D：机动车最高限速80km/h相同条件下，丙车比乙车燃油效率高，故更省油，所以D正确，
故选：D．
6．（5分）（2022•江西二模）茶文化起源于中国，中国饮茶据说始于神农时代．现代研究结果显示，饮
茶温度最好不要超过60℃．一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80℃，
68℃，给出三个茶温T（单位：℃）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟）的函数模型：①T＝
at+b（a＜0）；②T＝log t+b（0＜a＜1）；③T＝20+b•at（b＞0，0＜a＜1）．根据生活常识，从这三
a
个函数模型中选择一个，模拟茶温T（单位：℃）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟）的关系，
并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时间为（ ）（参考数据： lg2≈0.301，
lg3≈0.477．）
A．2.72分钟 B．2.82分钟 C．2.92分钟 D．3.02分钟
【解题思路】由生活常识，茶温高于室温可选模型③，利用模型计算即可．
【解答过程】解：依据生活常识，茶温一般不会低于室内温度，因此选择模型③，
{ 4
{80=20+ba， a= ，
得到 解得 5
68=20+ba2
，
b=75，
4 4 8 3lg2−lg3−lg5
因此 20+75⋅( ) t≤60⇒( ) t≤ ⇒t≥ ≈2.814．
5 5 15 2lg2−lg5
故选：B．
7．（5分）（2022春•河南月考）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系
为y＝at.关于下列说法：
①浮萍每月的增长率为1；
②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2；
③浮萍每月增加的面积都相等；
④若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别是t ，t ，t ，则t +t ＝t ．
1 2 3 1 2 3
其中正确的说法是（ ）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【解题思路】根据已知条件，结合图象和对数函数的公式，即可依次求解．
【解答过程】解：对于①，浮萍每月的增长率为2t+1−2t
1，故①正确，
=
2t
对于②，当t＝5时，y＝2t＝32＞30，故②正确，
对于③，浮萍每月增加的面积为2t+1﹣2t＝2t，与时间t有关，故③错误，
对于④，令y=2t 1=2，
则t ＝1，
1
令y=2t 2=3，
则t ＝log 3，
2 2
令y=2t 3，
则t ＝log 6，
3 2
所以t +t ＝log 2+log 3＝log 6＝t ，故④正确．
1 2 2 2 2 3
故选：C．
8．（5分）（2022•淮南一模）我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年
前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支
持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：
万 元 ） 与 处 理 量 x （ 单 位 ： 吨 ） （ x [120 ， 500] ） 之 间 的 函 数 关 系 可 近 似 表 示 为
∈1
{ x3−80x2+5040x，x∈[120，144)
3 ，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少
y=
1
x2−200x+80000，x∈[144，500]
2
（ ）
A．120 B．200 C．240 D．400
【解题思路】先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分 x [120，144）和
x [144，500]讨论求出函数的最小值即可． ∈
【∈ 解 答 过 程 】 解 ： 由 题 意 可 得 二 氧 化 碳 每 吨 的 平 均 处 理 成 本 为 S
1
{ x2−80x+5040，x∈[120，144)
3 ，
=
1 80000
x−200+ ，x∈[144，500]
2 x
1 1
当x [120，144）时，S= x2﹣80x+5040= （x﹣120）2+240，当x＝120时，S取得最小值240，
3 3
∈
1 80000 √1 80000
当x [144，500]时，S= x+ −200≥2 x⋅ −200＝200，
2 x 2 x
∈
1 80000
当且仅当 x= ，即x＝400时取得等号，此时S取得最小值200．
2 x
综上可得，当每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本的最低为200元．
故选：D．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022春•让胡路区校级期中）为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒．
教室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示：在药物释放
1
过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y=( ) x−a（a为常数），则（ ）
81
A．当x＞0.2时，y=( ) x−0.1
8
B．当0≤x≤0.2时，y＝5x
13
C． 小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25mg以下
15
23
D． 小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.0625mg以下
15
【解题思路】根据所给模型计算进行判断，注意结合指数函数的性质．
1 1
【解答过程】解：x≥0.2时，把（0.2，1）代入y=( ) x−a，得( ) 0.2−a=1，a＝0.2，A错；
8 8
0≤x≤0.2时，设y＝kx，1＝0.2k，所以k＝5，即有y＝5x，B正确；
1 1 1 13
令( ) 0.2−a ＜0.25，( ) 3(x−0.2)＜( ) 2，3（x﹣0.2）＞2，x＞ ，C正确；
8 2 2 15
23 1 1 23 −0.2 1 4 1
x＞ 时，( ) x−0.2 ＜( )15 =( )3=( ) 4=0.0625，D正确．
15 8 8 8 2
故选：BCD．
10．（5分）（2021秋•山西期末）几名大学生创业，经过调研，他们选择了一种技术产品，生产此产品获
得的月利润p（x）（单位：万元）与每月投入的研发经费x（单位：万元）有关：当每月投入的研发经
1 p(x)
费不高于16万元时，p(x)=− x2+6x−20，研发利润率y= ×100%．他们现在已投入研发经
5 x
费9万元，则下列判断正确的是（ ）
A．投入9万元研发经费可以获得最大利润率
B．要再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C．要想获得最大利润率，还需要再投入研发经费1万元
D．要想获得最大利润，还需要再投入研发经费1万元
【解题思路】利用二次函数的性质分析出月利润取得最大值的条件，即可判断选项 B，D是否正确，再
求出利润率的关系式，利用基本不等式求出取得最大值的条件，即可判断选项A，C是否正确．1 1
【 解 答 过 程 】 解 ： 因 为 产 品 的 月 利 润 为 P （ x ） =− x2+6x−20=− (x−15) 2+125，
5 5
（0≤x≤16），
则当x＝15时，月利润有最大值为125万元，即在已经投入9万元时需再投入6万元，才能使月利润最
大，故B正确，D错误，
1
− x2+6x−20
而利润率y p(x) 5 1 20 ，
= = =−( x+ )+6
x x 5 x
1 16 20 5
因为0＜ x≤ ， ≥ ＞0，
5 5 x 4
1 20 √1 20 1 20
所以 x+ ≥2 x⋅ =4，即y＝﹣（ x+ ）+6≤﹣4+6＝2，
5 x 5 x 5 x
1 20
当且仅当 x= ，即x＝10万元时，利润率有最大值为2，即在已经投入9万元时再投入1万元，才
5 x
能使利润率最大，故A错误，C正确，
故选：BC．
11．（5分）新能源汽车是战略性新兴行业之一，发展新能源汽车是中国从汽车大国迈向汽车强国的必由
之路．某汽车企业为了适应市场需求引进了新能源汽车生产设备，2019年该企业新能源汽车的销售量
逐月平稳增长，1，2，3月份的销售量分别为1.2千台、1.4千台、1.8千台，为估计以后每个月的销售
量，以这三个月的销售量为依据，用一个函数模拟汽车的月销售量y（单位：千台）和月份x之间的函
数关系，有以下两个函数模型可供选择：
①f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）；
②g（x）＝pqx+r（q＞0，q≠1）．
如果4月份的销售量为2.3千台，选择一个效果较好的函数进行模拟，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）＝0.1x2﹣0.1x+1.2
B．g（x）＝0.1×2x+0.5
C．选择f（x）作为模拟函数
D．估计5月份的销售量为4.2千台
【解题思路】分别求出选用①和②中的函数解析式，比较f（4）与g（4）和2.3的关系，由此判断四个
选项即可．
【解答过程】解：若选用①f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），{
a+b+c=1.2
由题意可得， 4a+2b+c=1.4，解得a＝0.1，b＝﹣0.1，c＝1.2，
9a+3b+c=1.8
则f（x）＝0.1x2﹣0.1x+1.2，
所以f（4）＝2.4；
若选用②g（x）＝pqx+r（q＞0，q≠1），
{
pq+r=1.2
由题意可得， ，解得p＝0.1，q＝2，r＝1，
pq2+r=1.4
pq3+r=1.8
则g（x）＝0.1×2x+1，
所以g（4）＝2.6．
因为4月份的销售量为2.3千台，
故选项函数f（x）＝0.1x2﹣0.1x+1.2的模型拟合效果较好，
当x＝5时，f（5）＝3.2，
所以估计5月份的销售量为3.2千台．
故选项A正确，选项B错误，选项C正确，选项D错误．
故选：AC．
12．（5分）市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放a（1≤a≤4，且a R）个
单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度 y（克/升）随着时间x（分钟）变化∈的函数
16 1
关系式近似为y＝a•m，其中当0≤x≤4时，m= −1，当4＜x≤10时，m＝5− x．若多次投放，
8−x 2
则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗
衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．则下列结论正确的是（ ）
20
A．一次投放4个单位的洗衣液，在2分钟时，洗衣液在水中释放的浓度为 克/升
3
B．一次投放4个单位的洗衣液，有效去污时间可达8分钟
C．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，第8分钟洗衣液在水中释放的
浓度为5克/升
D．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，接下来的4分钟能够持续有效
去污
64
【解题思路】对于A，由题意可得a＝4，当0≤x≤4时，y= −4，当4＜x≤10时，y＝20﹣2x，将
8−xx＝2代入函数中，即可求解．
对于B，分0≤x≤4，4＜x≤10两种情况讨论，并取其并集．
1 16 32
对于C，当6≤x≤10时，y=2×(5− x)+2[ −1]=14﹣x+ −6，将x＝8代入上式中，
2 8−(x−6) 14−x
即可求解．
对于D，结合基本不等式的公式，即可求解．
64
【解答过程】解：对于A，由题意可得a＝4，当0≤x≤4时，y= −4，当4＜x≤10时，y＝20﹣
8−x
2x，
64
当0≤x≤4时，y= −4，当4＜x≤10时，y＝20﹣2x，
8−x
64 20
当x＝2时，y= −4= ，故A正确，
8−2 3
64
对于B，当0≤x≤4时， −4≥4，解得x≥0，
8−x
故0≤x≤4，
当4＜x≤10时，20﹣2x≥4，解得x≤8，
故4＜x≤8，
综上所述，0≤x≤8，
若一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达8分钟，故B正确，
对于C，当6≤x≤10时，
1 16 32 32 16
y=2×(5− x)+2[ −1]=14﹣x+ −6，当x＝8时，y=6+ −6= ，故C错误，
2 8−(x−6) 14−x 6 3
对于D，∵4≤14﹣x≤8，
32 √ 32 32
∴y=14−x+ −6≥2 (14−x)⋅ −6=8√2−6，当且仅当14−x= ，即x＝14﹣4
14−x 14−x 14−x
√2时取等号，
∴y有最小值8√2−6≈5.3＞4，
∴接下来的4分钟能够持续有效去污，故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022春•温州期中）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温t
1
度是T ，经过一定时间t（单位：min）后的温度是T，则T−T =(T −T )( )ℎ，其中T 称为环境温
0 a 0 a 2 a
度，h为常数，现有一杯用 85℃热水冲的速溶咖啡，放在 21℃的房间中，如果咖啡降到 37℃需要
16min，那么这杯咖啡要从37℃降到25℃，还需要 1 6 min．
【解题思路】根据所给函数模型，由T＝21℃．令T ＝85℃，T＝37℃，求得h，然后令T ＝37℃，T＝
a 0 0
29℃，求得t．
【解答过程】解：由题意知T＝21℃．
a
令T ＝85℃，T＝37℃，
0
1
16
得37﹣21=(85−21)2⋅ ，
ℎ
∴h＝8．
令T ＝37℃，T ＝29℃，
0 0
1
t
则29﹣21=(37−21)2⋅ ，
8
∴t＝16．
故答案为：16．
14．（5分）（2022•天河区校级三模）为了做好疫情防控期间的校园消毒工作，某学校对教室进行消毒，
室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：小时）的变化情况如图所示，在药物
1
释放的过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y=( ) x−a（a为常数），根据
32
1
测定，当空气中每立方米的含药量降低到 毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，
4
至少需要经过 0. 6 小时后，学生才能回到教室．
【解题思路】根据函数图象经过点（0.2，1），求出a的值，再利用指数函数的单调性，即可求解．
1
【解答过程】解：由题意可知，点（0.2，1）在函数y=( ) x−a（a为常数）上，
321
则( ) 0.2−a=1，解得a＝0.2，
32
1
故y=( ) x−0.2，
32
1 1
令( ) x−0.2 ＜ ，即2﹣5x+1＜2﹣2，解得x＞0.6，
32 4
故从药物释放开始，至少需要经过0.6小时后，学生才能回到学校．
故答案为：0.6．
15．（5分）（2022春•河南月考）某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，则有如下两
种优惠方案供选择：
方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票
价打7折．不重复打折．
方案二：按原价计算，总金额每满5000元减1000元．
已知一个旅游团有 47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为
11710 元．
【解题思路】由题意分析方案一和方案二的单人票价，可得用方案二先购买 34张票，剩余13张用方案
一，费用最小，即可求解．
【解答过程】解：由方案一可知，满10人可打9折，则单人票价为270人，
5000
由方案二可知，满5000减1000元，按原价计算 ≈16.7，则满5000元至少凑齐17人，
300
17×300﹣1000＝4100，
4100
则单人票价为 ≈241，
17
10000
满10000元时， ≈33.3，则需34人，单人票价为241人，
300
15000
满15000元时， =50，人数不足，
300
∵241＜270，
∴用方案二先购买34张票，剩余13人，不满足方案二，但满足方案一，
∴总费用为34×300﹣2000+13×300×0.9＝11710（元）．
故答案为：11710．
16．（5分）（2022春•如皋市期中）根据疫情防控要求，学校教室内每日需要进行喷洒药物消毒．若从喷
洒药物开始，教室内空气中的药物浓度 y（毫克/立方米）与时间 t（分钟）的关系为：{ 0.1t，0≤t≤10
，根据相关部门规定该药物浓度达到不超过0.25毫克/立方米时，学生可以进入
y= 1 0.1t−1
( ) ，t＞10
2
教室，则从开始消毒至少 30 分钟后，学生可进教室正常学习；研究表明当空气中该药物浓度超过
0.5毫克/立方米持续8分钟以上时，才能起到消毒效果，则本次消毒 有 效果（填：有或没有）．
1 1
【解题思路】由已知只需( ) 0.1t−1≤ 即可确定几分钟之后学生可进教室，计算出药物浓度超过 0.5毫
2 4
克/立方米的时间段，即可判断是否有效果．
1 1
【解答过程】解：由题设，只需( ) 0.1t−1≤ ，即0.1t﹣1≥2，可得t≥30分钟，
2 4
所以30分钟后药物浓度不超过0.25毫克/立方米，故30分钟后学生可进教室正常学习；
1 1 1
当0.1t≥ ，则t≥5，当( ) 0.1t−1≥ ，则0.1t﹣1≤1，可得t≤20，
2 2 2
即第5分钟到第20分钟之间药物浓度超过0.5毫克/立方米，故20﹣5＞8分钟，
所以本次消毒有效果．
故答案为：30，有．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022春•吉林期末）政府为了吸引更多对环境保护的投入资金，拟发行“稳健型”和“风
险型”两种投资债券，根据长期收益率市场预测，投资“稳健型”债券的年收益y＝f（x）与投资额x
成正比，其关系如图1；投资“风险型”债券的年收益y＝g（x）与投资额x的算术平方根成正比，其关
系如图2．
（1）分别求出两种债券f（x）和g（x）的函数关系式；
（2）某企业预计拿出40万元资金，全部用于这两种债券投资，请问如何分配资金投入能使偷资获得最
大年收益，其最大年收益是多少万元？
【解题思路】（1）可设f（x）＝k x（x≥0），g（x）＝k x（x≥0），然后分别代值计算即可求得函数
1 2
关系式；10−x 1
（2）设投资债券类产品10﹣x万元，则股票类投资为x万元，年收益为y万元，可得y= + √x
8 2
（0≤x≤10），然后利用导数研究y的最大值即可．
【解答过程】j解：（1）依题意可设f（x）＝k x（x≥0），g（x）＝k x（x≥0），
1 2
∵f（1）＝k ＝0.125，g（1）＝k ＝0.5．
1 2
∴f（x）＝0.125x（x≥0）g（x）＝0.5√x（x≥0）．
（2）设投资债券类产品10﹣x万元，则股票类投资为x万元，年收益为y万元，
依题意得：y＝f（10﹣x）+g（x）．
10−x 1 1 1 − 1
则y= + √x（0≤x≤10） y′=− + x 2（0≤x≤10）．
8 2 8 4
⇒
令y′＝0 x＝4，且y′＞0 0＜x＜4，y′＜0 x＞4．
⇒ 7 ⇒ ⇒
所以y❑ = y| = ．
max x=4 4
7
所以按照债券类产品6万元，股票类投资为4万元分配资金，收益最大，最大收益为 万元．
4
18．（12分）（2022春•华安县校级期末）某厂家拟进行某产品的促销活动，根据市场情况，该产品的月
k
销售量a万件与月促销费用x万元（x≥0）满足关系式a=10− （k为常数），如果不搞促销活动，
x+2
则该产品的月销量是2万．已知生产该产品每月固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入5
9
万元，厂家将每件产品的销售价定为(6+ )元，设该产品的月利润为y万元．（注：利润＝销售收入﹣
a
生产投入﹣促销费用）
（1）将y表示为x的函数；
（2）月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？
k
【解题思路】（1）由x＝0时，a＝2代入a=10− 求得k，由利润＝销售收入﹣生产投入﹣促销费
x+2
用，列出函数关系，即可得出结果；
16
（2）由（1）知y＝13− −（x+2），利用基本不等式即可求得最大利润．
x+2
k k
【解答过程】解：（1）由题意知，当x＝0时，a＝2，代入a=10− ，则2＝10− ，解得k＝16，
x+2 216
a＝10− ，
x+2
9
利润y＝a×（6+ ）﹣8﹣5a﹣x＝1+a﹣x，
a
16
又因为a＝10− ，
x+2
16 16
所以y＝1+a﹣x＝1+10− −x＝11− −x，x [0，+∞）．
x+2 x+2
∈
16
（2）由（1）知y＝13− −（x+2），
x+2
因为x≥0时，x+2≥2，
16
因为 +（x+2）≥2√16=8，当且仅当x＝2时等号成立，
x+2
所以y≤13﹣8＝5，
故月促销费用为2万元时，该产品的月利润最大，最大为5万元．
19．（12分）（2022•常熟市开学）某公司为了激励业务员的积极性，对业绩在60万到200万的业务员进
行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随着业绩值x（单位：万元）的增加而增加．
（1）某业务员的业绩为100万，核定可得4万元奖金，若该公司用函数y＝lgx+kx+1（k为常数）作为
奖励函数模型，则业绩为200万元的业务员可以得到多少奖励？（精确到0.1）
（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
8.8x−224
（2）若采用函数y= 作为奖励函数模型，为了响应国家的纳税政策，业务员还需要上交业绩
x+20
值的1%作为个人所得税，求业务员纳税后获得最终奖金的最大值．
【解题思路】（1）由题意首先求得k的值，然后计算业绩为200万元的业务员可以得到多少奖励即可；
（2）由题意得到业务员奖金的表达式，然后利用基本不等式求最值即可．
【解答过程】解：（1）对于函数模型y＝lgx+kx+1（k为常数），
1
当x＝100时，y＝4，代入解得k= ，
100
1
即当x [60，200]时，y=lgx+ x+1，
100
∈
当x＝200时，y＝lg200+2+1≈5.3，
∴业绩200万元的业务员可以得到5.3万元奖励．
8.8x−224
（2）对于函数模型y= ．设业务员纳税后最终奖金记为f（x），
x+208.8x−224 x 400 x+20
则f(x)= − ，化简可得f(x)=9−( + )，
x+20 100 x+20 100
∵x [60，200]，∴x+20 [80，220]，
∈ 400 x∈+20 √ 400 x+20
∴f(x)=9−( + )⩽9−2 ⋅ =5．
x+20 100 x+20 100
当且仅当x＝180时等号成立．
则业务员纳税后获得最终奖金的最大值为5万元．
20．（12分）（2022•浙江开学）某地中学生社会实践小组为研究学校附近某路段的交通拥堵情况，经实
地调查、数学建模，得该路段上的平均行车速度v（单位：km/h）与该路段上的行车数量n（单位：
辆）的关系为：
600
{ ，n≤9
v=
n+10
，n∈N∗
其中常数k R．该路段上每日t时的行车数量n＝﹣2（|t﹣12|﹣5）
33000
，n≥10
n2+k ∈
2+100，t [0，24）．
已知某日∈17时测得的平均行车速度为3km/h．（注：3.16＜√10＜3.17）
（Ⅰ）求实数k的值；
（Ⅱ）定义车流量q＝nv（单位：辆⋅km/h），求一天内车流量q的最大值（结果保留整数部分）．
【解题思路】（Ⅰ）根据题意把17时测得的平均行车速度为3km/h代入函数解析式即可求出k；
（Ⅱ）根据分段函数求最值的方法，分别利用函数单调性求每段的最值，即可得出函数q＝nv的最大值．
【解答过程】解：（Ⅰ）由17时测得的平均行车速度为3km/h，
600
{ ，n≤9
代入 n+10 ，
v= ，n∈N∗
33000
，n≥10
n2+k
33000
可得： =3，
1002+k
解得k＝1000．
600n 600
= =
（Ⅱ）①当n≤9时，q＝nv n+10 10为增函数，
1+
n
600×9
所以q≤ ＜300；
9+1033000n 33000
= =
②当n≥10时，q＝nv n2+1000 1000，
n+
n
1000
由函数f（x）＝n+ 在（0，√1000）上递减，在（√1000，+∞）上递增，
n
33000
=
且√1000 （31，32），知q 1000，当n＝31，n＝32时，较大的q值为最大值，
n+
n
∈
代入n＝31，32计算，结果均为522，
故q ≈522．
max
综上可知，一天内车流量q的最大值为522辆⋅km/h．
21．（12分）（2022春•芗城区校级期末）土豆学名马铃薯，与稻、麦、玉米、高粱一起被称为全球五大
农作物．云南人爱吃土豆，在云南土豆也称洋芋，昆明人常说“吃洋芋，长子弟”.2018年3月，在全
国两会的代表通道里，云南农业大学名誉校长朱有勇院士，举着一个两公斤的土豆，向全国的媒体展示，
为来自家乡的“山货”代言，他自豪地说：“北京人吃的醋溜土豆丝，5盘里有4盘是我们澜沧种
的！”
（1）在菜市上，听到小王叫卖：“洋芋便宜卖了，两元一斤，三元两斤，四元三斤，五元四斤，六元
五斤，快来买啊！”结果一群人都在买六元五斤的．由此得到如下结论：一次购买的斤数越多，单价越
低，请建立一个函数模型，来说明以上结论；
（2）小王卖洋芋赚到了钱，想进行某个项目的投资，约定如下：①投资金额固定；②投资年数可自由
选择，但最短3年，最长不超过10年；③投资年数x（x N*）与总回报y的关系，可选择下述三种方案
中的一种： ∈
方案一：当x＝3时，y＝6，以后x每增加1时，y增加2；
1
方案二：y= x2；
3
方案三： ．
y=(√33) x
请你根据以上材料，结合你的分析，为小王提供一个最佳投资方案．
【解题思路】（1）设顾客一次购买 x 斤土豆，每斤土豆的单价为 f（x）元，根据题意可得出
x+1 1
f(x)= (1≤x≤5，x∈N∗)，化为f（x）＝1+ ，利用该函数的单调性可得出结论；
x x
（2）求出方案一中函数模型的解析式，列表得出三种方案所有年数的总回报，根据表格中的数据可得
出结论．【解答过程】解：（1）设顾客一次购买x斤土豆，每斤土豆的单价为f（x）元，
x+1
由题意知：f（x）= （1≤x≤5，x N*），
x
∈
x+1 1
因为f（x）= =1+ ，
x x
所以y＝f（x）在[1，5]为单调递减函数．
说明一次购买的斤数越多，单价越低；
（2）根据题意，按照年数的不同取值范围，选出总回报最高的方案．
由题意可知方案一对应的解析式为：y＝6+（x﹣3）×2＝2x．
列表得出三种方案所有年数的总回报，可以精确得出任意年数三种方案对应总回报的大小关系，进而可
得出如下结论：
投资年数x 3 4 5 6 7 8 9 10
总回报y
方案一 6 8 10 12 14 16 18 20
方案二 3 16 25 12 49 64 27 100
3 3 3 3 3
方案三 3 4 5 9 7 8 27 10
33 33 33 33 33
当投资年数为3～5年时，选择方案一最佳；
当投资年数为6年时，选择方案一或方案二最佳；
当投资年数为7年或8年时，选择方案二最佳；
当投资年数为9年时，选择方案二或方案三最佳；
当投资年数为10年时，选择方案三最佳．
22．（12分）（2022春•湖北月考）某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为600万元，除此之外每
台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式．设年产量为x（0＜x≤200，x N）台，若年产量不足
∈
1
70台，则每台设备的额外成本为y = x+40万元；若年产量大于等于70台不超过200台，则每台设备
1 2
6400 2080
的额外成本为y =101+ − 万元．每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的
2 x2 x
电子设备能全部售完．
（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（台）的关系式；
（2）当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？【解题思路】（1）根据题意，分段表示出函数模型，即可求解；
（2）根据题意，结合一元二次函数以及均值不等式，即可求解．
1 1
【解答过程】解：（1）当0＜x＜70，x N*时，W =100x−( x+40)x−600=− x2+60x−600；
2 2
∈
6400 2080 6400
当70≤x≤200，x N*时，W =100x−(101+ − )x−600=1480−(x+ )．
x2 x x
∈
1
{− x2+60x−600，0＜x＜70，x∈N∗
∴ 2 ；
W =
6400
1480−(x+ )，70⩽x⩽200，x∈N∗
x
1 1
（2）①当0＜x＜70，x N*时，W =− x2+60x−600=− (x−60) 2+1200，
2 2
∈
∴当x＝60时，y取得最大值，最大值为1200万；
6400 √ 6400
②当70≤x≤200，x N*时，W =1480−(x+ )≤1480−2 x⋅ =1320，
x x
∈
6400
当且仅当x= ，即x＝80时，y取得最大值1320，
x
∵1320＞1200，
∴当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元．
