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考点 15 数列综合问题（核心考点讲与练）
数列应用题常见模型
(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或
减少)的量就是公差.
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定
的数就是公比.
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑a与a
n n＋
(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者S与S (或者相邻三项等)之间的递推关系.
1 n n＋1
1.数列的应用，解题的关键是通过找到图形之间的关系，得到等比数列，求数列通项公式常用的方法：
（1）由 与 的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法.
2.等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数
列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．
3.数列与函数常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的数学思想方法有“函数与方程”“等价转
化”等．
4.数列与不等式问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的
通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利
用它们之间的对应关系进行灵活的处理．
5.＂新定义＂型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读
懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：
（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂;（3）定义新概念.这类试题考查考生对＂新定
义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起来，利
用已有的知识经验来解决问题.
6.数列与函数、不等式综合问题的求解策略：1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前 项和公式，求和方法
等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题
时要注意这一特殊性；
2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合
法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.
数列的综合应用
一、单选题
1．（2022·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二
税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金
几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的 ，第2关收税金为剩余金的 ，第3关
收税金为剩余金的 ，第4关收税金为剩余金的 ，第5关收税金为剩余金的 ，5关所收税金之和恰好重
1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为 斤，设 ，则 （ ）
A． B．7 C．13 D．26
2．（2021·广东佛山·二模）科技创新离不开科研经费的支撑，在一定程度上，研发投入被视为衡量“创新
力”的重要指标.“十三五”时期我国科技实力和创新能力大幅提升，2020年我国全社会研发经费投入达到
了24426亿元，总量稳居世界第二，其中基础研究经费投入占研发经费投入的比重是6.16%.“十四五”规划
《纲要草案》提出，全社会研发经费投入年均增长要大于7%，到2025年基础研究经费占比要达到8%以
上，请估计2025年我国基础研究经费为（ ）
A．1500亿元左右 B．1800亿元左右 C．2200亿元左右 D．2800亿元左右
3．（2022·湖南·一模）在流行病学中，基本传染数 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的
情况下，一个感染者平均传染的人数． 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于 ，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切
断传播途径．假设某种传染病的基本传染数 ，平均感染周期为7天（初始感染者传染 个人为第一
轮传染，经过一个周期后这 个人每人再传染 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染
者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据： ， ）（ ）
A．35 B．42 C．49 D．56
4．（2022·陕西西安·一模（理））2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽脱贫攻坚取得重大
胜利！为进步巩固脱贫攻坚成果，接续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该
企业2021年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%．每年年底扣除下一年必须的消费资金后，
剩余资金全部投入再生产为了实现5年后投入再生产的资金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金
至多为（ ）（单位：万元，结果精确到万元）（参考数据： ， ）
A．83 B．60 C．50 D．44
二、双空题
5．（2022·湖北·一模）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈
现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称
“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：
从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉
底边，重复进行这一过程
若第1个图中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为___________；若第1个图中的三角形的面积为
1，则第n个图形的面积为___________.
三、填空题6．（2021·辽宁铁岭·一模）赵先生准备通过某银行贷款5000元，然后通过分期付款的方式还款．银行与
赵先生约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为
，则赵先生每个月所要还款的钱数为______元．（精确到 元，参考数据 ）
四、解答题
7．（2020·河南·一模（理））市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种
贷款方式.①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差
均相同；②等额本息：每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若
2019年7月7日贷款到账，则2019年8月7日首次还款）.
已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004.
（1）若小张采取等额本金的还款方式，现已得知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，
试计算小张该笔贷款的总利息；
（2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半，已知小
张家庭平均月收入为1万元，判断小张该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）；
（3）对比两种还款方式，从经济利益的角度来考虑，小张应选择哪种还款方式.
参考数据： .8．（2022·全国·模拟预测）在一个传染病流行的群体中，通常有3类人群：
类别 特征
S类
易感染者，体内缺乏有关抗体，与I类人群接触后易变为I类人群．
（Susceptible）
I类（Infectious） 感染者，可以接触S类人群，并把传染病传染给S类人群；康复后成为R类人群．
R类 康复者，自愈或者经治疗后康复且体内存在相关抗体的I类人群；若抗体存在时间有
（Recovered） 限，可能重新转化为S类人群．
在一个600人的封闭环境中，设第n天S类，I类，R类人群人数分别为 ， ， ．其中第1天 ，
， ．为了简化模型，我们约定各类人群每天转化的比例参数恒定：
S类→I类占当天S类比例 I类→R类占当天I类比例 R类→S类占当天R类比例
(1)已知对于传染病A有 ， ， ．求 ， ；
(2)已知对于传染病B有 ， ， ．
（Ⅰ）证明：存在常数p，q，使得 是等比数列；
（Ⅱ）已知防止传染病大规模传播的关键途径至少包含：①控制感染人数；②保护易感人群．请选择一项，
通过相关计算说明：实际生活中，相较于传染病A需要投入更大力量防控传染病B．等差数列、等比数列的综合
1.（2021黑龙江省大庆第一中学高三第三次模拟）在各项不为零的等差数列 中，
，数列 是等比数列，且 ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2.（2020贵州省遵义航天高级中学高三（最后一卷)）已知等比数列 中，若 ，且 成
等差数列，则 （ ）
A. 2 B. 2或32 C. 2或-32 D. -1
数列与函数
1.（2019河南省八市重点高中联盟“领军考试”高三压轴）已知函数 有两
个不同的零点 ， ，-2和 ， 三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数
的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2.（2020上海市建平中学高三月考）已知数列 满足 ，若存在实数
，使 单调递增，则 的取值范围是
A. B. C. D.数列不等式
1.（2020山西重点中学协作体高三暑期联考）已知数列 的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每
一行的第一个数 构成等差数列 ， 是 的前 项和，且 ， .
(1)若数阵中从第3行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知
，求 的值；
(2)设 ，当 时，对任意 ，不等式 恒成立，求 的取
值范围.2.（2022河南省创新发展联盟高三联考）已知数列 满足 且数列 是
单调递增数列，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
数列新定义
1.（2020广东省广州、深圳市学调联盟高三下学期第二次调研）对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，
已知正数列{a}满足S= （a ），n∈N*，其中S 为数列{a}的前n项的和，则[
n n n n n
]=______．
2.（2022辽宁省六校高三上学期期初联考）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这
样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一
列数组成的数列 称为“斐波那契数列”，记 为数列 的前 项和，则下列结论正确的是
（ ）
A. B.
C. D.
1.（2021年全国高考乙卷）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ，
成等差数列．（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
一、单选题
1．（2022·重庆八中模拟预测）如图，将钢琴上的12个键依次记为 ， ， ， ．设 ．若
且 ，则 ， ， 为原位大三和弦；若 且 ，则称 ， ， 为原位小三和
弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之差为（ ）
A．5 B． C．0 D．102．（2021·陕西咸阳·模拟预测）某城镇为改善当地生态环境，2016年初投入资金120万元，以后每年投入
资金比上一年增加10万元，从2020年初开始每年投入资金比上一年增加 ，到2025年底该城镇生态环
境建设共投资大约为（ ）
A．1600万元 B．1660万元 C．1700万元 D．1810万元
3．（2022·四川凉山·二模（文））在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免
息贷款10000元，用于自己开设的土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据
测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元.余款作为资
金全部用于再进货，如此继续.设第n月月底小王手中有现款为 ，则下列结论正确的是（ ）（参考数
据： ， ）
①
②
③2020年小王的年利润约为40000元
④两年后，小王手中现款约达41万
A．②③④ B．②④ C．①②④ D．②③
二、多选题
4．（2022·重庆·一模）已知数列 ， 均为递增数列，它们的前 项和分别为 ， ，且满足
， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·模拟预测）对于给定数列 ，如果存在实数t，m，对于任意的 均有
成立，那么我们称数列 为“M数列”，则下列说法正确的是（ ）
A．数列 是“M数列”
B．数列 不是“M数列”C．若数列 为“M数列”，则数列 是“M数列”
D．若数列 满足 ， ，则数列 是“M数列”
6．（2021·全国·模拟预测）对于首项为负数的无穷等比数列 ，若对任意的n， ，
，则称 为“M数列”；若对任意的 ，存在 ，使得 ，则称 为“L数列”.若数列
的公比为q，则（ ）
A．当q<0时， 是“M数列”
B．当q<0时， 不是“L数列”
C．当q>0时， 为“L数列”，则 一定为“M数列”
D．当q>0时， 为“M数列”，则 一定为“L数列”
7．（2022·山东聊城·一模）在数列 中，对于任意的 都有 ，且 ，则下列结论
正确的是（ ）
A．对于任意的 ，都有
B．对于任意的 ，数列 不可能为常数列
C．若 ，则数列 为递增数列
D．若 ，则当 时，
8．（2021·福建·厦门一中模拟预测）记 表示与实数 最接近的整数，数列 通项公式为
，其前 项和为 ，设 ，则下列结论正确的是（ ）．A． B． C． D．
三、填空题
9．（2022·重庆八中模拟预测）已知数列 满足：① 仍为数列 中的项；②当 ，且
时， 仍为数列 中的项；③ 仍为数列 中的项.则其通项公式可以为___________.
四、解答题
10．（2022·湖北·二模）已知正项等差数列 满足： ，且 成等比数列．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ， 是数列 的前n项和，若对任意 均有 恒成立，求 的最小值．
11．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知数列{ }满足 ∈N*， 为该数列的前n项
和.(1)求证：数列{ }为递增数列；
(2)求证： .
12．（2022·北京顺义·二模）设正整数数列 满足 ．
(1)若 ，请写出 所有可能的取值；
(2)记集合 ，证明：若集合 存在一个元素是3的倍数，则 的所有元素都是3的倍数；
(3)若 为周期数列，求 所有可能的取值.
13．（2021·浙江·模拟预测）已知等比数列 的公比为 ，且 ，数列 满足，
．
（1）求数列 的通项公式．
（2）规定： 表示不超过 的最大整数，如 ， ．若 ， ，记
求 的值，并指出相应 的取值范围．
