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专题 15.1 分式的混合运算与化简求值
【典例1】阅读下列解题过程：
已知 x 1，求 x2 的值．
=
x2+1 3 x4+1
x 1 x2+1 1
解：由 = ，知x≠0，所以 =3，即x+ =3．
x2+1 3 x x
∴x4+1 1 1
=x2+ =(x+ ) 2−2=32−2=7
x2 x2 x
∴ x2 的值为7的倒数，即1．
x4+1 7
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做
“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
（1）已知 x 1，求 x2 的值．
=
x2+1 2 x4+1
（2）已知 x 1，求 x2 的值．
=
x2−x+1 7 x4−x2+1
xy yz 4 zx 4 xyz
（3）已知 =2， = ， = ，求 的值．
x+ y y+z 3 z+x 3 xy+ yz+zx
【思路点拨】
1
（1）把已知等式变形求出x+ 的值，再把所求的式子变形后进行计算即可；
x
1
（2）把已知等式变形求出x+ 的值，再把所求的式子变形后进行计算即可；
x
1 1 1
（3）把已知三个等式变形后相加可以求出 + + 的值，再把所求的式子变形后进行计算即可．
x y z
【解题过程】x 1
解：（1）由 = ，知x≠0，
x2+1 2
x2+1
所以 =2，
x
1
即x+ =2，
x
∴x4+1 x2 1
= +
x2 x2
1
＝（x+ ）2﹣2
x
＝22﹣2
＝2，
∴ x2 的值为2的倒数，即1；
x4+1 2
x 1
（2）由 = ，知x≠0，
x2−x+1 7
x2−x+1
所以： =7，
x
1
∴x﹣1+ =7，
x
1
即x+ =8，
x
∴x4−x2+1 x2﹣1 1
= +
x2 x2
1
＝（x+ ）2﹣3
x
＝82﹣3
＝61，
∴ x2 的值为61的倒数，即 1 ；
x4−x2+1 61
xy
（3）由 =2，知x≠0，y≠0，
x+ yx+ y 1
∴ = ，
xy 2
1 1 1
∴ + = ①，
y x 2
yz 4
由 = ，知y≠0，z≠0，
y+z 3
y+z 3
∴ = ，
yz 4
1 1 3
∴ + = ②，
z y 4
zx 4
由 = ，知z≠0，x≠0，
z+x 3
z+x 3
∴ = ，
zx 4
1 1 3
∴ + = ③，
x z 4
①+②+③得：
1 1 1 1 3 3
2（ + + ）= + + ，
x y z 2 4 4
1 1 1
∴ + + =1，
x y z
xy+ yz+zx 1 1 1
∴ = + + =1，
xyz z x y
xyz
∴ 的值为1的倒数，即1．
xy+ yz+zx
4m−a
1．（2022•武安市一模）只把分式 中的m，n同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则此
5n
时a的值可以是下列中的（ ）
m
A．2 B．mn C． D．m2
3
2．（2022•桥西区一模）关于代数式M＝（1 x ） x2−1 下列说法正确的是（ ）
− ÷
x+1 x2+2x+11
A．当x＝1时，M的值为0 B．当x＝﹣1时．M的值为−
2
C．当M＝1时，x的值为0 D．当M＝﹣1时，x的值为0
3．（2021秋•遵义期末）若a 1 3，则 a2 的值是（ ）
+ =
a a4+a2+1
1 1 1 1
A． B． C． D．
3 5 8 9
1 1 1
4．（2022•凤阳县一模）已知a，b，c满足a+c＝b，且 + = ．则下列结论错误的是（ ）
a b c
A．若b＞c＞0，则a＞0 B．若c＝1，则a2＝2
C．若a2﹣c2＝2，则ac＝2 D．若bc＝1，则a＝1
1 1 5x+2xy+5 y
5．（2021秋•九龙坡区校级期末）已知 + =6，则 的值为 ．
x y x−xy+ y
x+ y−z
6．（2021春•诸暨市校级月考）已知x+2y﹣3z＝0，2x+3y+5z＝0，则 = ．
x−y+3z
4x−7 A B
7．（2021春•东坡区月考）已知 = + ，其中A、B是常数，则A+B＝ ．
(x−1)(x+2) x−1 x+2
xy 1 yz 1 zx 1 xyz
8．（2022春•隆昌市校级月考）已知三个数x，y，z满足 = ， = ， = ，则
x+ y 3 y+z 4 z+x 5 xy+ yz+zx
的值为 ．
1 1
9．（2021秋•虎林市校级期末）已知一列数 a ，a ，a ，…，a ，其中a ＝﹣1，a = ，a =
1 2 3 n 1 2 1−a 3 1−a
1 2
1
，…，a = ，则a +a +a +…+a ＝ ．
n 1−a 1 2 3 2020
n−1
1
−53−(−1) 100−12÷(−
)
10．（2021秋•潍坊期中）（1）计算： 22 ；
1+|−1−32×2|（2）化简： 3ab−b2 a2−6ab+9b2 1 2 ．
( −a+b)÷ +ab( − )
a+b a+b a2−3ab ab−3b2
11．（2022春•西峡县校级月考）已知实数a满足a2+4a﹣8＝0，求 1 a+3 a2−2a+1的值．
− ⋅
a+1 a2−1 a2+6a+9
x+3 x+8 1
12．（2021•聊城二模）先化简，再求值：1− ÷（ − ），其中x是不等式1＜3x+7
x2−2x x2−4x+4 2−x
＜6的负整数解．
ab 2 ca 3 bc 6
13．（2022•仁寿县模拟）已知： = ， = ， = ．求代数式a+b+c的值．
a+b 3 c+a 4 b+c 5
a+b b+c c+a
14．（2021秋•西山区期末）若x= ，y= ，z= ，设M＝（x+1）（y+1）（z+1），N＝（x﹣
a−b b−c c−a
1）（y﹣1）（z﹣1）．
（1）请你任意给出一组a，b，c的值，计算出M和N的值；
（2）猜想M和N的大小关系，并证明．b−c c−a a−b
15 ． （ 2021 春 • 石 城 县 月 考 ） 已 知 a+b+c ＝ 0 ， 且 + + =0， 求 证 ：
a b c
bc+b−c ca+c−a ab+a−b
+ + =0．
b2c2 c2a2 a2b2
16．（2021秋•惠州期末）结合图，观察下列式子：
（x+p）（x+q）＝x2+px+qx+pq
＝x2+（p+q）x+pq
于是有：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
（1）填空：因式分解x2+5x+6＝（x+ ）（x+ ）；
（2）化简： x2−x−2 2x+6 x ；
( − )÷
x2−4x+4 x2+x−6 x−2
1 1 1 1
（3）化简： + + + ．
x2+x x2+3x+2 x2+5x+6 x2+7x+12
17．（2021秋•仓山区校级期末）阅读理解
1
材料：为了研究分式 与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据：
x
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …1 … ﹣0.25 ⋅ ﹣0.5 ﹣1 无意义 1 0.5 ⋅ 0.25 …
﹣0.
3
0.
3
x
1
从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大， 的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，
x
1
的值也随之减小．
x
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做
真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化
成 整 式 和 真 分 式 的 代 数 和 ， 像 这 种 恒 等 变 形 ， 称 为 将 分 式 化 为 部 分 分 式 ． 如 ：
2x+1 2x−8+8+1 2x−8 8+1 9
= = + =2+ ．
x−4 x−4 x−4 x−4 x−4
根据上述材料完成下列问题：
1
（1）当x＞0时，随着x的增大，1+ 的值 （增大或减小）；
x
x+2
当x＜0时，随着x的增大， 的值 （增大或减小）；
x
2x+2
（2）当x＞1时，随着x的增大， 的值无限接近一个数，请求出这个数；
x−1
5x−2
（3）当0≤x≤2时，求代数式 值的范围．
x−3
18．（2021秋•莆田期末）阅读下面材料，并解答相应的问题
欧拉分式
欧拉是18世纪瑞士著名的数学家、物理学家、天文学家．以欧拉命名的常数、公式、定理随处可见．在分式中，就有这样一个欧拉分式：
an bn cn { 0 (n=0或1)
．
+ + = 1 (n=2)
(a−b)(a−c) (b−c)(b−a) (c−a)(c−b)
a+b+c (n=3)
（1）请你对欧拉分式中，当n＝2时的情况进行证明；
（2）请你利用欧拉分式解决下列问题：
20223 20203
①计算： −20213+ ；
2 2
(1+a)(1−a) (1+b)(1−b) (1+c)(1−c)
②求 + + 的值．
(a+b)(a−c) (b+a)(b+c) (c−a)(c+b)
19．（2021秋•通州区期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M﹣N＝MN，则称分式N是
1 1 1 1 1
分 式 M 的 “ 关 联 分 式 ” ． 如 与 ， 因 为 − = ，
x+1 x+2 x+1 x+2 (x+1)(x+2)1 1 1 1 1
× = ，所以 是 的“关联分式”．
x+1 x+2 (x+1)(x+2) x+2 x+1
2 2 2
（1）已知分式 ，则 的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
a2−1 a2+1 a2−1
1
（2）小明在求分式 的“关联分式”时，用了以下方法：
x2+ y2
1 1 1
设 的“关联分式”为N，则 −N= ×N，
x2+ y2 x2+ y2 x2+ y2
1 1
∴( +1)N= ，
x2+ y2 x2+ y2
1
∴N= ．
x2+ y2+1
a−b
请你仿照小明的方法求分式 的“关联分式”．
2a+3b
y
（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 的“关联分式”： ；
x
②用发现的规律解决问题：
4n−2 4m+2
若 是 的“关联分式”，求实数m，n的值．
mx+m mx+n
N
20．（2021秋•海淀区期末）在分式 中，若M，N为整式，分母M的次数为a，分子N的次数为b（当
MN x+1
N为常数时，b＝0），则称分式 为（a﹣b）次分式．例如， 为三次分式．
M x4−x3
（1）请写出一个只含有字母x的二次分式 ；
mx+2 nx+3
（2）已知A= ，B= （其中m，n为常数）．
x−3 x2−9
①若m＝0，n＝﹣5，则A•B，A+B，A﹣B，A2中，化简后是二次分式的为 ；
②若A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求2m+n的值．
