文档内容
专题 15.1 分式的混合运算与化简求值
【典例1】阅读下列解题过程：
x 1 x2
=
已知 ，求 的值．
x2+1 3 x4+1
x 1 x2+1 1
解：由 = ，知x≠0，所以 =3，即x+ =3．
x2+1 3 x x
x4+1 1 1
∴ =x2+ =(x+ ) 2−2=32−2=7
x2 x2 x
x2 1
∴ 的值为7的倒数，即 ．
x4+1 7
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做
“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
x 1 x2
（1）已知 = ，求 的值．
x2+1 2 x4+1
x 1 x2
（2）已知 = ，求 的值．
x2−x+1 7 x4−x2+1
xy yz 4 zx 4 xyz
（3）已知 =2， = ， = ，求 的值．
x+ y y+z 3 z+x 3 xy+ yz+zx
【思路点拨】
1
（1）把已知等式变形求出x+ 的值，再把所求的式子变形后进行计算即可；
x
1
（2）把已知等式变形求出x+ 的值，再把所求的式子变形后进行计算即可；
x
1 1 1
（3）把已知三个等式变形后相加可以求出 + + 的值，再把所求的式子变形后进行计算即可．
x y z
【解题过程】x 1
解：（1）由 = ，知x≠0，
x2+1 2
x2+1
所以 =2，
x
1
即x+ =2，
x
x4+1 1
∴
=x2+
x2 x2
1
＝（x+ ）2﹣2
x
＝22﹣2
＝2，
x2 1
∴ 的值为2的倒数，即 ；
x4+1 2
x 1
（2）由 = ，知x≠0，
x2−x+1 7
x2−x+1
所以： =7，
x
1
∴x﹣1+ =7，
x
1
即x+ =8，
x
x4−x2+1 1
∴ =x2﹣1 +
x2 x2
1
＝（x+ ）2﹣3
x
＝82﹣3
＝61，
x2 1
∴ 的值为61的倒数，即 ；
x4−x2+1 61
xy
（3）由 =2，知x≠0，y≠0，
x+ yx+ y 1
∴ = ，
xy 2
1 1 1
∴ + = ①，
y x 2
yz 4
由 = ，知y≠0，z≠0，
y+z 3
y+z 3
∴ = ，
yz 4
1 1 3
∴ + = ②，
z y 4
zx 4
由 = ，知z≠0，x≠0，
z+x 3
z+x 3
∴ = ，
zx 4
1 1 3
∴ + = ③，
x z 4
①+②+③得：
1 1 1 1 3 3
2（ + + ）= + + ，
x y z 2 4 4
1 1 1
∴ + + =1，
x y z
xy+ yz+zx 1 1 1
∴ = + + =1，
xyz z x y
xyz
∴ 的值为1的倒数，即1．
xy+ yz+zx
4m−a
1．（2022•武安市一模）只把分式 中的m，n同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则此
5n
时a的值可以是下列中的（ ）
m
A．2 B．mn C． D．m2
3
【思路点拨】
利用特殊值法，对每个选项进行分析即可得出答案．
【解题过程】4m−a
解：∵将a＝2代入 中，
5n
4m−a 4−2 2
当m＝1，n＝1时， = = ，
5n 5 5
4m−a 12−2 2
当m＝3，n＝3时， = = ，
5n 15 3
∴选项A不符合题意；
4m−a
∵将a＝mn代入 中，
5n
4m−a 4−1 3
当m＝1，n＝1时， = = ，
5n 5 5
4m−a 12−9 1
当m＝3，n＝3时， = = ，
5n 15 5
∴选项B不符合题意；
m 4m−a
∵将a= 代入 中，
3 5n
1
4−
当m＝1，n＝1时，4m−a 3 11，
= =
5n 5 15
4m−a 12−1 11
当m＝3，n＝3时， = = ，
5n 15 15
∴选项C符合题意；
4m−a
∵将a＝m2代入 中，
5n
4m−a 4−1 3
当m＝1，n＝1时， = = ，
5n 5 5
4m−a 12−9 1
当m＝3，n＝3时， = = ，
5n 15 5
∴选项D不符合题意；
故选：C．
x x2−1
2．（2022•桥西区一模）关于代数式M＝（1− ）÷ 下列说法正确的是（ ）
x+1 x2+2x+1
1
A．当x＝1时，M的值为0 B．当x＝﹣1时．M的值为−
2
C．当M＝1时，x的值为0 D．当M＝﹣1时，x的值为0【思路点拨】
先将代数式M化简，再依次进行判断．
【解题过程】
x x2−1 x+1 x (x+1)(x−1) 1 x−1 1
解：M＝（1− ）÷ =（ − ）÷ = ÷ = ，
x+1 x2+2x+1 x+1 x+1 (x+1) 2 x+1 x+1 x−1
当x＝1时，
M无解，
故选项A错误，不符合题意；
当x＝﹣1时，
x2﹣1＝0，x+1＝0，x2+2x+1＝0，
M＝无解，
故选项B错误，不符合题意；
当M＝1时，
x＝2，
故选项C错误，不符合题意；
当M＝﹣1时，
x＝0，
故选项D正确，符合题意；
故选：D．
1 a2
3．（2021秋•遵义期末）若a+ =3，则 的值是（ ）
a a4+a2+1
1 1 1 1
A． B． C． D．
3 5 8 9
【思路点拨】
a2
求出 的倒数的形式的值，即可解答．
a4+a2+1
【解题过程】
1
解：∵a+ =3，
aa4+a2+1
∴
a2
1
＝a2+1 +
a2
1
＝a2+2 + −2+1
a2
1
＝（a+ ）2﹣1
a
＝32﹣1
＝8，
a2 1
∴ = ，
a4+a2+1 8
故选：C．
1 1 1
4．（2022•凤阳县一模）已知a，b，c满足a+c＝b，且 + = ．则下列结论错误的是（ ）
a b c
A．若b＞c＞0，则a＞0 B．若c＝1，则a2＝2
C．若a2﹣c2＝2，则ac＝2 D．若bc＝1，则a＝1
【思路点拨】
利用分式的加减法的法则，分式的性质对各项进行分析即可．
【解题过程】
解：A、∵b＞c＞0，且a+c＝b，
∴b﹣c＞0，a＝b﹣c，
∴a＞0，
故A不符合题意；
B、∵c＝1，a+c＝b，
∴b＝a+1，
1 1 1
∵ + = ，
a b c
1 1
∴ + =1，
a a+1
a+1+1
整理得： =1，
a(a+1)故a（a+1）＝a+2，
整理得：a2＝2，
故B不符合题意；
1 1 1
C、∵a2﹣c2＝2，a+c＝b， + = ，
a b c
a+b 1
∴（a﹣c）（a+c）＝2， = ，
ab c
∴（a﹣c）b＝2，ab＝ac+bc，
2
∴b= ，ac＝ab﹣bc＝b（a﹣c），
a−c
∴ac＝2，
故C不符合题意；
1 1 1
D、∵bc＝1， + = ，a+c＝b，
a b c
∴ab＝ac+bc＝ac+1，a＝b﹣c，
∴a（b﹣c）＝1，
则a2＝1，
∴a＝±1，
故D符合题意，
故选：D．
1 1 5x+2xy+5 y 32
5．（2021秋•九龙坡区校级期末）已知 + =6，则 的值为 ．
x y x−xy+ y 5
【思路点拨】
根据已知可得y+x＝6xy，然后代入式子进行进行计算即可解答．
【解题过程】
1 1
解：∵ + =6，
x y
∴y+x＝6xy，
5x+2xy+5 y
∴
x−xy+ y
5x+5 y+2xy
=
x+ y−xy
30xy+2xy
=
6xy−xy32xy
=
5xy
32
= ，
5
32
故答案为： ．
5
x+ y−z 1
6．（2021春•诸暨市校级月考）已知x+2y﹣3z＝0，2x+3y+5z＝0，则 = ．
x−y+3z 3
【思路点拨】
先解三元一次方程组，求出y＝11z，x＝﹣19z，然后代入分式中进行计算即可解答．
【解题过程】
{x+2y−3z=0①
解： ，
2x+3 y+5z=0②
①×2得：2x+4y﹣6z＝0③，
③﹣②得：y﹣11z＝0，
解得：y＝11z，
把y＝11z代入①中可得：x+22z﹣3z＝0，
解得：x＝﹣19z，
x+ y−z
∴
x−y+3z
−19z+11z−z
=
−19z−11z+3z
−9z
=
−27z
1
= ，
3
1
故答案为： ．
3
4x−7 A B
7．（2021春•东坡区月考）已知 = + ，其中A、B是常数，则A+B＝ 4 ．
(x−1)(x+2) x−1 x+2
【思路点拨】
先将等式右边通分相加，然后与左边分子系数一一对应，解方程组即可得到A，B，再相加即可求解．
【解题过程】
A B A(x+2) B(x−1) Ax+2A+Bx−B (A+B)x+2A−B
解： + = + = = ，
x−1 x+2 (x−1)(x+2) (x+2)(x−1) (x−1)(x+2) (x−1)(x+2)4x−7 A B
∵ = + ，
(x−1)(x+2) x−1 x+2
4x−7 (A+B)x+2A−B
∴ = ，
(x−1)(x+2) (x−1)(x+2)
∴4x＝（A+B）x，﹣7＝2A﹣B，
{ A+B=4
∴ ，
2A−B=−7
{A=−1
解得： ，
B=5
∴A+B＝﹣1+5＝4，
故答案为：4．
xy 1 yz 1 zx 1 xyz
8．（2022春•隆昌市校级月考）已知三个数x，y，z满足 = ， = ， = ，则
x+ y 3 y+z 4 z+x 5 xy+ yz+zx
1
的值为 ．
6
【思路点拨】
xy 1 yz 1 zx 1
将 = ， = ， = 分别化简为3xyz＝xz+yz，4xyz＝xy+xz，5xyz＝yz+xy，再将三个式子相加
x+ y 3 y+z 4 z+x 5
得到xyz与xy+yz+xz的关系，代入所求式子即可求解．
【解题过程】
xy 1
解：∵ = ，
x+ y 3
xyz 1
∴ = ，
xz+ yz 3
∴3xyz＝xz+yz①，
yz 1
∵ = ，
y+z 4
xyz 1
∴ = ，
xy+xz 4
∴4xyz＝xy+xz②，
zx 1
∵ = ，
z+x 5
xyz 1
∴ = ，
yz+xy 5
∴5xyz＝yz+xy③，由①+②+③得：
12xyz＝2xy+2yz+2xz，
∴xy+yz+xz＝6xyz，
xyz xyz 1
∴ = = ，
xy+ yz+zx 6xyz 6
1
故答案为： ．
6
1 1
= =
9．（2021秋•虎林市校级期末）已知一列数 a ，a ，a ，…，a ，其中a ＝﹣1，a ，a
1 2 3 n 1 2 1−a 3 1−a
1 2
1
=
，…，a ，则a +a +a +…+a ＝ 1008. 5 ．
n 1−a 1 2 3 2020
n−1
【思路点拨】
先求出a ，a ，a ，a 的值，找出规律进行计算即可．
1 2 3 4
【解题过程】
解：由题意得：
a ＝﹣1，
1
1 1 1
= = =
a ，
2 1−a 1−(−1) 2
1
1 1
= = =
a 1−a 1 2，
3 2 1−
2
1 1
a
= = =−1，
4 1−a 1−2
3
…，
1
所以上面的数据以﹣1， ，2为一个循环，依次出现，
2
1 3
∴﹣1+ +2= ，
2 2
∵2020÷3＝673...1，
∴a ＝﹣1，
2020
∴a +a +a +…+a
1 2 3 2020
3
＝673× +（﹣1）
22019
= −1
2
2017
=
2
＝1008.5，
故答案为：1008.5．
1
−53−(−1) 100−12÷(−
)
10．（2021秋•潍坊期中）（1）计算： 22 ；
1+|−1−32×2|
3ab−b2 a2−6ab+9b2 1 2
（2）化简：( −a+b)÷ +ab( − )．
a+b a+b a2−3ab ab−3b2
【思路点拨】
（1）先计算乘方、将除法转化为乘法，再计算乘法和绝对值，继而计算加减，最后约分即可；
（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算即可．
【解题过程】
−125−1−12×(−4)
解：（1）原式=
1+|−1−18|
−125−1+48
=
1+19
−78
=
20
39
=− ；
10
3ab−b2 a2−b2 (a−3b) 2 b 2a
（2）原式＝（ − ）÷ +ab[ − ]
a+b a+b a+b ab(a−3b) ab(a−3b)
−a2+3ab a+b b−2a
= • + ab•
a+b (a−3b) 2 ab(a−3b)
−a(a−3b) a+b b−2a
= • +
a+b (a−3b) 2 a−3b
a b−2a
=− +
a−3b a−3b
b−3a
= ．
a−3b1 a+3 a2−2a+1
11．（2022春•西峡县校级月考）已知实数a满足a2+4a﹣8＝0，求 − ⋅ 的值．
a+1 a2−1 a2+6a+9
【思路点拨】
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据实数a满足a2+4a﹣8＝0得出a2+4a＝8代入进行计算
即可．
【解题过程】
1 a+3 (a−1) 2
解：原式= − •
a+1 (a+1)(a−1) (a+3) 2
1 a−1
= −
a+1 (a+1)(a+3)
a+3−a+1
=
(a+1)(a+3)
4
=
(a+1)(a+3)
4
=
a2+4a+3
∵实数a满足a2+4a﹣8＝0，
∴a2+4a＝8
4 4
∴原式= = ．
8+3 11
x+3 x+8 1
12．（2021•聊城二模）先化简，再求值：1− ÷（ − ），其中x是不等式1＜3x+7
x2−2x x2−4x+4 2−x
＜6的负整数解．
【思路点拨】
根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后求出x的值，最后代入化简后的式子即可求出答案．
【解题过程】
x+3 x+8 1
解：原式 =1− ÷[ + ]
x2−2x (x−2) 2 x−2
x+3 x+8+x−2
＝1 − ÷
x2−2x (x−2) 2
x+3 2(x+3)
=1− ÷
x2−2x (x−2) 2x+3 (x−2) 2
=1− ⋅
x(x−2) 2(x+3)
x−2
＝1−
2x
x+2
= ，
2x
解不等式1＜3x+7＜6，
1
得−2＜x＜− ．
3
∵x是不等式1＜3x+7＜6的负整数解，
∴x＝﹣1．
∴当x＝﹣1时，
−1+2 1
原式= =− ．
2×(−1) 2
ab 2 ca 3 bc 6
13．（2022•仁寿县模拟）已知： = ， = ， = ．求代数式a+b+c的值．
a+b 3 c+a 4 b+c 5
【思路点拨】
首先取倒数组成三元一次方程组，再解方程组可得答案．
【解题过程】
ab 2 ca 3 bc 6
解：∵ = ， = ， = ，
a+b 3 c+a 4 b+c 5
1 1 3 1 1 4 1 1 5
∴ + = ， + = ， + = ，
a b 2 c a 3 b c 6
组成方程组为：
1 1 3
{ + =
a b 2
1 1 4
+ = ，
c a 3
1 1 5
+ =
b c 6
解得：a＝1，b＝2，c＝3，
所以a+b+c＝1+2+3＝6．
a+b b+c c+a
14．（2021秋•西山区期末）若x= ，y= ，z= ，设M＝（x+1）（y+1）（z+1），N＝（x﹣
a−b b−c c−a1）（y﹣1）（z﹣1）．
（1）请你任意给出一组a，b，c的值，计算出M和N的值；
（2）猜想M和N的大小关系，并证明．
【思路点拨】
（1）当a＝1，b＝0，c＝﹣1时，分别代入求出x，y，z的值，进而求出M与N的值；
（2）猜想M＝N，证明：把x，y，z分别代入M与N，计算后比较即可得证．
【解题过程】
解：（1）当a＝1，b＝0，c＝﹣1时（a，b，c互不相等即可），
a+b b+c c+a
x= =1，y= =−1，z= =0，
a−b b−c c−a
∴M＝（x+1）（y+1）（z+1）＝（1+1）×（﹣1+1）×（0+1）＝0，
N＝（x﹣1）（y﹣1）（z﹣1）＝（1﹣1）×（﹣1﹣1）×（0﹣1）＝0；
（2）猜想M＝N，理由如下：
证明：M＝（x+1）（y+1）（z+1）
a+b b+c c+a
＝（ +1）（ +1）（ +1）
a−b b−c c−a
2a 2b 2c
= • •
a−b b−c c−a
8abc
= ，
(a−b)(b−c)(c−a)
N＝（x﹣1）（y﹣1）（z﹣1）
a+b b+c c+a
＝（ −1）（ −1）（ −1）
a−b b−c c−a
2b 2c 2a
= • •
a−b b−c c−a
8abc
= ，
(a−b)(b−c)(c−a)
∴M＝N．
b−c c−a a−b
15 ． （ 2021 春 • 石 城 县 月 考 ） 已 知 a+b+c ＝ 0 ， 且 + + =0， 求 证 ：
a b c
bc+b−c ca+c−a ab+a−b
+ + =0．
b2c2 c2a2 a2b2
【思路点拨】根据已知可得a＝b或b＝c或a＝c，然后再代入要证等式的左边进行计算即可解答．
【解题过程】
b−c c−a a−b bc(b−c)+ac(c−a)+ab(a−b)
证明：∵ + + =
a b c abc
a2 (b−c)+a(c2−b2 )+bc(b−c)
=
abc
(b−c)[a2−a(b+c)+bc]
=
abc
(b−c)(a−b)(a−c)
=
abc
(b−c)(a−b)(a−c)
∴ =0，
abc
∴a﹣b＝0或b﹣c＝0或a﹣b＝0，
即a＝b或b＝c或a＝c，
不妨设a＝b，代入所要证等式左边，得：
bc+b−c bc+c−b b2
左边= + +
b2c2 b2c2 b4
2bc 1
= +
b2c2 b2
2bc+c2
= ，
b2c2
又∵a+b+c＝0且a＝b，
∴2b+c＝0，
2bc+c2 c(2b+c)
左边= = = 0，
b2c2 b2c2
右边＝0，
如果b＝c或a＝c，结论同样成立，所以所证等式成立．
16．（2021秋•惠州期末）结合图，观察下列式子：
（x+p）（x+q）＝x2+px+qx+pq
＝x2+（p+q）x+pq
于是有：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
（1）填空：因式分解x2+5x+6＝（x+ 2 ）（x+ 3 ）；x2−x−2 2x+6 x
（2）化简：( − )÷ ；
x2−4x+4 x2+x−6 x−2
1 1 1 1
（3）化简： + + + ．
x2+x x2+3x+2 x2+5x+6 x2+7x+12
【思路点拨】
（1）利用十字相乘法分解因式即可；
（2）先对分式的分子、分母进行因式分解，把除法化为乘法，再利用乘法对加法的分配律计算即可；
1 1 1
（3）先对分式的分子、分母进行因式分解，再利用 = − 进行解答即可．
x(x+1) x x+1
【解题过程】
解：（1）x2+5x+6＝（x+2）（x+3），
故答案为：2，3；
(x−2)(x+1) 2(x+3) x−2
（2）原式＝[ − ]×
(x−2) 2 (x+3)(x−2) x
(x−2)(x+1) x−2 2(x+3) x−2
= × − ×
(x−2) 2 x (x+3)(x−2) x
x+1 2
= −
x x
x−1
= ；
x
1 1 1 1
（3）原式= + + +
x(x+1) (x+1)(x+2) (x+2)(x+3) (x+3)(x+4)
1 1 1 1 1 1 1 1
= − + − + − + −
x x+1 x+1 x+2 x+2 x+3 x+3 x+4
1 1
= −
x x+4
4
=
．
x2+4x17．（2021秋•仓山区校级期末）阅读理解
1
材料：为了研究分式 与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据：
x
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
1 … ﹣0.25 ⋅ ﹣0.5 ﹣1 无意义 1 0.5 ⋅ 0.25 …
﹣0.
3
0.
3
x
1
从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大， 的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，
x
1
的值也随之减小．
x
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做
真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化
成 整 式 和 真 分 式 的 代 数 和 ， 像 这 种 恒 等 变 形 ， 称 为 将 分 式 化 为 部 分 分 式 ． 如 ：
2x+1 2x−8+8+1 2x−8 8+1 9
= = + =2+ ．
x−4 x−4 x−4 x−4 x−4
根据上述材料完成下列问题：
1
（1）当x＞0时，随着x的增大，1+ 的值 减小 （增大或减小）；
x
x+2
当x＜0时，随着x的增大， 的值 减小 （增大或减小）；
x
2x+2
（2）当x＞1时，随着x的增大， 的值无限接近一个数，请求出这个数；
x−1
5x−2
（3）当0≤x≤2时，求代数式 值的范围．
x−3
【思路点拨】
1 2 1 2
（1）由 、 的变化情况，判断1+ 、1+ 的变化情况即可；
x x x x
2x+2 4
（2）由 =2+ ，即可求解；
x−1 x−1
5x−2 4
（3）由 =2+ ，再结合x的取值范围即可求解．
x−3 x−1
【解题过程】
1
解：（1）∵当x＞0时 随着x的增大而减小，
x1
∴随着x的增大，1+ 的值减小；
x
2
∵当x＜0时 随着x的增大而减小，
x
x+2 2
∵ =1+ ，
x x
x+2
∴随着x的增大， 的值减小，
x
故答案为：减小，减小；
2x+2 2(x−1)+4 4
（2）∵ = =2+ ，
x−1 x−1 x−1
4
∵当x＞1时， 的值无限接近0，
x−1
2x+2
∴ 的值无限接近2；
x−1
5x−2 5(x−3)+13 13
（3）∵ = =5+ ，
x−3 x−3 x−3
又∵0≤x≤2，
13 13
∴﹣13≤ ≤− ，
x−3 3
5x−2 2
∴﹣8≤ ≤ ．
x−3 3
18．（2021秋•莆田期末）阅读下面材料，并解答相应的问题
欧拉分式
欧拉是18世纪瑞士著名的数学家、物理学家、天文学家．以欧拉命名的常数、公式、定理随处可见．在分
式中，就有这样一个欧拉分式：
an bn cn { 0 (n=0或1)
+ + = 1 (n=2) ．
(a−b)(a−c) (b−c)(b−a) (c−a)(c−b)
a+b+c (n=3)
（1）请你对欧拉分式中，当n＝2时的情况进行证明；
（2）请你利用欧拉分式解决下列问题：
20223 20203
①计算： −20213+ ；
2 2
(1+a)(1−a) (1+b)(1−b) (1+c)(1−c)
②求 + + 的值．
(a+b)(a−c) (b+a)(b+c) (c−a)(c+b)【思路点拨】
（1）先通分，再化简运算即可；
（2）①令a＝2022，b＝2021，c＝2020，原式＝2022+2021+2020＝6063；
1−a2 1−(−b2 ) 1−c2
②原式= + + ，再化简即可．
(a+b)(a−c) (−b−a)(−b−c) (c−a)(c+b)
【解题过程】
（1）证明：当n＝2时，
a2 b2 c2
+ +
(a−b)(a−c) (b−c)(b−a) (c−a)(c−b)
a2 (b−c) b2 (a−c) c2 (a−b)
= − +
(a−b)(b−c)(a−c) (b−c)(a−b)(a−c) (a−c)(b−c)(a−b)
a2b−a2c−ab2+b2c+ac2−bc2
=
(a−b)(b−c)(a−c)
a2b−a2c−ab2+b2c+ac2−bc2
=
a2b−a2c−ab2+b2c+ac2−bc2
＝1；
（2）解：①当n＝3时，令a＝2022，b＝2021，c＝2020，
原式＝2022+2021+2020＝6063；
1−a2 1−(−b2 ) 1−c2
②原式= + +
(a+b)(a−c) (−b−a)(−b−c) (c−a)(c+b)
1 1 1 a2 (−b) 2 c2
= + + − − −
(a+b)(a−c) (−b−a)(−b−c) (c−a)(c+b) (a+b)(a−c) (−b−a)(−b−c) (c−a)(c+b)
＝0﹣1
＝﹣1．
19．（2021秋•通州区期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M﹣N＝MN，则称分式N是
1 1 1 1 1
分 式 M 的 “ 关 联 分 式 ” ． 如 与 ， 因 为 − = ，
x+1 x+2 x+1 x+2 (x+1)(x+2)
1 1 1 1 1
× = ，所以 是 的“关联分式”．
x+1 x+2 (x+1)(x+2) x+2 x+12 2 2
（1）已知分式 ，则 是 的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
a2−1 a2+1 a2−1
1
（2）小明在求分式 的“关联分式”时，用了以下方法：
x2+ y2
1 1 1
设 的“关联分式”为N，则 −N= ×N，
x2+ y2 x2+ y2 x2+ y2
1 1
∴( +1)N= ，
x2+ y2 x2+ y2
1
∴N = ．
x2+ y2+1
a−b
请你仿照小明的方法求分式 的“关联分式”．
2a+3b
y y
（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 的“关联分式”： ；
x x+ y
②用发现的规律解决问题：
4n−2 4m+2
若 是 的“关联分式”，求实数m，n的值．
mx+m mx+n
【思路点拨】
（1）根据关联分式的定义判断．
（2）仿照小明的方法求解．
（3）找规律后求解．
【解题过程】
2 2
2(a2+1)−2(a2−1)
4
解：（1）∵ − = = ，
a2−1 a2+1 (a2−1)(a2+1) (a2−1)(a2+1)
2 2 4
× = ，
a2−1 a2+1 (a2−1)(a2+1)
2 2
∴ 是 的关联分式．
a2+1 a2−1
故答案是：是．
a−b
（2）设 的关联分式是N，则：
2a+3b
a−b a−b
−N= •N．
2a+3b 2a+3b
a−b a−b
∴（ + 1）•N = ．
2a+3b 2a+3b3a+2b a−b
∴ •N= ．
2a+3b 2a+3b
a−b
∴N= ．
3a+2b
y y y y
（3）①由（2）知： 的关联分式为： ÷（ +1）= ．
x x x x+ y
y
故答案为： ．
x+ y
{ 4m+2=4n−2
②由题意得： ．
mx+m=mx+n+4m+2
{ n−m=1
∴ ．
n+3m=−2
3 1
∴m=− ，n= ．
4 4
N
20．（2021秋•海淀区期末）在分式 中，若M，N为整式，分母M的次数为a，分子N的次数为b（当
M
N x+1
N为常数时，b＝0），则称分式 为（a﹣b）次分式．例如， 为三次分式．
M x4−x3
x
（1）请写出一个只含有字母x的二次分式 ；
x3−1
mx+2 nx+3
（2）已知A= ，B = （其中m，n为常数）．
x−3 x2−9
①若m＝0，n＝﹣5，则A•B，A+B，A﹣B，A2中，化简后是二次分式的为 A • B ， A 2 ；
②若A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求2m+n的值．
【思路点拨】
（1）根据材料中的新定义求解；
（2）①把m＝0，n＝﹣5代入可计算A和B的值，分别代入A•B，A+B，A﹣B，A2中计算，并根据新定义
判断是否是二次分式；
②计算A+B并根据一次分式的定义可得m和n的值，代入2m+n中计算求值即可．
【解题过程】
x
解：（1） ；
x3−1
x
故答案为 ；
x3−1mx+2 2 nx+3 −5x+3
（2）①当m＝0，n＝﹣5时，A= = ，B = =
x−3 x−3 x2−9 x2−9
2 −5x+3 −10x+6
∴A•B= • = ，是二次分式；
x−3 x2−9 (x−3)(x2−9)
2 −5x+3 2(x+3)−5x+3 −3x+9 −3(x−3) 3
A+B= + = = = =− ，不是二次分式；
x−3 x2−9 (x+3)(x−3) (x−3)(x+3) (x−3)(x+3) x+3
2 −5x+3 2(x+3)−(−5x+3) 2x+6+5x−3 7x+3
A﹣B= − = = = ，不是二次分式；
x−3 (x+3)(x−3) (x−3)(x+3) (x−3)(x+3) x2−9
2 4
A2=( ) 2= ，是二次分式；
x−3 x2−6x+9
故答案为：A•B，A2；
mx+2 nx+3
②A+B = + ，
x−3 x2−9
∵A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，
mx+2 1 mx+3
∴n＝1，结果为 + = ，
x−3 x−3 x−3
∴m＝0，
∴2m+n＝0+1＝1；
由①知：m＝0，n＝﹣5时，也符合条件，此时2m+n＝﹣5；
综上，2m+n的值为1或﹣5．
