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专题 15.2 分式方程
a b−x
【典例1】已知，关于x的分式方程 − =1．
2x+3 x−5
（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解；
a b−x
（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程 − =1无解；
2x+3 x−5
a b−x
（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程 − =1的解为整数时，求b的值．
2x+3 x−5
【思路点拨】
（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；
（3）将a＝3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和 b为正整数
确定b的取值．
【解题过程】
a b−x 2 1−x
解：（1）把a＝2，b＝1代入分式方程 − =1 中，得 − =1，
2x+3 x−5 2x+3 x−5
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
2（x﹣5）﹣（1﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
2x²+3x﹣13＝2x²﹣7x﹣15，
10x＝﹣2，
1
x=− ，
5
1 1
检验：把x=− 代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x=− ．
5 5
1
答：分式方程的解是x=− ．
5
a b−x 1 b−x
（2）把a＝1代入分式方程 − =1 得 − =1，
2x+3 x−5 2x+3 x−5方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
（x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15，
（11﹣2b）x＝3b﹣10，
11
①当11﹣2b＝0时，即b= ，方程无解；
2
3b−10
②当11﹣2b≠0时，x= ，
11−2b
3 3b−10 3
x=− 时，分式方程无解，即 =− ，b不存在；
2 11−2b 2
3b−10
x＝5时，分式方程无解，即 =5，b＝5．
11−2b
11 a b−x
综上所述，b= 或b＝5时，分式方程 − =1 无解．
2 2x+3 x−5
a b−x 3b x−b
（3）把a＝3b代入分式方程 − =1 中，得： + =1
2x+3 x−5 2x+3 x−5
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
整理得：（10+b）x＝18b﹣15，
18b−15
∴x= ，
10+b
18b−15 18(b+10)−195 195
∵x= = =18− ，且b为正整数，x为整数，
10+b 10+b 10+b
∴10+b必为195的因数，10+b≥11，
∵195＝3×5×13，
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，
但1、3、5 小于11，不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数．
对应地，方程的解x为3、5、13、15、17，
由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，b只可以取3、29、55、185，
所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．1 1 x 2x
1．（2021春•南芬区月考）在①x2﹣x+ ，② −3＝a+4，③ +5x＝6，④ =1中，其中关于x的分
x a 2 x−3
式方程的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2x+3 k
2．（2022•黑龙江模拟）已知分式方程 = +2的解为负数，则k的取值范围是（ ）
x+1 x2+2x+1
A．k＞1 B．k＞1且k≠﹣1 C．k＜1 D．k＜1且k≠0
2x−a −2x+a
3．（2022春•普宁市校级月考）若分式方程 −4= 的解为整数，则整数a＝（ ）
x−1 x+1
A．a＝±2 B．a＝±1或a＝±2 C．a＝1或2 D．a＝±1
x−4m m 1
4．（2022•龙马潭区模拟）已知关于x的方程 + = 无解，则实数m的取值是（ ）
x2−4 x−2 x+2
1 1 1 1
A．m= ，m=−2 B．m=− ，m=2 C．m=0，m=− D．m=0，m=
2 2 2 2
{ 2x−m≥−1
5．（2022•九龙坡区校级模拟）若关于x的不等式组 3 2 1 有且只有两个偶数解，且关于y的分
(x+ )+ ≤9
2 3 2
my−4 3 y−2
式方程 =−2− 的解为整数，则所有满足条件的整数m的和是（ ）
y−2 2−y
A．4 B．5 C．6 D．9
1
{−5−x≤ (x−a)
6．（2022春•锡山区校级月考）若关于x的一元一次不等式组 11 的解集恰好有3个负整
3x+1
＞2x+1
2
2y−a 3 y−2
数解，且关于y的分式方程 − =1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
y−1 1−y
A．6 B．9 C．﹣1 D．2{x+1 x−4
7．（2022 春•开州区月考）若关于 x 的不等式组 −1≥ 有解，且使关于 y 的分式方程
3 2
x+2a≤2(x−1)
1−2y a−y
+ =−3的解为非负数．则满足条件的所有整数a的和为（ ）
y−2 2−y
A．﹣9 B．﹣8 C．﹣5 D．﹣4
mx 2 3
8．（2022春•渝北区校级月考）已知关于x的分式方程 + = 无解，且关于y的不
(x−2)(x−6) x−2 x−6
{ m−y＞4
等式组 有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（ ）
y−4≤3(y+4)
A．1 B．2 C．4 D．8
x+1 2a−3
9．（2022•东港区校级开学）a＝ 时，关于x的方程 = 的解为1．
x−2 a+5
1 a 2(a−1)
10．（2021秋•绵阳期末）若关于x的方程 − = 的解为整数，则满足条件的所有整数
x+1 x−3 x2−2x−3
a的和等于 ．
{3−5x
≤9−x
11．（2021•雁江区模拟）若数m使关于x的不等式组 2 至少有3个整数解且所有解都是2x﹣
x＜m
4x−2 3m−1
5≤1的解，且使关于 x的分式方程 + =2有整数解．则满足条件的所有整数 m的和是
x−1 1−x
．
{ x−1 x+1
＞ y+2 m
12．（2021•龙泉驿区模拟）若关于x的不等式组 2 3 无解，关于y的方程 −1 = 的
y−2 y2−4
5x−m＜x+2
解大于1．则m的取值范围是 ．
13．（2021秋•仓山区校级期末）解下列方程3 x+2 7 2−3x
（1） − =0； （2） −2= ．
x−1 x2−x x+2 x+2
x+1 mx
14．（2022春•河南月考）已知关于x的方程： = −3．
x−2 x−2
（1）当方程的解为正整数时，求整数m的值；
（2）当方程的解为正数时，求m的取值范围．
2 mx 1
15．（2021春•城关区校级期末）已知关于x的分式方程 + =
x−1 (x−1)(x+2) x+2
（1）若方程的增根为x＝1，求m的值
（2）若方程有增根，求m的值
（3）若方程无解，求m的值．
16 2 a
16．（2022春•安岳县校级月考）若整数a使得关于x的分式方程 + = 有正整数解，且使
x(x−4) x x−4
1 2y−1 1
{ (y+4)− ＞
关于y的不等式组 2 3 2至少有4个整数解，求符合条件的所有整数a的和．
1−y
≤3−a
21 1 1 1 1 1 1 1
17．（2021秋•庄浪县期末）观察下列等式： =1− ， = − ， = − ，将以上三个
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
等式两边分别相加得： + + =1− + − + − =1− = ．
1×2 2×3 3×4 2 2 3 3 4 4 4
解答下面的问题：
1
（1）猜想并写 = ；
n(n+1)
1 1 1 1
（2）求 + + +⋯+ 的值；
1×2 2×3 3×4 2020×2021
1 1 1 3
（3）探究并解方程： + + = ．
x(x+3) (x+3)(x+6) (x+6)(x+9) x2+18
18．（2020春•青川县期末）阅读下面材料，解答后面的问题
x−1 4x
解方程： − =0．
x x−1
x−1 4
解：设y= ，则原方程化为：y− =0，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
x y
解得：y＝±2，
4 x−1
经检验：y＝±2都是方程y− =0的解，∴当y＝2时， =2，解得：x＝﹣1，
y x
x−1 1 1
当y＝﹣2时， =−2，解得：x= ，经检验：x＝﹣1或x= 都是原分式方程的解，
x 3 3
1
∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x= ．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
3
x−1 x x−1
问题：（1）若在方程 − =0中，设y= ，则原方程可化为： ；
4x x−1 xx−1 4x+4 x−1
（2）若在方程 − =0中，设y= ，则原方程可化为： ；
x+1 x−1 x+1
x−1 3
（3）模仿上述换元法解方程： − −1=0．
x+2 x−1
(x−a)(x−b)
19．（2021秋•海珠区期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式 的值为零，则
x
(x−a)(x−b) x2−(a+b)x+ab ab
解得x ＝a，x ＝b．又因为 = =x+ −（a+b），所以关于x的方程x
1 2
x x x
ab
+ =a+b的解为x ＝a，x ＝b．
1 2
x
x2+2 2
（1）理解应用：方程 =3+ 的解为：x ＝ ，x ＝ ；
1 2
x 3
3
（2）知识迁移：若关于x的方程x+ =5的解为x ＝a，x ＝b，求a2+b2的值；
1 2
x
4
（3）拓展提升：若关于x的方程 =k﹣x的解为x ＝t+1，x ＝t2+2，求k2﹣4k+2t3的值．
1 2
x−1
