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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
思维拓展 02 抽象函数与复合函数的应用（精讲
+精练）
①抽象函数的性质（定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性）
②常见抽象函数模型①—一次函数、二次函数、反比例函数
③常见抽象函数模型②—指对幂函数、三角函数
④复合函数的应用
一、必备知识整合
一、抽象函数的性质
1.周期性： ； ；
；（ 为常数）；
2.对称性：
对称轴： 或者 关于 对称；
对称中心： 或者 关于 对称；
3.如果 同时关于 对称，又关于 对称，则 的周期
4.单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
① 在 上是奇函数，且 单调递增 若解不等式 ，则有
；
在 上是奇函数，且 单调递减 若解不等式 ，则有
；
② 在 上是偶函数，且 在 单调递增 若解不等式 ，则有 （不
变号加绝对值）；
在 上是偶函数，且 在 单调递减 若解不等式 ，则有 （变号加绝对值）；
③ 关于 对称，且 单调递增 若解不等式 ，则有
；
关于 对称，且 单调递减 若解不等式 ，则有
；
④ 关于 对称，且 在 单调递增 若解不等式 ，则有
（不变号加绝对值）；
关于 对称，且 在 单调递减 若解不等式 ，则有
（不变号加绝对值）；
5.常见的特殊函数性质一览
① 是奇函数
② （ 为常数）是奇函数
③ 或者 或者 或者 是奇函数
④ 关于 对称
⑤ 复合函数的奇偶性：有偶为偶，全奇为奇
二、抽象函数的模型
【反比例函数模型】
反比例函数： ，则 ，
【一次函数模型】
模型1：若 ，则 ；
模型2：若 ，则 为奇函数；
模型3：若 则 ；
模型4：若 则 ；
【指数函数模型】
模型1：若 ，则 ；模型2：若 ，则 ；
模型3：若 ，则 ；
模型4：若 ，则 ；
【对数函数模型】
模型1：若 ，则
模型2：若 ，则
模型3：若 ，则
模型4：若 ，则
模型5：若 ，则
【幂函数模型】
模型1：若 ，则
模型2：若 ，则
代入 则可化简为幂函数；
【余弦函数模型】
模型1：若 ，则
模型2：若 ，则
【正切函数模型】
模型：若 ，则
模型3：若 ，则
三、复合函数
1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。复合函数形式： ，令： ，则 转化为 其中 叫作中间变
量. 叫作内层函数， 叫作外层函数.
2.求复合函数单调性的步骤：
①确定函数的定义域
②将复合函数分解成两个基本函数 分解成
③分别确定这两个函数在定义域的单调性
④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。
在 上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”
增 增 增
增 减 减
减 增 减
二、考点分类精讲
【题型训练-刷真题】
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）已知函数 的定义域为R，且 ，则
（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数 的一个周期为 ，求出函数一个周期中的
的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可
得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得，
，即有 ，从而可知 ，
，故 ，即 ，所以函数 的一个周期为 ．因为
， ， ，
， ，所以一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由 ，联想到余弦函数和差化积公式
，可设 ，则由方法一中 知 ，
解得 ，取 ，
所以 ，则
，所以
符合条件，因此 的周期 ， ，且
，所以 ，
由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，
简单明了，是该题的最优解.
2．（2022·全国·高考真题）已知函数 的定义域均为R，且 ．
若 的图像关于直线 对称， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到 ，从而得到 ，
，然后根据条件得到 的值，再由题意得到 从而得到 的值
即可求解.
【详解】因为 的图像关于直线 对称，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，代入得 ，即 ，
所以 ，
.
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得， ，
所以 的图像关于点 中心对称，因为函数 的定义域为R，
所以
因为 ，所以 .
所以 .
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后
得到所需的一些数值或关系式从而解题.
二、多选题
3．（2023·全国·高考真题）已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）．
A． B．
C． 是偶函数 D． 为 的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例 即可排除选
项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数 进行判断即可.
【详解】方法一：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，对于D，不妨令 ，显然符合题设条件，此时 无极值，故 错误.
方法二：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，当 时，对 两边同时除以 ，得到 ，
故可以设 ，则 ，
当 肘， ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 为偶函数，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
显然，此时 是 的极大值，故D错误.
故选： .
4．（2022·全国·高考真题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若
， 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于 ，因为 为偶函数，所以 即 ①，所以
，所以 关于 对称，则 ，故C正确；
对于 ，因为 为偶函数， ， ，所以 关于 对称，由①求
导，和 ，得 ，所
以 ，所以 关于 对称，因为其定义域为R，所以 ，结合 关于
对称，从而周期 ，所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知 周期为2，关于 对称，故可设 ，则 ，显然A，D错
误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为 ， 均为偶函数，
所以 即 ， ，
所以 ， ，则 ，故C正确；
函数 ， 的图象分别关于直线 对称，
又 ，且函数 可导，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，故B正确，D错误；若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的
通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
【题型训练-刷模拟】
1 . 抽象函数的性质（定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性）
一、单选题
1．（23-24高三上·陕西渭南·阶段练习）已知 的定义域为 ，则函数 的定义域
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据已知函数定义域、对数、分数的性质列不等式性质求定义域.
【详解】由题设 ，则 ，可得 ，
所以函数定义域为 .
故选：A
2．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）定义域均为R的函数 ， 满足 ，且
，则（ ）
A． 是奇函数 B． 是偶函数
C． 是奇函数 D． 是偶函数
【答案】D
【分析】通过函数变量间的转化，得出函数对应等量关系.利用函数平移变化，由平移后的对称关系求得原
函数的对称关系.【详解】因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 关于直线 对称，
因为 ，
所以 关于 对称，即 为偶函数.
故选：D
3．（2024·全国·模拟预测）已知不恒为零的函数 为定义在 上的奇函数，且函数 为偶函数，
则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据题意得到 与 ，进而得到 的一个周期为4，从而得解.
【详解】由于函数 为偶函数，则 ，即 ，
又 为定义在 上的奇函数，所以 ，且 ，
所以 ，则 ，
故 的一个周期为4，则 .
故选：B．
4．（2024·全国·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 ，且 为奇函数，
，则 （ ）
A．4047 B．4048 C．4049 D．4050
【答案】C
【分析】首先判断抽象函数的周期，再根据条件求函数值，再根据周期求函数值的和.
【详解】由 可得 ，
故 的一个周期为4，
由 为奇函数可得 ，得 ，
对于 ，令 ，得 ，则 ，
令 ，得 ，又 ，所以 ，
则 ，故
.
故选：C.
5．（2024·湖南长沙·二模）已知定义在 上的函数 是奇函数，对任意 都有 ，
当 时，则 等于（ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和对称性推得函数 的周期为4，利用周期性和奇函数特征即可求得
的值.
【详解】定义在 上的函数 是奇函数，且对任意 都有 ，
故函数 的图象关于直线 对称，∴ ，故 ，
∴ ，∴ 是周期为4的周期函数．
则 ．
故选：A．
6．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知定为域为R的函数 满足： 为偶函数，
，且 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
由题意根据函数满足的条件等式，推出函数的一个周期，再利用赋值法求出 以及 ，结合函数周
期，即可求得答案.
【详解】由题意知定为域为R的函数 满足： 为偶函数，
即 ，即 ，结合 ，
得 ，即 ，
故 ，即 ，
则 ，故8为函数 的一个周期，
由于 ， ，故令 ，则 ，
结合 ，令 ，得 ，对于 ，令 ，则 ，
故 ，
故选：B
【点睛】关键点睛：本题考查了抽象函数的求值问题，解答的关键是根据函数满足的条件，推出函数周期，
进而结合赋值法求值，即可求解答案.
7．（22-23高二下·浙江衢州·期末）已知函数 定义域为 ，对 ，恒有
，则下列说法错误的有（ ）
A． B．
C． D．若 ，则 周期为
【答案】A
【分析】利用赋值法求 判断A；赋值法结合函数奇偶性的定义判断B；赋值法结合换元法判断C；利
用赋值法求得 ，化简得 ，即可判断D.
【详解】由 ，
令 ， ，有 ，
可得 或 ，A错；
当 时，令 ，
则 ， ，
函数 既是奇函数又是偶函数， ，
当 时，令 ，
则 ，则 ，
函数 是偶函数， ，
综上，B正确；
令 ，则 ，
故 ，
由于 ，令 ，即 ，
即有 ，C正确；
若 ，令 ，
则 ，所以 ，
则 ，
，
所以 ，
则 周期为 ，D正确.
故选：A
8．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）定义在 上的函数 满足 ， 为偶函数，
函数 的图象关于 对称，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】借助抽象函数的奇偶性、对称性以及周期性即可解答.
【详解】因为 关于 对称，有 ，
令 ，则 ， 的图象关于 对称.
由 为偶函数，得 ，则 的图象于 对称，
因为 ，
所以 ，
即 ，则 的图象关于 对称.
所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 为 的一个周期，
因为 图象关于 对称，所以 ，
故 ，
所以由 ，得 .
故选：C.
9．（2024·河南·三模）设函数 的定义域为 为奇函数， 为偶函数，若
1，则 （ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】D【分析】根据函数的奇偶性可得 的图象关于点 中心对称且关于直线 轴对称，进而得
的周期为4，即可求解.
【详解】因为 为奇函数，所以 ，
所以 的图象关于点 中心对称，则 .
因为 为偶函数，所以 ，
所以 的图象关于直线 轴对称.
由 ，得 ，
所以 ，则 ，
则 的周期为4，
，则 .
故选：D
【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论
（1） 关于 轴对称，
（2） 关于 中心对称，
（3） 的一个周期为 ，
（4） 的一个周期为 .
可以类比三角函数的性质记忆以上结论.
二、填空题
10．（2024·湖北武汉·二模）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
.
【答案】
【分析】借助函数定义域的定义计算即可得.
【详解】由函数 的定义域为 ，则有 ，
令 ，解得 .
故答案为： .
11．（23-24高三下·安徽·阶段练习）若函数 为偶函数， 是奇函数，且
，则 .【答案】
【分析】根据抽象函数的奇偶性、对称性、周期性计算即可.
【详解】由题意可知 关于 轴对称， 关于 中心对称，
，
所以 ，故 ，
所以 ，
即 是 的一个正周期，则
由 ，且 ，则 ，
故答案为：
12．（2024·宁夏银川·一模）若定义在 上的函数 满足 是奇函数， ，
，则 ．
【答案】
【分析】由 是奇函数，可得 ，由 可得 ，进
而得到 ，从而得出函数 的周期为 ，根据条件赋值可求得
，从而得解.
【详解】因为 是奇函数，所以 ，
用 替换上式中的 ，可得 ，
在 中，用 替换 ，可得 ，
所以 ，用 替换该式中的 ，可得 ，
所以 ，所以函数 的周期为 ，
在 中，令 ，得 ，
在 中，令 ，得 ，
在 中，令 ，得 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数 关于直线 轴对称，则 ，若函数 关于点 中心对
称，则 ，反之也成立；（2）关于周期：若 ，或 ，或 ，可知函数 的周期为 .
13．（2024·河南·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，若 ，
且 ，则 .
【答案】
【分析】通过赋值法解出 ，由 解出 ；进而求出 ，再证明函
数为偶函数，进而证出 ，结合偶函数得出函数周期，求出 最后求解即可.
【详解】令 ，得 ，
再令 ，得 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
令 ，得 ，
所以 ，即 ，
若 ，则代入 中， ，
由 ，所以 ，即 ，且 ，
令 ，得 ，
由 ， ，所以 ，
所以 为偶函数，所以 ， ，
令 ，得 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 为周期函数，周期为4，
所以 ，
，
所以
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：该题刚开始的关键是通过赋值法求得 的值，这也是抽象函数求函数
值的常用方法，另一个关键点是从所求出发：求多个函数值和，联想到这种类型的求和大概两种：一种转化成某个数列求和，另一种利用周期性求和，所以接下来的关键就是借助奇偶性求函数的周期.
2 . 常见抽象函数模型①—一次函数、二次函数、反比例函数
一、单选题
1．（2023·河南新乡·一模）已知定义在 上的函数 满足 ，
， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用赋值法求 及 ，然后利用单调性解不等式即可.
【详解】令 ，得 .
令 ，得 ，解得 ，
则不等式 转化为 ，
因为 是增函数，且 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：A
2．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，且
，则（ ）
A． B． C． 是偶函数 D． 没有极值点
【答案】D
【分析】令 ，结合题设 为 上任意值且 ，得到 为常
函数，进而判断各项的正误.
【详解】令 ，则 ，
所以 ，且 为定义域内任意值，故 为常函数.
令 ，则 ，为奇函数且没有极值点，C错，D对；
所以 不恒成立， 不一定成立，A、B错.
故选：D
3．（2024·河北·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 ，
则（ ）A． 是奇函数且在 上单调递减
B． 是奇函数且在 上单调递增
C． 是偶函数且在 上单调递减
D． 是偶函数且在 上单调递增
【答案】A
【分析】令 ，求出 ，令 ，求出 ，再分别令 ， ，即可求出函数
的解析式，进而可得出答案.
【详解】令 ，则 ，所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
因为 ，且定义域关于原点对称，所以函数 是奇函数，
由反比例函数的单调性可得函数 在 上单调递减.
故选：A.
4．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数 的定义域为 ，且 ，若
，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．函数 是偶函数 D．函数 是减函数
【答案】C
【分析】首先利用赋值法求得 的值，再赋值 ，求得 的解析式，即可判断C，再根
据函数的解析式，赋值判断BD.
【详解】对于A，令 、 ，则有 ，又 ，故 ，即 ，
令 、 ，则有 ，
即 ，由 ，可得 ，
又 ，故 ，故A正确；
对于C，令 ，则有 ，
则 ，故函数 是奇函数，故C错误；
对于D，有 ，即 ，
则函数 是减函数，故D正确；
对于B，由 ，令 ，有 ，故B正确.
故选：C
5．（2024·河南·三模）已知函数 满足： ，且 ， ，则
的最小值是（ ）
A．135 B．395 C．855 D．990
【答案】C
【分析】构造函数 ，可得 ，令 ，由
得 ，从而得到 ，即可求出 的最小值.
【详解】由 ，得 ，令
，得 ，
令 ，得 ，
故 ，又 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，当 时， 的最小值为855．
故选：C．
6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且满足
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．方程 有解
C． 是偶函数 D． 是偶函数
【答案】C
【分析】由已知利用赋值法与等差数列的求和公式，结合函数的奇偶性及方程解的存在条件检验各选项即
可判断.
【详解】对于A，因为函数 的定义域为 ，且满足 ，
取 ，得 ，则 ，
取 ，得 ，则 ，故 错误；
对于B，取 ，得 ，则 ，
所以 ，
以上各式相加得 ，
所以 ，
令 ，得 ，此方程无解，故B错误.
对于CD，由 知 ，
所以 是偶函数，
不是偶函数，故C正确， 错误.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用赋值法得到 ，再利用等差数列数列的求和
公式得到 ，从而得解.
7．（23-24高三上·河北保定·期末）已知函数 满足： ， ， 成立，
且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令 ，求出 ，令 ，求出 ，令 ，求出 ，再令，可求出 的关系，再利用累加法结合等差数列前 项和公式即可得解.
【详解】令 ，则 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，
则当 时， ，
则
，
当 时，上式也成立，
所以 ，
所以 .
故选：C.
二、多选题
8．（23-24高三上·云南昆明·开学考试）已知函数 的定义域为 ，且 ，
则（ ）
A．
B．
C． 是奇函数
D． 是偶函数
【答案】ABD
【分析】根据已知的抽象函数性质，赋值（式）法求解即可.
【详解】令 ，则 ，即 . A正确.
令 ，则 .
令 ，则 ，则 .
故 . B正确.
是非奇非偶函数. C不正确.是偶函数. D正确.
故选：ABD.
9．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知非常数函数 的定义域为 ，且
，则（ ）
A． B． 或
C． 是 上的增函数 D． 是 上的增函数
【答案】AC
【分析】A.令 判断；B.令 ，分别令 ， 判断；CD.由
，令 判断.
【详解】解：在 中，
令 ，得 ，即 ．
因为函数 为非常数函数，所以 ，A正确．
令 ，则 ．
令 ，则 ，①
令 ，则 ，②
由①②，解得 ，从而 ，B错误．
令 ，则 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以C正确，D错误．
故选：AC
3 . 常见抽象函数模型②—指对幂函数、三角函数
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数 满足 ，当 ，若在区间 内，
函数 有两个不同零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】转化 ，可转化为 有两个交点，数形结合即得解
【详解】由 ，
函数 有两个不同零点，可转化为 有两个交点
当 ，
故
作图如下，由于 ,若 有两个交点
可得
故选：A
二、多选题
2．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数 的定义域为R，值域为 ，
，则（ ）
A． B．
C． D． 是函数 的极小值点
【答案】AC
【分析】由已知利用赋值法分别检验各选项即可判断.
【详解】取 ，则 ，且 ，故 ，A正确；
取 ，符合题意，此时 ，且 在 上单调递增，不存在极值点，B和D错误；
取 ，则 ，即 ，C正确，
故选：AC．3．（22-23高一上·江苏南京·期末）已知函数 ，对于任意 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】通过赋值法，取具体函数，基本不等式等结合已知条件分选项逐个判断即可.
【详解】令 ，故A正确；
由已知 ，①
令 满足题干要求， 则 ，故B错误；
由①可知，令 ，则 ，
又因为 ，则 ，所以 ，故C正确；
因为 ，所以 ，
又由①，令 ，则 ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD.
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且 ， 时，
， ，则（ ）
A．
B．函数 在区间 单调递增
C．函数 是奇函数
D．函数 的一个解析式为
【答案】ABD
【分析】赋值法求值判断A选项，定义法判断单调性判断B选项，特殊值法判断C选项，根据题干要求判
断解析式符合题意判断D选项.【详解】A项：因为 ，
当 时， ，令 ，
则 ，解得 ，A正确；
B项：任取： ，
则 ，
因为当 时， ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以函数 在区间 单调递增，B正确；
C项：令 ，则 ，
解得 或 ，当 ，且 时，令 ，
则 ，
若 为奇函数，则 ，即 ，
解得 ，与题意矛盾；
当 时 不为奇函数．
综上所述，函数 不是奇函数，C错误；
D项：当 ，
则 ，
，
所以 ，易得 在 上单调递增，
所以 时， ， ，
故函数 的一个解析式为 ，D正确．
故选 :ABD
三、填空题5．（2023·全国·模拟预测）已知 在 上是减函数，且 对任意的
都成立，写出一个满足以上特征的函数 .
【答案】 答案不唯一
【分析】由 变形到 可考虑对数函数，然后根据单调性以及“ ”可考虑构造对数型函数
.
【详解】由题意可知， 可变化为 的形式，由此可想到对数函数，
又因为 在 上是减函数且 ，
所以满足条件的一个函数可取 ，
故答案为： (答案不唯一).
4 . 复合函数的应用
一、单选题
1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】 ，设 ， ，计算得到答案.
【详解】 ，
设 ，则 ，
故函数的值域为 .
故选：C
2．（2024·湖北·二模）已知函数 在 上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由题设条件证明 ，再验证 时条件满足即可.
【详解】若 在 上单调递增，
则必然在 处有定义，所以 ，即 ；若 ，则当 时 ，所以 在 上有定义，
再由 知 在 上单调递增，所以 在 上单调递增.
故选：C.
3．（23-24高三下·甘肃·开学考试）函数 的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦函数的单调性及复合函数的性质，列式解得答案.
【详解】 ，
由题意 单调递减，且 ，
则 ，解得 ， ，
所以 的单调递减区间是 .
故选：D.
4．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数 ，若 的值域为 ，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
借助 的值域为 可得 要取遍所有的正数，对 进行分类讨论即可得.
【详解】若函数 的值域为 ，则 要取遍所有的正数．
所以 或 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
故选：A．
5．（23-24高三上·山东日照·阶段练习）已知函数 在区间 上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复合函数的单调性以及 的单调性，即可得出 在区间 上单调递增.结
合二次函数的性质，即可得出关于 的不等式，求解即可得出答案.
【详解】因为函数 为R上的减函数，
根据复合函数的单调性可知，要使函数 在区间 上单调递减，
则函数 在区间 上单调递增.
根据二次函数的性质可知，函数 在 上单调递增，
所以应有 ，即 .
故选：C.
6．（2024·山西吕梁·二模）已知函数 在区间 上单调递减，则函数 的解析式可以为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据复合函数单调性分析可知 在区间 上单调递减，进而逐项分析判断即可.
【详解】因为 开口向下，对称轴为 ，
可知内层函数 在区间 上单调递增，
当 ， ；当 ， ；
可知 ，
又因为函数 在区间 上单调递减，
所以 在区间 上单调递减，即 在区间 上单调递减.
对于选项A：因为函数 在区间 上单调递减，故A正确；
对于选项B：因为 ，则 在区间 上单调递增，故B错误；对于选项C：因为 ，则 在区间 上单调递增，故C错误；
对于选项D：因为 在区间 上单调递增，故D错误.
故选：A.
7．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数 的值域为R，则a的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出函数 的函数值集合，再由分段函数值域的意义求出a的范围作答.
【详解】当 时， ，而函数 在 上单调递增，又 是增函数，
因此函数 在 上单调递增， ，即函数 在 上的值域为 ，
当 时，函数 的值域为 ，而函数 的值域为R，因此 ，
而当 时， ，必有 ，解得 ，
所以a的取值范围是 .
故选：C
8．（2023·河北邯郸·模拟预测）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令 ，即可判断 为奇函数，从而得到 关于 对称，则
，再判断 的单调性，由对称性将不等式化为 ，再由单调性转化
为自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为 ，令 ， ，
则 ，所以 为奇函数，则 关于原点对称，所以 关于 对称，
则 ，
则 在定义域 上单调递增， 在 上单调递减，所以 在定义域 上单调递减，
则 在定义域 上单调递减，
则不等式 ，即 ，所以 ，
则 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
故选：B
9．（2024·全国·模拟预测）函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对数函数与复合函数的单调性，可得内函数的单调性，利用其最值以及二次函数单调性，建
立不等式，可得答案.
【详解】令 ，则 ．
当 时， 在 上单调递增，
则由复合函数的单调性可知 在 上单调递增，
且 在 上恒成立，
所以 ，解得 或 （舍去）．
所以 在 上单调递增，
则 ，解得 ．
当 时， 在 上单调递减，
则由复合函数的单调性可知 在 上单调递减，
且 在 上恒成立，
所以 ，解得 或 （舍去）．
所以 在 上单调递减，
则 ，解得 ，与 矛盾．
综上所述， .故选：C．
二、多选题
10．（22-23高一上·江苏镇江·阶段练习）函数 ，则正确的有（ ）
A． 的定义域为 B． 的值域为
C． 是偶函数 D． 在区间 上是增函数
【答案】ACD
【分析】根据给定的函数 ，求出定义域并变形解析式，再逐项分析判断作答.
【详解】依题意，函数 的定义域为R，A正确； ，
对于B，因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，又函数 在 上递
增，
因此 ，B错误；
对于C， ，因此函数 是R上的偶函数；
对于D，令 ， ，
，
因为 ，则 ，即有 ，因此 ，
即函数 在 上单调递增，又函数 在 上递增，所以函数 在 上递
增，D正确.
故选：ACD
11．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 值域为
B．函数 是增函数
C．不等式 的解集为
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，令 ，利用换元法和对数函数的性质即可求得；对于B，令 由
复合函数的单调性进行判断即可；对于C，利用函数的奇偶性和单调性进行解不等式；对于D，由即可求解.
【详解】对于A，令 ，又因为 在 上递增，所以 ，由
对数函数的性质可得， 的值域为R，故A正确；
对于B，因为 在 上递增， 在 上递减，由复合函数的单调性可知，
为减函数，故B错误；
对于C，因为 的定义域为 ，且 ,
，所以 为奇函数，且 在 上为减函数，
不等式 等价于 即 ，
等价于 ，解得 ，故C正确；
对于D，因为 且 ，所以
，故D正确.
故选：ACD.
12．（23-24高三下·湖北·开学考试）设函数 且 在区间 上单调递减，
则 的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】利用导数可求得 的单调性，由此可得 的大致图象；分别在 和
的情况下，根据复合函数单调性可确定 的单调性，结合 的图象可构造不等
式组求得 的范围.
【详解】令 ， ，
，
当 时， ；当 时， ；在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
令 ，解得： 或 ，
的大致图象如下图所示，
当 时，若 在 上单调递减，则 在 上单调递减，
，解得： ；
当 时，若 在 上单调递减，则 在 上单调递增，
或 ，解得： ；
综上所述：实数 的取值范围为 ， 可能的取值为 和 .
故选：AC.
三、填空题
13．（2023高三·全国·专题练习）已知集合 ， ，则
【答案】
【分析】由题意分别求出集合 ，然后求 即可.
【详解】由 ，
故 ，
故答案为： .
14．（22-23高三上·北京朝阳·阶段练习）函数 的定义域是 ，值域是
．
【答案】
【分析】（1）由真数大于0解不等式即可求得定义域；
（2）利用换元法即可求得值域.【详解】（1）因为 ，
所以 ，解得： ，
所以 的定义域是 .
（2）设 ，
则 ，所以 ，
由图像可知： ，
即函数 的值域为 .
故答案为： ； .
15．（23-24高三上·安徽亳州·阶段练习）若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取
值范围为 .
【答案】
【分析】根据复合函数单调性求解即可.
【详解】解：根据复合函数单调性可知，函数 在区间 上单调递减,
因此可知对称轴 ，且 ，
解得 .
故答案为：
16．（22-23高三上·上海杨浦·阶段练习）已知函数 ，对于任意的
都能找到 ，使得 ，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】分别求出函数 ， 的值域，然后由集合的包含关系得参数范围．
【详解】 时， ， ，
时， ， ，
于任意的 都能找到 ，使得 ，则 ，
所以 ，解得 ．故答案为： ．
