文档内容
专题04 含30度角的直角三角形、直角三角形斜边的中线定理重难点题型专训
（13大题型+20道拓展培优）
题型一 根据30度角直角三角形的性质求长度
题型二 根据30度角直角三角形的性质求角度
题型三 根据30度角直角三角形的性质求面积
题型四 根据30度角直角三角形的性质求最值
题型五 根据30度角直角三角形的性质证明
题型六 根据直角三角形斜边上的中线定理求长度
题型七 根据直角三角形斜边上的中线定理求角度
题型八 根据直角三角形斜边上的中线定理求周长
题型九 根据直角三角形斜边上的中线定理求面积
题型十 根据直角三角形斜边上的中线定理求最值
题型十一 折叠问题
题型十二 旋转问题
题型十三 动点问题
知识点1：含30°的直角三角形的性质
在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半。
知识点2：直角三角形的性质定理
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
注：本讲义部分题型可用勾股定理答题；a²+b²=c²
【经典例题一 根据30度角直角三角形的性质求长度】
【例1】如图，在 中， ， 交BC于点D，过点D的直线m恰好垂直平分线段 ，
，则 的长是（ ）A．18 B．15 C．9 D．12
1．如图，在 中， ．分别以点A，C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分
别交于点P，Q，作直线 分别交 于点D，E．若 ，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．在 中， ，作 边的垂直平分线，交直线 于点 ，交 于点 ．若 ，且
， ，则 的长为 ．
3．如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至点E，使 ．
(1)求证： ；
(2)若F是 的中点，连接 ，且 ，求 的周长．【经典例题二 根据30度角直角三角形的性质求角度】
【例2】在 和 中， ， ， ，已知 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
1．在 和 中， ， ， ，已知 ，则 的度
数是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
2．如图，在 中，中线 与高线 三等分 ，则 的度数为 ．
3．如图①，在平面直角坐标系 中， ，C为y轴正半轴上一点， ，且 ．
(1)点B的坐标为________；
(2)如图②，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿射线 方向运动；同时点Q以每秒1个单位
长度的速度在边 上从点B向点C运动，运动时间为 ，当点Q运动到点C处时，两点同时停止运动．
在运动过程中：
①当 是直角三角形时，求t的值；
②当 是等腰三角形时， 的度数是________．【经典例题三 根据30度角直角三角形的性质求面积】
【例3】如图，在 中， ，以点 为圆心，适当长为半径画弧分别交 于点
和点 ，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，连接 并延长交
于点 ．若 的面积为8，则 的面积是（ ）
A．8 B．16 C．12 D．24
1．在 中， ，则 的面积是（ ）．
A．20 B． C．50 D．60
2．如图，已知 是 平分线上一点， ， 交 于点 ， ，垂足为 ，
且 ，则 的面积等于 ．
3．已知 为等边 的角平分线，动点 在直线 上（不与点 重合），连接 ．以 为一边在
的下方作等边 ，连接 ．(1)如图1，若点 在线段 上，且 ，则 ______度．
(2)如图2，若点 在 的反向延长线上，且直线 ， 交于点 ．
①求 的度数；
②若 的边长为 ， ， 为直线 上的两个动点，且 ．连接 ， ，判断 的面积
是否为定值，若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
【经典例题四 根据30度角直角三角形的性质求最值】
【例4】如图， ，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 、 于点M、N，再分别以
点M、N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线 ，点P在射线 上，且
，点E在边 上，则线段 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．
1．如图所示，在四边形ABCD中， ， ， ， ，在AD上找一点P，
使 的值最小；则 的最小值为（ ）A．4 B．3 C．5 D．6
2．如图，在每个小正方形边长为l的网格中， 是等边三角形，且顶点 ， 均在格点上．点 是三
角形内的一个格点，请用无刻度的直尺，在射线 上画出点 ，使 的值最小，并简要说明点
的位置是如何找到的（不要求证明） ．
3．在 中， ，点E在是 边上一动点（不与A、B重合），连接 ，点P是直线 上一
个动点．
(1)如图1， ，E是 中点， ，N是射线 上一个动点，若使得 的
值最小，应如何确定M点和点N的位置？请你在图2中画出点M和点N的位置，并简述画法；直接写出
的最小值；
(2)如图3， ，连接 ， 且 ．求证： ．
【经典例题五 根据30度角直角三角形的性质证明】
【例5】如图，在边长为10的等边 中，点M在边 的延长线上，点N在边 上，且 ，
若 ，则 的长为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
1．如图，在 是 边上的高，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交
于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点P，作射线 交
于点E，交 于点F，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，点 、 、 分别在等边 的各边上，且 于点 ， 于点 ，
于点 ，若 ，则 的长为 ．
3．如图， 与 都是等边三角形，B、C、E三点在同一条直线上，若 ，求
的长．【经典例题六 根据30度角直角三角形的性质证明】
【例6】如图，在 中， ， ， ， 是 的中点，则 的长为
（ ）
A． B． C． D．
1．如图，在等腰 中， ，点 为 的延长线上一点，连接 ，点 分别为线段
的中点，连接 ，若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在 中， ，的平分线交BC于点D，E为 的中点，若 ，则 的长是
．3．如图，在 中， 是 边的中点， 是 上一点， BD交 的延长线于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求BD的长．
【经典例题七 根据直角三角形斜边上的中线定理求角度】
【例7】在四边形 中， ，点 为对角线 的中点， ，
，连接 ， ， ，则 （ ）
A．25° B．22° C．30° D．32°
1．如图，在 中， ，点E为 的中点，在 中， ，连接 ， ，
；若 ， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
2．如图，在四边形 中， ， ，点C为动点， ，E是 的中点，
连接 ，当 的长度最大时，此时 的大小是 ．
3．如图，在 和 中， ， ， ， ， ，
连接 ，求 的大小．
【经典例题八 根据直角三角形斜边上的中线定理求周长】
【例8】如图，在 中， ， 为 边上的高，点 为 的中点，连接 ．若 的
周长为 ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．1．如图， 中， ， ， 平分 交 于点 ，点 为 的中点，连接
，则 的周长等于（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
2．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=4，BC=10，则△EFM的周长是 ．
3．如图，在 中， 于点 ， 于点 ， 为 的中点，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ．求 的周长．
【经典例题九 根据直角三角形斜边上的中线定理求面积】
【例9】如图，在 中， ， 是 边的中点， 于点 ，若 ， ，则
的面积是（ ）A．660 B．50 C．40 D．30
1．如图，在 中， ， 是 边的中点， 于点 ，若 ， ，则
的面积是（ ）
A．660 B．50 C．40 D．30
2．在 中，斜边 上的中线和高分别是6和5，则 的面积 ．
3、．如图， 中，D是 边的中点， ， ，垂足分别是点E，F，连接 ， ．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，连接 ，求 的面积．【经典例题十 根据直角三角形斜边上的中线定理求最值】
【例10】如图，在 中， ， 为 上一动点（不与点 重合），
为等边三角形，过 点作 的垂线， 为垂线上任一点， 为 的中点，则线段 长的最小
值是（ ）
A． B． C． D．
1．如图， ，已知 的面积为60，且 ， 的顶点A、B分别在边
、 上，当点B在边 上运动时，A随之在 上运动， 的形状始终保持不变，在运动的过
程中，点C到点O的最小距离为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
2．如图，将矩形 放置在平面直角坐标系的第一象限内，使顶点 分别在 轴， 轴上滑动，矩
形的形状保持不变．若 ，则顶点 到坐标原点 的最大距离为 ．3．（1）定理证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在 中， ， ，求证 ．（请用两种不同的方法证明．）
（2）方法迁移：如图，在边 上作点P，在边 上作点Q，使得 最小．（要求：用直尺和圆
规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
【经典例题十一 折叠问题】
【例11】如图，在 中， ， ，AD是斜边BC上的中线，将 沿AD翻折，
使点B落在点F处，线段AF与BC相交于点E，则 的度数为（ ）
A．108° B．74° C．72° D．54°1．如图， 为等腰直角三角形， 为斜边 的中点，点 在 边上，将 沿 折叠至
， 与 ， 分别交于 ， 两点．若已知 的长，则可求出下列哪个图形的周长（ ）
A． B． C．四边形 D．四边形
2．如图，在四边形 中， ， ．若将 沿 折叠，点 与边 的中点 恰好重
合，则四边形 的周长为 ．
3．实践与探究题
问题：直角三角形除了三边之间、两个锐角之间有特殊的关系外，斜边上的中线有什么性质呢？
丽丽同学利用直角三角形纸片进行了如下的折叠实验：
(1)观察发现① 观察丽丽同学的折叠实验，你发现线段CD与AB之间有何数量关系？在图（1）所示的Rt△ ABC中，
∠C＝90°，CD是斜边AB上中线．请根据图（1）证明你的猜想．
② 根据上面的探究，总结直角三角形斜边上的中线性质．
(2)拓展应用：如图（2），CD是Rt△ ABC的斜边AB上的高，若CD＝5，则Rt△ ABC面积的最小值等于
______．
【经典例题十二 旋转问题】
【例12】数学兴趣小组在“中学生学习报”中了解到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，用含
角的直角三角板做实验，如图， ， ，M，N分别是 ， 的中点，标记点
的位置后，将三角板绕点 逆时针旋转，点 旋转到点 ，在旋转过程中，线段 的最大值是
（ ）
A． B． C． D．1．如图，在 中， ， ， ， 是 的中点，两边 、 分别交
于点 ，当 在 内绕顶点 旋转时（点 不与 重合），现给出以下四个结论：
① ；② 是等腰直角三角形；③ ；④ ，其中所有正确结论的序号
为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
2．如图，已知 中， ， ，直角 的顶点P是 的中点，两边 、 分
别交 、 于点E、F，给出以下五个结论：① ；② ；③ 是等腰直角三角
形；④ ；⑤ ．当 在 内绕顶点P旋转时（点E不与点A、B重合），
上述结论中始终正确的序号有 ．
3．已知：P是 对角线 所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直
线 作垂线，垂足分别为E、F，O为 的中点．(1)如图①，当点P与点O重合时，求证 ；
(2)如图②，当点P与点O不重合时，求证 ；
(3)直线 绕点B逆时针方向旋转，当 时，如图②、图③的位置，猜想线段 ， ， 之
间有怎样的数量关系？请直接写出你对图②、图③的猜想，并对图③予以证明．
【经典例题十三 动点问题】
【例13】如下图，已知点P是 角平分线上的一点， M是 的中点，
，如果点C是 上一个动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
1．如图，在 中， ， ，则 ．请在这一结论的基础上继续思考：
若 ，点 是 的中点， 为边 上一动点，则 的最小值为（ ）A．1 B． C． D．2
2．如图，在 中， ， ， ，以 为边向左作等边 ，点 为
中点，连接 ，点 分别为 上的动点．求 的最小值为 ．
3．如图1，在 中， ， ， 为 中点， 为射线 上一动点．
(1)连接 ，求证： 是等边三角形．
(2)当点 在线段 上（如图1所示的位置），
①尺规作图：连接 ，在 右侧作等边 ，直线 与直线 交于点 ．（不写作法，保留作图
痕迹）
②连接 ，在①的条件下，求证： ．
(3)点 在射线 运动的过程中，当 为等腰三角形时，请求出 的度数．1．如图，嘉琪想测量一座古塔CD的高度，在A处测得 ，再往前行进 到达B处，测得
，点 A，B，D在同一条直线上，根据测得的数据，这座古塔CD的高度为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，在 中， ， 平分 于点 ，如果
， 那么 等于（ ）A． B． C． D．
3．若等腰三角形的腰长为 ，腰上的高为 ，则此三角形的顶角是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
4．如图，在四边形 中， ，E为对角线 的中点，连接 ， ．若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在 中， ， 平分 ， 与 交于点D， ， 与 交于点
E， ，那么 为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图所示是“人字形”钢架，其中斜梁 ，顶角 ，跨度 ， 为支柱 即
底边 的中线 、两根支撑架 、 ，则 等于（ ）A． B． C． D．
7．如图，在 中， ， ， 是斜边 上的中线，将 沿 翻折，使点
B落在点F处，线段 与 相交于点E，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图： 是边长为 的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿 、 方向匀
速移动，它们的速度都是 ，当点P到达B时，P、Q两点停止运动，当点P到达B时，P、Q两点停
止运动．设点P运动的时间为 ．当t为 时， 是直角三角形．
9．如图， ， ，线段 的垂直平分线 交 于D，交 于E，D为垂足，
，则 ．
10．如图，在 中， ，D为 的中点， ，点E在 上，且 ，则
的大小为 ．11．如图，已知线段 ，点P是线段 上的一个动点，以 为边作等边 ，以 为直角边，
在 同侧构造Rt ， 为直角，点A是 的中点，连接 ，则 的最小值为 ．
12．如图，在 中， ， ， ，将 沿着BC翻折得到 ，J是直线
CM上一点，K是射线AC上一点，若满足 ， ，则 ．（提示：在直角三
角形中， 所对的直角边等于斜边的一半）
13．如图， 是等边三角形， ，点M从点B出发沿射线 运动，运动速度为每秒1个单位，
在运动的过程中要使 为直角三角形，则点M的运动时间为 秒．
14．如图，在四边形 中， ， ， 相交于点E，点G，H分别是 ， 的
中点，若 ，则 ．15．如图， ．
(1)在 中， ______， ______ ；
(2)求证： 是等边三角形．
6．【课本再现】
本学期同学们在学习第十三章《轴对称》，第三单元 等腰三角形，第二课 等边三角形时 ，
学习了一个定理．
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【定理探索】
书中对上面的定理没有给出证明，请你结合图形写出已知、求证并给出定理的证明．
【定理应用】
(1)如图（1），在 中， ， ， 交 于点 ， ，则 的长为( )
A．8 B．4 C．12 D．6
(2)如图（2），在 中， ， ， ．点 是斜边AB上一点，把 沿
CD折叠，得到 ．①若 ，则 =________ ；
②当折痕 时，求点 的位置(即求AD的长)．
17．如图，在 中， 是高， 是中线， 垂直平分 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
38．已知：如图， ， 、 分别是 、BD的中点．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求BD的长．
19．已知， 与 都是等腰直角三角形， ， ， ，如图，连
接 、 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，点D在 内，B、D、E三点在同一直线上．
①过点A作 的高 ，证明： ；
②如图3，若 平分 ， 交 于点G， ，求 的长．20．我们知道：过三角形的顶点引一条直线，可以将它分割成两个小三角形．如果每个小三角形都有两个
相等的内角，则我们称这条直线为原三角形的“美丽线”．如图1，直线 为 的“美丽线”．
（1）通过画图，数学小组的同学发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．
已知：在 中， ．求作：直线 ，使得直线 将 分割成两个等腰三角形．使用
直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）在 中， ， ．若 存在过点C的“美丽线”，试探究 与 的关系．
下面是对这个问题的部分探究过程：
设 为 的“美丽线”，点D在边 上，则 与 中各有两个相等的内角．
【探究1】
如图3，当 时，因为 ，所以 ，且 为锐角，则 为钝角，
所以在 中， ．由此可以得到 与 的关系为________，其中 的取值范围为
________．
【探究2】
借助图4，请你继续完成本问题的探究，直接写出 与 的关系为________，其中 的取值范围为
________．
