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专题04 勾股定理核心知识点章末复习与提升（解析版）
核心知识点一 两个定理
定理1 勾股定理及其认识
1．（2022春•岷县月考）如图，带阴影的长方形面积是（ ）
A．9cm2 B．24cm2 C．45cm2 D．51cm2
【思路引领】先根据勾股定理求出AB的长，再由长方形的面积公式进行解答即可．
【解答】解：由图可知，△ABC是直角三角形，
∵AC＝8cm，BC＝12cm，
∴AB 15cm，
=❑√BC2−AC2=❑√172−82=
∴S阴影 ＝15×3＝45cm2．
故选：C．
【总结提升】本题考查的是勾股定理及矩形的面积公式，先根据勾股定理求出AB的长是解答此题的关
键．
2．（2023春•西青区期中）如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积为 6 4 cm2．
【思路引领】由勾股定理和正方形的面积公式解答．
【解答】解：由图可知正方形的边长为 8cm，正方形的面积为8×8＝64cm2．
❑√172−152=【总结提升】此题很简单，只要熟知勾股定理和正方形的面积公式即可解答．
3．（2022春•香河县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3，分别以点
1
A，C为圆心，大于 AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点
2
O是AC的中点，则AF的长为 3 ，CD的长为 2❑√2 ．
【思路引领】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF＝FC．再
根据ASA证明△FOA≌△BOC，那么AF＝BC＝3，等量代换得到FC＝AF＝3，利用线段的和差关系求
出FD＝AD﹣AF＝1．然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的长．
【解答】解：如图，连接FC，则AF＝FC，
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠BCO，
在△FOA与△BOC中，
{∠FAO=∠BCO
)
OA=OC ，
∠AOF=∠COB
∴△FOA≌△BOC（ASA），
∴AF＝BC＝3，
∴FC＝AF＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1．
在△FDC中，∵∠D＝90°，
∴CD2+DF2＝FC2，
∴CD2+12＝32，
∴CD＝2❑√2．
故答案为：3，2❑√2．【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角梯形，作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直
平分线的判定与性质，求出CF与DF是解题的关键．
4．（2023春•博山区期末）如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝
13
10，BE= ，求AB的长．
2
【思路引领】延长BE交AD于点F，根据垂直定义可得∠CBA＝∠A＝90°，从而可得CB∥AD，然后利
用平行线的性质可得∠D＝∠C，从而根据ASA证明△CEB≌△DEF，再利用全等三角形的性质可得DF
13
＝BC＝5，BE＝EF= ，从而可得AF＝5，最后在Rt△ABF中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
2
【解答】解：延长BE交AD于点F，
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴∠CBA＝∠A＝90°，
∴CB∥AD，∴∠D＝∠C，
∵点E是CD中点，
∴CE＝DE，
在△CEB和△DEF中，
{
∠D=∠C
)
DE=CE ，
∠≝=∠CEB
∴△CEB≌△DEF（ASA），
13
∴DF＝BC＝5，BE＝EF= ，
2
∵AD＝10，
∴AF＝AD﹣DF＝5，
在Rt△ABF中，BF＝BE+EF＝13，
∴AB 12，
=❑√BF2−AF2=❑√132−52=
∴AB的长为12．
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线
是解题的关键．
定理2 勾股定理的逆定理
5．（2023春•开州区期末）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则下列条件中不能判定△ABC是直角三
角形的是（ ）
A．a＝5，b＝12，c＝13 B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a＝6，b＝8，c＝10
【思路引领】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角
三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】解：A、∵52+122＝132，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故选项不符合
题意；
B、∵22+32≠42，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故选项符合题意；
C、∵32+42＝52，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故选项不符合题意；
D、∵62+82＝102，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故选项不符合题意．
故选：B．
【总结提升】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
6．（2022春•顺平县期中）三角形的三边长满足（a+b）2＝c2+2ab，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
【思路引领】对等式进行整理，再判断其形状．
【解答】解：化简（a+b）2＝c2+2ab，得a2+b2＝c2，所以三角形是直角三角形，
故选：C．
【总结提升】本题考查了因式分解的应用，直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定．
7．（2022秋•溧阳市期中）如图，在由单位正方形组成的网格图中标有 AB、CD、EF、GH四条线段，其
中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A．AB，CD，EF B．AB，CD，GH C．AB，EF，GH D．CD，EF，GH
【思路引领】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理
的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．
【解答】解：设小正方形的边长为1，
则AB2＝32+42＝25，CD2＝22+12＝5，
EF2＝42+22＝20，GH2＝22+32＝13．
因为CD2+EF2＝AB2，
所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、CD、EF．
故选：A．
【总结提升】本题考查勾股定理的逆定理的应用．掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，
b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．也考查了勾股定理．
核心知识点二 两种应用
应用1 勾股定理的应用
（1）边长计算
8．（2023春•漳平市期中）暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝．他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走
1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为 1 0 km．
【思路引领】通过行走的方向和距离得出对应的线段的长度，构造直角三角形利用勾股定理求解．
【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，
根据题意可知，AD＝8﹣3+1＝6千米，BD＝2+6＝8（千米），
在Rt△ADB中，由勾股定理得AB 10（千米）．
=❑√AD2+BD2=
答：登陆点到埋宝藏点的直线距离为10千米．
故答案为：10．
【总结提升】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，解题的根据是结合图形，读懂题意，根据题
意找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度．
9．（2022春•大同期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了“折竹
抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，同折者高几何？翻译成数学问题是：如图，在
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长．设AC为x，则可列方程为 x 2 + 3 2 ＝
（ 1 0 ﹣ x ） 2 ．【思路引领】直接利用已知表示出AB的长，再利用勾股定理得出答案．
【解答】解：设AC＝x，则AB＝10﹣x，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴x2+32＝（10﹣x）2，
故答案为：x2+32＝（10﹣x）2．
【总结提升】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
10．（2023•大连）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），连接AB，
以点A为圆心、AB的长为半径画弧，与x轴正半轴相交于点C，则点C的横坐标是 ❑√5+ 1 ．
【思路引领】由勾股定理求出AB的长，进而得到AC的长，再求出OC的长，得出点C的坐标，即可
解决问题．
【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），
∴OA＝1，OB＝2，
∵∠AOB＝90°，
∴AB ，
=❑√OA2+OB2=❑√12+22=❑√5
∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧，
∴AC＝AB=❑√5，
∴OC＝AC+OA=❑√5+1，
∵交x轴正半轴于点C，
∴点C的坐标为（❑√5+1，0）．
故答案为：❑√5+1．【总结提升】本题考查了勾股定理以及坐标与图形性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
11．（2022春•扶沟县期中）如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只
小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？
【思路引领】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，
运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：如图所示，AB，CD为树，且AB＝14米，CD＝9米，BD为两树距离12米，
过C作CE⊥AB于E，
则CE＝BD＝12，AE＝AB﹣CD＝5，
在直角三角形AEC中，
．
AC=❑√AE2+CE2=❑√52+122=13
答：小鸟至少要飞13米．
【总结提升】本题考查了勾股定理的应用，关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然
后利用直角三角形的性质解题．
（2）折叠问题
12．（2021春•莆田期中）如图所示，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD
边的P点处，若∠FPH的度数恰好为90°，PF＝4，PH＝3，则矩形ABCD的边BC的长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．15【思路引领】利用折叠的性质得到BF＝PF＝4，CH＝PH＝3，再利用勾股定理得到FH＝5，即可求解
BC．
【解答】解：∵矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，
∴BF＝PF＝4，CH＝PH＝3，
∵∠FPH＝90°，
∴FH 5，
=❑√PF2+PH2=❑√42+32=
∴BC＝BF+FH+CH＝4+5+3＝12，
故选：C．
【总结提升】本题考查折叠的性质和勾股定理，解题的关键是利用勾股定理和折叠的性质求出 FH，
BF，CH．
13．（2023秋•海淀区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，将△ABC折叠，使点C
与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于 7 ．
【思路引领】根据勾股定理求得 AB＝3，由题意得，AE＝CE，则△ABE的周长等于 AB+BE+AE＝
AB+BE+EC＝AB+BC，即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，BA 3，
=❑√AC2−BC2=❑√52−42=
由折叠过程可得，AE＝CE，
则△ABE的周长等于AB+BE+AE＝AB+BE+EC＝AB+BC＝5+4＝7．
故答案为：7．
【总结提升】此题考查了勾股定理及图形的折叠的知识，折叠构成的全等图形是常用的隐含条件．
（3）网格与作图
14．（2009秋•思明区校级期中）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的
顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形：
（1）在图中，从点A出发画一条线段AB，使它的另一个端点B在格点上，且长度为❑√17；（2）在图中，画出一个以AB为腰的等腰三角形△ABC，使另一个顶点C也在格点上，且另一边的长度
也是无理数；
（3）求S△ABC ．
【思路引领】（1）根据勾股定理可得，两条直角边分别为1、4的直角三角形的斜边为❑√17；
（2）以（1）的方式画出AC即可；
（3）根据S△ABC ＝S正方形AMFE ﹣S△AMB ﹣S△AEC ﹣S△BFC 进行运算即可．
【解答】解：（1）所画图形如下（答案不唯一）：
（2）所画图形如下所示（答案不唯一）：
（3）
由图形可得，S△ABC ＝S正方形AMFE ﹣S△AMB ﹣S△AEC ﹣S△BFC ＝16﹣2﹣2﹣4.5＝7.5．
【总结提升】此题考查了勾股定理的知识及三角形的面积，难点在第三问，有一定的技巧性，注意利用面积差进行求解，难度一般．
应用2 勾股定理逆定理的应用
15．（2022秋•莱西市期中）如图，小明的家位于一条南北走向的河流 MN的东侧A处，某一天小明从家
出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水，最后沿第
三方向走100m回到家A处．问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．
【思路引领】首先根据勾股定理逆定理得出∠ABC＝90°，然后再判断AD∥NM，可得∠NBA＝∠BAD
＝30°，再根据平角定义可得∠MBC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，进而得到答案．
【解答】解：∵AB＝60 m，BC＝80 m，AC＝100 m，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴AD∥NM，
∴∠NBA＝∠BAD＝30°，
∴∠MBC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．【总结提升】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝
c2，那么这个三角形就是直角三角形．
核心知识点三 两个概念
概念1 勾股数
16．（2022春•南山区校级月考）下列各组数：①3、4、5 ②4、5、6 ③2.5、6、6.5 ④8、
15、17，其中是勾股数的有（ ）
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
【思路引领】勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解．
【解答】解：①32+42＝52，符合勾股数的定义；
②42+52≠62，不符合勾股数的定义；
③2.5、6.5不是正整数，不符合勾股数的定义；
④82+152＝172，符合勾股数的定义．
故选：C．
【总结提升】本题考查了勾股数的定义，注意：
①作为勾股数的三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以
它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…．
17．（2021•玉州区二模）附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13；③7，24，25；
④9，40，41；…
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： 1 1 ， 6 0 ， 6 1 ．
【思路引领】勾股定理和了解数的规律变化是解题关键．
【解答】解：从上边可以发现第一个数是奇数，且逐步递增2，
故第5组第一个数是11，又发现第二、第三个数相差为一，
故设第二个数为x，则第三个数为x+1，
根据勾股定理得：112+x2＝（x+1）2，
解得x＝60，
则得第5组数是：11、60、61．
故答案为：11、60、61．
【总结提升】本题考查了勾股数的概念也是找规律题，发现第一个数是从3，5，7，9，…的奇数．
概念2 互逆命题和互逆定理
18．（2022•西城区校级模拟）命题：“如果a＝b，那么3a＝3b”的逆命题是 如果 3 a ＝ 3 b ，那么 a ＝ b
，该逆命题是 真 （填“真”或“假”）命题．
【思路引领】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即可．
【解答】解：根据题意得：命题“如果a＝b，那么3a＝3b”的条件是如果a＝b，结论是3a＝3b，故逆
命题是如果3a＝3b，那么a＝b，该命题是真命题．
故答案为：如果3a＝3b，那么a＝b，真．
【总结提升】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，
而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个
命题的逆命题．也考查了命题的真假判断．
19．（2022秋•通山县月考）已知下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②若a＞1，则（a﹣1）0＝1；③两
个全等三角形的面积相等；④四条边相等的四边形是菱形，其中原命题与逆命题均为真命题的数是（
）
A．4 B．3 C．2 D．1
【思路引领】分别判断原命题与逆命题的正误后即可确定正确的选项．
【解答】解：①若a＞b，则a2＞b2，为假命题；逆命题为若a2＞b2，则a＞b，为假命题；
②若a＞1，则（a﹣1）0＝1，为真命题，逆命题为若（a﹣1）0＝1，则a＞1，为假命题；
③两个全等三角形的面积相等，为真命题，逆命题为面积相对的两个三角形全等，为假命题；
④四条边相等的四边形是菱形，为真命题，逆命题为菱形的四条边相等，为真命题；故选：D．
【总结提升】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假
命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
核心知识点四 两种数学思想
思想1 分类讨论思想
20．（2023春•大观区校级期末）在△ABC中，AB＝10，AC＝2❑√10，BC边上的高AD＝6，则BC的长为
10 或 6 ．
【思路引领】分两种情况考虑，如图所示，分别在Rt△ABC与Rt△ACD中，利用勾股定理求出BD与
CD的长，即可求出BC的长．
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，
如图1所示，AB＝10，AC＝2❑√10，AD＝6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD 8，CD 2，
=❑√AB2−AD2= =❑√AC2−AD2=
此时BC＝BD+CD＝8+2＝10；
如图2所示，AB＝10，AC＝2❑√10，AD＝6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD 8，CD 2，
=❑√AB2−AD2= =❑√AC2−AD2=
此时BC＝BD﹣CD＝8﹣2＝6，
则BC的长为6或10．
故答案为：10或6．
【总结提升】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
21．（2023•襄城区模拟）在△ABC中，已知AB＝20，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则BC的长为 2 1
或 1 1 ．
【思路引领】分两种情况讨论：高在三角形里面和高在三角形外面，根据勾股定理求得 BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝CD﹣BD．
【解答】解：（1）如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝13，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中，AB＝20，AD＝12，由勾股定理得：
BD2＝AB2﹣AD2＝202﹣122＝256，
∴BD＝16，
在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，由勾股定理得
CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，
∴CD＝5，
∴BC的长为BD+DC＝16+5＝21；
（2）在△ABC中，AB＝20，AC＝13，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝20，AD＝12，由勾股定理得：
BD2＝AB2﹣AD2＝202﹣122＝256，
∴BD＝16，
在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，由勾股定理得：
CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，
∴CD＝5，
∴BC的长为BD﹣DC＝16﹣5＝11．
故答案为：21或11．
【总结提升】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．
思想2 方程思想
22．（2021秋•市北区期末）如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为300米，到公交车站（D
点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（C点），使之到学校A及到车站D的距离相等，则商店C与车站D之间的距离是 312. 5 米．
【思路引领】过点A作AB⊥l于B，根据勾股定理解答即可．
【解答】解：过点A作AB⊥l于B，则AB＝300m，AD＝500m．
∴BD 400m，
=❑√AD2−AB2=
设CD＝x m，则CB＝（400﹣x）m，
根据勾股定理得：x2＝（400﹣x）2+3002，
x2＝160000+x2﹣800x+3002，
800x＝250000，
x＝312.5．
答：商店与车站之间的距离为312.5米，
故答案为：312.5．
【总结提升】此题考查勾股定理的应用，解决本题的难点是构造已知长度的线段所在的直角三角形，利
用勾股定理求解．
23．（2023春•红塔区校级期中）如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C、D为两村庄，DA＝
8km，CB＝14km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E
站的距离相等，求AE＝ 13. 3 km．
【思路引领】设AE＝x km，即可得到EB＝（20﹣x）km，结合DA⊥AB于点A，CB⊥AB于B根据勾股
定理列式求解即可得到答案．
【解答】解：设AE＝x km，则EB＝（20﹣x）km，
∵DA⊥AB，CB⊥AB，DA＝8km，CB＝14km，∴DE2＝x2+82＝x2+64，DE2＝（20﹣x）2+142＝x2﹣40x+596，
∵C、D两村到E站的距离相等，
∴x2﹣40x+596＝x2+64，
解得：x＝13.3，
故答案为：13.3．
【总结提升】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据相等列等式求解．
