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专题04 勾股定理核心知识点章末复习与提升（原卷版）
核心知识点一 两个定理
定理1 勾股定理及其认识
1．（2022春•岷县月考）如图，带阴影的长方形面积是（ ）
A．9cm2 B．24cm2 C．45cm2 D．51cm2
2．（2023春•西青区期中）如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积为 cm2．
3．（2022春•香河县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3，分别以点
1
A，C为圆心，大于 AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点
2
O是AC的中点，则AF的长为 ，CD的长为 ．
4．（2023春•博山区期末）如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝
13
10，BE= ，求AB的长．
2定理2 勾股定理的逆定理
5．（2023春•开州区期末）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则下列条件中不能判定△ABC是直角三
角形的是（ ）
A．a＝5，b＝12，c＝13 B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a＝6，b＝8，c＝10
6．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2＝c2+2ab，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
7．（2022秋•溧阳市期中）如图，在由单位正方形组成的网格图中标有 AB、CD、EF、GH四条线段，其
中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A．AB，CD，EF B．AB，CD，GH C．AB，EF，GH D．CD，EF，GH
核心知识点二 两种应用
应用1 勾股定理的应用
（1）边长计算
8．（2023春•漳平市期中）暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝．他们
登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走
1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为 km．9．（2022春•大同期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了“折竹
抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，同折者高几何？翻译成数学问题是：如图，在
Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求 AC 的长．设 AC 为 x，则可列方程为
．
10．（2023•大连）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），连接AB，
以点A为圆心、AB的长为半径画弧，与x轴正半轴相交于点C，则点C的横坐标是 ．
11．（2022春•扶沟县期中）如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只
小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？
（2）折叠问题
12．（2021春•莆田期中）如图所示，把矩形纸条 ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD
边的P点处，若∠FPH的度数恰好为90°，PF＝4，PH＝3，则矩形ABCD的边BC的长为（ ）A．10 B．11 C．12 D．15
13．（2023秋•海淀区期中）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与
点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于 ．
（3）网格与作图
14．（2009秋•思明区期中）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点
叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形：
（1）在图中，从点A出发画一条线段AB，使它的另一个端点B在格点上，且长度为❑√17；
（2）在图中，画出一个以AB为腰的等腰三角形△ABC，使另一个顶点C也在格点上，且另一边的长度
也是无理数；
（3）求S△ABC ．
应用2 勾股定理逆定理的应用
15．（2022秋•莱西市期中）如图，小明的家位于一条南北走向的河流 MN的东侧A处，某一天小明从家
出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水，最后沿第
三方向走100m回到家A处．问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．核心知识点三 两个概念
概念1 勾股数
16．（2022春•南山区月考）下列各组数：①3、4、5 ②4、5、6 ③2.5、6、6.5 ④8、15、
17，其中是勾股数的有（ ）
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
17．（2021•玉州区二模）附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ．
概念2 互逆命题和互逆定理
18．（2022•西城区模拟）命题：“如果a＝b，那么3a＝3b”的逆命题是 ，该逆命题是 （填
“真”或“假”）命题．
19．（2022秋•通山县月考）已知下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②若a＞1，则（a﹣1）0＝1；③两
个全等三角形的面积相等；④四条边相等的四边形是菱形，其中原命题与逆命题均为真命题的数是（
）
A．4 B．3 C．2 D．1
核心知识点四 两种数学思想
思想1 分类讨论思想
20．（2023春•大观区期末）在△ABC中，AB＝10，AC＝2❑√10，BC边上的高AD＝6，则BC的长为
．
21．（2023•襄城区模拟）在△ABC中，已知AB＝20，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则BC的长为
．
思想2 方程思想
22．（2021秋•市北区期末）如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为300米，到公交车站（D点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（C点），使之到学校A及到车站D的距离相等，则
商店C与车站D之间的距离是 米．
第22题 第23题
23．（2023春•红塔区期中）如图，在笔直的铁路上 A，B两点相距20km，C、D为两村庄，DA＝8km，
CB＝14km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距
离相等，求AE＝ km．
