文档内容
第 08 讲 函数模型及其应用
目录
模拟基础练............................................................................................................................................2
题型一：二次函数模型，分段函数模型....................................................................................................................2
题型二：对勾函数模型................................................................................................................................................4
题型三：指数型函数、对数型函数、幂函数模型....................................................................................................6
题型四：已知函数模型的实际问题............................................................................................................................8
题型五：构造函数模型的实际问题..........................................................................................................................10
重难创新练..........................................................................................................................................12
真题实战练..........................................................................................................................................24题型一：二次函数模型，分段函数模型
1．（2024·高三·四川巴中·期末）已知甲､乙两个城市相距120千米，小王开汽车以100千米/时匀速从甲城
市驶往乙城市，到达乙城市后停留1小时，再以80千米/时匀速返回甲城市．汽车从甲城市出发时，时间x
（小时）记为0，在这辆汽车从甲城市出发至返回到甲城市的这段时间内，该汽车离甲城市的距离y（千
米）表示成时间x（小时）的函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
综上：
故选：D．
2．汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距
离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，
发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过 ，乙车的刹车距
离略超过 .已知甲车的刹车距离 与车速 之间的关系为 ，乙车的刹车距离与车速 之间的关系为 .请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象（ ）
A．甲、乙两车均超速 B．甲车超速但乙车未超速
C．乙车超速但甲车未超速 D．甲、乙两车均未超速
【答案】C
【解析】对于甲车，令 ，即
解得 （舍）或 ，所以甲未超速；
对于甲车，令 ，即
解得 （舍）或 ，所以乙超速；
故选:C.
3．（2024·高三·浙江·开学考试）某地区居民生活用电分高峰和低谷两个时段进行分时计价.
高峰时间段用电价格表：
高峰月用电量（单位：千瓦时） 高峰电价（单位：元/千瓦时）
50及以下的部分
超过50至200的部分
超过200的部分
低谷时间段用电价格表：
低谷月用电量（单位：千瓦时） 低谷电价（单位：元/千瓦时）
50及以下的部分
超过50至200的部分
超过200的部分
若某家庭7月份的高峰时间段用电量为250千瓦时，低谷时间段用电量为150千瓦时，则该家庭本月应付
电费为（ ）元
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】高峰时段电费为 元，
低谷时段电费为 元，
共计 元.
故选：D题型二：对勾函数模型
4．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 （图中阴影部分），上下空白各宽2
，左右空白各宽1 ，则四周空白部分面积的最小值是（ ） .
A．56 B．65
C．120 D．88
【答案】A
【解析】设阴影部分的长为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2.
由题意得：y=(x+4) -72=8+2 ≥8+2×2 =56，当且仅当x= ，即x=12时等号成立.
故选：A
5．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店内购买 黄金，店员先将 的砝码放在
天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将 的砝码放在天平右盘中，再取出一些
黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为xg，则
与20的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【答案】B
【解析】设天平左臂长为 ，右臂长为 ， 且 ，左盘放的黄金为 克，右盘放的黄金为 克，
，解得 ，
，当且仅当 时，取到等号，
由于 ，所以 .
故选：B
6．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅
画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3
米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（ ）
A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45
【答案】A
【解析】
如图，设观赏者的眼睛在点 处，油画的上沿在点 处，下沿在点 处，
点 在线段 延长线上，且保持与点 在同一水平线上，
则 即观赏时的视角.
依题意 ，
不妨设 ，则 ，
在 中，由余弦定理，
，
因 ，则 ，当且仅当 时，即 时等号成立，
由 可得 ，
则 ，则 ，
因函数 在 上单调递减，故得 ，
即最大视角为 ，此时观赏者距离油画的直线距离为 .
故选：A.
7．某厂计划建造一个容积为 ，深为 的长方体无盖水池.若池底的造价为 元每平方米，池壁的造
价为 元每平方米，则这个水池的最低造价为 元.
【答案】
【解析】因为水池的容积为 ，深为 ，所以底面积为 ，
设水池池底的一边长为 ，则另一边长为 ，则总造价
（元）.
当且仅当 ，即 时， 取最小值为 .
所以水池的最低造价为 元.
故答案为： .
8．某景区的平面图如图所示，其中 ， 为两条公路， ， 为景点， ， ，
现需要修建一条经过景点 的观光路线 ， ， 分别为 ， 上的点，则 面积的最小值为
.
【答案】200
【解析】设 ， ，由 ，
可得 ，即 .
由 ，解得 ，当且仅当 ， 时，等号成立，此时取
得最小值.
故 面积的最小值为 .
故答案为： .
题型三：指数型函数、对数型函数、幂函数模型
9．某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储存温度 （单位： ）满足函数关系 （ 为
自然对数的底数， 为常数）．若该食品在0 的保鲜时间设计192小时，在22 的保鲜时间是48小
时，则该食品在33 的保鲜时间是 小时．
【答案】24
【解析】由题意得 ，即 ，
所以该食品在 的保鲜时间是：．
故答案为：24.
10．考古学家对四川广汉“三星堆古墓”进行考古发据，科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估
算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为4200年（即：每经过4200年，该元素的存量为原来的
一半），已知古生物中该元素的初始存量为a，经检测古生物中该元素现在的存量为 ，请推算古生物距
今大约 年（参考数据：lg2≈0.3）.
【答案】5600
【解析】由半衰期的定义可知，每年古生物中该元素的存量是上一年该元素存量的 ，
因此该元素的存量y与时间x（年）的关系式为 ，x≥0，
由 ，得 ，则 ，
解得 ≈5600，
所以该古生物距今大约5600年.
故答案为：5600
11．某医院开展某种病毒的检测工作，第 天时每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时
（单位：小时）， （ 为常数）．已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64
天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时为 小时．（精确
到1小时）
【答案】9
【解析】根据函数的解析式可知，当 时， 单调递减；当 时， 为常数.
且第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，
所以有 ，
所以 ， .又 ，所以 .
所以， .
所以 .
故答案为：9.
12．测量地震级别常用里氏级，它是地震强度（即地震释放的能量）的常用对数值．如日本1923年地震是
8.9级，旧金山1906年地震是8.3级，问日本1923年地震强度是旧金山1906年地震强度的 倍．
【答案】4
【解析】设地震强度为x，则地震级别为 ，
设日本1923年地震强度为 ，旧金山1906年地震强度为 ，
由题意可得 ，则 ，
因为 ，则 ，所以 ，
即日本1923年地震强度是旧金山1906年地震强度的4倍.
故答案为：4.
题型四：已知函数模型的实际问题
13．（2024·浙江绍兴·模拟预测）人类已进入大数据时代．目前，数据量已经从 级别跃
升到 乃至 级别．国际数据公司 的研究结果
表明，2008年全球产生的数据量为 2010年增长到 ．若从2008年起，全球产生的数据量
与年份 的关系为 ，其中 均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的
倍.
【答案】1.5/
【解析】由题意， ，所以 ，所以 ，
所以2022年全球产生的数据量为 ，则2023年全球产生的数据量 ，
所以2023年全球产生的数据量是2022年的 倍.
故答案为：1.514．科学家在研究物体的热辐射能力时定义了一个理想模型叫“黑体”，即一种能完全吸收照在其表面的
电磁波（光）的物体．然后，黑体根据其本身特性再向周边辐射电磁波，科学研究发现单位面积的黑体向
空间辐射的电磁波的功率 与该黑体的绝对温度 的 次方成正比，即 ， 为玻尔兹曼常数．而我
们在做实验数据处理的过程中，往往不用基础变量作为横纵坐标，以本实验结果为例， 为纵坐标，以
为横坐标，则能够近似得到 （曲线形状），那么如果继续研究该实验，若实验结果的曲线如图所示，
试写出其可能的横纵坐标的变量形式 ．
【答案】 射线 为纵坐标，以 为横坐标.
【解析】（1）因为 ， 为玻尔兹曼常数． 为纵坐标，以 为横坐标，因为 ，所以
，所以曲线是一条射线；
（2）由于曲线的形状类似 ，根据曲线可知可能的横纵坐标的变量形式： 为纵坐标，以 为横坐
标，故答案为： 为纵坐标，以 为横坐标.
故答案为：（1）射线；（2） 为纵坐标，以 为横坐标.
15．（2024·北京朝阳·二模）假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力 满足公式 ，其中
是空气密度， 是该飞行器的迎风面积， 是该飞行器相对于空气的速度， 是空气阻力系数（其大小
取决于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率 . 当 不变， 比原
来提高 时，下列说法正确的是（ ）
A．若 不变，则 比原来提高不超过
B．若 不变，则 比原来提高超过
C．为使 不变，则 比原来降低不超过
D．为使 不变，则 比原来降低超过
【答案】C
【解析】由题意， ，所以 ， ，
A：当 ， 不变， 比原来提高 时，
则 ，
所以 比原来提高超过 ，故A错误；
B：由选项A的分析知， ，所以 比原来提高不超过 ，故B错误；
C：当 ， 不变， 比原来提高 时， ，
所以 比原来降低不超过 ，故C正确；
D：由选项C的分析知， 比原来降低不超过 ，故D错误.
故选：C
16．小微企业是推进创业富民、恢复市场活力、引领科技创新的主力军，一直以来，融资难、融资贵制约
着小微企业的发展活力.某银行根据调查的数据，建立了小微企业实际还款比例 与小微企业的年收入
（单位：万元）的关系为 .已知小微企业的年收入为80万元时，其实际还款比例为
，若银行希望实际还款比例为 ，则小微企业的年收入约为（参考数据： ，
1）（ ）
A．46.49万元 B．53.56万元 C．64.43万元 D．71.12万元
【答案】A
【解析】由题意知 ，化简得 ，
故 ，得 .
则当 时， ，化简得 ，
两边同时取对数，得 ，得 ，
故当实际还款比例为 时，小微企业的年收入约为46.49万元.
故选：A
题型五：构造函数模型的实际问题
17．（2024·江西·二模）茶文化起源于中国，中国饮茶据说始于神农时代．现代研究结果显示，饮茶温度
最好不要超过 ．一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为 ， ，给
出三个茶温T（单位： ）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟）的函数模型：① ；
② ；③ ．根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，
模拟茶温T（单位： ）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟）的关系，并依此计算该杯茶泡好后到
饮用至少需要等待的时间为（参考数据 ）（ ）
A．2.72分钟 B．2.82分钟
C．2.92分钟 D．3.02分钟
【答案】B
【解析】依据生活常识，茶温一般不会低于室内温度，因此选择模型③，得到 解得
因此 ．
故选：B
18．（2024·福建·模拟预测）视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如
下表：
小数记录
五分记录
现有如下函数模型：① ，② ， 表示小数记录数据， 表示五分记录数据，请选
择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为 ，则小明同学的小数记录
数据为（附 ， ， ）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为 ，
令 ，解得 .
故选：B.
19．（2024·高三·云南·期中）在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期（增加一倍所需
的时间）为21个月，则100只野兔增长到100万只野兔需要（ ）个月.（记 ， ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 个月后野兔总只数为 ，
∴ ，则 ，
则 ，所以 .
故选：B.
20．（2024·云南昆明·模拟预测）饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害《道路交通安全法》的违法行为，将受
到法律处罚.检测标准：“饮酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于 ，小于
的驾驶行为；醉酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于 的驾驶行
为.”据统计，停止饮酒后，血液中的酒精含量平均每小时比上一小时降低 .某人饮酒后测得血液中的酒
精含量为 ，若经过 小时，该人血液中的酒精含量小于 ，则 的最小值为（参考数据： ）（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解析】经过 小时，该人血液中的酒精含量为 ，
由题意得， ，即 ，
解得： ，
所以 的最小值为8.
故选：B.
21．（2024·山西朔州·模拟预测）为研究每平方米平均建筑费用与楼层数的关系，某开发商收集了一栋住
宅楼在建筑过程中，建筑费用的相关信息，将总楼层数 与每平米平均建筑成本 （单位：万元）的数据
整理成如图所示的散点图：
则下面四个回归方程类型中最适宜作为每平米平均建筑费用 和楼层数 的回归方程类型的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】观察散点图，可知是一个单调递减的曲线图，结合选项函数的类型可得回归方程类型是反比例类
型，故C正确.
故选：C.
1．（2024·北京·三模）2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空
间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪
技术，设计了如下实验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距 的A，B两点各放置一个传感器，分别实时记录A，B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时
间”函数图像，分别如曲线a，b所示. 和 分别是两个函数的极小值点.曲线a经过 和 ，
曲线b经过 .已知 ，并且从 时刻到 时刻P的运动轨迹与线段AB相交.
分析曲线数据可知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图，建立平面直角坐标系，
设动点P的轨迹与y轴重合，其在 时刻对应的点分别为 （坐标原点）， ，P的速度为
，
因为 ，可得 ，
由题意可知： 均与y轴垂直，且 ，
作 垂足为 ，则 ，
因为 ，即 ，解得 ；
又因为 ∥y轴，可知P的运动轨迹与直线AB所成夹角即为 ，
所以P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值为 .
故选：B.2．（2024·湖南益阳·三模）二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照
同款新车裸车价格，第一年汽车贬值20%，从第二年开始每年贬值10%．刚参加工作的小明打算买一辆约
5年的二手车，价格不超过8万元．根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是
万，则 （ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【解析】依题意， ，解得 ，
则 ，又 ，则 .
故选：C.
3．（2024·重庆·模拟预测）物理学家本·福特提出的定律：在 进制的大量随机数据中，以 开头的数出现
的概率为 ，应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误．根据此定
律，在十进制的大量随机数据中，以1开头的数出现的概率大约是以9开头的数出现的概率的（ ）倍
（参考数据：
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
【答案】C
【解析】由题意，以 开头的数出现的概率为 ，
可得 ，
所以 .
故选：C.
4．（2024·北京通州·二模）某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S（单位：平方米）与时间t（单位：
月）的关系式为 （ ，且 ），图象如图所示．则下列结论正确的个数为（ ）
①浮萍每个月增长的面积都相等；
②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；
③浮萍面积每个月的增长率均为50%；
④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是 ， ， ，则 ．A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】由已知可得 ，则 .
对于①，浮萍蔓延1月至2月份增长的面积为 （平方米），
浮萍蔓延2月至3月份增长的面积为 （平方米），①错；
对于②，浮萍蔓延4个月后的面积为 （平方米），②对；
对于③，浮萍蔓延第 至 个月的增长率为 ，所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是
，③错；
对于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是 ， ， ，
则 ， ， ，所以 ，④错.
故选：B.
5．（2024·陕西西安·模拟预测）2023年10月31日，国务院新闻办举行“权威部门话开局”系列主题新闻
发布会的第28场发布会.会上提出蒙古国､中国，包括东北亚的日本､韩国，都是沙漠化的受害者，所以防
沙治沙､植树造林符合本地区各国和人民当前及长远利益.根据对中国国家整理的中国沙尘暴资料的分析，
发现持续时间大于 的沙尘暴次数 满足 ，目前经测验 地情况气象局发现， 时，次
数 时，次数 ，据此计算 时对应的持续时间 约为（ ）
（参考数据： ）
A．389 B．358 C．423 D．431
【答案】D
【解析】 两式相比，得 ，
又 两边取对数可得 ，
所以 ，
令 ，即 ，取对数并化简可得 ，
因为 ，
所以
所以 .
故选：D.
6．（2024·贵州遵义·一模）近年来，中国成为外来物种入侵最严重的国家之一，物种入侵对中国生物多样
性、农牧业生产等构成巨大威胁．某地的一种外来动物数量快速增长，不加控制情况下总数量每经过7个
月就增长1倍．假设不加控制，则该动物数量由入侵的100只增长到1亿只大约需要 ）
（ ）
A．8年 B．10年 C．12年 D．20年
【答案】C
【解析】设经过 个月动物数量由入侵的100只增长到1亿，
所以 ，所以 ，
两边同时取对数可得： ，
所以 ，所以 ，
而 ，
所以该动物数量由入侵的100只增长到1亿只大约需要12年.
故选：C.
7．（2024·四川·模拟预测）2023年6月22日，由中国帮助印尼修建的雅万高铁测试成功，高铁实现时速
自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小．如果用声强 （单位： ）表示声音
在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级 （单位： ）与声强 的函数关系式为 ，
其中 为基准声强级， 为常数，当声强 时，声强级 ．下表为不同列车声源在距离 处
的声强级：
声源 与声源的距离（单位： ） 声强级范围
内燃列
20
车
电力列
20
车高速列
20
车
设在离内燃列车､电力列车､高速列车 处测得的实际声强分别为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于 ：因为声强 时，声强级 ，
所以 ，解得 ，故 错误；
对于B：因为 ，
所以 ，即 ，故B正确；
对于C： ，
所以 ，即 ，故C不正确；
对于D， ，
所以 ，即 ，故D不正确．
故选：B．
8．（2024·陕西商洛·三模）近年来商洛为了打造康养之都，引进了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤
过程中废水的污染物数量 与时间 （小时）的关系为 （ 为最初的污染物数量）．如
果前3小时消除了 的污染物，那么污染物消除至最初的 还需要（ ）
A．2.6小时 B．6小时 C．3小时 D．4小时
【答案】C
【解析】由题意可得 ，可得 ，
设 ，
，解得 ，
因此，污染物消除至最初的 还需要3小时．
故选：C.9．（多选题）（2024·辽宁·二模）半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，
用 表示从 开始，晶体管数量随时间 变化的函数，若 ，则下面选项中，符合摩尔定律
公式的是（ ）
A．若 是以月为单位，则
B．若 是以年为单位，则
C．若 是以月为单位，则
D．若 是以年为单位，则
【答案】BC
【解析】选项A， ， ，A不符合；
选项B， ， ， ， ，符合；
选项C， ，则 ， ， ，
， ，符合，
选项D， ， ，
， ，不符合．
故选：BC．
10．（多选题）（2024·安徽蚌埠·模拟预测）科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．
如果物体的初始温度为 ，空气温度 保持不变，则t分钟后物体的温度 （单位： ）满足：
．若空气温度为 ，该物体温度从 （ ）下降到 ，大约所需的
时间为 ，若该物体温度从 ， 下降到 ，大约所需的时间分别为 ，则（ ）（参考数据：
）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】有题意可知， ，
当 ，则 ，
即 ， ，则 ，
其是关于 的单调递增函数，
当 时， ，
当 时， ，
则 ，故B正确；
当 时， ，
故A错误；
当 时， ，
此时满足 ， ，故C正确，D错误，
故选：BC.
11．（多选题）（2024·全国·模拟预测）小菲在学校选修课中了解了艾宾浩斯遗忘曲线．为了解自己记忆
一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量y与时间 （单位：
天）之间的函数关系 ．则下列说法中正确的是（ ）
A．随着时间的增加：小菲的单词记忆保持量降低
B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C． 天后，小菲的单词记忆保持量不低于40%
D． 天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
【答案】AB
【解析】由函数解析式和图象可知 随着 的增加而减少，故A正确．
由图象的减少快慢可知：第一天小菲的单词记忆保持量下降最多，B正确．
当 时， ，则 ，
即 天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C错误．
，故D错误．
故选：AB
12．（多选题）（2024·河南·模拟预测）1889年瑞典的阿伦尼乌斯提出了阿伦尼乌斯公式： （
和 均为大于0的常数）， 为反应速率常数（与反应速率成正比）， 为热力学温度（ ），在同一
个化学反应过程中 为大于0的定值.已知对于某一化学反应，若热力学温度分别为 和 时，反应速率
常数分别为 和 （此过程中 ， 与 的值保持不变），则（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
【答案】AD
【解析】由 ， ， ，根据不等式性质可得 ，
所以 ，又 ，所以 ，故 ，故A选项正确，B选项错误；
易知 ，
若 ，可得 ，所以 ，故C选项错误，D选项正确.
故选：AD.
13．（2024·河南洛阳·模拟预测）在高度为 的竖直墙壁面上有一电子眼 ，已知 到天花板的距离为
，电子眼 的最大可视半径为 ．某人从电子眼正上方的天花板处贴墙面自由释放一个长度为
0.2m的木棒（木棒竖直下落且保持与地面垂直），则电子眼A记录到木棒通过的时间为 s．（注意：
位移与时间的函数关系为 ，重力加速度 取 ）
【答案】
【解析】由已知得，木棒做自由落体运动，设从开始下落到木棒的下端开始进入电子眼的视线和木棒的上端开始离开电子眼的视线所需要的时间分别
为 ，
位移分别为 ，
所以 ，则 ，
所以电子眼A记录到木棒通过的时间为 ．
故答案为：
14．（2024·上海长宁·二模）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：
甲 乙 丙
接单量t（单） 7831 8225 8338
油费s（元） 107150 110264 110376
平均每单里程k（公里） 15 15 15
平均每公里油费a（元） 0.7 0.7 0.7
出租车空驶率 ；依据以上数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型
，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为 ，则 （精确到0.01）
【答案】
【解析】依题意，因为出租车行驶的总里程为 ，出租车有载客时行驶的里程为 ，
所以出租车空驶率 ，
对于甲， ，满足题意；
对于乙， ，满足题意；
所以上述模型满足要求，
则丙的空驶率为 ，即 .
故答案为： .15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的
含药量 （毫克）与时间 （小时）成正比；药物释放完毕后， 与 的函数关系式为 （ 为常
数）．根据图所提供的信息，回答下列问题：
（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 （毫克）与时间 （小时）之间的函数关系式为
；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，
至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
【答案】 /
【解析】（1）依题意，当 时，设 ，则 ，解得 ，
将 代入 可得 ，解得 .
综上所述， .
（2）由题意可得 ，因为药物释放过程中室内药量一直在增加，
即使药量小于 毫克，学生也不能进入教室，
所以只有当药物释放完毕，室内药量减少到 毫克以下时学生方可进入教室，
即 ，解得 ，由题意至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
故答案为：（1） ；（2） .
16．（2024·北京朝阳·一模）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变
化遵循兰彻斯特模型： ，其中正实数 ， 分别为红、蓝两方初
始兵力，t为战斗时间； ， 分别为红、蓝两方t时刻的兵力;正实数a，b分别为红方对蓝方、蓝方
对红方的战斗效果系数； 和 分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、
蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T．给出下列
四个结论：
①若 且 ，则 ；
②若 且 ，则 ；
③若 ，则红方获得战斗演习胜利；
④若 ，则红方获得战斗演习胜利．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【解析】对于①，若 且 ，则 ，
即 ，所以 ，
由 可得 ，即①正确；
对于②，当 时根据①中的结论可知 ，所以蓝方兵力先为0，
即 ，化简可得 ，即 ，两边同时取对数可得 ，
即 ，所以战斗持续时长为 ，
所以②正确；
对于③，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，
设红方兵力为0时所用时间为 ，蓝方兵力为0时所用时间为 ，
即 ，可得
同理可得
即 ，解得
又因为 都为正实数，所以可得 ，红方获得战斗演习胜利；
所以可得③错误，④正确.
故答案为：①②④.
1．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））某辆汽车每次加油都把油箱加满，下
表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油量
加油时间 加油时的累计里程（千米）
（升）
年 月 日
年 月 日注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程
在这段时间内，该车每 千米平均耗油量为（ ）
A． 升 B． 升 C． 升 D． 升
【答案】B
【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量 升. 而这
段时间内行驶的里程数 千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为
升，故选B.
2．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占
加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数
关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得
到最佳加工时间为
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
【答案】B
【解析】由图形可知，三点 都在函数 的图象上，
所以 ，解得 ，
所以 ，因为 ，所以当 时， 取最大值，
故此时的t= 分钟为最佳加工时间，故选B.
3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上
销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿
者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概
率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不
小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
【答案】B
【解析】由题意，第二天新增订单数为 ，
，故至少需要志愿者 名.故选：B
4．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖南卷））某市生产总值连续两年持续增加.第一
年的增长率为 ，第二年的增长率为 ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设这两年年平均增长率为 ，因此 解得 ．
5．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））顾客请一位工艺师把 、 两件玉石
原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这
项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都
完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
工序
时间 粗加工 精加工
原料
原料
原料
则最短交货期为 工作日.
【答案】42
【解析】因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以徒弟完成原料B的6小时后,师傅开始工作,
在师傅后面的36小时的精加工内,徒弟也同时完成了原料A的粗加工.所以前后共计 =42小时.
6．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））我国古代数学著作《张邱建算经》中记载
百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、
雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为 ， ， ，则 当 时，
， ．
【答案】
【解析】
7．（2019年北京市高考数学试卷（文科））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草
莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种
水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明
会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为
．
【答案】 130. 15.
【解析】(1) ,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付 元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为 元,
元时,李明得到的金额为 ,符合要求.
元时,有 恒成立,即 ,即 元.
所以 的最大值为 .
