文档内容
考点 15 数列综合问题（核心考点讲与练）
数列应用题常见模型
(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或
减少)的量就是公差.
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定
的数就是公比.
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑a与a
n n＋
(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者S与S (或者相邻三项等)之间的递推关系.
1 n n＋1
1.数列的应用，解题的关键是通过找到图形之间的关系，得到等比数列，求数列通项公式常用的方法：
（1）由 与 的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法.
2.等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数
列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．
3.数列与函数常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的数学思想方法有“函数与方程”“等价转
化”等．
4.数列与不等式问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的
通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利
用它们之间的对应关系进行灵活的处理．
5.＂新定义＂型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读
懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：
（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂;（3）定义新概念.这类试题考查考生对＂新定
义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起来，利
用已有的知识经验来解决问题.
6.数列与函数、不等式综合问题的求解策略：1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前 项和公式，求和方法
等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题
时要注意这一特殊性；
2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合
法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.
数列的综合应用
一、单选题
1．（2022·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二
税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金
几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的 ，第2关收税金为剩余金的 ，第3关
收税金为剩余金的 ，第4关收税金为剩余金的 ，第5关收税金为剩余金的 ，5关所收税金之和恰好重
1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为 斤，设 ，则 （ ）
A． B．7 C．13 D．26
【答案】C
【分析】根据题意求得每次收的税金，结合题意得到 ，求得 的值，
代入函数的解析式，即可求解.
【详解】由题意知：这个人原来持金为 斤，
第1关收税金为： 斤；第2关收税金为 斤；
第3关收税金为 斤，
以此类推可得的，第4关收税金为 斤，第5关收税金为 斤，所以 ，
即 ，解得 ，
又由 ，所以 .
故选：C.
2．（2021·广东佛山·二模）科技创新离不开科研经费的支撑，在一定程度上，研发投入被视为衡量“创新
力”的重要指标.“十三五”时期我国科技实力和创新能力大幅提升，2020年我国全社会研发经费投入达到
了24426亿元，总量稳居世界第二，其中基础研究经费投入占研发经费投入的比重是6.16%.“十四五”规划
《纲要草案》提出，全社会研发经费投入年均增长要大于7%，到2025年基础研究经费占比要达到8%以
上，请估计2025年我国基础研究经费为（ ）
A．1500亿元左右 B．1800亿元左右 C．2200亿元左右 D．2800亿元左右
【答案】D
【分析】由题意可知，2025年我国全社会研发经费投入不得低于 , 再根据2025年基础研
究经费占比要达到8%以上，即可求出2025年我国基础研究经费的最低值，从而选出正确选项.
【详解】由题意可知，2025年我国全社会研发经费投入不得低于 亿元，又因为
2025年基础研究经费占比要达到8%以上，
所以2025年我国基础研究经费不得低于 亿元
故选：D
3．（2022·湖南·一模）在流行病学中，基本传染数 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的
情况下，一个感染者平均传染的人数． 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触
过程中传染的概率决定．对于 ，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切
断传播途径．假设某种传染病的基本传染数 ，平均感染周期为7天（初始感染者传染 个人为第一
轮传染，经过一个周期后这 个人每人再传染 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据： ， ）（ ）
A．35 B．42 C．49 D．56
【答案】B
【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求
得近似解，然后可得需要的天数.
【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,
则每轮新增感染人数为 ，
经过n轮传染，总共感染人数为： ，
∵ ，∴当感染人数增加到1000人时， ，化简得 ，
由 ，故得 ，又∵平均感染周期为7天，
所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要 天，
故选：B
【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数
列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，
有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．
4．（2022·陕西西安·一模（理））2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽脱贫攻坚取得重大
胜利！为进步巩固脱贫攻坚成果，接续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该
企业2021年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%．每年年底扣除下一年必须的消费资金后，
剩余资金全部投入再生产为了实现5年后投入再生产的资金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金
至多为（ ）（单位：万元，结果精确到万元）（参考数据： ， ）
A．83 B．60 C．50 D．44
【答案】B
【分析】由题可知5年后投入再生产的资金为：
，即求.【详解】设每年应扣除的消费资金为 万元，则
1年后投入再生产的资金为： ，
2年后投入再生产的资金为：
，
5年后投入再生产的资金为：
∴ ，
∴ .
故选：B
二、双空题
5．（2022·湖北·一模）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈
现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称
“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：
从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉
底边，重复进行这一过程
若第1个图中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为___________；若第1个图中的三角形的面积为
1，则第n个图形的面积为___________.
【答案】
【分析】由图形之间的边长的关系，得到周长是等比数列，再按照等比数列通项公式可得解；
由图形之间的面积关系及累加法，结合等比数列求和可得解.【详解】记第 个图形为 ，三角形边长为 ，边数 ，周长为 ，面积为
有 条边，边长 ； 有 条边，边长 ； 有 条边，边长 ；
分析可知 ，即 ； ，即
当第1个图中的三角形的周长为1时，即 ，
所以
由图形可知 是在 每条边上生成一个小三角形，即
即 ， ， ，
利用累加法可得
数列 是以 为公比的等比数列，数列 是以 为公比的等比数列，故 是以 为公比的等比
数列，
当第1个图中的三角形的面积为1时， ，即 ，此时 ， ， 有 条边，
则
所以 ， 所以故答案为： ，
【点睛】关键点睛：本题考查数列的应用，解题的关键是通过找到图形之间的关系，得到等比数列，求数
列通项公式常用的方法：（1）由 与 的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到
数，构造新数列法.
三、填空题
6．（2021·辽宁铁岭·一模）赵先生准备通过某银行贷款5000元，然后通过分期付款的方式还款．银行与
赵先生约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为
，则赵先生每个月所要还款的钱数为______元．（精确到 元，参考数据 ）
【答案】
【分析】本题首先可设每一期所还款数为 元，然后结合题意列出每期所还款本金，并根据贷款5000元列
出方程，最后借助等比数列前 项和公式进行计算即可得出结果.
【详解】设每一期所还款数为 元，
因为贷款的月利率为 ，
所以每期所还款本金依次为 、 、 、 、 ，
则 ，
即 ，
，
，，小明每个月所要还款约 元，
故答案为： .
四、解答题
7．（2020·河南·一模（理））市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种
贷款方式.①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差
均相同；②等额本息：每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若
2019年7月7日贷款到账，则2019年8月7日首次还款）.
已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004.
（1）若小张采取等额本金的还款方式，现已得知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，
试计算小张该笔贷款的总利息；
（2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半，已知小
张家庭平均月收入为1万元，判断小张该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）；
（3）对比两种还款方式，从经济利益的角度来考虑，小张应选择哪种还款方式.
参考数据： .
【答案】（1）289200元；（2）能够获批；（3）应选择等额本金还款方式
【解析】（1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，即可由等差数列的
前n项和公式求得其还款总额，减去本金即为还款的利息；
（2）根据题意，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，设小张每月还款额为 元，由等比
数列求和公式及参考数据，即可求得其还款额，与收入的一半比较即可判断；
（3）计算出等额本息还款方式时所付出的总利息，两个利息比较即可判断.
【详解】（1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为 ，
表示数列 的前 项和，则 ， ，
则 ，
故小张该笔贷款的总利息为 元.
（2）设小张每月还款额为 元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，
则 ，所以 ，
即 ，
因为 ，
所以小张该笔贷款能够获批.
（3）小张采取等额本息贷款方式的总利息为：
，
因为 ，
所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金还款方式.
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列求和公式的综合应用，数列在实际问题中的应用，理解题意是解
决问题的关键，属于中档题.
8．（2022·全国·模拟预测）在一个传染病流行的群体中，通常有3类人群：
类别 特征
S类
易感染者，体内缺乏有关抗体，与I类人群接触后易变为I类人群．
（Susceptible）
I类（Infectious） 感染者，可以接触S类人群，并把传染病传染给S类人群；康复后成为R类人群．
R类 康复者，自愈或者经治疗后康复且体内存在相关抗体的I类人群；若抗体存在时间有
（Recovered） 限，可能重新转化为S类人群．
在一个600人的封闭环境中，设第n天S类，I类，R类人群人数分别为 ， ， ．其中第1天 ，
， ．为了简化模型，我们约定各类人群每天转化的比例参数恒定：
S类→I类占当天S类比例 I类→R类占当天I类比例 R类→S类占当天R类比例
(1)已知对于传染病A有 ， ， ．求 ， ；
(2)已知对于传染病B有 ， ， ．
（Ⅰ）证明：存在常数p，q，使得 是等比数列；（Ⅱ）已知防止传染病大规模传播的关键途径至少包含：①控制感染人数；②保护易感人群．请选择一项，
通过相关计算说明：实际生活中，相较于传染病A需要投入更大力量防控传染病B．
【答案】(1) ； ；
【分析】（1）根据条件可得 ，进而可得 ，再通过构造数列
，可得 ，即求；
（2）由题可得 ，进而可得 ，即得；
再结合传染病A和传染病B的 及传染病A和传染病B的 分析即得结论.
(1)由题可知 ，
所以 ，
∵ ， ，
∴ 是以540为首项，以 为公比的等比数列，
∴ ，
所以 ，
配凑得到 ，又 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
∴ ，即 ，
所以 ．(2)（Ⅰ）由题可知， ， ， ，
所以
，
对比系数得到
解得
或
因此我们有：
是首项为1480，公比为 的等比数列；
是首项为1980，公比为 的等比数列．
原命题得证．
（Ⅱ）由上可知 ，
，
解得 ，
，
选择①：对比传染病A和传染病B的 可知，当时间足够长时传染病A的I类人群将趋向于0，传染病B
的I类人群将趋向于80．为了控制感染人数，相较于传染病A需要投入更大力量防控传染病B．
选择②：对比传染病A和传染病B的 可知，当时间足够长时传染病A的S类人群将趋向于0，传染病B
的S类人群将趋向于40．为了保护易感人群，相较于传染病A需要投入更大力量防控传染病B．
【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是构造数列 ，进而可得 ；第二问中关键是通过 对比系数找出关系式，即得.
等差数列、等比数列的综合
1.（2021黑龙江省大庆第一中学高三第三次模拟）在各项不为零的等差数列 中，
，数列 是等比数列，且 ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质可知 ，代入方程可求出 ，再根据等比数列的性质
即可代入 求解.
【详解】因为等差数列 中 ，所以 ，
因为各项不为零，所以 ，
因为数列 是等比数列，所以
所以 ，故选C.
2.（2020贵州省遵义航天高级中学高三（最后一卷)）已知等比数列 中，若 ，且 成
等差数列，则 （ ）
A. 2 B. 2或32 C. 2或-32 D. -1
【答案】B
【分析】根据等差数列与等比数列的通项公式及性质，列出方程可得q的值，可得 的值.
【详解】解：设等比数列 的公比为q（ ），
成等差数列，， ，
，解得： ，
， ，
故选B.
【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的定义及性质，熟悉其性质是解题的关键.
数列与函数
1.（2019河南省八市重点高中联盟“领军考试”高三压轴）已知函数 有两
个不同的零点 ， ，-2和 ， 三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数
的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由函数零点的定义和韦达定理，得 ，再由 和 ， 三个数适当排序后
既可成为等差数列，也可成为等比数列，得 ， ，解得 ， ，进而可求解
得值，得出函数的解析式．
【详解】由题意，函数 有两个不同的零点 ， ，
可得 ，则 ， ，
又由 和 ， 三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，不妨设 ，则 ， ，解得 ， ，
所以 ， ，所以 ，
故选C.
2.（2020上海市建平中学高三月考）已知数列 满足 ，若存在实数
，使 单调递增，则 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由 单调递增，可得 恒成立，则 ，分析 和 可排
除错误选项.
【详解】由 单调递增，可得 ，
由 ，可得 ，所以 .
时，可得 .①
时，可得 ，即 .②
若 ，②式不成立，不合题意；
若 ，②式等价为 ，与①式矛盾，不合题意.
排除B,C,D,故选A.
【点睛】本题考查数列的性质，结合不等式的性质求解.
数列不等式
1.（2020山西重点中学协作体高三暑期联考）已知数列 的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每
一行的第一个数 构成等差数列 ， 是 的前 项和，且 ， .(1)若数阵中从第3行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知
，求 的值；
(2)设 ，当 时，对任意 ，不等式 恒成立，求 的取
值范围.
【答案】（1）160；（2） 或 .
的
试题分析：（I）由等差数列{b}满足b=a=1，S=15．求出数列 公差后，可得数列的通项公式，结合数
n 1 1 5
阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，a=16，可求
9
出公比，进而求出a 的值；
50
（Ⅱ）由（1）求出S 的表达式，利用裂项相消法求出T 的表达式，进而将不等式恒成立问题，转化为最值
n n
问题，利用导数法，可得答案．
试题解析：
(1)设等差数列 的公差为 ，∵ ， ，
∴ ， .
∴ ，
设从第3行起，每行的公比都是 ，且 ， ， ， .
，故 是数阵中第10行的第5个数.
故 .(2)∵ ，
∴
；
令 ，
则
当 时， ， 在 上为减函数，
∴ 为递减数列， 的最大值为 .
∴不等式变为 恒成立，设 ， ，
则 ，即 ，解得 或 .
2.（2022河南省创新发展联盟高三联考）已知数列 满足 且数列 是
单调递增数列，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据递增数列可得关于 的不等式组，从而可求其取值范围.【详解】由题意可得 解得 .
故选：A.
数列新定义
1.（2020广东省广州、深圳市学调联盟高三下学期第二次调研）对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，
已知正数列{a}满足S= （a ），n∈N*，其中S 为数列{a}的前n项的和，则[
n n n n n
]=______．
【答案】20
【分析】先由数列 的关系求出 ，再利用放缩法和裂项相消求得前n项和S的值，可得答案.
【详解】由题可知 ，当 时， 化简可得 ，当
的
所以数列 是以首项和公差都是1 等差数列，即
又 时，
记
一方面
另一方面
所以
即故答案为20
2.（2022辽宁省六校高三上学期期初联考）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这
样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一
列数组成的数列 称为“斐波那契数列”，记 为数列 的前 项和，则下列结论正确的是
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【分析】由题意可得数列 满足递推关系 ，依次判断四个选项，即
可得正确答案.
【详解】对于A，写出数列的前6项为 ，故A正确；
对于B， ，故B错误；
对于C，由 ， ， ，……， ，可得：
，故C正确.
对于D，斐波那契数列总有 ，则 ， ，
，……， ，
，可得 ，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，
考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题.1.（2021年全国高考乙卷）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ，
成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用等差数列的性质及 得到 ，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出 ，再作差比较即可.
【详解】（1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，．
设 ， ⑧
则 ． ⑨
由⑧-⑨得 ．
所以 ．
因此 ．
故 ．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得 ，
，①
，②① ②得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知 ，令 ，且 ，即
，
通过等式左右两边系数比对易得 ，所以 ．
则 ，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设 ，
由于 ，
则 ．又 ，
所以
，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数
学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，
关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得 ,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造 ，使 ，求得 的表达
式，这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
一、单选题
1．（2022·重庆八中模拟预测）如图，将钢琴上的12个键依次记为 ， ， ， ．设 ．若
且 ，则 ， ， 为原位大三和弦；若 且 ，则称 ， ， 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之差为（ ）
A．5 B． C．0 D．10
【答案】C
【分析】按照题目中的定义依次列举出来，计算差即可.
【详解】若 且 ，则 ， ， 为原位大三和弦，
即有 ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ，
，共5个；
若 且 ，则 ， ， 为原位小三和弦，
可得 ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ，
，共5个，
个数差为0．
故选：C.
2．（2021·陕西咸阳·模拟预测）某城镇为改善当地生态环境，2016年初投入资金120万元，以后每年投入
资金比上一年增加10万元，从2020年初开始每年投入资金比上一年增加 ，到2025年底该城镇生态环
境建设共投资大约为（ ）
A．1600万元 B．1660万元 C．1700万元 D．1810万元
【答案】D
【解析】设2016年到2025年每年投入资金分别为 ， ， ， ， ， ， ， ，由题意知分别为等
差数列、等比数列，分别求数列和，即可求解.
【详解】设2016年到2025年每年投入资金分别为 ， ， ， ， ， ， ， ，
由已知 ， ， ， 为等差数列， ， ，其和为 .
， ， ， 为等比数列， ，公比 ，
其和为 ，
又 ， .
共投入资金大约为1810万元.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：实际问题中，关键要读懂题意，抽象出数列，并判断数列为等差还是等比数列，利用数列的
通项公式、求和公式解决实际问题.
3．（2022·四川凉山·二模（文））在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免
息贷款10000元，用于自己开设的土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据
测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元.余款作为资
金全部用于再进货，如此继续.设第n月月底小王手中有现款为 ，则下列结论正确的是（ ）（参考数
据： ， ）
①
②
③2020年小王的年利润约为40000元
④两年后，小王手中现款约达41万
A．②③④ B．②④ C．①②④ D．②③
【答案】A
【分析】由题可知， 月月底小王手中有现款为 ， 月月底小王手中有现款为 之间的递推关系为
， ，进而根据递推关系求出通项公式即可得答案.
【详解】对于①选项， 元，故①错误
对于②选项，第 月月底小王手中有现款为 ，则第 月月底小王手中有现款为 ，由题意
故②正确；
对于③选项，由 得
所以数列 是首项为 公比为1.2的等比数列，
所以 ，即
所以2020年小王的年利润为 元，故③正确；
对于④选项，两年后，小王手中现款为 元，即41
万，故④正确.
故选：A.
二、多选题
4．（2022·重庆·一模）已知数列 ， 均为递增数列，它们的前 项和分别为 ， ，且满足
， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】利用代入法求出前几项的关系即可判断出 与 的取值范围，再分别求出数列 与 的前
项和的表达式即可判断大小关系．
【详解】由 是递增数列，得 ；又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故选项A正确；，故B不正确；
由 是递增数列，得 ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故选项C正确；
所以
，
所以 ，又 ，所以 ，
而 ，
当 时， ；
当 时，可验证 ，
所以对于任意的 ， ，故选项D正确．
故选：ACD．
【点睛】
关键点点睛：解决本题的第一个关键是根据数列的单调性建立不等式，从而判断选项A、C，第二个关键
是在求和时采用分组求和，第三个关键是比较大小.
5．（2022·全国·模拟预测）对于给定数列 ，如果存在实数t，m，对于任意的 均有
成立，那么我们称数列 为“M数列”，则下列说法正确的是（ ）
A．数列 是“M数列”
B．数列 不是“M数列”
C．若数列 为“M数列”，则数列 是“M数列”D．若数列 满足 ， ，则数列 是“M数列”
【答案】ACD
【分析】根据“M数列”定义，依次判断四个答案，验证t，m的存在性，进而判断答案.
【详解】对于选项A，由“M数列”定义，得 ，即 ，存在
， 对于任意的 都成立，故选项A正确；
对于选项B，由“M数列”定义，得 ，即 ，存在 ， 对
于任意的 都成立，故选项B错误；
对于选项C，若数列 为“M数列”，则 ， 所以 ，
存在m=0成立所以数列 是“M数列”，故选项C正确；
对于选项D，若数列 是“M数列”，则 ，可得 ，即
，故 ，对于任意的 都成立，则 所以 ，
或 .当 ， 时， ，此时数列 是“M数列”；当 时， ，
此时数列 是“M数列”，故选项D正确.
故选：ACD.
6．（2021·全国·模拟预测）对于首项为负数的无穷等比数列 ，若对任意的n， ，
，则称 为“M数列”；若对任意的 ，存在 ，使得 ，则称 为“L数列”.若数列
的公比为q，则（ ）A．当q<0时， 是“M数列”
B．当q<0时， 不是“L数列”
C．当q>0时， 为“L数列”，则 一定为“M数列”
D．当q>0时， 为“M数列”，则 一定为“L数列”
【答案】BC
【分析】根据“M数列”和“L数列”的定义逐一对各选项分析判断即可.
【详解】选项A，当 时，取 ，则 ，不成立，
这与对任意的n， ， ，相矛盾，故 不是“M数列”，故A不正确；
选项B，假设 为“L数列”，则对任意的 ，存在 ，使得 ，
由 ， 得 ，所以 ，即 ，所以 ，
但此时 ，与对任意的 ，存在 ，使得 相矛盾，
所以假设不成立，所以当q<0时， 不是“L数列”，故B正确；
选项C，当 时， 为“L数列”，则对任意的 ，存在 ，
使得 ，即 ，又 ，所以 ，所以 ，所以 ，
而对任意的n， ， ，
因为 ，所以 ， ，所以 ，
即对任意的n， ， ，所以 为“M数列”，故C正确；
选项D，当q>0时， 为“M数列”，取 ，则不存在 ，使得 成立，故 不为“L
数列”，故D不正确.
故选：BC7．（2022·山东聊城·一模）在数列 中，对于任意的 都有 ，且 ，则下列结论
正确的是（ ）
A．对于任意的 ，都有
B．对于任意的 ，数列 不可能为常数列
C．若 ，则数列 为递增数列
D．若 ，则当 时，
【答案】ACD
【分析】A由递推式有 上 ，结合 恒成立，即可判断：B反证法：假设 为常数
列，根据递推式求 判断是否符合 ，即可判断；C、D由 上 ，讨论 、
研究数列单调性，即可判断.
【详解】A：由 ，对 有 ，则 ，即任意 都有 ，正确；
B：由 ，若 为常数列且 ，则 满足 ，错误；
C：由 且 ，
当 时 ，此时 且 ，数列 递增；
当 时 ，此时 ，数列 递减；
所以 时数列 为递增数列，正确；D：由C分析知： 时 且数列 递减，即 时 ，正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：选项B应用反证法，假设 为常数列求通项，判断是否与 矛盾；对于C、
D，将递推式变形为 ，讨论 、 研究数列单调性.
8．（2021·福建·厦门一中模拟预测）记 表示与实数 最接近的整数，数列 通项公式为
，其前 项和为 ，设 ，则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】由 时，可判定A不正确；由 ，可判定B正确；由 ，可得
，根据 是 右侧的最接近的整数，可判定C正确；根据题意归纳
得到数列 中，有2个1，4个 ，6个 ，8个 ， ，结合等差数列求和公式，可判定D不正确.
【详解】由题意，记 表示与实数 最接近的整数，且 ，
当 时，可得 ，所以A不正确；
由 ，即 ，可得 ，
可得 成立，所以B正确；
由 ，可得 ，平方可得 ，
因为 ，且 不是整数，其中 是 右侧的最接近的整数，
所以 成立，所以C正确；
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
归纳可得数列 中，有2个1，4个 ，6个 ，8个 ，
又由 构成首项为2，公差为2的等差数列，可得 ，
令 ，解得 ，
所以 ，所以D不正确.
故选：BC.
【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求
在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的
目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办
事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
三、填空题
9．（2022·重庆八中模拟预测）已知数列 满足：① 仍为数列 中的项；②当 ，且
时， 仍为数列 中的项；③ 仍为数列 中的项.则其通项公式可以为___________.【答案】 (答案不唯一)
【分析】结合三个性质与等比数列的性质即可猜测该数列为一个等比数列，构造一个通项公式逐项验证即
可得到一个答案．
【详解】结合三个性质与等比数列的性质，不妨设 ，
则 仍为数列 中的项；
当 ，且 时， 仍为数列 中的项；
仍为数列 中的项；
故 满足题意．
故答案为： ．
四、解答题
10．（2022·湖北·二模）已知正项等差数列 满足： ，且 成等比数列．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ， 是数列 的前n项和，若对任意 均有 恒成立，求 的最小值．
【答案】(1) (2)最小值为
【分析】（1）设等差数列的公差为 ，由 及等差数列的通项公式得到 ，则 ，再根据
等比中项的性质得到方程，求出 ，即可得解；
（2）由（1）可得 ，利用裂项相消法求和得到 ，即可得到 ，从而求出 的
取值范围，即可得解；
(1)解：设等差数列的公差为 ，由 得 ，则 ，
所以 ．因为 、 、 成等比数列，所以 ，即 ，
所以 ，解得 或 ，
因为 为正项数列，所以 ，所以 ，所以 ．
(2)解：由（1）可得 ，
所以 ，
因为对任意 均有 ，所以 ，所以实数 的最小值为
11．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知数列{ }满足 ∈N*， 为该数列的前n项
和.
(1)求证：数列{ }为递增数列；
(2)求证： .
【分析】（1）由题可得 即可证明；
（2）由已知可得 ，即可求出 ，根据数列为递增数列可得 即
可证明.
(1)因为 ，取倒数可得 ，
整理可得 ，所以数列 为递增数列；
(2)由 可得 ，即 ，
所以
，
又 ，所以 ， ，即 .
12．（2022·北京顺义·二模）设正整数数列 满足 ．
(1)若 ，请写出 所有可能的取值；
(2)记集合 ，证明：若集合 存在一个元素是3的倍数，则 的所有元素都是3的倍数；
(3)若 为周期数列，求 所有可能的取值.
【答案】(1) ， ， (2)证明见解析(3)
【分析】（1）根据递推公式求出 、 即可求出 ，再分类讨论，分别计算可得；
（2）首先证明如果存在 为3的倍数，根据递推公式得到 都是3的倍数，再证
都是3的倍数，即可得证；
（3）依题意数列 一定有最小值，设为 ，再 或 ，即可得到当数列中出现 或 时数列为周期数列，
即可得解；(1)解：因为正整数数列 满足 ，
当 时， ，所以 ， ，所以 ，则 或 ，即 或 ，
当 时， 或 ，所以 或 ；
当 时， ，所以 ；
所以 的可能取值为 、 、 ；
(2)证明：如果存在正整数 ，满足 是 的倍数，则对 ， 都是 的倍数；
如果存在 为3的倍数，根据 ，可知 也是3的倍数，
以此类推， 都是3的倍数；
另一方面，当 时，由于 ，当 为3的倍数时，可知 也是3的倍数，以此类
推， 都是3的倍数；
综上所述，若集合 存在一个元素是3的倍数，则 的所有元素都是3的倍数；
(3)证明：
首先注意到 是正整数数列，则数列 一定有最小值，设为 ，下证 或 ；
当 为偶数时，设 ，则 ，与 是最小值矛盾；
所以 是奇数；不妨设 ，则 是偶数， ，
假设 ，则 ，与 是最小值矛盾；
综上， 只能是小于 的正奇数，即 或 ；当数列 中出现1时，后面的项为4，2，1，4，2，1，4，2，1…循环；
当数列 中出现3时，后面的项为6，3，6，3…循环；
所以数列 为周期数列时， 只能为1，2，3，4，6中某一个数；
经检验，当 时，数列 确实是周期数列；
13．（2021·浙江·模拟预测）已知等比数列 的公比为 ，且 ，数列 满足
，
．
（1）求数列 的通项公式．
（2）规定： 表示不超过 的最大整数，如 ， ．若 ， ，记
求 的值，并指出相应 的取值范围．
【答案】（1） ， ；（2）当 时， ；当 时，
．
【分析】（1）由等比数列的通项公式得 ，即可得 ，然后利用累加法求 即可；（2）由（1）得
，可求出 ， ，得到 和 时 的值，然后对 进行放缩，可得当 时， ，
最后通过换元，利用对勾函数的单调性求解即可．【详解】（1）由题意得 ，则 ，
当 时， ，
，
又由 ，符合上式，
因此 ， ．
（2）由（1）知，当 时， ．
易知 时， ，此时 ；
时， ，此时 ；
当 时， ，因为 时， ，
所以 ，
因此 ，
令 ，则 ， ，
利用对勾函数的单调性，得 （其中 ），
从而 ．综上，当 时， ；当 时， ．
【点睛】数列与函数、不等式综合问题的求解策略：
1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前 项和公式，求和方法
等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题
时要注意这一特殊性；
2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合
法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.
