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专题 15.2 分式方程
a b−x
【典例1】已知，关于x的分式方程 − =1．
2x+3 x−5
（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解；
a b−x
（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程 − =1无解；
2x+3 x−5
a b−x
（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程 − =1的解为整数时，求b的值．
2x+3 x−5
【思路点拨】
（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；
（3）将a＝3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和 b为正整数
确定b的取值．
【解题过程】
a b−x 2 1−x
解：（1）把a＝2，b＝1代入分式方程 − =1 中，得 − =1，
2x+3 x−5 2x+3 x−5
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
2（x﹣5）﹣（1﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
2x²+3x﹣13＝2x²﹣7x﹣15，
10x＝﹣2，
1
x=− ，
5
1 1
检验：把x=− 代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x=− ．
5 5
1
答：分式方程的解是x=− ．
5
a b−x 1 b−x
（2）把a＝1代入分式方程 − =1 得 − =1，
2x+3 x−5 2x+3 x−5方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
（x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15，
（11﹣2b）x＝3b﹣10，
11
①当11﹣2b＝0时，即b= ，方程无解；
2
3b−10
②当11﹣2b≠0时，x= ，
11−2b
3 3b−10 3
x=− 时，分式方程无解，即 =− ，b不存在；
2 11−2b 2
3b−10
x＝5时，分式方程无解，即 =5，b＝5．
11−2b
11 a b−x
综上所述，b= 或b＝5时，分式方程 − =1 无解．
2 2x+3 x−5
a b−x 3b x−b
（3）把a＝3b代入分式方程 − =1 中，得： + =1
2x+3 x−5 2x+3 x−5
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
整理得：（10+b）x＝18b﹣15，
18b−15
∴x= ，
10+b
18b−15 18(b+10)−195 195
∵x= = =18− ，且b为正整数，x为整数，
10+b 10+b 10+b
∴10+b必为195的因数，10+b≥11，
∵195＝3×5×13，
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，
但1、3、5 小于11，不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数．
对应地，方程的解x为3、5、13、15、17，
由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，b只可以取3、29、55、185，
所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．1 1 x 2x
1．（2021春•南芬区月考）在①x2﹣x+ ，② −3＝a+4，③ +5x＝6，④ =1中，其中关于x的分
x a 2 x−3
式方程的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
【解题过程】
1
解：①x2﹣x+ 是分式，不是分式方程；
x
1
② −3＝a+4是关于a的分式方程；
a
x
③
+5x＝6是一元一次方程；
2
2x
④
=1是关于x的分式方程，
x−3
故关于x的分式方程只有一个．
故选：A．
2x+3 k
2．（2022•黑龙江模拟）已知分式方程 = +2的解为负数，则k的取值范围是（ ）
x+1 x2+2x+1
A．k＞1 B．k＞1且k≠﹣1 C．k＜1 D．k＜1且k≠0
【思路点拨】
根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答案．
【解题过程】
2x+3 k
解：解
= +2得x＝k﹣1．
x+1 x2+2x+1
2x+3 k
由关于x的分式方程 = +2的解是负数，得k﹣1＜0，且k≠0，
x+1 x2+2x+1
解得k＜1且k≠0．
故答案为：D．
2x−a −2x+a
3．（2022春•普宁市校级月考）若分式方程 −4= 的解为整数，则整数a＝（ ）
x−1 x+1
A．a＝±2 B．a＝±1或a＝±2 C．a＝1或2 D．a＝±1
【思路点拨】
对方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1）化成整式方程即可求解．【解题过程】
解：方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1）得，
（2x﹣a）（x+1）﹣4（x+1）（x﹣1）＝（x﹣1）（﹣2x+a），
整理得：﹣2ax＝﹣4，
即ax＝2，
∵x，a为整数，
∴a＝±1或a＝±2，
∵原分式方程要求x≠±1，
∴a≠±2，
∴a＝±1．
故选：D．
x−4m m 1
4．（2022•龙马潭区模拟）已知关于x的方程 + = 无解，则实数m的取值是（ ）
x2−4 x−2 x+2
1 1 1 1
A．m= ，m=−2 B．m=− ，m=2 C．m=0，m=− D．m=0，m=
2 2 2 2
【思路点拨】
将关于x的分式方程去分母，整理成整式方程，使整式方程未知数的系数为0，或是分式方程产生增根即
可．
【解题过程】
x−4m m 1
解：关于x的方程 + = ，去分母得，
x2−4 x−2 x+2
x﹣4m+m（x+2）＝x﹣2，
整理得，mx＝2m﹣2，
x−4m m 1
由于关于x的方程 + = 无解，
x2−4 x−2 x+2
所以m＝0，或产生增根x＝±2，
1
当x＝2时，m的值不存在，当x＝﹣2时，m= ，
2
1
因此m＝0或m= ，
2
故选：D．{ 2x−m≥−1
5．（2022•九龙坡区校级模拟）若关于x的不等式组 3 2 1 有且只有两个偶数解，且关于y的分
(x+ )+ ≤9
2 3 2
my−4 3 y−2
式方程 =−2− 的解为整数，则所有满足条件的整数m的和是（ ）
y−2 2−y
A．4 B．5 C．6 D．9
【思路点拨】
根据题目的条件确定m的取值范围即可求解．
【解题过程】
{ 2x−m≥−1
解：解不等式组： 3 2 1 ，
(x+ )+ ≤9
2 3 2
{
−1+m
x≥
得 2 ，
x≤5
−1+m
∴不等式组解为 ≤x≤5，
2
∵不等式组有且仅有两个偶数解，
∴这两个偶数解为2、4，
−1+m
∴0＜ ≤2，
2
即，1＜m≤5，
my−4 3 y−2 6
解分式方程 =−2− ，得y= ，
y−2 2−y m−1
由于y是整数且y≠2，因此m≠4，
又因为1＜m≤5，m是整数，因此m＝2，m＝3，
所以满足条件的整数m的值之和是5．
故选：B．
1
{−5−x≤ (x−a)
6．（2022春•锡山区校级月考）若关于x的一元一次不等式组 11 的解集恰好有3个负整
3x+1
＞2x+1
2
2y−a 3 y−2
数解，且关于y的分式方程 − =1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
y−1 1−yA．6 B．9 C．﹣1 D．2
【思路点拨】
先解一元一次不等式组，根据不等式组的解集恰好有3个负整数解，求出a的范围，再解分式方程，根据
分式方程有非负整数解，确定a的值即可．
【解题过程】
1
{−5−x≤ (x−a)①
解： 11 ，
3x+1
＞2x+1②
2
a−55
解不等式①得：x≥ ，
12
解不等式②得：x＜﹣1，
a−55
∴原不等式组的解集为： ≤x＜﹣1，
12
∵不等式组的解集恰好有3个负整数解，
a−55
∴﹣5＜ ≤−4，
12
∴﹣5＜a≤7，
2y−a 3 y−2
− =1，
y−1 1−y
2y﹣a+3y﹣2＝y﹣1，
a+1
解得：y= ，
4
∵分式方程有非负整数解，
a+1
∴y≥0，y为整数且 ≠1，
4
∴符合条件的所有整数a的值为：﹣1，7，
∴符合条件的所有整数a的和为：6，
故选：A．
{x+1 x−4
7．（2022 春•开州区月考）若关于 x 的不等式组 −1≥ 有解，且使关于 y 的分式方程
3 2
x+2a≤2(x−1)1−2y a−y
+ =−3的解为非负数．则满足条件的所有整数a的和为（ ）
y−2 2−y
A．﹣9 B．﹣8 C．﹣5 D．﹣4
【思路点拨】
不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非
负数，确定出a的值，求出之和即可．
【解题过程】
{x+1 x−4
解：不等式组 −1≥ 整理得：{ x≤8 ，
3 2
x≥2a+2
x+2a≤2(x−1)
{x+1 x−4
∵关于x的不等式组 −1≥ 有解，
3 2
x+2a≤2(x−1)
∴2a+2≤8，
即a≤3，
1−2y a−y a+5
解分式方程 + =−3得y= ，
y−2 2−y 2
1−2y a−y
∵关于y的分式方程 + =−3的解为非负数，
y−2 2−y
a+5 a+5
∴ ≥0，且 ≠2，
2 2
解得，a≥﹣5且a≠﹣1，
∴﹣5≤a≤3，且a≠﹣1，
∵a为整数，
∴a＝﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，0，1，2，3，
∴满足条件的所有整数a的值之和：（﹣5）+（﹣4）+（﹣3）+（﹣2）+0+1+2+3＝﹣8．
故选：B．
mx 2 3
8．（2022春•渝北区校级月考）已知关于x的分式方程 + = 无解，且关于y的不
(x−2)(x−6) x−2 x−6
{ m−y＞4
等式组 有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（ ）
y−4≤3(y+4)
A．1 B．2 C．4 D．8【思路点拨】
分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程无解确定出 m的值，整理不等式组表示
出解集，由不等式组有且只有三个偶数解确定出m的范围，进而求出符合条件的所有m的值即可．
【解题过程】
解：分式方程去分母得：
mx+2（x﹣6）＝3（x﹣2），
∴mx+2x﹣12＝3x﹣6，
∴（m﹣1）x＝6，
当m﹣1＝0时，
即m＝1，方程无解；
当m﹣1≠0时，
即m≠1，
6
x= ，
m−1
由分式方程无解，得：
6 6
=2或 =6，
m−1 m−1
解得：m＝4或m＝2，
整理不等式组得：
{y＜m−4
，
y≥−8
即﹣8≤y＜m﹣4，
∵不等式组有且只有三个偶数解，
∴偶数解为﹣8，﹣6，﹣4，
∴﹣4＜m﹣4≤﹣2，
即0＜m≤2，
∴符合条件的整数m的值为2，
故选：B．
7 x+1 2a−3
9．（2022•东港区校级开学）a＝ − 时，关于x的方程 = 的解为1．
4 x−2 a+5
【思路点拨】
x+1 2a−3
本题需先把分式方程化成整式方程，再根据关于x的方程 = 的解为1，即可求出a的值．
x−2 a+5【解题过程】
x+1 2a−3
解： =
x−2 a+5
（x﹣2）（2a﹣3）＝（x+1）（a+5）
ax﹣8x﹣5a+1＝0，
把x＝1代入，得a﹣8﹣5a+1＝0，
7
解得a=− ．
4
7
故答案为：− ．
4
1 a 2(a−1)
10．（2021秋•绵阳期末）若关于x的方程 − = 的解为整数，则满足条件的所有整数
x+1 x−3 x2−2x−3
a的和等于 7 ．
【思路点拨】
1
解分式方程，用a表示x，根据最简公分母及一次系数不为 0，求出a≠ 且a≠﹣1，a≠1，再根据关于x的
3
方程的解为整数，求出a的值，进而求出满足条件的所有整数a的和．
【解题过程】
1 a 2(a−1)
解：原分式方程可化为： − = ，
x+1 x−3 (x+1)(x−3)
去分母，得x﹣3﹣a（x+1）＝2a﹣2，
3a+1
解得，x=
1−a
3(a−1)+4
=
1−a
4
＝﹣3+ ，
1−a
∵x≠3且x≠﹣1，
4 4
∴﹣3+ ≠3且﹣3+ ≠−1，
1−a 1−a
1
∴a≠ 且a≠﹣1，a≠1，
3
∵关于x的方程的解为整数，
∴a＝±1或a＝±2或a＝±4，∴a＝﹣3、0、2、3、5，
∴﹣3+0+2+3+5＝7，
故答案为：7．
{3−5x
≤9−x
11．（2021•雁江区模拟）若数m使关于x的不等式组 2 至少有3个整数解且所有解都是2x﹣
x＜m
4x−2 3m−1
5≤1的解，且使关于x的分式方程 + =2有整数解．则满足条件的所有整数 m的和是 2
x−1 1−x
．
【思路点拨】
3m−1
先解不等式组得﹣5≤x＜m，再由题意可知﹣2≤m≤3；再解分式方程得x= ，由方程有整数解，则3m
2
﹣1是2的倍数，因为x≠1，所以m≠1，则可求满足条件的整数为2．
【解题过程】
{3−5x
≤9−x①
解： 2 ，
x＜m②
由①得，x≥﹣5，
∵不等式组至少有3个整数解，
∴﹣2≤m，
∵2x﹣5≤1的解集是x≤3，
∴m≤3，
∴﹣2≤m≤3，
4x−2 3m−1
+ =2，
x−1 1−x
方程两边同时乘x﹣1，得4x﹣2﹣3m+1＝2x﹣2，
移项、合并同类项得，2x＝3m﹣1，
3m−1
解得x= ，
2
∵分式方程有整数解，
∴3m﹣1是2的倍数，
∵x≠1，
∴m≠1，∵m是整数，
∴m＝﹣1，3，
∴满足条件的所有整数m的和是2，
故答案为：2．
{ x−1 x+1
＞ y+2 m
12．（2021•龙泉驿区模拟）若关于x的不等式组 2 3 无解，关于y的方程 −1 = 的
y−2 y2−4
5x−m＜x+2
解大于1．则m的取值范围是 1 2 ＜ m ≤1 8 ，且 m ≠1 6 ．
【思路点拨】
解不等式组，根据不等式组无解得出m的范围；解分式方程，根据解大于1得出m的范围；检验分式方程，
得出m的范围；综上所述，得出m的范围．
【解题过程】
{ x−1 x+1
＞ ①
解： 2 3 ，
5x−m＜x+2②
解不等式①得：x＞5，
m+2
解不等式②得：x＜ ，
4
∵不等式组无解，
m+2
∴ ≤5，
4
∴m≤18；
y+2 m
解关于y的分式方程 −1= ，
y−2 (y+2)(y−2)
方程两边都乘以（y+2）（y﹣2）得：（y+2）2﹣（y+2）（y﹣2）＝m，
∴y2+4y+4﹣（y2﹣4）＝m，
∴y2+4y+4﹣y2+4＝m，
∴4y＝m﹣8，
1
∴y= m﹣2，
4
∵y＞1，
1
∴ m﹣2＞1，
4
∴m＞12，∵（y+2）（y﹣2）≠0，
∴y≠±2，
1
∴ m﹣2≠±2，
4
∴m≠0，m≠16，
综上所述，12＜m≤18，且m≠16．
故答案为：12＜m≤18，且m≠16．
13．（2021秋•仓山区校级期末）解下列方程
3 x+2
（1） − =0；
x−1 x2−x
7 2−3x
（2） −2= ．
x+2 x+2
【思路点拨】
（1）方程两边都乘x（x﹣1）得出3x﹣（x+2）＝0，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘x+2得出7﹣2（x+2）＝2﹣3x，求出方程的解，再进行检验即可．
【解题过程】
3 x+2
解：（1） − =0，
x−1 x2−x
3 x+2
− =0，
x−1 x(x−1)
方程两边都乘x（x﹣1），得3x﹣（x+2）＝0，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x（x﹣1）＝0，
所以x＝1是增根，
即原方程无实数根；
7 2−3x
（2） −2= ，
x+2 x+2
方程两边都乘x+2，得7﹣2（x+2）＝2﹣3x，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，x+2≠0，
所以x＝﹣1是原方程的解，
即原方程的解是x＝﹣1．x+1 mx
14．（2022春•河南月考）已知关于x的方程： = −3．
x−2 x−2
（1）当方程的解为正整数时，求整数m的值；
（2）当方程的解为正数时，求m的取值范围．
【思路点拨】
（1）去分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再根据方程的解为正整数，得出关于 m的
方程，解方程即可得出m的值；
（2）去分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再根据方程的解为正数及分式方程的意义，
得出关于m的不等式，解不等式即可得出m的取值范围．
【解题过程】
解：（1）去分母得：x+1＝mx﹣3（x﹣2），
5
解得：x= ，
4−m
∵方程的解为正整数，且x≠2，
∴4﹣m＝5或4﹣m＝1且4﹣m≠2
解得：m＝﹣1或3，且m≠2，
∴整数m的值为﹣1或3；
（2）去分母得：x+1＝mx﹣3（x﹣2），
5
解得：x= ，
4−m
∵方程的解为正数且x≠2，
5 5
∴ ＞0且 ≠2，
4−m 4−m
3
解得：m＜4，且m≠ ，
2
3
∴m的取值范围为m＜4且m≠ ．
2
2 mx 1
15．（2021春•城关区校级期末）已知关于x的分式方程 + =
x−1 (x−1)(x+2) x+2
（1）若方程的增根为x＝1，求m的值
（2）若方程有增根，求m的值
（3）若方程无解，求m的值．
【思路点拨】方程去分母转化为整式方程，
（1）根据分式方程的增根为x＝1，求出m的值即可；
（2）根据分式方程有增根，确定出x的值，进而求出m的值；
（3）分m+1＝0与m+1≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可．
【解题过程】
解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），
去分母并整理得：2（x+2）+mx＝x﹣1，
移项合并得：（m+1）x＝﹣5，
（1）∵x＝1是分式方程的增根，
∴1+m＝﹣5，
解得：m＝﹣6；
（2）∵原分式方程有增根，
∴（x+2）（x﹣1）＝0，
解得：x＝﹣2或x＝1，
当x＝﹣2时，m＝1.5；当x＝1时，m＝﹣6；
（3）当m+1＝0时，该方程无解，此时m＝﹣1；
3
当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m＝﹣6或m= ，
2
综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5．
16 2 a
16．（2022春•安岳县校级月考）若整数a使得关于x的分式方程 + = 有正整数解，且使
x(x−4) x x−4
1 2y−1 1
{ (y+4)− ＞
关于y的不等式组 2 3 2至少有4个整数解，求符合条件的所有整数a的和．
1−y
≤3−a
2
【思路点拨】
表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有四个整数解，确定出 a的范围，分式方程去分母转化为整式
方程，表示出x，由x为正整数确定出a的值即可．
【解题过程】
解：分式方程去分母得：16+2（x﹣4）＝ax，即（2﹣a）x＝﹣8，由分式方程有正整数解，得到2﹣a≠0，
8
解得：x=− ＞0，得a＞2，
2−a
{ y＜11
不等式组整理得： ，即2a﹣5≤x＜11，
y≥2a−5
由不等式组至少有4个整数解，得到2a﹣5≤7，
解得，a≤6，
8
由x为正整数，且− ≠0且≠4，得到2﹣a＝﹣1，﹣2，﹣4，
2−a
解得：a＝3或4或6，
∵分式方程中x＝4增根，a≠4，
∴a＝3或6，
∵a≤6，
∴a＝3或6，
3+6＝9，
则符合条件的所有整数a的和为9．
故答案为：9．
1 1 1 1 1 1 1 1
17．（2021秋•庄浪县期末）观察下列等式： =1− ， = − ， = − ，将以上三个
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
等式两边分别相加得： + + =1− + − + − =1− = ．
1×2 2×3 3×4 2 2 3 3 4 4 4
解答下面的问题：
1 1 1
（1）猜想并写 = − ；
n(n+1) n n+1
1 1 1 1
（2）求 + + +⋯+ 的值；
1×2 2×3 3×4 2020×2021
1 1 1 3
（3）探究并解方程： + + = ．
x(x+3) (x+3)(x+6) (x+6)(x+9) x2+18
【思路点拨】
（1）根据题干中的规律即可得出结果；
（2）利用题干中的规律进行计算即可得出结果；
（3）利用规律把方程左边化简，再解分式方程即可．
【解题过程】1 1 1 1 1 1 1 1
解：（1）∵ =1− ， = − ， = − ，
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
1 1 1
∴ = − ，
n(n+1) n n+1
1 1
故答案为： − ；
n n+1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
∵ + + =1− + − + − =1− = ，
1×2 2×3 3×4 2 2 3 3 4 4 4
1 1 1 1
∴ + + +⋯+
1×2 2×3 3×4 2020×2021
1 1 1 1 1 1 1
＝1− + − + − +...+ −
2 2 3 3 4 2020 2021
1
＝1−
2021
2020
= ；
2021
1 1 1 3
（3） + + = ，
x(x+3) (x+3)(x+6) (x+6)(x+9) x2+18
1 1 1 1 1 1 1 3
（ − + − + − ）= ，
3 x x+3 x+3 x+6 x+6 x+9 x2+18
1 1 1 3
（ − ）= ，
3 x x+9 x2+18
x3+18x+9x2+162﹣x3﹣18x＝9x2+81x，
81x＝162，
x＝2，
检验：当x＝2时，x（x+9）（x2+18）≠0，
∴x＝2是原分式方程的根．
18．（2020春•青川县期末）阅读下面材料，解答后面的问题
x−1 4x
解方程： − =0．
x x−1
x−1 4
解：设y= ，则原方程化为：y− =0，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
x y
解得：y＝±2，
4 x−1
经检验：y＝±2都是方程y− =0的解，∴当y＝2时， =2，解得：x＝﹣1，
y xx−1 1 1
当y＝﹣2时， =−2，解得：x= ，经检验：x＝﹣1或x= 都是原分式方程的解，
x 3 3
1
∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x= ．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
3
问题：
x−1 x x−1 y 1
（1）若在方程 − =0中，设y= ，则原方程可化为： − =0 ；
4x x−1 x 4 y
x−1 4x+4 x−1 4
（2）若在方程 − =0中，设y= ，则原方程可化为： y− =0 ；
x+1 x−1 x+1 y
x−1 3
（3）模仿上述换元法解方程： − −1=0．
x+2 x−1
【思路点拨】
（1）和（2）将所设的y代入原方程即可；
x−1 1
（3）利用换元法解分式方程，设y= ，将原方程化为y− =0，求出y的值并检验是否为原方程的
x+2 y
解，然后求解x的值即可．
【解题过程】
x−1 y 1
解：（1）将y= 代入原方程，则原方程化为 − =0；
x 4 y
x−1 4
（2）将y= 代入方程，则原方程可化为y− =0；
x+1 y
x−1 x+2
（3）原方程化为： − =0，
x+2 x−1
x−1 1
设y= ，则原方程化为：y− =0，
x+2 y
方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0
解得：y＝±1，
1
经检验：y＝±1都是方程y− =0的解．
y
x−1
当y＝1时， =1，该方程无解；
x+2
x−1 1
当y＝﹣1时， =−1，解得：x=− ；
x+2 2
1
经检验：x=− 是原分式方程的解，
21
∴原分式方程的解为x=− ．
2
(x−a)(x−b)
19．（2021秋•海珠区期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式 的值为零，则
x
(x−a)(x−b) x2−(a+b)x+ab ab
解得x ＝a，x ＝b．又因为 = =x+ −（a+b），所以关于x的方程x
1 2
x x x
ab
+ =a+b的解为x ＝a，x ＝b．
1 2
x
x2+2 2 2
（1）理解应用：方程 =3+ 的解为：x ＝ 3 ，x ＝ ；
1 2
x 3 3
3
（2）知识迁移：若关于x的方程x+ =5的解为x ＝a，x ＝b，求a2+b2的值；
1 2
x
4
（3）拓展提升：若关于x的方程 =k﹣x的解为x ＝t+1，x ＝t2+2，求k2﹣4k+2t3的值．
1 2
x−1
【思路点拨】
2
（1）根据题意可得x＝3或x= ；
3
（2）由题意可得a+b＝5，ab＝3，再由完全平方公式可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝19；
4
（3）方程变形为x﹣1+ =k﹣1，则方程的解为x﹣1＝t或x﹣1＝t2+1，则有t（t2+1）＝4，t+t2+1＝k
x−1
﹣1，整理得k＝t+t2+2，t3+t＝4，再将所求代数式化为k2﹣4k+2t3＝t（t3+t）+4t3﹣4＝4（t3+t）﹣4＝12．
【解题过程】
ab
解：（1）∵x+ =a+b的解为x ＝a，x ＝b，
1 2
x
x2+2 2 2 2
∴ =x+ =3+ 的解为x＝3或x= ，
x x 3 3
2
故答案为：3， ；
3
3
（2）∵x+ =5，
x
∴a+b＝5，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣6＝19；
4 4
（3） =k﹣x可化为x﹣1+ =k﹣1，
x−1 x−14
∵方程 =k﹣x的解为x ＝t+1，x ＝t2+2，
1 2
x−1
则有x﹣1＝t或x﹣1＝t2+1，
∴t（t2+1）＝4，t+t2+1＝k﹣1，
∴k＝t+t2+2，t3+t＝4，
k2﹣4k+2t3
＝k（k﹣4）+2t3
＝（t+t2+2）（t+t2﹣2）+2t3
＝t4+4t3+t2﹣4
＝t（t3+t）+4t3﹣4
＝4t+4t3﹣4
＝4（t3+t）﹣4
＝4×4﹣4
＝12．
