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第 36 讲 数列的综合运用
【基础知识全通关】
一 等差、等比数列的综合应用
解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系：
（1）如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比
数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；
（2）如果两个数列是通过运算综合在一起的，就要从分析运算入手，把两个数列分割开，
再根据两个数列各自的特征进行求解．
二 数列与函数、不等式等的综合应用
1．数列可看作是自变量为正整数的一类函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，所以
我们可以用函数的观点来研究数列．
解决数列与函数综合问题的注意点：
（1）数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以
它的图象是一群孤立的点．
（2）转化为以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是
非常容易忽视的问题．
（3）利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件
的转化．
2．数列与不等式的综合问题是高考考查的热点．考查方式主要有三种：
（1）判断数列问题中的一些不等关系；
（2）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；
（3）考查与数列问题有关的不等式的证明问题．
在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点，例如在需要用到数列的单调性的时候，
可以通过比较相邻两项的大小进行判断．在与不等式的证明相结合时，注意构造函数，结
合函数的单调性来证明不等式．
三 等差、等比数列的实际应用
1．数列实际应用中的常见模型
①等差模型：增加或减少的量是一个固定的常数 ， 是公差；
②等比模型：后一个量与前一个量的比是一个固定的常数 ， 是公比；
③递推数列模型：题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，由此列递推关系式．
2．解答数列实际应用题的步骤
①审题：仔细阅读题干，认真理解题意；
②建模：将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题；
③求解：求出该问题的数学解；
④还原：将所求结果还原到实际问题中．
在实际问题中建立数学模型时，一般有两种途径：①从特例入手，归纳猜想，再推广到一
般结论；②从一般入手，找到递推关系，再进行求解．
四 数列中的探索性问题
对于数列中的探索性问题主要表现为存在型，解答此类问题的一般策略是：
（1）先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提进行运算或逻辑推理，若由此推
出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在；
（2）若推不出矛盾，能求得符合题意的数值或取值范围，则能得到肯定的结论，即得到存
在的结果．
五 数列的求和
求数列的前n项和，根据数列的不同特点，通常有以下几种方法：
（1）公式法，即直接利用等差数列、等比数列的求和公式求解；
（2）倒序相加法，即如果一个数列的前n项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相
等，则可使用倒序相加法求数列的前n项和.
（3）裂项相消法，即将数列的通项拆成结构相同的两式之差，然后消去相同的项求和.使
用此方法时必须注意消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点.
常见的裂项方法有：
（4）错位相减法，若数列 是等差数列， 是等比数列，且公比为 ，求
的前 项和时，常用错位相减法求和.基本步骤是：列出和式，两边同乘以公比，
两式相减并求和. 在写出 与 的表达式时，要将两式“错项对齐”，便于准确写出
的表达式.
在运用错位相减法求和时需注意：
①合理选取乘数（或乘式）；
②对公比 的讨论；
③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律；
④相消项中构成数列的项数.
（5）分组求和法，如果一个数列可写成 的形式，而数列 ， 是等差数
列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.【考点研习一点通】
考点一 等差、等比数列的综合应用
1.已知等差数列 中， .
（1）设 ，求证：数列 是等比数列；
（2）求 的前 项和.
考点二 数列与函数、不等式等的综合应用
2.已知函数 的图象过点 ，且点 在函数 的
图象上，又 为等比数列， .
（1）求数列 及 的通项公式；
（2）若 ，数列 的前 项和为 ，求证： .考点三 等差、等比数列的实际应用
3.某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费12万美元,以
后每年比上一年增加4万美元,每年销售蔬菜收入50万美元,设f(n)表示前n年的纯利润
(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额).
（1）从第几年开始获得纯利润?
（2）若五年后,该台商为开发新项目,决定出售该厂,现有两种方案：①年平均利润最大时,以
48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时,以16万美元出售该厂.问哪种方案较合算?
考点四 数列中的探索性问题
4.已知数列 满足 ， ，且对任意 ， 都有
．
（1）求 ， ；
（2）设 )．
①求数列 的通项公式；②设数列 的前 项和为 ，是否存在正整数 ， ，且 ，使得 ， ，
成等比数列？若存在，求出 ， 的值，若不存在，请说明理由．
考点五 数列的求和
5.已知数列 是公差不为0的等差数列， ，且 ， ， 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【考点易错】
1.已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式.(2)若数列 满足： ，求数列 的通项公式;
(3)令 ，求数列 的前 项和 .
2. 已 知 数 列 和 满 足 ： ， ，
其中 为实数，n为正整数.
（Ⅰ）对任意实数 ，证明数列 不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论；
3.已知{a}是公比为q的等比数列，且a，a，a 成等差数列.
n 1 3 2
(Ⅰ)求q的值；
(Ⅱ)设{b}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S ，当n≥2时，比较S 与
n n nb 的大小，并说明理由.
n
4.设数列 的前 项和为 ．已知 ， ， ．
（Ⅰ）设 ，求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 ， ，求 的取值范围．
【巩固提升】
1.已知数列 ， 均为递增数列， 的前 项和为 ， 的前 项和为 .且
满足 ， ，则下列说法正确的有( )
A． B． C． D．
2.设数列 是等比数列，且 ， ，则数列 的前15项和为
__________．
3.设 是等差数列， 是等比数列．已知 ．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 其中 ．（i）求数列 的通项公式；
（ii）求 ．
4.已知等差数列 的公差 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若等比数列 满足 ， ，求数列 的前 项的和 .
5.设数列 的前n项和为 ， ， ， ，记
.
（1）求证： 为等差数列，并求 ；
（2）若 ，记数列 的前n项和为 ，求 .
6.在等差数列 中， ， .（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 .
7.已知数列{a}和{b}满足a=1，b=0， ， .
n n 1 1
（I）证明：{a+b}是等比数列，{a–b}是等差数列；
n n n n
（II）求{a}和{b}的通项公式.
n n
8.已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前 项和 ．
9.已知等比数列 的公比 ，且 ， 是 ， 的等差中项.（1）求数列 的通项公式；
（2）证明： ，设 的前 项的和为 ，求证： .
10.已知 为等差数列， 为等比数列，
．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
11.已知数列{a}，{b}，{c}满足
n n n
．
（Ⅰ）若{b}为等比数列，公比 ，且 ，求q的值及数列{a}的通项公式；
n n
（Ⅱ）若{b}为等差数列，公差 ，证明： ．
n12.已知两个数列 ， ，其中数列 是公差为 的等差数列，点 在函数
的图象上 ，若 ，则点 在函数 的图象上.
（1）求数列 和 的通项公式 ， ；
（2）求数列 的前 项和 .
13.已知数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式 及 ；
（2）求数列 的前 项和．
14.已知等差数列 的前n项和 ， ， ， ，数列 的前n项和
， ．
（1）证明： 是等比数列，并求 ；
（2）求数列 的前n项和．15.已知等差数列 中， ，公差大于0，且 是 与 的等比中项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和 ．
