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专题 09 函数模型的应用
目录
题型一： 函数图像信息...................................................................................................................3
题型二： 应用函数模型解决实际问题..........................................................................................8
知识点总结
知识点一、六种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f (x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型 f (x)＝blog x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
a
幂函数模型 f (x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
“对勾”函数模型
y＝x＋ (a为常数，a>0)
知识点二、三种函数模型性质比较
y＝ax y＝log x y＝xn
a
(a>1) (a>1) (n>0)
在(0，＋∞) 增函数 增函数 增函数上的单调性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随x值增大，图象与 随x值增大，图象与
图象的变化 随n值变化而不同
y 轴 接近平行 x 轴 接近平行
3.用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程
【常用结论与知识拓展】
1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”是先慢后快，其增长量成
倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”是先快后慢，其增长速度缓慢．
2．函数f (x)＝x＋ (a>0)的性质及最值：
(1)该函数在(－∞，－ )和( ，＋∞)上单调递增，在[－ ，0)和(0， ]上单调递
减．
(2)当x>0时，x＝ 时取最小值2 ，
当x<0时，x＝－ 时取最大值－2 .
例题精讲题型一：函数图像信息
【要点讲解】(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模
型选图象;
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从
中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.
【例1】血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，当血药浓度介于最低有效浓度和最低
中毒浓度之间时药物发挥作用．某种药物服用 1单位后，体内血药浓度变化情况如图所示
（服用药物时间对应 时），则下列说法中不正确的是
A．首次服药1单位后30分钟时，药物已经在发挥疗效
B．若每次服药1单位，首次服药1小时药物浓度达到峰值
C．若首次服药1单位，3小时后再次服药1单位，一定不会发生药物中毒
D．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
【解答】解：由图象知，当服药半小时后，血药浓度大于最低有效浓度，故药物已发挥疗
效，故 正确；
由图象可知，首次服药1小时药物浓度达到峰值，故 正确；
首次服药1单位，3小时后再次服药1单位，经过1小时后，血药浓度超过 ，
会发生药物中毒，故 错误；
服用该药物5.5小时后血药浓度达到最低有效浓度，再次服药可使血药浓度超过最低有效
浓度且不超过最低中毒浓度，药物持续发挥治疗作用，故 正确．
故选： ．
【变式训练1】在声学中，音量被定义为： ，其中 是音量（单位为 ，是基准声压为 ， 是实际声音压强．人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值．
经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如图所示，其中
对应的听觉下限阈值为 ， 对应的听觉下限阈值为 ，则下列结论正确的是
A．音量同为 的声音， 的低频比 的高频更容易被人们听
到
B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小
C． 的听觉下限阈值的实际声压为
D． 的听觉下限阈值的实际声压为 的听觉下限阈值实际声压的10倍
【解答】解：对于 ， 的低频对应图像的听觉下限阈值高于 ，
的高频对应的听觉下限阈值低于 ，所以对比高频更容易被听到，故
错误；
对于 ，从图像上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故 错误；
对于 ， 对应的听觉下限阈值为 ，
令 ，此时 ，故 错误；
对于 ， 的听觉下限阈值为 ，令 ，此时 ，所以 的听觉下限阈值的实际声压为 的听觉
下限阈值实际声压的10倍，故 正确．
故选： ．
【变式训练2】为了预防某种病毒，某学校需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出
于对学生身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过 0.25毫克 立方米
时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度 （毫克 立方米）
与时间 （分钟）之间的函数关系为 为常数），函数图象如图所示．如
果早上 就有学生可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是
A． B． C． D．
【解答】解：根据函数的图象，可得函数的图象过点 ，
代入函数的解析式，可得 ，解得 ，所以 ，
令 ，可得 或 ，
解得 或 ，
所以如果商场规定 顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是 ，
故选： ．【变式训练3】某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平
面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位： ．24 降雨量的等级划分如下：
等级
降雨量（精确到
小雨
中雨
大雨
暴雨
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为 ，高为 的圆锥形雨量器．
若一次降雨过程中，该雨量器收集的 的雨水高度是 如图所示），则这 降
雨量的等级是
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
【解答】解：圆锥的体积为 ，
因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，
所以圆锥内积水部分的半径为 ，
将 ， 代入公式可得 ，
图上定义的是平地上积水的厚度，即平地上积水的高，
平底上积水的体积为 ，且对于这一块平地的面积，即为圆锥底面圆的面积，所以 ，
则平地上积水的厚度 ，
因为 ，
由题意可知，这一天的雨水属于中雨．
故选： ．
【变式训练4】某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药
后每毫升血液中的含药量 （微克）与时间 （小时）之间近似满足如图所示的曲线．
（1）写出服药后 与 之间的函数关系式 ；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效．求服药一
次治疗疾病有效的时间？
【解答】解：（1）由题意，当 时，函数图象是一个线段，由于过原点与点 ，
故其解析式为 ， ；
当 时，函数的解析式为 ，
此时 在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得 ，解得
故函数的解析式为 ， ．
所以 ．（2）由题意，令 ，即 ，
解得 ，
．
服药一次治疗疾病有效的时间为 小时．
题型二：应用函数模型解决实际问题
【要点讲解】(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数;
(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数;
(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.
【例2】某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年
投入的研发资金比年增加 ，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是
（参考数据： ， ， ， ．
A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年
【解答】解：设从2021年后，第 年该公司全年投入的研发资金为 万元，
则 ，
由题意可得， ，即 ，
故 ，则 ，
故该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是2029年．
故选： ．
【变式训练1】近年来，天然气表观消费量从 2006年的不到 激增到2021年的．从2000年开始统计，记 表示从2000年开始的第几年， ， ．经
计算机拟合后发现，天然气表观消费量随时间的变化情况符合 ，其中 是从
2000年后第 年天然气消费量， 是2000年的天然气消费量， 是过去20年的年复合增
长率．已知2009年的天然气消费量为 ，2018年的天然气消费量为 ，
根据拟合的模型，可以预测2024年的天然气消费量约为
（参考数据： ，
A． B． C． D．
【解答】解：2009 年的天然气消费量为 ，2018 年的天然气消费量为
，
则 ， ，两式相除可得 ，
又因为 ．
故选： ．
【变式训练2】专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计
时间 （单位：天）与病情爆发系数 之间，满足函数模型： ，当
时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时 约为 （参考数据：
A．38 B．40 C．45 D．47
【解答】解：由题意， ，即 ，
得 ，而 ，
又 ， ，即 ，
得 ，即 ．
故选： ．
【变式训练3】双碳，即碳达峰与碳中和的简称 年9月中国明确提出2030年实现“碳
达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，
到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过 ，新型动力电池随之也迎来
了蓬勃发展的机遇． 于1898年提出蓄电池的容量 （单位： ，放电时间
（单位： 与放电电流 （单位： 之间关系的经验公式： ，其中 为
常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流 时，放电时间 ，则当
放电电流 时，放电时间为
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意可得 ，
则当 时， ，
所以 ，
即当放电电流 时，放电时间为 ，
故选： ．
【变式训练4】为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某
造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐
减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为 ，首次改良工艺后排放
的废水中含有的污染物数量为 ，第 次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量 满足函数模型 ，其中 为改良工艺前所排放的废水
中含有的污染物数量， 为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量， 为改良
工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过 时符合废水排放标准，若该企
业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要 （参考数据： ，
A．14次 B．15次 C．16次 D．17次
【解答】解：依题意， ， ，当 时， ，即
，可得 ，
于是 ，由 ，得 ，即 ，
则 ，又 ，因此 ，
所以若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次．
故选： ．
【变式训练5】基本再生数 与世代间隔 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数
指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎
疫情初始阶段，可以用指数模型： 描述累计感染病例数 随时间 （单位：天）
的变化规律，指数增长率 与 ， 近似满足 ．有学者基于已有数据估计出
， ．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为
A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天
【解答】解：把 ， 代入 ，可得 ， ，
当 时， ，则 ，
两边取对数得 ，解得 ．
故选： ．
【例3】甲、乙两地相距1004千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米 小
时，已知汽车每小时的运输成本（以1元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分
与速度 （千米 小时）的立方成正比，比例系数为2，固定部分为 元 ．
（1）把全部运输成本 元表示为速度 （千米 小时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
【解答】解：（1）由题意得每小时运输成本为 ，全程行驶时间为 小时，
， ， ；
（2）因为 ，
当 ，即 时， ．
【变式训练1】为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水
青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每
枚该纪念章的市场价 （单位：元）与上市时间 （单位：天）的数据如表：
2 6 20
上市时间 （天
102 78 120
市场价 （元
（1）根据如表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价 与上
市时间 的变化关系并说明理由；① ，② ，③， ， ，④ ；
（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；
（3）利用你选取的函数，若存在 ，使得不等式 成立，求实数 的
取值范围．
【解答】（1）由题目表格数据可知，随着时间 的增大， 的值先减小后增大，而①
，③ ， ， ，④ 显然都是单调函
数，不满足题意，故选择② ；
（2）把 ， ， 代入 ，
，解得 ，
，
二次函数的图象开口向上，
当 时， 有最小值，且 ，
故纪念章市场价最低时的上市10天，市场价最低，最低市场价为70元；
（3）由（2）得 ，令 ，
存在 ，使得不等式 成立，转化为存在 ， 成立，
即 ，
，当且仅当 ，即 ，
等号成立，当 时， ，
，
故实数 的取值范围为 ， ．
【变式训练2】设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本 （单位：万
元）与生产量 （单位：百件）间的函数关系是 ；销售收入 （单位：
万元）与生产量 间的函数关系是 ．
（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量 的函数；
（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？
【解答】解： 由题意，利润 ．
由（1），当 时， ，
所以 ，令 ，则 或 （舍
，
故 ， ，即 递增； ， ，即 递减；
所以 的极大值也是最大值为 （万元）；
当 时， 递减，此时最大值为 （万元）．
综上，使商品的利润最大，产量为90百件．
【变式训练3】某城市响应国家号召，积极调整能源结构，推出多种价位的新能源电动汽车．
根据前期市场调研，有购买新能源车需求的约有2万人，他们的选择意向统计如下：
车型
价格 9万元 12万元 18万元 24万元 30万元 40万元占比
（1）如果有购车需求的这些人今年都购买了新能源车，今年新能源车的销售额预计约为多
少亿元？
（2）车企推出两种付款方式：
全款购车：购车时一次性付款可优惠车价的 ；
分期付款：无价格优惠，购车时先付车价的一半，余下的每半年付一次，分 4次付完，每
次付车价的 ．
①某位顾客现有 万元现金，欲购买价值 万元的某款车，付款后剩余的资金全部用于购
买半年期的理财产品（该理财产品半年期到期收益率为 ，到期后，可用资金（含理
财收益）继续购买半年期的理财产品，问：顾客选择哪一种付款方式收益更多？（计算结
果精确到
②为了激励购买理财产品，银行对采用分期付款方式的顾客，赠送价值 1888元的大礼包，
试问：这一措施对哪些车型有效？（计算结果精确到
【解答】解：（1）销售一辆车的价格的数学期望 为：
，
（万元） （亿
所以，今年新能源车的销售额预计约为43.3亿元；
（2）①全款购车两年后资产总额为： （万元），
分 期 付 款 购 车 两 年 后 资 产 总 额 为
（万元），
因为 ，所以顾客选择全款购车方式收益更多；
②由①得： ，所以 ，
故这一措施对购买 ， ， 车型有效．【变式训练4】某超市采购了一批袋装的进口牛肉干进行销售，共1000袋，每袋成本为30
元，销售价格为50元，经过科学测定，每袋牛肉干变质的概率为 ，且各袋牛
肉干是否变质相互独立．依据消费者权益保护法的规定：超市出售变质食品的，消费者可
以要求超市退一赔三．为了保护消费者权益，针对购买到变质牛肉干的消费者，超市除退
货外，并对每袋牛肉干以销售价格的三倍现金赔付，且把变质牛肉干做废物处理，不再进
行销售．
（1）若销售完这批牛肉干后得到的利润为 ，且 ，求 的取值范围；
（2）已知 ，若超市聘请兼职员工来检查这批牛肉干是否变质，超市需要支付兼职
员工工资5000元，这样检查到的变质牛肉干直接当废物处理，就不会流入到消费者手中．
请以超市获取的利润为决策依据，判断超市是否需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否
变质？
【解答】解：（1）令 表示1000袋牛肉干中变质牛肉干的数量，
由题意有 ，则 ，
故 ，
由 ，有 ，解得： ，
故当 时， 的取值范围为 ．
（2）对这批牛肉干来说，变质牛肉干不管数量有多少，未变质牛肉干的销售后产生的利润
与变质牛肉干作废物处理后产生的费用是不变的，
是否聘请兼职员工来检查这批牛肉干是否，产生的费用是工资和给消费者赔付的费用，
当 时，由（1）知， ，
设需要赔付给消费者的费用为 元，
有 ，由 ，
以超市获取的利润为决策依据，故超市需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质．
【变式训练5】流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病．了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预
防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究．
经过2分钟菌落的覆盖面积为 ，经过3分钟覆盖面积为 ，后期其蔓延速度越
来越快；菌落的覆盖面积 （单位： 与经过时间 （单位： 的关系现有三个函
数模型：① ，② ，③ 可供选择．（参
考数据： ，
（1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；
（2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过 ？（结果
保留到整数）
【解答】解：（1）因为 的增长速度越来越快，
和 的增长速度越来越慢，
所以应选函数模型 ．
由题意得 ，解得 ，
所以该函数模型为 ；
（2）由题意得 ，即 ，
所以 ，
又 ，所以至少经过 培养基中菌落的覆盖面积能超过 ．
【变式训练6】某市近郊有一块大约 的接近正方形的荒地，地方政府准备在此
建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为 3000平方米，
其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场
地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为 平方米．
（1）分别用 表示 和 的函数关系式，并给出定义域；
（2）怎样设计能使 取得最大值，并求出最大值．
【解答】解：（1）由已知 ， ，其定义域是 ．
，
， ，
，其定义域是 ．
（2） ，
当且仅当 ，即 时，上述不等式等号成立，
此时， ， ， ．
答：设计 ， 时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．课后练习
一．选择题（共6小题）
1．中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把沏茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等
习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征．其中沏
茶、饮茶对水温也有一定的要求．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是 ，
空气的温度是 ，经过 分钟后物体的温度为 ，满足公式 ．现
有一壶水温为 的热水用来沏茶，由经验可知茶温为 时口感最佳，若空气的温
度为 ，那从沏茶开始，大约需要 分钟饮用口感最佳（参考数据： ，
A．2.57 B．2.77 C．2.89 D．3.26
【解答】解：由题意可得， ，
，
，
，
即大约需要2.77分钟饮用口感最佳．
故选： ．
2．某种货物的进价下降了 ，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率
由原来的 增加到 ，则 的值等于
A．8 B．15 C．25 D．20【解答】解：设原来的进货价为 元，则进价下降前的销售价为 ，
进价下降后的销售价为 ，
于是 ，解得 ，
所以 的值等于8．
故选： ．
3．基本再生数 与世代间隔 是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染
者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶
段，可以用指数模型： （其中 是自然对数的底数）描述累计感染
病例数 随时间 （单位：天）的变化规律，指数增长率 与 ， 近似满足 ．
有学者基于已有数据估计出 ， ，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感
染病例数增加1倍需要的时间约为（参考数据： ，
A．2.1天 B．2.4天 C．2.9天 D．1.8天
【解答】解：把 ， 代入 ，可得 ，
所以 ，
当 时， ，则 ，
，即 ，
．
故选： ．
4．为了节约水资源，某地区对居民用水实行“阶梯水价”制度：将居民家庭全年用水量划
分为三档，水价分档递增，其标准如下：
阶梯 家庭全年用水量 水价 其中（立方米） （元 立方米）
水费 污水处理费
（元 立方米） （元 立方米）
第一阶梯 2.9 2.4 0.5
（含
第二阶梯 5.1 4.6
（含
第三阶梯 260以上 7.4 6.9
如该地区某户家庭全年用水量为300立方米，则其应缴纳的全年综合水费（包括水费、污
水处理费）合计为 元．若该地区某户家
庭缴纳的全年综合水费合计为777元，则该户家庭全年用水量为
A．170立方米 B．200立方米 C．230立方米 D．250立方米
【解答】解：若该户家庭全年用水量为 ，
则应缴纳 元 元，
所以该户家庭的全年用水量少于260立方米，
设用水量为 立方米，
则应缴纳 ，解得 立方米，
故选： ．
5．某中学坚持“五育”并举，全面推进素质教育．为了更好的增强学生们的身体素质，校
长带领同学们一起做俯卧撑锻炼．锻炼是否达到中等强度运动，简单测量方法为 ，
其中 为运动后心率（单位：次 分）与正常时心率的比值， 为每个个体的体质健康系数．
若 介于 ， 之间，则达到了中等强度运动；若低于 28，则运动不足；若高于
34，则运动过量．已知某同学正常时心率为80，体质健康系数 ，经过俯卧撑后心率
（单位：次 分）满足 ， 为俯卧撑个数．已知俯卧撑每组12个，若该同学要达到中等强度运动，则较合适的俯卧撑组数为 为自然对数的底数，
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：由题意，设俯卧撑组数为 组，则 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，且 ，所以 ．
故选： ．
6．某游戏在刚发布时有100名玩家，发布5天后有1000名玩家．加果玩家人数 与天
数之间满足关系式： ，其中 为常数， 是刚发布时的玩家人数，则玩家超过
30000名至少经过的天数为 （参考数据：
A．11 B．12 C．13 D．14
【解答】解：由题意得 ，故 ，
又 ，即 ，
至少经过的天数为13．
故选： ．
二．多选题（共2小题）
7．面对新冠肺炎疫情冲击，我国各地区各部门统筹疫情防控和经济社会发展均取得显著成
效．如表显示的是2020年4月份到12月份中国社会消费品零售总额数据，其中同比增长
率是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率是指与上个月份相比较的增长率，则下列说法正确的是
中国社会消费品零售总额
月份 零售总额（亿 同比增长 环比增长 累计（亿元）
元）
4 28178 106758
5 31973 138730
6 33526 172256
7 32203 204459
8 33571 238029
9 35295 273324
10 38576 311901
11 39514 351415
12 40566 391981
A．2020年4月份到12月份，社会消费品零售总额逐月上升
B．2020年4月份到12月份，11月份同比增长率最大
C．2020年4月份到12月份，5月份环比增长率最大
D．第4季度的月消费品零售总额相比第2季度的月消费品零售总额，方差更小
【解答】解：选项 月到7月为下降，故 错误；
由图表中的数据，可以直接判断出选项 、 、 均正确，
故选： ．
8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆
汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少
C．甲车以80千米 小时的速度行驶1小时，消耗8升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米 小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车省油
【解答】解：对于 ，消耗1升汽油，乙车最多可行驶距离大于5千米，故 错误；
对于 ，因为当速度相同时，甲的燃油效率最高，所以以相同速度行驶相同路程，三辆车
中，甲车消耗汽油最少，故 正确；
对于 ，甲车以80千米 小时的速度行驶1小时，此时的燃油效率是 ，一共开了
，所以消耗8升汽油，故 正确；
对于 ，当速度小于80千米 小时时，丙车的燃油效率比乙车高，所以相同条件下，在该
市用丙车比用乙车省油，故 正确．
故选： ．
三．填空题（共4小题）
9．始建于宋朝的江心屿江西东塔为温州的地标建筑，历史上为行驶瓯江上下的船只起到航
标作用，因此也成为世界历史名胜灯塔百强之一，世界航标遗产之一．现某学校开展研究
性活动测量东塔高度，如图所示，选取了与塔底 同一水平内的两个基测点 与 （人的
身高不计），塔底 在基测点 南偏西 方向上，且测得东塔塔顶 的仰角为 ，他
沿南偏东 方向前进28到点 处，测得东塔塔顶 的仰角为 ，则塔高约为 28
．
【解答】解：设塔高为 ，
依题意 ， ，
所以 ，
所以 ，
又 ， ，在 中由余弦定理可知： ，
即 ，
即 ，
解得 或 （舍去）；
故答案为：28．
10．当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组
织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这
个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一
般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死
亡生物组织内的碳14至少经过了 1 0 个“半衰期”．【提示： 】
666666666666
【解答】解：设生物组织内原有的碳14含量为 ，需要经过 个“半衰期”才不能被测到
碳14，
则 ，即 ，
由参考数据可知， ， ，
，
故答案为：10．
11．若某政府增加环境治理费用 亿元，每个受惠的居民会将 的额外收入用于国内消
费，经过10轮影响之后，最后的国内消费总额为400亿元，则 20 0 （最初政府支出
也算是国内消费，结果精确到1， ．
【解答】解：由题意可知，
解得 ．
故答案为：200．
12．一种食品的保鲜时间 与储藏温度 满足函数关系式 ， ，为常数），该食品在 时的保鲜时间是 ，在 时的保鲜时间是 ，则在
时的保鲜时间是 4 8 ．
【解答】解： 该食品在 时的保鲜时间是 ，在 时的保鲜时间是 ，
，即 ，
在 时的保鲜时间是 ．
故答案为：48．
四．解答题（共3小题）
13．《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．
假设霍尔顿在一块四边形 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将
连接，经测量 ， ．
（1）霍尔顿发现无论 多长， 为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并
求出这个定值；
（2）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记 与 的面积分别为
和 ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求 的最大值．
【解答】解：（1）在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，则 ， ；
（2） ，
则 ，
由（1）知： ，代入上式得：
，
配方得： ，
当 时， 取到最大值 ．
14．百年以来，从伟大斗争中提炼伟大精神并引领新的伟大斗争，是我们党的优良传统．
这场史无前例、举世瞩目的脱贫攻坚伟大斗争，不仅取得了近1亿人脱贫的伟大物质成就，
也铸就了激励14亿人继续乘风破浪前进的伟大精神成果．习近平总书记在全国脱贫攻坚总
结表彰大会上总结了“上下同心、尽锐出战、精准务实、开拓创新、攻坚克难、不负人
民”的脱贫攻坚精神．在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困
户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款 10万元给该农户养羊，每万
元可创造利润0.15万元若进行技术指导，养羊的投资减少了 万元，且每万元创造
的利润变为原来的 倍．现将养羊少投资的 万元全部投资网店，进行农产品销售，
则每万元创造的利润为 万元，其中 ．
（1）若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求 的取值范围；
（2）若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求 的最大值．
【解答】解：（1）由题意，得 ，解得 ，
故 ， ．
（2）由题意知网店销售的利润为 万元，
技术指导后，养羊的利润为 万元，
则 恒成立，
又 ， 恒成立，
又 ，当且仅当 时等号成立， ，
，即 的最大值为6.5．
15．已知某种圆柱形饮料罐的容积 为定值，设底面半径为 ．
（1）试把饮料罐的表面积 表示为 的函数；
（2）求 为多少时饮料罐的用料最省？
【解答】解：（1）设圆柱形饮料罐的高为 ，则 ，则 ，
饮料罐的表面积 ， ；
（2）由（1）得 ， ，则 ，
由 得 ，由 得 ，由 得 ，
函数 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
当 时， 取得极小值也是最小值，
故 为 时饮料罐的用料最省．
