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解密 04 讲：函数及其性质
【练基础】
一、单选题
1．（2018·全国·高三课时练习（文））已知集合 ， ，若 ，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由已知得 ，由 ，则 ，又 ，所以 .故选A.
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 ，知 ，解得
令 ，则 .，即为 和 两函数图象有交点，作
出函数图象，如图所示：
由图可知，当直线和半圆相切时 最小，当直线过点A(4,0)时， 最大.
当直线和半圆相切时， ，解得 ，由图可知 .
当直线过点A(4,0)时， ，解得 .所以 ，即 .
故选A.
3．（2020·全国·高三课时练习（理））已知 是定义在R上的奇函数，当 时 (m为常数)，则
的值为( )
A．4 B．6 C． D．
【答案】C
【分析】先由函数在R上是奇函数求出参数m的值，求函数函数的解板式，再由奇函数的性质得到f（﹣log 5）=
3
﹣f（log 5）代入解析式即可求得所求的函数值.
3
【详解】由题意，f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），
∴f（0）=30+m=0，解得m=﹣1，故有x≥0时f（x）=3x﹣1
∴f（﹣log 5）=﹣f（log 5）=﹣（ ）=﹣4
3 3
故选C．
【点睛】本题考查函数奇偶性质，解题的关键是利用f（0）=0求出参数m的值，再利用性质转化求值，本题考查
了转化的思想，方程的思想．
4．（2021·全国·高三专题练习（理））设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时，
，若对任意 ，都有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分别求得 时， 时， 时，对应函数 的值域，根据二次函数图像及性质可知
时，令 ，可解得 的最大值.
【详解】 ,
,
当 时， 在 上递减，在 上递增，值域为 ，当 时， ， ，值域为 ，
当 时， ， ，值域为 ，
当 时， ， 在 上递减，在 上递增，且当 时，
，
令 ，
解得 ，
即当 时， ，当 时， ，
所以当 时，对任意 都有 ，
即 的取值范围是 ，
故选：C
【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用问题，二次函数的图象与性质，也考查了运算与求解能力，以及分类
讨论的解题思想，属于中档题.
2 x，0 x1
fx
1
5．（2019·天津·高考真题（文））已知函数 ，x＞1 ，若关于 的方程 恰有
x
两个互异的实数解，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出 图象及直线 ，借助图象分析．
【详解】如图，当直线 位于 点及其上方且位于 点及其下方，
或者直线 与曲线 相切在第一象限时符合要求．
即 ，即 ，或者 ，得 ， ，即 ，得 ，
所以 的取值范围是 ．
故选D．
【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法．
6．（2022·四川省仁寿县文宫中学高三开学考试（理））若函数 在R上单调递增，
则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由分段函数单调递增的特性结合单调增函数的图象特征列出不等式组求解即得.
【详解】因函数 在R上单调递增，
则有 在 上递增， 在 上也递增，
根据增函数图象特征知，点 不能在点 上方，
于是得 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 .
故选：A7．（2019·全国·高考真题（理））函数 在 的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由 的近似值即可得出结果．
【详解】设 ，则 ，所以 是奇函数，图象关于原点成中心
对称，排除选项C．又 排除选项D； ，排除选项A，故选B．
【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了
基础知识、基本计算能力的考查．
8．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））已知定义域为 的函数 满足 ，且
，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 是奇函数 D．
【答案】B
【分析】推导出 可判断A选项的正误；推导出 可判断B选项的正误；分析得出 可判断C选项的正误；推导出 可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，因为 ，且 ，
则 ，即 ，A错；
对于B选项，因为 ，则 ，
因为 ，则 ，
即 ，即 ，
故函数 的图象关于点 对称，B对；
对于C选项，因为 ，故函数 是偶函数，C错；
对于D选项，因为 ，则 ，即 ，D错.
故选：B.
二、多选题
9．（2022·全国·高三专题练习）已知偶函数 满足： ，且当0≤x≤2时， ，则下列
说法正确的是（ ）
A．－2≤x≤0时，
B．点（1，0）是f(x)图象的一个对称中心
C．f(x)在区间[－10，10]上有10个零点
D．对任意 ，都有
【答案】AC
【分析】由偶函数的定义得解析式，判断A，由 上的解析式判断B，已知条件得 是一条对称轴，这样函
数 是周期函数，周期为4，利用周期性可判断零点个数，判断C，由最值判断D．【详解】因为 是偶函数，所以 时， ，A正确；
在 上， 不关于 对称，因此 不是 的一个对称中心，B错；
由 得 ，因此在 上， 有两个零点，
又 ，所以 是函数图象的一条对称轴，
，所以 是周期函数，周期为4，因此 在
上各有2个零点，在 上共有10个零点，C正确；
由周期性知 ， ， ，D错．
故选：AC．
【点睛】思路点睛：本题考查函数的奇偶性、对称性与周期性，解题关键是由两个对称性得出函数具有周期性，
因此只要在一个周期内确定函数的零点，从而可得函数的性质可得整个定义域上函数的性质．
10．（2021·福建· 宁化滨江实验中学高三期中）下列函数中是偶函数，且在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】利用函数的奇偶性的定义判断奇偶性，根据函数解析式判断单调性.
【详解】A，因为 ， 是偶函数，在区间 上为增函数，符合题意；
B，因为 ， 是奇函数，且在区间 上为减函数，不符合题意；
C，因为 ， 是偶函数，当 时， 单调递减，不
符合题意；
D，因为 ， 是偶函数，且在区间 上为增函数，符合题意.
故选：AD11．（2022·全国·高三专题练习）已知 是定义在R上的偶函数，且对任意 ，有 ，当
时， ，则（ ）
A． 是以2为周期的周期函数
B．点 是函数 的一个对称中心
C．
D．函数 有3个零点
【答案】BD
【分析】首先根据函数的对称性求出 的周期和对称中心，然后求得 .利用图象法即可判断
D.
【详解】依题意， 为偶函数，
且 ，有 ，即 关于 对称，
则
，
所以 是周期为4的周期函数，故A错误；
因为 的周期为4， 关于 对称，
所以 是函数 的一个对称中心，故B正确；
因为 的周期为4，则 ， ，
所以 ，故C错误；
作函数 和 的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，
所以函数 有3个零点，故D正确.
故选：BD.
12．（2020·全国·模拟预测）设函数 是定义在 上的奇函数，满足 ，当 时，
，则下列说法正确的是（ ）
A．4是函数 的周期
B．当 时，
C．函数 的图象关于直线 对称
D．函数 的图象关于点 对称
【答案】ACD
【解析】选项A. 由 奇函数结合条件可得 ，可判断; 选项B. 当 时， ，
可判断; 选项C. 由条件可得 ，可判断; 选项D. 由条件可得
，即 ，从而可判断.
【详解】由函数 是定义在 上的奇函数及 可得 ，
所以4是函数 的周期，故A正确；当 时， ， ，
所以 ，故B错误；
由 及 为奇函数可得 ，
所以函数 的图象关于直线 对称，故C正确；
易知 ，由 可得 ，
所以 ，所以 ，
所以函数 的图象关于点 对称，故D正确．
故选：ACD
三、填空题
13．（2007·重庆·高考真题（理））若函数f(x) = 的定义域为R，则 的取值范围为_______.
【答案】
【详解】 恒成立， 恒成立，
14．（2021·广东·高州一中高三阶段练习）已知y=f(x)的图象关于坐标原点对称，且对任意的x∈R，f(x+2)=f(-x)恒
成立，当 时，f(x)=2x，则f(2021)=_____________.
【答案】
【分析】由已知条件推出函数 的周期，利用函数的周期和奇偶性求值即可．
【详解】y=f(x)的图象关于坐标原点对称，则
又 ，可得 ，即 的周期为故答案为：
15．（2021·全国·高三专题练习）已知f（x）是定义域为R的偶函数，且在区间（-∞，0]上单调递增，则不等式，
f（3x-1）＞f（2）的解集是________．
【答案】
【解析】根据函数的奇偶性，可知函数在 上递减，即可求解.
【详解】因为f（x）是定义域为R的偶函数，且在区间（-∞，0]上单调递增，
所以函数在 上递减，
因为f（3x-1）＞f（2），
所以
所以
即-2＜3x-1＜2，
解得 ．
故答案为：
16．（2022·全国·高三专题练习（文））若“ ，使得 成立”是假命题，则实数 的取值范
围为___________.
【答案】
【分析】转化为“ ，使得 成立”是真命题，利用不等式的基本性质分离参数，利用函数
的单调性求相应最值即可得到结论.
【详解】若“ ，使得 成立”是假命题，则“ ，使得 成立”是真
命题，分离 ，进而 .
【点睛】本题考查存在性命题的真假判定，涉及不等式的恒成立问题，函数的单调性和最值问题，转化为“，使得 成立”是真命题是关键步骤，分离参数法是本题的关键思想方法.
四、解答题
17．（2019·全国·高三专题练习（文））设 ，且 .
（1）求实数 的值及函数 的定义域；
（2）求函数 在区间 上的最小值.
【答案】(1) ; ;(2)1.
【分析】(1)代入可求出参数 的值，根据对数函数的真数大于零，求出函数的定义域；（2）先化简函数 的
解析式，再根据二次函数性质求最值.
【详解】（1）∵ ，∴ ，∴ .
由 得 ，
∴函数 的定义域为 .
（2） .
∴当 时， 是增函数；当 时， 是减函数，
故函数 在区间 上的最小值是 .
【点睛】研究二次函数最值，一般通过研究对称轴与定义区间位置关系得函数单调性，再根据单调性确定函数最
值取法.
18．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 定义在 上有 恒成立，且当 时，
.
（1）求 的值及函数 的解析式；（2）求函数 的值域.
【答案】（1） ， （2）
【分析】（1）利用奇函数的性质进行计算．
（2）利用换元法结合一元二次函数的性质求出当 时 的取值范围，再根据奇函数的性质，即可求出函数的值
域．
【详解】解：（1）因为函数 定义在 上有 恒成立
所以函数 为奇函数，又当 时，
所以 ．
当 时，则 ．所以 ，
因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ，即 ．
所以函数 的解析式为 ．
（2）令 ，当 时， ，
则当 时， 可写为 ，所以 ．
由 是定义在 上的奇函数，所以当 时 ．
即函数的值域为 ．
19．（2022·广东·小榄中学高三阶段练习）已知函数 是奇函数．
(1)求 的值；
(2)已知 ，求 的取值范围．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 求出参数值，再检验即可；
（2）先判断函数 的单调性，然后根据单调性列出不等式求解即可．
【详解】（1）函数 的定义域为 ，又因为 是奇函数，
则 ，解得 ；
经检验 ，故 成立；
（2）因为
对任意 ，有
所以 在 上单调递增
又 ，所以
解得
20．（2022·河南·濮阳南乐一高高三阶段练习（文））已知函数 是偶函数.当 时，
.
(1)求函数 在 上的解析式；
(2)若函数 在区间 上单调，求实数a的取值范围；
(3)已知 ，试讨论 的零点个数，并求对应的m的取值范围.
【答案】(1)
(2) 或
(3)答案见解析
【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可.（2）根据（1）做出 图像，数形结合.
（3）根据（1）做出 图像，数形结合.
【详解】（1）设 ，则
∴
∵ 为偶函数
∴
综上，有
（2）由（1）作出 的图像如图：
因为函数 在区间 上具有单调性，
由图可得 或 ，解得 或 ；
故实数 的取值范围是 或 .
（3）由（1）作出 的图像如图：由图像可知：
当 时， 有两个零点；
当 时， 有四个零点；
当 时， 有六个零点；
当 时， 有三个零点；
当 时， 没有零点.
21．（2022·陕西·汉中市龙岗学校高三阶段练习（文））设函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)若 的最大值为m，实数a，b满足 ，求 的最小值．
【答案】(1) ；(2)1
【分析】（1）将函数写成分段函数，再分类讨论，即可求出不等式的解集；
（2）首先得到 的函数图象，即可得到 ，则 ，在根据 的几何意义计算可得；
【详解】（1）解： ，
由 ，得 或 或 ，解得 ，
即不等式的解集为 ．
（2）解：由（1）可得 的函数图象如下所示：
所以 ，即 ，则 ，
的几何意义为圆 上的点 到点 距离的平方，
显然 ，所以 ，即 的最小值为 ．
22．（2022·福建省漳州市第八中学高三阶段练习）已知函数 是定义在 上的奇函数，且它的图象关于直线
对称.
(1)求证： 是周期为4的周期函数；
(2)若 ，求 时，函数 的解析式.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)由函数 的图象关于直线 对称，可得 ，即 ，又因为 是
奇函数，所以 ，从而得 ，即可得周期为4；(2)先求得 时， ，再结合周期为4，即求得 在 上的解析式.
【详解】（1）解：证明：由函数 的图象关于直线 对称，
有 ，即有 ，
又函数 是定义在 上的奇函数，有 ，
故 ，
从而 ，
即 是周期为 的周期函数；
（2）解：由函数 是定义在 上的奇函数，
有 ， 时， ， ，
故 时， ，
时， ， ，
从而， 时，函数 的解析式为
【提能力】
一、单选题
1．（2022·天津市建华中学高三阶段练习）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出 的定义域，再根据分母不为零和前者可求题设中函数的定义域.【详解】因为函数 的定义域为 ，故 ，
所以 的定义域为 ，
故函数 中的 需满足： ，
故 ，故函数 的定义域为 .
故选：C
2．（2017·河北定州中学高三阶段练习）若函数 的值域为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令 ，则 取遍 上的所有实数，就 结合对应函数的图象可得实数 的取
值范围.
【详解】由值域为 ，可知 取遍 上的所有实数，
当 时， 能取遍 上的所有实数，只需定义域满足 .
当 时，要保证 能取遍 上的所有实数，需 ，
解得 ，所以 ，
故选：D.
【点睛】本题考查函数的值域，要注意定义域是 、与值域是为 的两个题型的区别，值域为 ，可知
取遍 上的所有实数，而定义域是 ，是 恒成立．
3．（2022·湖北·南漳县第二中学高三阶段练习）已知函数 的值域为 ，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】求出函数 在 时值的集合， 函数 在 时值的集合，再由已知并借助集合
包含关系即可作答.
【详解】当 时， 在 上单调递增， ， ，则 在 上值的集
合是 ，
当 时， ， ，
当 时， ，当 时， ，即 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，则 在 上值的集合为 ，
因函数 的值域为 ，于是得 ，则 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D
4．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高三阶段练习）已知奇函数 ，且 在 上是增函数.若
， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 是奇函数，从而 是 上的偶函数，且在 上是增函数，
，
，又 ，则 ，所以即 ，
，
所以 ，故选C．
【考点】指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和
对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
5．（2022·天津市第四中学高三阶段练习）函数 的图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分析函数 的定义域、奇偶性、单调性及其在 上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数 的定义域为 ，
且 ，
函数 为奇函数，A选项错误；
又当 时， ，C选项错误；
当 时， 函数单调递增，故B选项错误；
故选：D.6．（2020·山西省新绛中学校高三阶段练习（文））已知定义在R上的函数 为偶函数,记
,则 ,的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 为偶函数得 ,所以 , ,所以
,故选B.
考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.
7．（2022·河北·安新县第二中学高三阶段练习）函数 对任意 ，都有 的图
形关于 对称，且 则 （ ）
A．-1 B．1 C．0 D．2
【答案】B
【分析】根据题意得到函数周期为12，函数为奇函数，据此得到 ，计算得到答案.
【详解】 函数周期为 ， ，
的图形关于 对称，故 关于 对称， .
故 .
故选：B.
8．（2021·四川·眉山市彭山区第一中学高三阶段练习（理））已知定义在R上的函数 满足 ，
且 为偶函数，若 在 内单调递减，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】由题意可判断函数f（x）的周期为6，对称轴为x＝3，所以有f（12.5）＝f（0.5），f（-4.5）＝f
（1.5），f（3.5）＝f（2.5），因为0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，且函数在（0，3）内单调递减，从而判断大小
【详解】∵函数 满足 ，∴ = ，
∴f（x）在R上是以6为周期的函数，∴f（12.5）＝f（12+0.5）＝f（0.5），
又 为偶函数，∴f（x）的对称轴为x＝3，∴f（3.5）＝f（2.5），
又∵0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，
且 在（0，3）内单调递减，∴f（2.5）＜f（1.5）＜f（0.5）
即f（3.5）＜f（-4.5）＜f（12.5）
故选B．
【点睛】本题主要考查了函数周期性与对称性的推导，考查了周期与单调性的综合运用，利用周期与对称把所要
比较的变量转化到同一单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，是解决此类问题的常用方法，属于中档
题．
二、多选题
9．（2022·山东·汶上圣泽中学高三阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若 的定义域为 ，则 的定义域为
B．函数 的值域为
C．函数 的值域为
D．函数 在 上的值域为
【答案】AC
【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利
用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.
【详解】对于A，因为 的定义域为 ，所以 ，解得 ，即 的定义域为 ，故A正确；
对于B， ，
所以 ，即函数 的值域为 ，故B不正确；
对于C，令 ，则 ， ，
所以 ， ，
所以当 时，该函数取得最大值，最大值为 ，
所以函数 的值域为 ，故C正确；
对于D， ，其图象的对称轴为直线 ，且 ， ，
所以函数 在 上的值域为 ，故D不正确．
故选：AC．
10．（2022·山东省泰安英雄山中学高三阶段练习）已知定义在R上的奇函数 对 都有 ，
则下列判断正确的是（ ）
A． 是周期函数且周期为4 B． 关于点 对称
C． 的图象关于直线 对称 D． 在 上至少有5个零点
【答案】ACD
【分析】ABC选项根据函数的奇偶性和对称性化简得出结论；D选项利用奇偶性得到 ，以及周期性和对
称性得出结论.
【详解】A选项：因为 ，
所以 ，所以函数 周期为4，故A项正确；B选项：因为 ，且 ，
所以 ，所以 的图象关于直线 对称，故B项错误；
C选项：因为 ，所以 ，
又因为 ，所以
所以 的图象关于直线 对称，故C项正确；
D选项：因为 为定义在R上的奇函数，
所以 ，因为 ，所以
因为 ，所以 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，故D项正确.
故选：ACD．
11．（2021·江苏·无锡市第六高级中学高三阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数
学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用
表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，例如： ， ．已知函数 ，
则关于函数 的叙述中正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 在 上是增函数 D． 的值域是
【答案】BC
【解析】计算 得出 判断选项A不正确；用函数的奇偶性定义，可证 是奇
函数，选项B正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出 在R上是增函数，判断选项C正确；由的范围，利用不等式的关系，可求出 ，选项D不正确，即可求得结果.
【详解】根据题意知， .
∵ ，
，
，
∴函数 既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
，
∴ 是奇函数，B正确；
在R上是增函数，由复合函数的单调性知 在R上是增函数，C正确；
， ， ，
， ，D错误.
故选：BC.
【点睛】关键点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函
数 ，然后才会对函数 变形，并作出判断.
12．（2022·江苏·南京市秦淮中学高三阶段练习）函数 对 恒成立，则
的取值可能是（ ）
A．0 B．2 C．1 D．3
【答案】BD
【分析】令 ，将不等式 变成 对任意 恒成立，分离常数可得
，令 ，求出 的单调性即可得出答案.
【详解】令 ，当 时， ，则 对任意 恒成立，等价于 对任意 恒成立，
所以 ，即 ，
令 在 上为减函数，在 上为增函数，
且 ，所以 在 的最大值为 ，
所以 ，因为函数 为增函数，
且当 时， ，所以 的取值范围为 .
故选：BD.
三、填空题
13．（2019·江苏·南通一中高三阶段练习）设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式
<0的解集为________.
【答案】(－1，0)∪(0，1)
【分析】首先根据奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，得到f(－1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数，
从而将不等式转化为 或 ，进而求得结果.
【详解】因为f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝0，
所以f(－1)＝－f(1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数.
因为 ＝2· <0，
即 或
解得x∈(－1，0)∪(0，1).
故答案为：(－1，0)∪(0，1).
【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有函数奇偶性与单调性的应用，属于简单题目.14．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））设函数 若 存在最小值，a
的取值范围___________.
【答案】
【分析】根据分段函数中的函数 的单调性进行分类讨论，可知， 符合条件， 不符合条件，
时函数 没有最小值，故 的最小值只能取 的最小值再求解即可.
【详解】若 时， ，∴ ；
若 时，当 时， 单调递增，当 时， ，故 没有最小值，不符合题目要求；
若 时，
当 时， 单调递减， ，
当 时，
∴ 或 ，
解得 ，
综上可得 ；
故答案为：
15．（2021·河北省博野中学高三阶段练习）已知函数 ， ，若对任意 ，存在
，满足 ，则实数 的取值范围为______．
【答案】
【分析】首先对 进行求导，利用导数研究函数 的最值问题，根据题意对任意 ，存在 ，使
，只要 的最小值大于等于 在指定区间上有解 .
【详解】由 ，得 ，当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴
在 上有解， 在 上有解，
函数 在 上单调增， ， .
故答案为:
【点睛】不等恒成立与能成立的等价转换:
任意 ，存在 ，使
任意 ，任意 ，使
存在 ，存在 ，使
16．（2014·安徽·高考真题（文））若函数 是周期为4的奇函数，且在 上的解析式为
，则 ___________
【答案】
【分析】通过函数的奇偶性以及函数的周期性，分析可得 ， ，由函数的解析式可得
与 的值，将其相加即可得答案．
【详解】根据题意，函数 是周期为4的奇函数，
则 ， ，
又由函数 在 ， 上的解析式为则 ， ，
则 ，
故答案为：
【点睛】方法点睛：对于周期函数求值，一般要利用周期先把函数的自变量转化到已知函数的定义域内，再求值.
四、解答题
17．（2021·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习（文）） .
（Ⅰ）解不等式： ；
（Ⅱ） 最大值为 ，不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【分析】（Ⅰ）根据绝对值的性质分段讨论求解不等式；
（Ⅱ）先根据绝对值的定义分段将函数写成分段函数的形式，求得其最大值m,进而利用分离常数，构造函数，利
用基本不等式可求相应最值，根据不等式恒成立的意义得到a的取值范围.
【详解】（Ⅰ）当 时, , , ;
当 时, , , ;
当 时, , , ;
原不等式解集为 ;
（Ⅱ） ， 增区间， 减区间， ;
等式 在 上恒成立，分离参数得到 ，,当 时取等号.
∴在 ， ,
.
【点睛】本题考查含绝对值的不等式的解法，含绝对值的函数的最值问题，不等式恒成立问题，涉及利用基本不
等式求最值.
18．（2022·河南·郑州励德双语学校高三阶段练习（文））设 是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒
有 ．当 时， ．
(1)求证： 是周期函数；
(2)计算： ．
【答案】(1)详见解析；
(2)1
【分析】（1）由 变形，利用周期函数的定义判断；
（2）根据 时， ，得到 ， ，再由 是以4为
周期的周期函数求解.
【详解】（1）
因为 ，
所以 ，
所以 是以4为周期的周期函数；
（2）
因为 时， ，
所以 ， ，又由（1）知： 是以4为周期的周期函数，
所以
，
所以
.
19．（2022·陕西·汉阴县汉阴中学高三阶段练习（理））已知 定义域为 ,对任意 , 都有
,当 时, , .
（1）求 ;
（2）试判断 在 上的单调性,并证明;
（3）解不等式: .
【答案】（1） （2） 在 上单调递减，证明见解析；（3）
【分析】（1）令 ，得 ，令 ，得 ，即可求解 的值；
（2）利用函数的单调性的定义，即可证得函数为 上单调递减函数，得到结论.
（3）令 ，得 ，进而化简得 ，再根据函数的单调性，得到不等式
，即可求解.
【详解】（1）由题意，令 ，得 ，解得
令 ，得 ，所以 .
（2）函数 在 上单调递减，证明如下：
任取 ，且 ，
可得，
因为 ，所以 ，所以
即 ，所以 在 上单调递减.
（3）令 ，得 ，∴
∴
∴ ，又 在 上的单调且
∴ ，∴ .
∴ ，即不等式解集为 .
【点睛】本题主要考查了抽象函数的求值问题，以及函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟练应用抽象函数
的赋值法求值，以及熟记函数的单调性的定义证明及应用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，
属于中档试题.
20．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知函数 ，其中 且 ．
(1)求 的定义域及其图象的对称轴方程；
(2)若 的最大值为2，求a的值．
【答案】(1)定义域为 ，对称轴为 ；
(2)2.
【分析】（1）直接根据真数部分大于零得定义域，通过证明 得对称轴；
（2）先求出真数部分的范围，进而可通过最值列式计算求a的值.c
【详解】（1）由题意得 ，解得 ，
故 的定义域为 ．又 ，
∴ 图象的对称轴方程为 ．
（2）由（1）知， ，
当 时， ，
∵函数 的最大值为2，
∴ 且 ，解得 ．
21．（2020·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知函数 （ ，且 ），且
.
（1）求 的值，并写出函数 的定义域；
（2）设函数 ，试判断 的奇偶性，并说明理由；
（3）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
0，
【答案】（1） ； ；（2）奇函数；答案见解析；（3） .
【解析】（1）解方程 即得函数的解析式和定义域；
（2）先求出函数 的定义域，再利用奇函数的定义判断函数的奇偶性；
（3）等价于 ，令 ，利用函数的单调性求函数的最小值即得解.
【详解】（1） ， ；
（2） ∴ ∴
∴ 为奇函数；（3） ∴ 是单调递增函数
∴ ∴ ∴
令 ， 时该函数为增函数，
∴ ∴
又∵ ∴ .
综上 .
【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法，考查函数的奇偶性的判定，考查不等式的恒成立问题和函数最值的
求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
22．（2023·上海·高三专题练习）已知函数 .（注：e=2.71828…是自然对数的底数）
(1)判断并证明f（x）的单调性和奇偶性；
(2)解不等式 .
【答案】(1)单调递增，奇函数，证明见解析；
(2) .
【分析】（1）利用奇偶性和单调性的定义判断和证明即可；
（2）根据 的单调性得到 ，然后利用换元法解不等式即可.
【详解】（1）设 ， 则 ，
因为 ，所以 ， ，即 ， ，
所以 在R上单调递增；定义域为R，关于原点对称， ，所以 为奇函数.
（2）原不等式可整理为 ，因为 在R上单调递增，所以不等式可整理为 ，即
，
令 ，则 ，整理得 ，解得 ，即 ， ，
所以不等式的解集为 .
