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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 16 讲 导数与函数的极值、最值（精讲）
①求函数的极值与极值点
②极值、极值点中的参数问题
③求函数的最值
④最值中的参数问题
一、必备知识整合
一、函数的极值
1.定义
函数 在点 附近有定义，如果对 附近的所有点都有 ，则称 是函数的一个极大
值，记作 ．如果对 附近的所有点都有 ，则称 是函数的一个极小值，记作
．极大值与极小值统称为极值，称 为极值点．
2.求可导函数 极值的一般步骤
（1）先确定函数 的定义域；
（2）求导数 ；
（3）求方程 的根；
（4）检验 在方程 的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那
么函数 在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数
在这个根处取得极小值.
注①可导函数 在点 处取得极值的充要条件是： 是导函数的变号零点，即 ，且在 左侧与右侧， 的符号导号.
② 是 为极值点的既不充分也不必要条件，如 ， ，但 不是极值点.另
外，极值点也可以是不可导的，如函数 ，在极小值点 是不可导的，于是有如下结论： 为
可导函数 的极值点 ；但 为 的极值点.
二、函数的最值
1.定义
函数 最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数 最小值为极小值与靠近极大值
的端点之间的最小者．
2.求可导函数 最值的一般步骤
一般地，设 是定义在 上的函数， 在 内有导数，求函数 在 上
的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求 在 内的极值（极大值或极小值）；
（2）将 的各极值与 和 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是
对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
（1）若函数 在区间D上存在最小值 和最大值 ，则
不等式 在区间D上恒成立 ；
不等式 在区间D上恒成立 ；
不等式 在区间D上恒成立 ；
不等式 在区间D上恒成立 ；
（2）若函数 在区间Ｄ上存在最小值 和最大值 ，即 ，则对不等式有
解问题有以下结论：不等式 在区间D上有解 ；
不等式 在区间D上有解 ；
不等式 在区间D上有解 ；
不等式 在区间D上有解 ；
（3）对于任意的 ，总存在 ，使得 ；
（4）对于任意的 ，总存在 ，使得 ；
（5）若存在 ，对于任意的 ，使得 ；
（6）若存在 ，对于任意的 ，使得 ；
（7）对于任意的 ， 使得 ；
（8）对于任意的 ， 使得 ；
（9）若存在 ，总存在 ，使得
（10）若存在 ，总存在 ，使得 ．
二、考点分类精讲
【题型一 求函数的极值与极值点】
利用导数研究函数极值问题的一般流程【典例1】（23-24高二下·四川达州·期中）已知函数 ， 的图象在
处的切线交 轴于点 .
(1)求实数 的值；
(2)求函数 的极值.
【答案】(1)6
(2) 的极大值为 ；极小值为
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，以及切点，然后写出切线方程，再将点代入可求 ；
（2）由（1）得到函数解析式，求极值步骤：①求导，②求导函数零点，③列表，④下结论即可求得极值.
【详解】（1） ，所以 ，即切线斜率为2，
又 ，所以切点坐标为
的图象在 处的切线方程为： ，
代入点 ，得 ；
（2）由（1）得 ，
，
令 ，得 或
当 变化时， 变化情况如下表：
2 3
0 0
单调递增 单调递减 单调递增
因此， 时， 取得极大值，极大值为 ；时， 取得极小值，极小值为 .
一、单选题
1．（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）函数 的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的单调性，即可求出函数的极大值.
【详解】函数 的定义域为 ，
又 ，
令 ，则 或 ，所以当 或 时 ，当 时 ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的极大值为 ．
故选：D．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）函数 的极小值点为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数判断单调性，进而可得极小值点.
【详解】因为 ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，故极小值点为2．
故选：A
3．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）函数 的导函数 的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． 在 处取得最大值
B． 在区间 上单调递减
C． 在 处取得极大值
D． 在区间 上有2个极大值点
【答案】C
【分析】根据导函数的符号确定函数的单调性，由此确定函数的极值.
【详解】由导函数的图象可知：
0 0 非负
递增 极大值 递减 极小值 递增
故选：C
4．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数 ，则函数 （ ）
A．既有极大值也有极小值 B．有极大值无极小值
C．有极小值无极大值 D．既无极大值也无极小值
【答案】B
【分析】求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的极值点，即可判断.
【详解】函数 的定义域为 ，
且 ，
当 时 ，当 时 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，无极小值.
故选：B
5．（23-24高二下·北京·期中）已知函数 ，则函数 的极小值点为（ ）
A． 或 B． C． D．
【答案】D
【分析】由原函数求导，判断函数 单调性，即可分析得出其极小值点.
【详解】由 求导得， ，因 ，由 可得 或 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增；
故 在 处取得极大值,在 处取得极小值.
即函数 的极小值点为 .
故选:D.
6．（2024·浙江·模拟预测）函数 的极小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二次导数研究 的单调性，并通过观察得其零点，进而判断 的单调性，然后可得极
小值.【详解】 ，
记 ，则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减.
所以，当 时， ，
因为 ，且当 时， ，
所以，当 时， ，即 ， 在 上单调递减；
当 时， ，即 ， 在 上单调递增.
所以，当 时， 取得极小值 .
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用二次导数研究导函数的单调性，需要结合变化趋势，并观察出导
函数零点，进而可知 的单调性，然后可解.
【题型二 极值、极值点中的参数问题】
根据函数的极值（点）求参数的两个要领
（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
（2）验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法
求解后必须验证根的合理性.
【典例1】（2024·辽宁·一模）已知函数 在 处有极值8，则 等于 ．
【答案】【分析】求导，即可由 且 求解 ，进而代入验证是否满足极值点即可．
【详解】
若函数 在 处有极值8，则 即
解得： 或 ，
当 时， ，此时 不是极值点，故舍去；
当 时， ，
当 或 时， ，当 ，故 是极值点，
故 符合题意，
故 ，
故 .
故答案为： .
【典例2】（23-24高二上·吉林长春·期末）若函数 存在极值点，则实数a的取值范
围为 ．
【答案】
【分析】求导，根据题意知方程 有两个不等的实根，可得出 ，从而得解.
【详解】因为 ，可得 ，
因为函数 存在极值点，所以 有两不等实根，
则 ，解得 或 ，
所以 的取值范围是 .故答案为： .
一、单选题
1．（2024·河北承德·二模）设 为实数，若函数 在 处取得极小值，则 （ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】求出函数的导数，根据极值点求出 的值，然后根据极值的概念检验即得．
【详解】由题可得 ，
令 ，解得； 或 ，
因为函数 在 处取得极小值，
所以 ，即 ，
当 时， ， 或 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，满足题意.
故选：B.
2．（23-24高二上·天津滨海新·期中）函数 在 处有极小值 ，则 的值等
于（ ）
A．0 B． C． D．6
【答案】A
【分析】对函数求导，利用 以及 解出 ，进而得出答案．
【详解】由题意得 ，因为 在 处有极小值 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
令 ，解得 或 ，
故函数 在 和 上为增函数，
令 ，解得 ，
故函数 在 上为减函数，
所以 在 处有极小值，符合题意，
所以 ，
故选：A.
3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数 在区间 上有极值点，则实数a的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合函数极值点与导数零点的关系，结合零点存在定理列出不等式组即可求解.
【详解】已知 ，由题意知 在 内有变号零点，
显然 在 单调递增，
故原条件等价于 ，解得 ，
故实数a的取值范围是 .
故选：C.
4．（2024高三下·全国·专题练习）若函数 在 处有极大值，则实数 的值为（ ）
A．1 B． 或
C． D．【答案】D
【分析】借助极值点定义可得 ，即可得 或 ，再分类进行讨论排除极小值情况即可得.
【详解】 ，
则有 ，解得 或 ，
当 时， ，
则当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 处有极小值，不符合题意；
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
在 处有极大值，符合题意．
综上可得， .
故选：D.
5．（2024·河南·模拟预测）已知函数 在 处取得最值，且 在 上恰
有两个极值点，则 （ ）
A．4 B．10 C． D．
【答案】C
【分析】根据题意求出 与 的关系式，根据 的范围求出 的范围，当 时同理即可求解.
【详解】由题意可知， ， ，
解得 ， ，当 时，由 ，得 ，
由题意，得 ，解得 ，所以 不存在，
当 时，由 ，
得 ，由题意，
得 ，解得 ，
所以 .
故选：C.
6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 有极值点在闭区间 上，则 的取值
范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对 求导，求出 的单调性和极值，可得 或 ，解不等式即可得出答案.
【详解】因为 的定义域为 ，
所以 ，
令 ，解得： 或 ，
令 ，解得： ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 为 的极大值点， 为 的极小值点，
所以 或 ，
解得： 或 .
所以 的取值范围为： .故选：A.
7．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数 在 上无极值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求导数确定单调性，讨论x的取值范围可得结果.
【详解】由题意得， ，故 ，
因为函数 在 上无极值，
所以 在R上恒成立，
当 时， ，
设 ，则 ，
当 时，得 ，当 时，得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
从而 ，故 ，
当 时， ，则 .
综上， .
故选：D.
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】对函数进行求导得 ，则方程 在 时有两个根，利用导数研究函
数 的值域，即可得
【详解】因为 ，得 ，
所以 在 时有两个变号根，
令 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 在 单调递增，在 单调递减，且 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 与 ，所以 ，
故选：B
【题型三 求函数的最值】
1．求函数f (x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并
通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
【典例1】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，求函数 的最值．
【答案】(1)单调递增区间为 ， ，单调递减区间为
(2)最大值为 ，最小值为 ．
【分析】（1）求出函数 的定义域和导数，利用函数单调性与导数的关系可得出函数 的增区间和
减区间；
（2）求出函数 在区间 上的极大值和极小值，与 、 进行大小比较，可得出函数
在区间 上的最大值和最小值.
【详解】（1）解：函数 定义域为 ，
则 ，
令 ，解得 或 ，令 ，解得 ．所以，函数 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .
（2）解：由（1）可得函数 在区间 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．
可得： 时，函数 取得极大值；当 时，函数 取得极小值．
又 ， ， ， ，则 ，
所以，当 时，函数 取得最大值为 ；当 时，函数 取得最小值为 ．
一、解答题
1．（23-24高三上·天津·期中）已知函数 .
(1)求 的单调区间与极值；
(2)求 在区间 上的最大值与最小值.
【答案】(1)答案见解析；
(2)最大值为54，最小值为 .
【分析】（1）利用导数研究 的单调性，并求出极值即可；
（2）根据（1）结果，比较区间内端点值、极值大小，即可得最值.
【详解】（1）由题设 ，令 ，得 或 ，
当 时，即 ，解得 或 ，单调递增区间为 和 .
当 时，即 ，解得 ，单调递减区间为 .
函数 的极大值为 ，极小值为 .（2）由 ， ， ，则
且 在区间 上连续，函数 在区间 内的最大值为54，最小值为 .
2．（2024·湖南衡阳·二模）已知函数 ，当 时， 取得极值 ．
(1)求 的解析式；
(2)求 在区间 上的最值．
【答案】(1)
(2) 的最小值为 ，最大值为 .
【分析】（1）利用极值定义可求得 ，可得解析式；
（2）利用导函数判断出函数 在区间 上的单调性，比较端点处的值可得结论.
【详解】（1）依题意可得 ，
又当 时， 取得极值 ，所以 ，即 ；
解得 ；
所以 ；
（2）由（1）可知 ，
令 ，可得 或 ，
当 变化时， 的变化情况如下表所示：单调递增 单调递减 单调递增
因此，在区间 上， 的最小值为 ，最大值为 .
3．（2024·河北秦皇岛·三模）已知 ，函数 的图象在点 处的切线与两坐标
轴围成的三角形的面积为2.
(1)求 的值；
(2)求 在 上的值域.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程 ，求出切线
在坐标轴上的截距，利用三角形面积公式可得结果；
（2）由（1）可得 在 上单调递增，在 上单调递减，求出 ， ， 的值
可得结果.
【详解】（1）因为 ，所以 ，则 .
因为 ，所以切点坐标为 ，
所以 的图象在点 处的切线方程为 .
令 ，得 ，又 ，所以 ，所以 .
（2）由（1）可知 ，令 ，解得 ，所以 在 上单调递增.
令 ，解得 ，所以 在 上单调递减，又 ， ， ，
所以 在 上的值域为 .
4．（2024·江西南昌·一模）已知函数 .
(1)求 的单调递减区间；
(2)求 的最大值.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）求导得 ，令 可求 的单调递减区间；
（2）由（1）易判断 在 时单增， 在 时单减，进而求出 .
【详解】（1） ，令 ，得 ，即 ，
所以 的单调递减区间为 ；
（2）当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减，
所以 ，即 的最大值为 .
5．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)当 时，求函数 的最大值．
【答案】(1) 在 上为增函数； 在 上为减函数；(2)
【分析】（1）直接利用函数的导数确定函数的单调区间．
（2）求导根据函数的单调性即可求解最值．
【详解】（1） 的定义域为 ，
当 时， ， ，
当 ，解得： ，
当 ，解得： ．
在 上为增函数； 在 上为减函数；
（2） 的定义域为 ，
，
当 时，令 ，得 ，令 时，得 ，
的递增区间为 ，递减区间为 ．
.
6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ， ．讨论函数 的最值；
【答案】答案见解析
【分析】根据题意，求得 ，分 和 ，两种情况讨论，求得函数 的单调性，进而
求得函数 的最值.
【详解】由函数 ，可得其定义域为 ，且 ，
当 时，可得 ， 在 上单调递增，无最值；当 时，令 ，可得 ，所以 在 上单调递减；
令 ，可得 ，所以 在 单调递增，
所以 的最小值为 ，无最大值．
综上可得：
当 时， 无最值；当 时， 的最小值为 ，无最大值．
【题型四 最值中的参数问题】
已知函数的最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，
通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问
题得以解决.
【典例1】（2024·陕西渭南·二模）已知函数 ， .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若当 时， 恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)递减区间为 ，无递增区间；
(2) .
【分析】（1）求出函数 ，再利用导数求出 的单调区间.
（2）等价变形给定不等式得 ，令 并求出值域，再换元并分离参数构造函数，求出函数的最小值即得.
【详解】（1）依题意，函数 的定义域为 ，
求导得 ，当且仅当 时取等号，
即 在 上单调递减，
所以函数 的递减区间为 ，无递增区间.
（2）当 时， 恒成立，
令 ，求导得 ，
当 时， ，当 时， ，
即函数 在 上递减，在 上递增，则当 时， ，
令 ，依题意， ， 恒成立，
令 ，求导得 ，则函数 在 上单调递增，
当 时， ，因此 ，
所以实数m的取值范围 .
【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单
调性、最值是解决问题的关键.
一、单选题
1．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数 在区间 上单调递增，则 的最大值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意得 在 上恒成立，即 ，然后构造函数 ，利用可得 在上单调递增，从而可得 ，则可求出 的取值范围，进而可求得 的最大值.
【详解】依题意可知， 在 上恒成立，所以 ，
设 ， ，所以 （ ），
所以 在 上单调递增， ，
故 ，即 的最大值为 ．
故选：C．
2．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）已知函数 ，若存在 ，使得
成立，则实数m的最小值是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】D
【分析】分离参数，利用导函数求函数的最值即可.
【详解】由 能成立，
问题转化为 ，
令 ，
由 ；由 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，则 ，
故m的最小值为4．
故选：D.
3．（2024·宁夏银川·模拟预测）已知 ，函数 恒成立，则 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7【答案】D
【分析】由题意函数 恒成立，可得到 为正奇数，讨论 的范围，参变分离转化成恒成
立问题，定义新函数求导求最小值，从而得到 的最大值.
【详解】当 为正偶数时，当 时， ，不合题意，所以 为正奇数，
则当 时， 恒成立，只需研究 时， 恒成立即可，
当 时， 成立，则当 时， ，因为此时 ，所以恒成立.
当 时， 恒成立，
设 ，则 ，
令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，又因为 为正奇数，
所以 的最大值为7.
故选：D
二、填空题
4．（2024·山东滨州·二模）若函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求出函数 的导数，再利用给定的区间的单调性列出不等式，构造函数并求出最小值即得.
【详解】函数 ，求导得 ，由 在 上单调递减，
得 ， ，即 ，令 ，
求导得 ，当 时， ，当 时， ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，则 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
5．（23-24高二下·湖北·阶段练习）若函数 在 内有最小值，则实数 的取值
范围是 .
【答案】
【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于 的不
等式组，解得即可.
【详解】函数 的定义域为 ，
，
令 可得 或 （舍），
当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 在 处取得极小值，即最小值，
又因为函数 在 内有最小值，故 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
