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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 16 讲 导数与函数的极值、最值（精讲）
题型目录一览
①求函数的极值与极值点
②极值、极值点中的参数问题
③求函数的最值
④最值中的参数问题
⑤函数极值、最值的综合应用
★【文末附录-导数与函数的极值、最值思维导图】
一、知识点梳理
1．函数的极值
函数 在点 附近有定义，如果对 附近的所有点都有 ，则称 是函数的一个极大
值，记作 ．如果对 附近的所有点都有 ，则称 是函数的一个极小值，记作
．极大值与极小值统称为极值，称 为极值点．
求可导函数 极值的一般步骤
（1）先确定函数 的定义域；
（2）求导数 ；
（3）求方程 的根；
（4）检验 在方程 的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那
么函数 在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数
在这个根处取得极小值.
注①可导函数 在点 处取得极值的充要条件是： 是导函数的变号零点，即 ，且在 左侧与右侧， 的符号导号.
② 是 为极值点的既不充分也不必要条件，如 ， ，但 不是极值点.另
外，极值点也可以是不可导的，如函数 ，在极小值点 是不可导的，于是有如下结论： 为
可导函数 的极值点 ；但 为 的极值点.
2．函数的最值
函数 最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数 最小值为极小值与靠近极大值
的端点之间的最小者．
一般地，设 是定义在 上的函数， 在 内有导数，求函数 在 上
的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求 在 内的极值（极大值或极小值）；
（2）将 的各极值与 和 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是
对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
【常用结论】
（1）若函数 在区间D上存在最小值 和最大值 ，则
不等式 在区间D上恒成立 ；
不等式 在区间D上恒成立 ；
不等式 在区间D上恒成立 ；
不等式 在区间D上恒成立 ；
（2）若函数 在区间Ｄ上存在最小值 和最大值 ，即 ，则对不等式有
解问题有以下结论：
不等式 在区间D上有解 ；
不等式 在区间D上有解 ；不等式 在区间D上有解 ；
不等式 在区间D上有解 ；
（3）对于任意的 ，总存在 ，使得 ；
（4）对于任意的 ，总存在 ，使得 ；
（5）若存在 ，对于任意的 ，使得 ；
（6）若存在 ，对于任意的 ，使得 ；
（7）对于任意的 ， 使得 ；
（8）对于任意的 ， 使得 ；
（9）若存在 ，总存在 ，使得
（10）若存在 ，总存在 ，使得 ．
二、题型分类精讲
题型 一 求函数的极值与极值点
策略方法 利用导数研究函数极值问题的一般流程
【典例1】已知函数 ，求函数 的极值.
【题型训练】
一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数 的大致图象如图所示，则
下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数 在x＝c处取得最大值，在 处取得最小值
C．函数 在x＝c处取得极大值，在 处取得极小值
D．函数 的最小值为
2．（2023·广西·统考模拟预测）函数 在 处取得极小值，则极小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的极值点为1，且 ，则 的极小值为
（ ）
A． B． C．b D．4
4．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）已知函数 ，则 的极大值为（ ）
A．-3 B．1 C．27 D．-5
5．（2023·四川·高三专题练习）函数 的极值点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ，则下列说法正确的有（ ）
A． 的极大值为 B． 的极小值为C． 的单调减区间为 D． 的值域为
7．（2023·山西运城·统考三模）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线 在 处的切线与直线 垂直
B． 在 上单调递增
C． 的极小值为
D． 在 上的最小值为
三、填空题
8．（2023·全国·高三专题练习）函数 的极大值点为___________.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在x＝1处取得极值，则函数 的一
个极大值点为______．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，且 ，现
给出如下结论：
① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ．
其中正确结论的序号是__．
四、解答题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)若 ，求函数 在区间 上的值域；
(2)求函数 的极值．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．(1)设a＝0．
①求曲线 在点 处的切线方程．
②试问 有极大值还是极小值？并说明理由．
(2)若 在 上恰有两个零点，求a的取值范围．
题型二 极值、极值点中的参数问题
【典例1】已知函数 ， ．
(1)若函数 在x＝1处取得极值，求a的值．
(2)讨论函数 的单调区间．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
2．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若 在 和 处有极值，则函数 的单
调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·陕西商洛·统考三模）若函数 无极值，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．4．（2023·四川凉山·三模）已知函数 的导函数 ，若1不是函数 的极值
点，则实数a的值为（ ）．
A．－1 B．0 C．1 D．2
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数 的极值点为1和2，且 在 上单调
递增，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
6．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数 ， 是 的一个极值点，则
的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
二、多选题
7．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数 在 处有极值，
且极值为8，则（ ）
A． 有三个零点
B．
C．曲线 在点 处的切线方程为
D．函数 为奇函数
8．（2023·辽宁·校联考三模）已知函数 ，若 有两个不同的极值点
，且当 时恒有 ，则 的可能取值有（ ）
A． B．
C． D．三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的极小值为2，则 ______
10．（2023·全国·高三专题练习）若 在 上存在极值，则数m的取值范围为_____．
11．（2023·江西九江·统考三模）已知函数 有两个极值点 ， ，且 ，则
______.
12．（2023·河南安阳·统考三模）已知函数 ，若 是 的极小值点，
则 的取值范围是__________.
四、解答题
13．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）已知函数
(1)若 ，求函数 的图象在点 处的切线方程；
(2)若 ，函数 在（0，2）上存在小于1的极小值，求实数 的取值范围.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 上有两个极值点 ，
．
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明： ．
15．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，其中 为实数．
(1)已知函数 在 处取得极值，求 的值；
(2)已知不等式 对 都成立，求实数 的取值范围．题型三 求函数的最值
策略方法
1．求函数f (x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并
通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
【典例1】已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间 上的最大值为－3，求a的值．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知 为函数 的极值点，则 在区间
上的最大值为（ ）（注： ）
A．3 B．
C．5 D．
2．（2023·江西南昌·统考三模）函数 ，若关于 的不等式 的解集为，则实数 的取值范围是（ ）
[ e]
A． B． 0，, C． D．
2
3．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）已知函数 ，且 ，则
的最小值为（ ）
A．1 B．e C． D．
4．（2023·山西·高三校联考阶段练习）已知 ，函数 ，则（ ）
A． 有最小值，有最大值 B． 无最小值，有最大值
C． 有最小值，无最大值 D． 无最小值，无最大值
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，对任意 ， ，
都有不等式 成立，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（2023·安徽·校联考二模）若不等式 对 恒成立，则实数a的取值范围为
_________．
7．（2023·湖南岳阳·统考三模）若对任意 ， 恒成立，则实数a的取值集合为
____________．
8．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数 ， ，且 ，则 的最小值为__________．
9．（2023·甘肃·模拟预测）若关于 的不等式 对任意的 恒成立，则整数 的
最大值为______.
三、解答题
10．（2023·北京·高三专题练习）已知函数 ．
(1)求 在区间 上的最大值和最小值；
(2)若 恒成立，求实数 的值．
11．（2023·全国·模拟预测）已知 .
(1)求 的最值；
(2)当 ， 时，若 恒成立，求正整数 的最大值.
12．（2023·河南安阳·统考三模）已知函数 .
(1)证明：曲线 在 处的切线经过坐标原点；
(2)记 的导函数为 ，设 ，求使 恒成立的 的取值范围.
题型四 最值中的参数问题
【典例1】已知 和 有相同的最大值（ ），求 的值；
【题型训练】
一、单选题1．（2023·上海松江·统考二模）已知函数 ， ，在区间 上有最大值，则
实数t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·陕西宝鸡·统考二模）函数 在 内有最小值，则实数a的取值范围
为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·四川宜宾·统考三模）若函数 的最小值是 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数 在区间 上的最大值为
k，则函数 在 上（ ）
A．有极大值，无最小值 B．无极大值，有最小值
C．有极大值，有最大值 D．无极大值，无最大值
5．（2023·宁夏吴忠·高三统考阶段练习）设 ，若函数 的最小值为 ，
是从 六个数中任取一个，那么 恒成立的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 区间 的最小值为 且最大值为1，则 的值可以是（ ）
A．0 B．4 C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 只有一个零点
B．函数 只有极大值而无极小值
C．当 时，方程 有且只有两个实根
D．若当 时， ，则t的最大值为2
三、填空题
8．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数 在区间 上存在最小值，则整
数 的取值可以是______．
9．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）若函数 的最小值为 ，则 ______．
四、解答题
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求函数 在 内的极值；
(2)若函数 在 上的最小值为5，求实数 的取值范围．
11．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）已知函数 （ ）.
(1)若 的零点有且只有一个，求 的值；
(2)若 存在最大值，求 的取值范围.12．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，判断 的单调性；
(2)当 时， 恒成立，求实数a的取值范围．
题型 五 函数极值、最值的综合应用
【典例1】已知函数 的最小值为0．求实数 的值；
【典例2】已知函数 ．
(1)证明：
(2)若 ，求 ．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知函数 ，若对任意的 ，
成立，则 的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．e
2．（2023·四川·校联考模拟预测）若 ，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．4．（2023·西藏林芝·统考二模）已知函数 ，若 有两个不同的极值点
，且当 时恒有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 在 上是增函数
B． ，不等式 恒成立，则正实数a的最小值为
C．若 有两个零点 ， ，则
D．若 ，且 ，则 的最大值为
6．（2023·全国·高三专题练习）定义在 上的函数 ，则（ ）
A．存在唯一实数 ，使函数 图象关于直线 对称
B．存在实数 ，使函数 为单调函数
C．任意实数 ，函数 都存在最小值
D．任意实数 ，函数 都存在两条过原点的切线
三、填空题
7．（2023·江西九江·统考三模）已知函数 有两个极值点 ， ，且 ，则
______.8．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）若 ，则 的取值范围
是____________.
四、解答题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，且 .
(1)求实数 的值；
(2)证明：存在 ， 且 时， .
10．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【附录-导数与函数的极值、最值思维导图思维导图】
