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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 16 讲 导数与函数的极值、最值（精讲）
题型目录一览
①求函数的极值与极值点
②极值、极值点中的参数问题
③求函数的最值
④最值中的参数问题
⑤函数极值、最值的综合应用
★【文末附录-导数与函数的极值、最值思维导图】
一、知识点梳理
1．函数的极值
函数 在点 附近有定义，如果对 附近的所有点都有 ，则称 是函数的一个极大
值，记作 ．如果对 附近的所有点都有 ，则称 是函数的一个极小值，记作
．极大值与极小值统称为极值，称 为极值点．
求可导函数 极值的一般步骤
（1）先确定函数 的定义域；
（2）求导数 ；
（3）求方程 的根；
（4）检验 在方程 的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那
么函数 在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数
在这个根处取得极小值.
注①可导函数 在点 处取得极值的充要条件是： 是导函数的变号零点，即 ，且在 左侧与右侧， 的符号导号.
② 是 为极值点的既不充分也不必要条件，如 ， ，但 不是极值点.另
外，极值点也可以是不可导的，如函数 ，在极小值点 是不可导的，于是有如下结论： 为
可导函数 的极值点 ；但 为 的极值点.
2．函数的最值
函数 最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数 最小值为极小值与靠近极大值
的端点之间的最小者．
一般地，设 是定义在 上的函数， 在 内有导数，求函数 在 上
的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求 在 内的极值（极大值或极小值）；
（2）将 的各极值与 和 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是
对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
【常用结论】
（1）若函数 在区间D上存在最小值 和最大值 ，则
不等式 在区间D上恒成立 ；
不等式 在区间D上恒成立 ；
不等式 在区间D上恒成立 ；
不等式 在区间D上恒成立 ；
（2）若函数 在区间Ｄ上存在最小值 和最大值 ，即 ，则对不等式有
解问题有以下结论：
不等式 在区间D上有解 ；
不等式 在区间D上有解 ；不等式 在区间D上有解 ；
不等式 在区间D上有解 ；
（3）对于任意的 ，总存在 ，使得 ；
（4）对于任意的 ，总存在 ，使得 ；
（5）若存在 ，对于任意的 ，使得 ；
（6）若存在 ，对于任意的 ，使得 ；
（7）对于任意的 ， 使得 ；
（8）对于任意的 ， 使得 ；
（9）若存在 ，总存在 ，使得
（10）若存在 ，总存在 ，使得 ．
二、题型分类精讲
题型 一 求函数的极值与极值点
策略方法 利用导数研究函数极值问题的一般流程
【典例1】已知函数 ，求函数 的极值.
【答案】见详解.
【分析】先求导函数，根据导函数零点的个数讨论，根据导函数的正负判定单调区间，进而求得极值.【详解】 ，定义域为R， .
①当 时， ， 在R上为增函数， 无极值.
②当 时，令 ，得 ， .
当 ， ；当 ， ；
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 取得极小值，极小值为 ，无极大值.
综上所述，当 时， 无极值；当 时， 有极小值 ，无极大值.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数 的大致图象如图所示，则
下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数 在x＝c处取得最大值，在 处取得最小值
C．函数 在x＝c处取得极大值，在 处取得极小值
D．函数 的最小值为
【答案】C【分析】根据导函数的图象确定 的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判断.
【详解】由题图可知，当 时， ，所以函数 在 上单调递增，
又ae时， ．所以函数 在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，
不一定是最小值，故B不正确，C正确．
由题图可知，当 时， ，所以函数 在[d，e]上单调递减，从而 ，所以D
不正确．
故选：C．
2．（2023·广西·统考模拟预测）函数 在 处取得极小值，则极小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】求出函数 的导数，利用极小值点求出a值，再借助导数求出极小值作答.
【详解】依题意， ，因为函数 在 处取得极小值，则 ，解得 ，
此时 ，当 或 时， ，当 ，时 ，
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 在 处取得极小值 .
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的极值点为1，且 ，则 的极小值为
（ ）
A． B． C．b D．4
【答案】D【分析】首先求函数的导数，根据条件，列方程组求解 ，再求函数的极小值.
【详解】 ， ， ，
所以 ，解得： ， ，
所以 ，得 ， 时， ， ， ，
所以 是函数的极小值点， .
故选：D
4．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）已知函数 ，则 的极大值为（ ）
A．-3 B．1 C．27 D．-5
【答案】C
【分析】求导数，求出 ，得到 解析式，利用导数求函数单调区间，得到极值.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，解得 ，
故 ， ，
当 或 时， ，当 时， ，
在 和 上单调递增，在 上单调递减，
则当 时， 取得极大值27.
故选：C
5．（2023·四川·高三专题练习）函数 的极值点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B
【分析】对函数求导，求出导函数的零点，并求出在零点两侧导函数值的正负，即可判断零点个数.
【详解】由题意得， ，
令 得 ，令 得 ，令 得 ，
故 为函数 的极小值点，
即函数 的极值点个数为1个.
故选：B
二、多选题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ，则下列说法正确的有（ ）
A． 的极大值为 B． 的极小值为
C． 的单调减区间为 D． 的值域为
【答案】ABD
【分析】首先求函数的导数，并利用导数判断函数的单调性和极值，比较端点值，求函数的值域.
【详解】 ， ，令 ，得 或 ，
当 ， ，函数 单调递增，当 ， ，函数 单调递减，当
， ，函数 单调递增，
所以 是函数的极大值点，极大值 ， 是函数的极小值点，极小值 ，
故AB正确；C错误；
， ，比较函数的极大值和极小值，可知，函数的最小值是0，函数的最大值是 ，所以函数的值域是 ，故D正确.
故选：ABD
7．（2023·山西运城·统考三模）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线 在 处的切线与直线 垂直
B． 在 上单调递增
C． 的极小值为
D． 在 上的最小值为
【答案】BC
【分析】求出函数的导函数，求出 ，即可判断A，求出函数的单调区间，即可判断B、C、D.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，故A错误；
令 ，解得 ，所以 的单调递增区间为 ，
而 ，所以 在 上单调递增，故B正确；
当 时 ，所以 的单调递减区间为 ，
所以 的极小值为 ，故C正确；
在 上单调递减，所以最小值为 ，故D错误；
故选：BC
三、填空题
8．（2023·全国·高三专题练习）函数 的极大值点为___________.【答案】
【分析】利用导数可求得 的单调性，根据单调性可得极大值点.
【详解】由题意知： 定义域为 ，
，
当 时， ；当 时， ；
在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
是 的极大值点.
故答案为： .
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在x＝1处取得极值，则函数 的一
个极大值点为______．
【答案】 (答案不唯一）
【分析】先利用条件求出 ，从而得到 ，再利用导数与函数单调性间的关系，求出 的
单调区间，进而利用极值点的定义求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，则 ，解得a＝1，则 ，
所以 ，
由 ，得到 或 ， ，
由 ，得到 ， ，
由 ，得到 ， ，所以 的极大值点为 ， ，
当k＝0时， ，故 的一个极大值点为 （答案不唯一，满足 ， 即可）.故答案为： .
10．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，且 ，现
给出如下结论：
① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ．
其中正确结论的序号是__．
【答案】③④⑤
【分析】利用导数判定三次函数的图象与性质，结合图象即可一一判定结论.
【详解】求导函数可得 ，
当 时， ；当 ，或 时， ，
所以 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，
所以 的极大值为 ，
的极小值为 ，函数没有最值，
要使 有三个解 、 、 ，那么结合函数 草图可知： ，
所以 ，且 ，所以 ，
， ， ，故①②错误；③④⑤正确.
故答案为：③④⑤．四、解答题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)若 ，求函数 在区间 上的值域；
(2)求函数 的极值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，判断函数单调性求得极值，然后比较极值与端点函数值大小可得；
（2）求导，分 ， ， 讨论函数单调性，然后可得极值.
【详解】（1）当 时， ．
则 ．
当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减．
而 ， ， ，显然 ，故在区间 上， ，
．
故函数 在区间 上的值域为 ．
（2） ， ，
则 ．
①当 时， ，所以 在定义域上单调递增，不存在极值．
②当 时，令 ，解得 或 ，又 ，所以当 或 时 ，当
时 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 处取得极大值， ，
在 处取得极小值， ．
③当 时，令 ，解得 或 ，又 ，
所以当 或 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 处取得极大值， ；
在 处取得极小值， ．
综上，当 时， 无极值；当 时， ， ；
当 时， ， ．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)设a＝0．
①求曲线 在点 处的切线方程．
②试问 有极大值还是极小值？并说明理由．
(2)若 在 上恰有两个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)①y＝－3x＋1；②有极大值， 没有极小值，理由见解析
(2) ．
【分析】（1）①由导数的几何意义计算即可；②利用导函数判定函数的极值即可；
（2）法一、分离参数得 ，构造函数 判定其单调性及极（最）值，即可得出结果；法二、半分离参数，将问题转化为 ，两函数在 上有两个交点，利用导数的几何意义，
结合图象分析即可.
【详解】（1）因为a＝0，所以 ， ．
①由 及 ，
得曲线 在点 处的切线方程为：y－（－2）＝－3（x－1），
即y＝－3x＋1．
②令 ，得 ；令 ，得 ．
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值， 没有极小值．
（2）法一、
由 ，得 ，
则 ．设函数 ，则 ．
令函数 ，易知 在 上单调递减，且 ，
所以当 时， ，当 时， ．所以 在 上单调递增，在 上单调递
减，
则 ．由 ， ，得 ，
故a的取值范围是 ．
法二、
由 ，得 ，则 ．设函数 ，则 ．
设直线 与曲线 切于点 ，则 ，
整理得 ．令 ，易知其为增函数，且 ，所以a＝1．
直线y＝a（x＋1）过定点 ，当该直线经过点 时， ．
数形结合可知，当且仅当 时，直线y＝a（x＋1）与函数 的图象恰有两个
交点，即 在 上恰有两个零点，
故a的取值范围是 ．
【点睛】本题考察导数与函数的综合，属于压轴题.第二问含参函数在定区间的零点问题的处理方式常有：
分离参数法，将问题转化为参数与一个函数在定区间的交点问题；半分离参数，将问题转化为一个简单的
含参函数与另一个简单的函数的交点问题.
题型二 极值、极值点中的参数问题
【典例1】已知函数 ， ．
(1)若函数 在x＝1处取得极值，求a的值．
(2)讨论函数 的单调区间．
【答案】(1)(2)答案见解析
【分析】（1）求定义域，求导，根据 求出 ，验证后得到答案；
（2）求定义域，求导并对导函数进行因式分解，分 ， ， 与 分类讨论，得到函数
的单调区间.
【详解】（1） 定义域为 ，
，因为 在x＝1处取得极值，
所以 ，解得： ，
经验证，此时x＝1为极大值点，满足要求，故 ；
（2） ，
当 时， 恒成立，令 得： ，
令 得： ，
故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时， ，故令 得： 或 ，
令 得： ，
故 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
当 时， 恒成立，故 的单调递增区间为 ；
当 时， ，令 得： 或 ，
令 得： ，
故 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；综上：当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据条件列方程组求出a和b.
【详解】因为函数 定义域为 ，所以依题可知， ，
而 ，
所以 ，即 ，所以 ，
因此当 时， ,故函数在 递增； 时， ,
故函数在 上递减， 时取最大值，满足题意，即有 ；
故选：C．
2．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若 在 和 处有极值，则函数 的单
调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】求出函数的导函数，依题意 且 ，即可得到方程组，从而求出 、 的值，再利
用导数求出函数的单调递增区间.
【详解】因为 ，所以 ，
由已知得 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
由 ，解得 ，所以函数 的单调递增区间是 .
故选：C．
3．（2023·陕西商洛·统考三模）若函数 无极值，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直接对函数求导，再利用极值的定义即可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，因为 无极值，所以
，解得 ，所以a的取值范围为 ．
故选：A.
4．（2023·四川凉山·三模）已知函数 的导函数 ，若1不是函数 的极值
点，则实数a的值为（ ）．
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据极值点的定义即可求解.
【详解】由题意可知 ，若1不是函数 的极值点，则，即 ，
当 时， ，故当 ，当 ，因此
是 的极值点，1不是极值点，故 满足题意，
故选：D
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数 的极值点为1和2，且 在 上单调
递增，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】对函数求导，由极值点建立方程组找出 间的关系，利用基本不等式求最值即可.
【详解】因为 ，
所以
由题函数 的极值点为1和2，且在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
故选：D．6．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数 ， 是 的一个极值点，则
的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【分析】根据极值点的定义结合正弦函数图像的性质， 是 的一条对称轴，可求得 表达式，即
可求出答案.
【详解】由 是 的一个极值点，结合正弦函数图像的性质可知， 是 的一条对称轴，
即 ， ，求得 ，
，
当 时， 的最小值为 .
故选：A.
二、多选题
7．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数 在 处有极值，
且极值为8，则（ ）
A． 有三个零点
B．
C．曲线 在点 处的切线方程为
D．函数 为奇函数
【答案】AC
【分析】由条件根据极值与导数的关系求 ，判断B，利用导数分析函数 的单调性，结合零点
存在性定理判断A，根据导数的几何意义求切线，判断C，根据奇函数的定义判断D.【详解】由题意得 ，又 ，又 ，解得
(舍去）或 ，故B项错误；
， ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
又 ， ， ， ，
所以 有三个零点，故A项正确；
又 ， ，
则曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，故C项正确；
，故D项错误.
故选：AC.
8．（2023·辽宁·校联考三模）已知函数 ，若 有两个不同的极值点
，且当 时恒有 ，则 的可能取值有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD【分析】先求导函数，再根据存在极值点个数，参数分离构造新函数根据函数单调性及最值列式求解可得
范围.
【详解】由题可知， ，因为 有两个不同的极值点
，所以 且 ，
若 ，则 ．当 时， ，即 ，即 ，即
，
设 ，则 ，所以 在 上单调递减，则 ，则
，所以 ．
若 ，则 ．当 时， ，即 ，
若 ，则当 时， ，不满足题意，所以 ，此时 ，即 ．
设 ，则
易得 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 解得 ，所以 ．
综上， 的取值范围是 ，
故选:BD．
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的极小值为2，则 ______
【答案】
【分析】求函数 的极小值的表达式，列方程求 .【详解】函数 的定义域为 ，
求导得 ，令 可得 ，
当 时， ，函数 在 单调递减；
当 时， ，函数 在 单调递增，
故 的极小值为 ，
由已知可得 ，
所以 ．
故答案为： .
10．（2023·全国·高三专题练习）若 在 上存在极值，则数m的取值范围为_____．
【答案】
【分析】先求导，再转化为 在 上有解求解．
【详解】解：由题得 ，
要使 在 上存在极值，则 在 上有解．
因为当 时， ，
令 ，则 ，
设 ，则 ， 在 上单调递增，
，
又 恒成立，故m的取值范围为 ．故答案为：
11．（2023·江西九江·统考三模）已知函数 有两个极值点 ， ，且 ，则
______.
【答案】
【分析】根据函数有两个极值点得到 是方程 的两个不相等的实数根，然后分离变量，构造
函数 ，对函数求导，利用函数的单调性即可求解.
【详解】 ， 是 的两个零点，
即是方程 的两个不相等的实数根，
， 是方程 的两个不相等的实数根.
令 ，则 .
当 或 时， ；
当 时， ，
在 和 上单调递减，在 上单调递增，
且当 时， ；当 时， .
，且 .
由 ，得 ，
， ，由 ，即 .
故答案为： .
12．（2023·河南安阳·统考三模）已知函数 ，若 是 的极小值点，则 的取值范围是__________.
【答案】
【分析】首先根据题意得到 ，从而得到 ，再分类讨论其单调性即
可得到答案.
【详解】 ，
因为 是 的极小值点，所以 ，解得 .
所以
.
当 时， ，
， ， 为减函数； ， ， 为增函数，
所以 是 的极小值点，符合条件.
当 时，令 ，解得 或 .
当 时， ， ， 为增函数；
， ， 为减函数；
， ， 为增函数，
所以 是 的极小值点，符合条件.
当 ，即 时， ，
则 在R上为减函数，无极值点，舍去.当 时，即 ，
， ， 为减函数；
， ， 为增函数；
， ， 为减函数，
所以 是 的极大值点，舍去.
当 时，即 ，
， ， 为减函数；
， ， 为增函数；
， ， 为减函数，
所以 是 的极小值点，符合条件.
综上，a的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题
13．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）已知函数
(1)若 ，求函数 的图象在点 处的切线方程；
(2)若 ，函数 在（0，2）上存在小于1的极小值，求实数 的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）当 时，求得 ，得到 ，结合导数的几何意义，即可求
得 在点 处的切线方程；
（2）求得 ，①当 时，取得 ，求得 在 上递减，在 上递增，
不符合题意；②当 时，令 ，根据 和 两种情况讨论，分别求得函数 的单
调区间，求得函数的极值，进而求得 的取值范围.
【详解】（1）解：当 时， ，可得 ，
则 ，即切线的斜率为 ，切点坐标为
所以函数 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）解：由函数 ，其中 ，可得 ，
①当 时， ，此时 ，令 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得极小值，且极小值为 ，不符合题意；
②当 时，令 ，则 ，
（i）若 ，即 时，则对 ， ，
即 恒成立，此时 在 上无极值，不符合题意；
（ii）若 ，即 ，则 图象的对称轴为 ，所以 在 上单调递增，
因为 ，由函数单调性和零点存在性定理得，在 上存在唯一的实数 ，使得
，此时 ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 仅在 处取得极小值，极小值为 ，
因为 在 上单调递减，且 ，所以 ，符合题意.
综上，实数 的取值范围为 .
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 上有两个极值点 ，
．
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）函数 在区间 上有两个极值点，即方程 在区间 上有两个不
等实根，即 在区间 上有两个不等实根．设 ，对 求导，讨论
的单调性和最值，即可得出答案；
（2）要证 ，即证 ，设 ，即证当 时， 成立，令，对 求导，得到 的单调性，即可证明.
【详解】（1）由题意得 ，
函数 在区间 上有两个极值点，即方程 在区间 上有两个不等实根．
又 ，所以 在区间 上有两个不等实根．
设 ，则 ．
当 时， ，函数 单调递增，与方程 在区间 有两个根矛盾．
当 时，由 ，得 ，
当 时， ， 为单调递减函数；
当 时， ， 为单调递增函数．
， ，
当 时， 与方程 在区间 上有两个根矛盾．
当 时， ．
又 ， ．
设 ， ，
当 时， ， ，
所以 ，
故函数 在区间 上和区间 上各存在一个零点．
综上， 时，函数 在区间 上有两个极值点．
（2）证明：不妨设 ，故有 ，
要证 ，即证 ，即 ．由 得
故 ．
要证 ，即证 ，
即证 ，即 ．
设 ，即证当 时， 成立．
设 ， ．
所以 在区间 上为增函数，
故 ，即当 时， 成立，
综上， 成立．
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不不等式，等价转化的数学思想、同构
的数学思想等知识，属于中等题，常用方法有如下几种：
方法一：等价转化是证明不等式成立的常见方法，其中利用函数的对称性定义，构造对称差函数是解决极
值点偏移问题的基本处理策略；
方法二：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，构造函数利用函数的单调性证明的不
等式即可，例如对数平均不等式的证明；
方法三：利用不等式的性质对原不等式作等价转换后，利用导数证明相关的式子成立.
15．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，其中 为实数．
(1)已知函数 在 处取得极值，求 的值；
(2)已知不等式 对 都成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由极值点的定义可得 ，解出 的值并验证即可；（2）由题意可得 对任意 都成立，按照 的不同取值结合二次函数的图象和对
称轴分情况讨论即可.
【详解】（1）由题意可得 ，
因为函数 在 处取得极值，
所以 ，
解得 ，
当 时， ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以当 时，函数 在 处取得极大值，符合题意.
（2）由题设知 ，对任意 都成立，
即 对任意 都成立，
令 ，
①当 时，由 解得 ，显然 时不成立，故 ；
②当 ，即 时， 为开口向下的抛物线， 的对称轴为
，
所以 在 上单调递减，
所以由 对任意 都成立可得 ，解得 ，与 矛盾，故 不符合题意；
③当 ，即 时， 为开口向上的抛物线， 的对称轴为
，
若 ，即 时， ，解得 或 ，所以 ；
若 ，即 时，由 对任意 都成立可得 ，解得 ，所
以 ；
综上所述， .
题型三 求函数的最值
策略方法
1．求函数f (x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并
通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
【典例1】已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间 上的最大值为－3，求a的值．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）求出 ，利用导数判断函数的单调性，由此可得函数的最值；
（2）求出 ，分 和 两种情况，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值，结合题意
列出方程，求解 的值即可.
【详解】（1）解：函数 的定义域为 ，
当 时， ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上为单调递增函数，在 上为单调递减函数，
所以 ，
所以当 时，求 的最大值为 ；
（2）解：函数 ，
则 ， ， ，
①若 ，则 ，所以 在 上单调递增，
故 ，不符合题意；
②若 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上为单调递增函数，在 上为单调递减函数，
则 ，
令 ，可得 ，
解得 ，因为 ，
所以 符合题意，
综上所述 .
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知 为函数 的极值点，则 在区间
上的最大值为（ ）（注： ）
A．3 B．
C．5 D．
【答案】B
【分析】由 以及极值点的知识求得 ，求得 的单调区间，进而求得 在区间 上的
最大值.
【详解】 ，由于 是 的极值点，
所以 ，
此时 ，
所以 在区间 递减；在区间 递增.
所以 是 极小值点， 符合题意.
， ，
由于 ，
所以 在区间 上的最大值为 .
故选：B2．（2023·江西南昌·统考三模）函数 ，若关于 的不等式 的解集为
，则实数 的取值范围是（ ）
[ e]
A． B． 0，, C． D．
2
【答案】C
【分析】当 时，运用参数分离法，构造函数利用导数研究函数的性质即得，当 时根据二次不等
式的解法讨论 的范围进而即得.
【详解】由题意知，当 时， ；当 时， ；当 时， ．
当 时， ，即 ，构造函数 ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
， ；
当 时， ，当 时，由 ，解得 ，不合题意；
当 时，由 ，得 ，不合题意；
当 时，由 ，得 ， ，所以 ，此时 ，不合
题意；
当 时， ，由 ，解得 ，
此时当 时 恒成立，所以 的解集为 ，符合题意；
当 时，由 ，得 ，又 ，所以 ，此时 适合
题意；
综上，关于 的不等式 的解集为 ，则 .故选：C.
3．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）已知函数 ，且 ，则
的最小值为（ ）
A．1 B．e C． D．
【答案】A
【分析】根据 展开得到 的解析式，根据导数求出解析式单调性继而判断解析式的取值
范围，即可得到答案.
【详解】由 ，得 ，化简整理得 ，
因为g（x）的值域，f（x），g（x）的定义域均为R，所以 的取值范围也是R，
令 ，令 ，解得 .
当 时， ，即h（x）在（-∞，0）上单调递减；
当 时， ，即 （x）在（0，+∞）上单调递增；
所以 ，故
故选：A.
4．（2023·山西·高三校联考阶段练习）已知 ，函数 ，则（ ）
A． 有最小值，有最大值 B． 无最小值，有最大值
C． 有最小值，无最大值 D． 无最小值，无最大值
【答案】C
【分析】利用导数判断函数的单调性进而求出最值.
【详解】由已知得 ，
记 ，∵ ，∴ 在 上单调递增，
∴ ，∴当 时 ，当 时
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 有最小值 ，无最大值.
故选： .
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，对任意 ， ，
都有不等式 成立，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将问题转化为 ，利用导数求 在 上的最小值、 在 上的最小值，
即可得结果.
【详解】对任意 ， ，都有不等式 成立 ，
， ， ，则 在区间 上单调递增，
∴ ，
， ， ，则 在 上单调递增，
， ，则 在 上单调递减，
， ，故 ，综上， .
故选：C
二、填空题
6．（2023·安徽·校联考二模）若不等式 对 恒成立，则实数a的取值范围为
_________．
【答案】
【分析】用构造法解决含参不等式的恒成立问题，求解实数a的取值范围.
【详解】设 ，则 ．当 时， 恒成立，则函数 在
上单调递增， ，不合题意，舍去；
当 时，由 得 ．
当 时， ，当 时， ，
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
，令 ，易得 在 上单调递减，
，则 的解集为 ，即实数a的取值范围是 ．
故答案为： .
7．（2023·湖南岳阳·统考三模）若对任意 ， 恒成立，则实数a的取值集合为
____________．
【答案】
【分析】设函数 ， ，则 恒成立，由函数 在 处取得最大值，
则 ，得出 ，再验证当 时， 符合题意．【详解】由题意设 ， ，则 恒成立，显然 ，
函数 在 处取得最大值， ，而 ，
，即 ．
当 时， ，
当 时， ， ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
，符合题意．
故实数a的取值集合为 ．
故答案为： .
8．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数 ， ，且 ，则 的最小
值为__________．
【答案】
【分析】先根据 得出 所满足的关系式，然后用 表示 ，然后利用导数工具求解 的
最小值.
【详解】由 ，得 ，化简整理得 ．
令 ，则 ，
令 ，解得 ．当 时， ，即 在 上单调递减；
当 时， ，即 在 上单调递增，
， ．故答案为：
9．（2023·甘肃·模拟预测）若关于 的不等式 对任意的 恒成立，则整数 的
最大值为______.
【答案】1
【分析】分离参数，构造函数 ，利用导数求函数的最小值，分析最小值的范围，得解.
【详解】因为 对于任意 恒成立，
等价于 对于任意 恒成立，
令 ， ，则 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，又 ， ，
所以 在 有且仅有一个根 ，满足 ，即 ，
当 时， ，即 ，函数 单调递减，
时， ，即 ，函数 单调递增，
所以 ，
由对勾函数可知 ，即 ，
因为 ，所以 ， ，所以 .
故整数 的最大值为1.故答案为：1
三、解答题
10．（2023·北京·高三专题练习）已知函数 ．(1)求 在区间 上的最大值和最小值；
(2)若 恒成立，求实数 的值．
【答案】(1)最小值为 ，最大值为
(2)
【分析】（1）先求 的导函数，再根据导函数在区间 上的正负确定 的单调性，从而可求其
在给定区间的最大与最小值；
（2）设 ，由已知得，当 时， ；当 时， ，从而可得，当
时， ；当 时， ，所以 ，得 ，再证明当 时，
恒成立即可．
【详解】（1）因为 ，
所以 在区间 上单调递增．
所以 的最小值为 ； 的最大值为 ．
（2） 的定义域为 ．
由（1）知 ，且 在 上单调递增，
所以当 时， ；当 时， ．
设 ．
若 恒成立，则当 时， ；当 时， ．
所以 ，即 ，解得 ．
下面证明：当 时， 恒成立．
此时， ， ．
当 时， ．
所以 在 上单调递增， ．当 时，设 ．
因为 ，所以 在 上单调递增．
又 ， ，
所以存在唯一的 ，使得 ．
且当 ， ，当 ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
因为 ，且 ，
所以当 时， 恒成立．
综上， ．
【点睛】关键点睛：本题第一小问考查函数在给定区间的最值，通过对单调性的讨论即可，属于基础题；
第二小问主要考查不等式恒成立求参数问题，关键是通过 的正负得到 的正负，从而确
定 的值再证明，考查数学运算和逻辑推理等核心素养．
11．（2023·全国·模拟预测）已知 .
(1)求 的最值；
(2)当 ， 时，若 恒成立，求正整数 的最大值.
【答案】(1)答案见解析
(2)3
【分析】（1）对函数求导，然后分类讨论确定函数的单调性，从而得最值；
（2）先根据题意把恒成立问题转化成求函数的最小值问题，然后利用导数确定函数的最小值即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 .当 时， ，所以 在 上单调递增，无最大值，也无最小值；
当 时，令 ，即 ，所以 ，
令 ，即 ，所以 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 时 取得极小值，也是最小值， ，无最大值.
综上，当 时， 在 上无最大值，也无最小值；
当 时， 在 上有最小值 ，无最大值.
（2）因为 ， 时， ，
恒成立，即 恒成立.
设 ， ，
.
设 ，则 ，所以 在 上单调递减，
又 ， ，
所以存在唯一的 ，使得 ，即 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时， ，当 时， ，在 上单调递减，在 上单调递增，
，显然 ，
由 得 ，
设 ， 在 时恒成立，
在 上单调递减， ，
，所以 ，
所以 ，
则满足 的最大的正整数 的值为3.
【点睛】恒成立问题解题策略
方法1：分离参数法求最值
(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
(2) 恒成立⇔ ；
恒成立⇔ ；
方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求
解．
12．（2023·河南安阳·统考三模）已知函数 .
(1)证明：曲线 在 处的切线经过坐标原点；
(2)记 的导函数为 ，设 ，求使 恒成立的 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数 在 处的切线方程即可证明；（2）把不等式 恒成立转化为求函数 的最大值小于等于零恒成立，然后利用导数求出函数
的最大值即可得结果.
【详解】（1）由已知得 ，
所以 ，又 ，
所以 在 处的切线方程为 ，
即 ，恒过坐标原点.
（2） ，定义域为 ，
.
当 时， 在 上单调递增，且 ，故 不恒成立.
当 时，设 ，则 ，
则当 时， 在 上单调递减，
又 ，
因为 ，所以 ，即 ，
由零点存在定理知 在 内存在唯一零点 ，
即 ，即 .
当 时， ，于是 在 上单调递增，
当 时， ，于是 在 上单调递减，所以 在 处取得极大值也是最大值 ，要使 恒成立，只需 .
因为 ，
由 ，解得 ，
故所求的 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若 在区间 上有最值，则
（1）恒成立： ； ；
（2）能成立： ； .
若能分离常数，即将问题转化为： （或 ），则
（1）恒成立： ； ；
（2）能成立： ； .
题型四 最值中的参数问题
【典例1】已知 和 有相同的最大值（ ），求 的值；
【答案】
【分析】分别用导数法求出 与 的最大值，由最大值相等建立等式即可求解.
【详解】解： 的定义域为 ，且 ， ，
当 时， ， 递增；当 时， ， 递减；
所以 ，
的定义域为 ，且 ，当 时， ， 递增；当 时， ， 递减；
所以 ，
又 和 有相同的最大值，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 .
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·上海松江·统考二模）已知函数 ， ，在区间 上有最大值，则
实数t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用导数求出函数单调性，据此知函数有极大值，根据函数在开区间上有最大值可知，区间含极
大值点
【详解】 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以函数在 ， 上递增函数，在 上递减函数，
故 时函数有极大值，且 ，
所以当函数在 上有最大值，则 且 ，
即 ，解得 .
故选：B.
2．（2023·陕西宝鸡·统考二模）函数 在 内有最小值，则实数a的取值范围
为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出 ，设 ，得出 有一正根一负根，因此题
意说明正根在区间 内，从而由 得参数范围．
【详解】 ，
设 ，因为 ，因此 有两个不同实根，
又 ，因此 两根一正一负，
由题意正根在 内，
所以 ，解得 ，
故选：A．
3．（2023·四川宜宾·统考三模）若函数 的最小值是 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数求出函数 在 上的极小值，然后对实数 的取值进行分类讨论，结合
可求得实数 的取值范围.
【详解】当 时， ，则 ，当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，所以，函数 的极小值为 ，
因为函数 的最小值为 ，当 时，函数 在 上单调递减，
此时，函数 在 上无最小值，不合乎题意；
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
此时，函数 在 上的极小值为 ，且 ，则 ，综上所述，
.
故选：A.
4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数 在区间 上的最大值为
k，则函数 在 上（ ）
A．有极大值，无最小值 B．无极大值，有最小值
C．有极大值，有最大值 D．无极大值，无最大值
【答案】D
【分析】利用导函数研究 单调性，结合区间最值求得 ，进而判断在 上的单调性，即可得
答案.
【详解】由 ，则 时 ， 时 ，
所以 在 上递增， 上递减，
而 ， 在 上的最大值为k，
所以 ，即 ，此时 在 上递减，且无极大值和最大值.
故选：D
5．（2023·宁夏吴忠·高三统考阶段练习）设 ，若函数 的最小值为 ，是从 六个数中任取一个，那么 恒成立的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】当 时， 无最小值；当 时， ；当 时，利用导数可求得 时的
，结合 时 可构造不等式组，结合 的单调性和 可求得 的范围，
从而确定 的取值；列举出所有基本事件和满足题意的基本事件，根据古典概型概率公式可得结果.
【详解】若 ，当 时， 为增函数，且 ，不合题意；
若 ， ，则 最小值为 ；
若 ，当 时， 的最小值为 ；
当 时， ，则若 ，则 ；若 ，则 ；
在 上单调递减，在 上递增， 此时的最小值为 ；
， ，则 ；
设 ，则 在 上单调递增，又 ，
的解为 ；
综上所述：实数 的取值范围为 ，又 ， 或 ；
设事件 ：“ 恒成立”，
所有取值构成的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ，共 个；事件 包含的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 个；
.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数与概率的综合应用问题；解题关键是能够通过分类讨论的方式，结合
导数的知识求得 的单调性，从而利用 最小值来构造不等式求得 的值，进而采用列举法来求得
所求概率.
二、多选题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 区间 的最小值为 且最大值为
1，则 的值可以是（ ）
A．0 B．4 C． D．
【答案】AB
【分析】先求导，分类讨论利用导数法研究函数的最值，即可求解
【详解】 ，
令 ，解得 或 .
①当 时，可知 在 上单调递增，
所以 在区间 的最小值为 ，最大值为 .
此时 ， 满足题设条件当且仅当 ， ，
即 ， .故A正确.
②当 时，可知 在 上单调递减，
所以 在区间 的最大值为 ，最小值为 .
此时 ， 满足题设条件当且仅当 ， ，即 ， .故B正确.
③当 时，可知 在 的最小值为 ，
最大值为b或 或 ， ，
则 ，与 矛盾.
若 ， ，
则 或 或 ，与 矛盾.故C､D错误.
故选：AB
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 只有一个零点
B．函数 只有极大值而无极小值
C．当 时，方程 有且只有两个实根
D．若当 时， ，则t的最大值为2
【答案】CD
【分析】解方程 判断A；利用导数探讨 的极值判断B；分析函数 的性质，借助图象判断
C；由 结合取最大值的x值区间判断D作答.
【详解】对于A，由 得： ，解得 ，A不正确；
对于B，对 求导得： ，当 或 时， ，当
时， ，
即函数 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
因此，函数 在 处取得极小值 ，在 处取得极大值 ，B不正确；对于C，由选项B知，作出曲线 及直线 ，如图，观察图象得当 时，直线 与曲
线 有2个交点，
所以当 时，方程 有且只有两个实根，C正确；
对于D，因 ，而函数 在 上单调递减，因此当 时， ，
当且仅当 ，即 ，所以t的最大值为2，D正确.
故选：CD
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)
的图象，观察
与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个
数.
三、填空题
8．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数 在区间 上存在最小值，则整
数 的取值可以是______．
【答案】 （答案不唯一， 、 均可）
【分析】利用导数分析函数 的单调性与极值，作出图形，求出使得 的 的值，根
据函数 在区间 上有最小值可得出关于实数 的不等式组，解之即可.【详解】因为 ，则 .
由 可得 ，由 可得 或 ，
所以，函数 的减区间为 ，增区间为 、 ，
所以，函数 的极大值为 ，极小值为 ，
令 ，其中 ，则 ，解得 ，
因为函数 在区间 上存在最小值，则 ，解得 ，
所以，整数 的取值集合为 .
故答案为： （答案不唯一， 、 均可）.
9．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）若函数 的最小值为 ，则 ______．
【答案】
【分析】分类讨论，根据函数的单调性与最值的关系求解.
【详解】当 时， ，
，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
所以 解得 ，与 矛盾；当 时， ，
(i)若 ，即 ，
则有 在 单调递减， 单调递增，
所以 解得 ，与 矛盾；
(ii)若 ，即 ，
则有 在 单调递减， 单调递增，
所以 解得 ，满足题意；综上， ，故答案为: .
四、解答题
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求函数 在 内的极值；
(2)若函数 在 上的最小值为5，求实数 的取值范围．
【答案】(1)极大值为9，无极小值
(2)
【分析】（1）首先求得导函数，然后利用导函数研究函数的单调性，据此可求得函数的值域；
（2）求得函数的导函数，然后结合导函数的符号确定函数的单调性，分类讨论即可求得实数 的取值范围.
【详解】（1）由题意得，当 时， ，
则 ，
令 ，得 ， ，
， 在 内随x变化而变化的情况如下表所示：
x 1
+ 0单调递增 极大值9 单调递减
故 在 内的极大值为9，无极小值；
（2） ，
①当 时， ， 且不恒为0，
所以函数 在区间 上单调递增，
所以在 上， ，
由题意，则 ，解得 ，与 矛盾，
②当 时， ， 且不恒为0，
所以函数 在区间 上单调递减，
所以在 上， ，符合题意，
③当 时，当 时， ，函数 在区间 上单调递减，
当 时， ，函数 在区间 上单调递增，
所以在 上， ，
由题意，则 ，即 ，即 ，
即 ，解得 或 ，与 矛盾，
综上，实数a的取值范围为 ．
【点睛】方法点睛：求函数 在区间 上的最值的方法：
（1）若函数 在区间 上单调，则 与 一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数 在区间 内有极值，则要求先求出函数 在区间 上的极值，再与 、
比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）若函数 在区间 上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数
的实际应用中经常用到.
11．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）已知函数 （ ）.
(1)若 的零点有且只有一个，求 的值；
(2)若 存在最大值，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，令 得到 ，令 ，利用导数说明函数的单
调性，求出函数的极大值，即可得解；
（2）由（1）知，当 时， ，显然不符合题意，当 时， 有两个零点 ，
易知 ，即可得到 的单调性，依题意可得 有最大值 ，即可求出 的
取值范围，再结合 的单调性，计算可得.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
令 ，即 ，得 ，令 ，
由 ，则 时， ， 时， ，所以 在区间 单调递增，在区间 单调递减，
所以 在 处取得极大值即最大值，
又 时， ； 时， ， ，
所以当 时， 有且只有一个零点.
（2）因为 ，由（1）知，当 时， ，
所以 在区间 单调递减， 无最大值；
当 时， 有两个零点 ，易知 ，
当 或 时， ，故 单调递减，
当 时， ，故 单调递增，
又 时， ， 时， ，
所以 有最大值 ，
消去 得 ，
结合 以及 在区间 单调递减，且 ，
所以 .
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为
不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的
单调性、极(最)值问题处理．12．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，判断 的单调性；
(2)当 时， 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1) 在 上单调递减，在 上单调递增
(2)
【分析】（1）根据题意，求导得 ，即可得到其单调区间；
（2）根据题意，整理可得当 时， 恒成立，构造 ，转化为
即可，然后通过求导研究函数 的最大值，即可得到a的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
易知 在 上单调递增，且 ，
故当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
综上所述， 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）当 时， ．
整理得 ，即 恒成立．
令 ，则 即可，所以必有 成立，即 ．
易知 ，
令 ，则 ， ，易知 ．
当 时， ，所以当 和 时， ；
当 时， ．
所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增．
故 ，
故 ，解得 ．
当 时， ， ，所以当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
故 ，解得 ，
所以 ．
综上所述，实数a的取值范围为 ．
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键在于转化为 时， 恒成立，然后构造，由 来求解 的值.
题型 五 函数极值、最值的综合应用
【典例1】已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间 上的最大值为－3，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出 ，利用导数判断函数的单调性，由此可得函数的最值；
（2）求出 ，分 和 两种情况，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值，结合题意
列出方程，求解 的值即可.
【详解】（1）解：函数 的定义域为 ，
当 时， ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上为单调递增函数，在 上为单调递减函数，
所以 ，
所以当 时，求 的最大值为 ；
（2）解：函数 ，
则 ， ， ，
①若 ，则 ，所以 在 上单调递增，
故 ，不符合题意；②若 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上为单调递增函数，在 上为单调递减函数，
则 ，
令 ，可得 ，
解得 ，
因为 ，
所以 符合题意，
综上所述 .
6．已知函数 的最小值为0．求实数 的值；
【答案】
【分析】求导函数 ，导函数为增函数，由题意 在定义域内有实数解 ，即 ，而
，由此得出关于 的方程 ，引入新函数 ，利用导数证明此方程只有唯一
解，从而可得结论.
【详解】 ，显然 在定义域内是增函数， 有最小值，
则 有实数解 ， 时， ， 单调递减，
， ， 单调递增，
则有 ， ，
， ，
令 ， ，时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增，
所以 ，因此由 得 .
【典例2】7．已知函数 ．
(1)证明：
(2)若 ，求 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）求导分析函数的单调性与最大值证明即可；
（2）构造函数 ，求导分析单调性可得当 时 ，结合
（1）中的结论求解即可
【详解】（1）证明： 的定义域为 ，且
令 ，得 ．
当 时， ， 单调递增
当 时， ， 单调递减，
所以 ，所以
（2）令 ，则 ．
当 时，有 ，与题设矛盾，故舍去．
当 时，令 ，得
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，所以由 知， 当且仅当 时，取等号 ，
所以 ，所以 ．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知函数 ，若对任意的 ，
成立，则 的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．e
【答案】C
【分析】设 ，求得 ，当 时，得到 在 上单调递增，得到
，即 ，设 ，求得 ，得到 时， 在 上单调
递增，得到 ，即 ，得到 ，进而得到 ，即可求解.
【详解】设 ，可得 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
故当 时， ，即 ，当且仅当 时，等号成立，
设 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，故当 时， ，
即 ，当且仅当 时，等号成立，
可得 ，所以 ，所以 ，所以 的最大值是 .
故选：C.
2．（2023·四川·校联考模拟预测）若 ，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，设 ，然后构造 ，由导数研究函数 的最小值，
即可得到结果.
【详解】不等式 ，即 ，
所以 .设 ，则 ，
可知 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增，
所以 .
令 ，则 .
当 时， ， 单调递增，则 ，
则 ，故 满足条件；
当 时，则 在 上单调递减；在 上单调递增，则 ，
设 ，则 ，则 在 单调递减，又
，所以 ，则 ，
综上所述， 的取值范围是 .
故选：A【点睛】解答本题的关键在于，先换元令 ，然后构造函数 ，得到其最
值，即可得到结果.
3．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过构造函数，利用导数求函数的单调性，比较各式的大小.
【详解】 ，
设 ，函数定义域为 ，
则 ，
故 在 上为增函数，有 ，即 ，
所以 ，故 .
设 ，函数定义域为 ，则 ，
，解得 ； ，解得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
当 时， 取最大值，所以 ，即 ， 时等号成立，
所以 ，即 ，
又 ，所以 .
故选：D．
4．（2023·西藏林芝·统考二模）已知函数 ，若 有两个不同的极值点
，且当 时恒有 ，则 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】 有两个不同的极值点，则 有两个不同的零点，则 且 ，
恒成立，即 恒成立，分 和 两种类型讨论，通过构造函数，利
用导数求最值，求 的取值范围.
【详解】由题可知， ，
因为 有两个不同的极值点 ，所以 且 ，
若 ，则 ， ，当 时， ，即 ，即 ，即
，
设 （ ），则 ，所以 在 上单调递减，则 ，则
，所以 .
若 ，则 ， ，当 时， ，即 ，若 ，则当
时， ，不满足题意，
所以 ，此时 ，即 .
设 （ ），则 ， 解得 ， 解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，则有 解得 ，所以 .综上， 的取值范围是 .
故选：B.
【点睛】方法点睛：不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，
不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思
路，有着非凡的功效.
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 在 上是增函数
B． ，不等式 恒成立，则正实数a的最小值为
C．若 有两个零点 ， ，则
D．若 ，且 ，则 的最大值为
【答案】ABD
【分析】A选项，由题 ， ，判断 在 上的单调性即可；
B选项，由 单调性， ；
C选项，由 有两个零点 ， ，构造函数应用极值点偏移可解；
D选项，因 ，及 在 上单调递增，结合B选项分析可判断选项.
【详解】对于A选项， ， .
又当 时， ，则 在 上是增函数，故A正确；对于B选项， 时， ，又 为正实数，所以 ，又 时， ，
所以 在 单调递增，故 ，即 .
令 ，知 ，所以 在 上递增，在 上递减，所以 ，
得正实数 的最小值为 ，故B正确；
对于C选项， 有两个根 ， ，等价于函数 有两个零点 ， .
注意到 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
因函数有零点，则 .
设 ，
令 ， ，
因为 ，
所以 ，
当 时， ， 单调递减；
所以 在 上单调递减，所以 ，即当 时， ，
由题意 ， ， ，且 在 上单调递增，
所以 ，即 ．故C错误；
对于D选项，由AB选项分析可知， 在 上单调递增，
又 ， ，则 .由 ，即 ，即有 ，
又 ， 在 上单调递增，所以 ，即 ，所以 ，
其中 .由B选项分析可知， ，其中 时取等号，则 ，
其中 时取等号，所以 ，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：对于复杂函数，常利用导数求单调区间.对于恒成立问题，常利用分离参数法将问题
转化为求最值.
对于双变量问题，常结合题目条件寻找变量间关系，将双变量转化为单变量.
6．（2023·全国·高三专题练习）定义在 上的函数 ，则（ ）
A．存在唯一实数 ，使函数 图象关于直线 对称
B．存在实数 ，使函数 为单调函数
C．任意实数 ，函数 都存在最小值
D．任意实数 ，函数 都存在两条过原点的切线
【答案】ACD
【分析】根据对称性先用特殊值求得 的值，再判断对称性是否对所以自变量均成立即可判断A；根据导
函数的性质即可判断B，C；根据导数的几何意义求解切线方程，代入原点判断方程的实根个数即可判断
D.
【详解】对于A，若函数 图象关于直线 对称，则 恒成立
所以 且 ，所以 ，解得 ，
且当 时， ，则，
所以存在唯一实数 ，使函数 图象关于直线 对称，故A正确；
对于B， ， ，则 ，所以函数 不是单调函数，故B不正确；
对于C，由于 ，又令 ，则
恒成立，
所以 在 上单调递增，且 ，故 存在唯一的零点 ，使得
，
所以当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递增，
故对任意实数 ，函数 都存在最小值，故C正确；
对于D，由于 ，设曲线 上的切点坐标为 ，则
，
所以切线方程为 ，当切线过原点时，有
整理得 ，方程在实数范围内有两个根，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题7．（2023·江西九江·统考三模）已知函数 有两个极值点 ， ，且 ，则
______.
【答案】
【分析】根据函数有两个极值点得到 是方程 的两个不相等的实数根，然后分离变量，构造
函数 ，对函数求导，利用函数的单调性即可求解.
【详解】 ， 是 的两个零点，
即是方程 的两个不相等的实数根，
， 是方程 的两个不相等的实数根.
令 ，则 .
当 或 时， ；
当 时， ，
在 和 上单调递减，在 上单调递增，
且当 时， ；当 时， .
，且 .
由 ，得 ，
， ，由 ，即 .
故答案为： .
8．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）若 ，则 的取值范围
是____________.【答案】
【分析】根据题意，将不等式变形然后转化为一元二次不等式恒成立问题，将范围转化为函数的值域问题，
再结合导数即可得到结果.
【详解】
，原不等式变形得 .
， 或 ，
，
由于 ，
若 ，则 恒成立， 在 上单调递增， 无最大值，不符合题意；
若 ，则 ， 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 .
综上： ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，
所以 有两个零点 ，
由 得，当且仅当 时等号成立.
，
且当 ， ， 单调递增，且当 ， ， 单调递减；
所以 ，当且仅当 时等号成立.
所以 的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】解答本题的关键在于先转化为恒成立问题，再构造函数，结合导数作为工具研究函数的最值，即
可得到结果.
四、解答题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，且 .
(1)求实数 的值；
(2)证明：存在 ， 且 时， .
【答案】(1)1
(2)证明见解析
【分析】（1）要使 ，即 ，求得 ，得到 的单调性和最值，即可求出实
数a的值；
（2）求得 ，设 ，得到 ，利用导数性质推导出 是
在 的唯一极大值点，即可证明.
【详解】（1）解：由函数 ，可得其的定义域为 ，且 ，
因为 ，且 ，故只需 ，又因为 ，则 ，解得 ，
当 时，则 ，
当 时， ，此时 在 上单调递减；
当 时， ，此时 在（1，+∞）上单调递增.
所以 是 的唯一极小值点，故 ，
综上可得，实数 的值为1.
（2）解：由（1）知 ，可得 ，
设 ，则
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又由 ，
所以 在 有唯一零点 ，在 上有唯一零点1，
且当 时， ；当 时 ，
因为 ，所以 是 的唯一极大值点.
即 是 在 的最大值点，所以 成立.
10．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）先求定义域，求导后，对 进行分类讨论，即可得到函数的单调性；
（2）由题意，可取 ，得 ，对原不等式进行放缩可得 ，构造函数
，求导得 ，再构造 ，求导
得 ，取特殊值可得 的最小值为正数，所以可知 在 处取得极小值，可得
，所以 恒成立，故实数 的取值范围是 .
【详解】（1） 的定义域为 ，
，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时，由 ，解得： ，由 ，解得： ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
综上：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在， 上单调递增.
（2）由 ，得 ，
取 时，得 ，所以 ，
下证： ，即证： ，
令 ，则 ，构造 ，则 ，
易知 在 上是单调递增函数，
又 ， ，
在 上存在唯一零点，设该零点为 ，
且满足 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
，
当 时， ，当 时， ，
故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
，
在 上恒成立，即 ，
在 上恒成立，
故实数 的取值范围是 .
【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，难度相对较大，主要考向有以下几点：
1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；
2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；
3、求函数的极值（最值）；
4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；
5、证明不等式；
解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导再结合导数与单调性等解决.
【附录-导数与函数的极值、最值思维导图思维导图】
