文档内容
专题 08 导数的综合应用
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
导数的概念、运算及简单应用近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
1、求切线方程
2022年全国乙（理科），第21题,12分 分类讨论思想
2、根据零点求参
2022年全国乙（理科），第16题,5分 求切线，根据极值点求参
1、函数不等式恒成立求参数取值范围
2022年全国甲（理科），第21题,12分
2、双变量问题、极值点偏移问题
2022年全国甲（理科），第6题,5分 求某点处的导函数值 已知最值求参
2023年全国甲（文科），第8题,5分 求切线方程
2023年全国乙（文科），第8题,5分 利用导数研究函数的零点
1、判断函数的单调性
2023年全国甲（理科），第21题,12分 三角函数
2、函数不等式恒成立求参数取值范围
1、求切线方程
2023年全国乙（理科），第21题,12分 2、根据函数的性质求参
3、根据极值求参数取值范围
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本节内容为高考必考内容，各种题型都有涉及，且多年来均出现解答题压轴位置；
2.常考题型：求一点处的切线；判断函数的单调性；判断函数的极值和最值；通过导函数研
究函数的零点等；解答题常有：函数不等式恒成立求参、极值点偏移、隐零点、双变量、数
列不等式、与三角函数的综合问题等。
【备考策略】1.了解导数的概念,掌握基本初等函数的导数；
2.通过函数图象,理解导数的几何意义；
3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单
的复合函数(形如f(ax+b))的导数；
4.利用导函数判断函数的单调性；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15.利用导函数判断函数的极值与最值；
6.利用导函数研究函数的零点；
7.利用导函数研究函数不等式恒成立问题。
【命题预测】1.求一点处的切线问题；通过导函数判断函数的单调性（含参与不含参）；
2.根据导函数判断函数的极值和最值、通过极值、最值求参；通过导函数研究函数的零点；
3.通过导函数研究函数的零点问题；
4.根据函数不等式恒成立问题求参、极值点偏移、隐零点、双变量、数列不等式、与三角函
数的综合问题等
知识讲解
一、利用导数证明不等式
1、利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数 ；
（3）利用导数研究 的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值
问题．
二、导数中分离参数问题
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2分离参数法基本步骤为：
第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参
数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，
第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解.
第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论.
三、利用导数研究不等式恒成立问题
1、导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若
恒成立，转化为 .
2、本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ，
（1）若 ，总有 成立，故 ；
（2）若 ，总有 成立，故 ；
（3）若 ，使得 成立，故 ；
（4）若 ，使得 ，故 .
3、对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构
造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和
放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
四、利用导数研究数列不等式问题
利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
五、利用导数研究函数零点问题
已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
（1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值
范围；
（2）分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与 和 相关的常见同构模型
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3① ，构造函数 （或 ，构造函数
）；
② ，构造函数 （或 ，构造函数 ）；
③ ，构造函数 （或 ，
构造函数 ）.
六、利用导数研究隐零点问题
1、隐零点是指一个函数在某个区间上有一个零点，但是这个零点具体等于多少却无法计算。隐零点问题
指的是一个函数的零点存在但无法直接求解出来的问题。
2、隐零点问题的8种解决策略如下
（1）直接观察
（2）虚设零点
（3）分类讨论
（4）拆分函数
（5）等价转化
（6）降次代换
（7）巧妙放缩
（8）反客为主
这些解决策略可以帮助我们解决导函数存在隐零点的情况，其中包括形式上虚设、运算上代换、数值上估
算、策略上等价转化、方法上分离函数(参数)、技巧上反客为主等方法。通过这些方法，我们可以更好地
解决隐零点问题。
七、利用导数研究双变量问题
关于同一函数中的两个变量的问题，又可以分成两类题型，一是求参数取值范围类问题，二是没有参数的
双变量证明问题，这两类题型在解法上不同，但是思想上均为构造函数的范畴。
方法一：构造函数，转化为单调性问题
在高中数学基础概念里面涉及双变量的有两个地方，一是函数专题中关于单调性的介绍，而是双参数引出
导数的概念，由于导数概念仅作为理解的参考，因此我们解决很多双变量问题的时候用到最多的是单调性：
如果让证明 ，我们可以构造函数 ，并且令 ，若能判断出函数 是单调增函数，
则根据同增异减原则就可以证明出 ，这是解决问题最基础最核心的东西。
若证明 ，同理我们可以根据单调性同增异减，构造新函数 ，若令
，若能证明出 是增函数，则也能得证，因此此类问题的关键在于能够构造出所需要的函数并
且能证明的出来单调性。
解读：注意分子正负未定，因此做题之前要人为设定出两变量的大小，变成多项式之后就能看出需要构造
的函数。
总结：无论是证明题还是求参数范围问题，解题思路均相同，设定两个未知量的大小关系，然后构造出所
需要的函数，进而使用单调性来判断不等式成立或将单调性转化为参数恒成立问题。
方法二：构造函数，转化为函数的最值问题
如果函数无法用单调性来求解，则两个变量显然不能直接求最值，因此最常见的做法是找两个变量之间的
关系，然后将双变量转化为单变量即可，另外还有一种可以转化为单变量的方法就是虽不知道两变量之间
的关系，但是可以试着用其中一个变量作为自变量而另外一个变量作为常数来用，这样题目也可以转化为
单变量问题，另外也可以试着将两个变量的和或商作为一个新的变量，方法大致有三种，如下：
类型一：可以找到两个未知量的关系，从而转化为一个变量。
类型二：可将两变量的和，差，积，商作为一个整体设为新变量的。
类型三：将双变量指定主变量
双变量指定主变量即把其中一个设为自变量，另外一个看成常数，然后构造新函数就可以将双变量函数转
化为一元函数。
解读：至于把谁看作自变量都可，题目转化为恒成立问题，即新函数的最小值大于零即可，这里需要注意
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4将其中一个变量设为自变量，另外一个设为常数之后需要注意新的自变量的取值范围。
八、利用导数研究极值点偏移问题
1、极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数的图像不具有对称性。
2、极值点偏移问题包括含参数的和不含参数的两种情况。
（1）对于含参数的情况，可以通过消去参数或构造新函数来转化为不含参数的问题。常用的解法有换元、
构造、化齐次、使用对数平均不等式和构造对称函数等方法。其中，构造对称函数是最常用的方法之一，
可以从指数或对数的角度出发，利用单调性来解决问题。
（2）对于不含参数的情况，可以通过求导数方程的根来求得极值点，并判断其是否在定义域内。同时，
需要注意端点位置的点，以及比较各值的函数值的大小来确定最大值和最小值
3、证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：
（1）证明 （或 ）：
①首先构造函数 ，求导，确定函数 和函数 的单调性；
②确定两个零点 ，且 ，由函数值 与 的大小关系，得
与零进行大小比较；
③再由函数 在区间 上的单调性得到 与 的大小，从而证明相应问题；
（2）证明 （或 ）（ 、 都为正数）：
①首先构造函数 ，求导，确定函数 和函数 的单调性；
②确定两个零点 ，且 ，由函数值 与 的大小关系，得
与零进行大小比较；
③再由函数 在区间 上的单调性得到 与 的大小，从而证明相应问题；
（3）应用对数平均不等式 证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到 ；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
九、导数在情景中的运用
1、利润最大问题
2、面积、体积最大问题
3、成本最小问题
4、用料最省问题
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5考点一、 利用导数证明不等式
1．已知函数 ，证明： .
2．已知函数 ，当 时，证明： .
3．已知函数 ， ，设函数 ，证明： 的图象在 的图象的上方．
1．设函数 ， ，求证： ．
2．函数 ， ，当 时，证明： ．
3．设函数 ， ，其中e是自然对数的底数，若 ，求证： ．
考点 二 、 导数中的分离参数
1．已知函数 ，设 ，若 在区间 内恒成立，求k的最小值．
2．（2023·山东省德州市名校模拟）任给两个正数x，y，使得不等式 恒成立，则实数a
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·北京市名校模拟）已知函数 ，若存在 ，使 ，则m的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
1．已知 ，且 恒成立，则k的值不可以是（ ）
A．－2 B．0 C．2 D．4
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 62．已知函数 ，若 ，求c的取值范围.
3．若 在 上恒成立，则实数a的取值范围是为（ ）
A． B． C． D．
考点 三 、 利用导数研究不等式恒成立问题
1．（2023·江苏省苏州名校模拟）已知函数 ，若 恒成立，求实数
的取值范围.
2．（2023·甘肃省宁夏回族自治州名校模拟）设函数 ， ．若当
时， 恒成立，求 的取值范围．
3．（2023·河北省石家庄名校模拟）已知函数 ，若 恒成立，求 的取值范围.
1．设 ， ， ．证明：当 时， 恒成立．
2．已知函数 若不等式 对一切 恒成
立，则正整数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 （ ）．当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围．
考点 四 、 利用导数研究数列不等式
1．（2023·河南省南阳市名校模拟）已知 ，证明： 时， .
2．已知函数 ，对任意的 ，求证： .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 73．（2023·广东省广州市名校模拟）已知函数 ，证明：对任意的 且 ，都有：
.
1．设 在 上恒成立，证明：当 时， ．
2．已知函数 .
(1)若 在 上单调递增，求 的值；
(2)证明： （ 且 ）.
3．已知函数 ，当 时，证明： .
考点 五 、 利用导数研究函数的零点
1．（2023·陕西省榆林市名校模拟）已知函数 的图象与 轴有且仅有两个交点，则实数
的值是（ ）
A． B． C．-1 D．0
2．（2023·四川省眉山市名校模拟）已知函数 ， 其中 为自然对
数的底数，当 时，求函数 零点个数．
3．（2023·湖南省名校模拟）已知函数 ，若方程 有3个零点，求实数
的取值范围．
1．已知函数 ， ，当 时，判断 的零点个数.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 82．给定函数 ，若函数 恰有两个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 ，若 存在零点，求a的取值范围．
考点 六 、 利用导数研究隐零点问题
1．（2023·河北省沧州市名校模拟）已知函数 ，当 时，证明：不等式
恒成立．
2．（2023·贵州省铜仁市名校模拟）已知函数 ，若 恒
成立，求 的取值范围．
3．（2019·新课标Ⅰ高考真题（文科））已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
1．已知函数 ，证明：当 时， ．
2．设函数 ．
(1)求 的单调区间
(2)若 ，k为整数，且当 时 ，求k的最大值
3．设函数 .
（Ⅰ）讨论 的导函数 的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当 时 .
考点 七 、 利用导数研究双变量问题
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 91．（2023·黑龙江省哈尔滨市名校模拟）已知 ，函数 ，当 时，
若 ，求证： .
2．（上海师范大学附属外国语中学2023届试题）已知函数 ，若函数 有三个
不同的极值点 、 、 ，且 ，求实数a的取值范围.
3．（2023·福建省福州名校模拟）已知函数 ，若 ，且 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
1．已知函数 ，对任意 ，存在 ，使 ，则 的最小值
为（ ）．
A．1 B． C． D．
2．已知函数
(1)求 的单调区间；
(2)若函数 有两个不同的零点 ， ，证明： ．
3．已知函数 （a为常数），设函数 的两个极值点分别为 ， （ ），
求 的范围．
考点 八 、 利用导数研究极值点偏移问题
1．（2023·广东省广州市名校模拟）已知函数 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10(1)讨论函数 的单调性：
(2)若 是方程 的两不等实根，求证： ；
2．（新疆维吾尔自治区名校模拟）已知函数 ， ，其中 为自然对数的底数．
(1)若 有两个极值点，求 的取值范围；
(2)记 有两个极值点为 、 ，试证明： ．
3．（2023·河北省石家庄名校模拟）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 有两个零点 、 ，证明 .
1．已知函数 ，若 ， ， ，证明： ．
2．已知 ，若存在 ， ，使 ，求证： ．
3．已知函数 ，a为实数．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 在 处取得极值， 是函数 的导函数，且 ， ，证明：
．
考点 九 、 导数在情景中的应用
1．现有一个帐篷，它下部分的形状是高为 的正六棱柱，上部分的形状是侧棱长为 的正六棱锥（如
图所示）当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点O到底面中心 的距离为（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11A． B． C． D．
2．（2023·广东省汕尾市名校模拟）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是
分，其中 （单位： ）是瓶子的半径．已知每出售 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商
能制作的瓶子的最大半径为 ，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南省南阳市名校模拟）给出新定义：设 是函数 的导函数， 是 的导函数，
若方程 有实数解 ，则称点 为 的“拐点”，已知函数
的一个拐点是 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
1．已知正三棱锥的高为 ，且 ，其各个顶点在同一球面上，且该球的表面积为 ，则该三棱锥
体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，ABCD是边长为 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，
再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F
在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设 ，当 cm时，
包装盒的容积最大，最大容积为 ．
3．定义方程 的实数根 叫做函数 的“奋斗点”.若函数 ， 的“奋
斗点”分别为 ， ，则 ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12【基础过关】
1．证明： .
2．已知 ．
（1）若对任意 ，有 ，求实数a的取值范围；
（2）当 时， 的值域为 ，求实数a的取值范围；
（3） ， ，使得 成立，求实数a的取值范围．
（4） ，使得 成立，求实数a的取值范围．
3．设实数 ，若对 不等式 恒成立，则m的取值范围为 ．
4．若函数 有两个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，如图是一张边长为 的正方形硬纸板，先在它的四个角上裁去边长为 的四个小正方形，再折叠
成无盖纸盒．
(1)试把无盖纸盒的容积 表示成裁去边长 的函数；
(2)当 取何值时，容积 最大？最大值是多少？（纸板厚度忽略不计）
6．（2023·浙江省丽水市名校模拟）已知函数 ．
(1)求函数 的单调递减区间；
(2)若函数 有三个零点，求 的取值范围．
7．已知函数 及其导函数 ，若存在 使得 ，则称 是 的一个“巧值点”，
下列选项中没有“巧值点”的函数是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13A． B． C． D．
8．已知函数 ， ．当 ， 时，求证： ．
9．已知函数 ．
(1)若 是函数 的极值点，求 的值；
(2)若函数 有两个零点，求 的取值范围．
10．（2023·安徽省名校模拟）已知函数 为函数 的导函数．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)已知函数 ，存在 ，证明： ．
11．（2023·河南省洛阳市名校模拟）已知函数 （a为常数）．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设函数 的两个极值点分别为 ， （ ），求 的范围．
【能力提升】
1．已知正三棱锥的外接球半径R为1，则该正三棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川省自贡市名校模拟）已知函数 ， ， ， 恒
成立，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·陕西省咸阳市名校模拟）已知函数 ，若方程 恰有
四个不等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若关于 的方程 有两个解，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 145．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并
构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连续函数 ，存在一个点 ，使得
，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 有两个零点 ，且 ，
(1)求 的取值范围；
(2)证明： .
7.（2023·河南省开封市名校模拟）已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若函数 有两个零点 ，证明： .
8．（2023·广西邕衡名校模拟）已知函数 ．
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)若 有两个不同零点 ， 证明： ．
9．已知函数 ；
(1)若 无零点，求a的取值范围；
(2)若 有两个相异零点 ，证明： ．
10．（2023·甘肃省酒泉市名校模拟）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 有两个极值点 ，且 ，求 的取值范围．
11．（2023·湖南省常德市名校模拟）已知函数 （ ）.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 两个极值点 ， ，且 ，求 的取值范围.
12．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 在定义域内有两个极值点 ，求证： .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1513．已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)设函数 ，若 恒成立，求 的最大值；
(3)已知 ，证明： .
【真题感知】
1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
2．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围．
3．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若 在 存在极值，求a的取值范围.
4．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程．
(2)若函数 在 单调递增，求 的取值范围．
5．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（1）证明：当 时， ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16（2）已知函数 ，若 是 的极大值点，求a的取值范围．
7．（2023年北京高考数学真题）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为
．
(1)求 的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
(3)求 的极值点个数．
8．（2023年新高考天津数学高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处切线的斜率；
(2)当 时，证明： ；
(3)证明： ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17
