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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 09 导数中的极值点偏移问题（精讲+精
练）
一、知识点梳理
一、极值点偏移基本定义
对于函数 在区间 内只有一个极值点 ，函数 与直线 交于点 ，
两点，即 ，且 .
(1)若 ，则称函数 在区间 上极值点 偏移.
(2)若 ，则称函数 在区间 上极值点 向左偏移，简称极值点左偏.
(3)若 ，则称函数 在区间 上极值点 向右偏移，简称极值点右偏.
如上图所示， 为函数的极值点， 处对应的曲线的切线的斜率为
由上面图像可知，函数的图像分为凸函数和凹函数。
当函数图像为凸函数，且极值点左偏时，有 ；
当函数图像为凸函数，且极值点右偏时，有 。
当函数图像为凹函数，且极值点左偏时， ；当函数图像为凹函数，且极值点右移时，有 。
如图所示，上图的函数图像为凸函数，且极值点右移， 和 处对应的函数值相等，我们可以作 关于
的对称点 ，则 ，且 ，故 ，即 ，故我们可
以构造函数 ，只需要判断函数 的单调性，然后根据单调性判断函数的最
小值，只要满足 ，我们就可以得到 。同理，我们可以得到凸函数极值点左移以及
凹函数极值点左移或右移的构造函数。
二、答题模板（对称构造）
若已知函数 满足 ， 为函数 的极值点，求证： .
（1）讨论函数 的单调性并求出 的极值点 ；
假设此处 在 上单调递减，在 上单调递增.[来源:Z,xx,k.Com]
（2）构造 ；
注：此处根据题意需要还可以构造成 的形式.[来源:Zxxk.Com]
（3）通过求导 讨论 的单调性，判断出 在某段区间上的正负，并得出 与的大小关系；
假设此处 在 上单调递增，那么我们便可得出 ，从而得
到： 时， .
（4）不妨设 ，通过 的单调性， ， 与 的大小关系得出
结论；
接上述情况，由于 时， 且 ， ，故
，又因为 ， 且
在 上单调递减，从而得到 ，从而 得证.
（5）若要证明 ，还需进一步讨论 与 的大小，得出 所在的单调区间，从
而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为 ，故 ，
由于 在 上单调递减，故 .
三、其他方法1.比值代换
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的
比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用 表示)表示两个极值点，即 ，化为
单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于 的函数问题求解．
2.对数均值不等式
两个正数 和 的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： （此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当 时，等号成立．
3.指数不等式
在对数均值不等式中，设 ， ，则 ，根据对数均值不等式有如下
关系：
二、题型精讲精练
【典例1】已知函数 .
(1)若函数 有两个零点，求 的取值范围；
(2)设 是函数 的两个极值点，证明： .
【答案】(1)
(2)证明过程见解析.
【详解】（1） ，
该方程有两个不等实根，由 ，
所以直线 与函数 的图象有两个不同交点，
由 ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，因此 ，
当 时， ，当 ， ，
如下图所示：
所以要想有两个不同交点，只需 ，即 的取值范围为 ；
（2）因为 是函数 的两个极值点，
所以 ，由（1）可知： ，不妨设 ，
要证明 ，只需证明 ，显然 ，
由（2）可知：当 时， 单调递增，所以只需证明 ，
而 ，所以证明 即可，
即证明函数 在 时恒成立，
由 ，
显然当 时， ，因此函数 单调递减，
所以当 时，有 ，所以当 时， 恒成立，因此命题得以证明.
【典例2】已知函数
(1)当 ，研究 的单调性；
(2)令 ，若存在 使得 ，求证 .
【答案】(1) 在 上单调递减，在 上单调递增
(2)证明见解析
(1) ， ，在 上单调递增，且 ，所以
时， ， 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增；(2) ，（ ），
时 ， 递增， 时， ， 递减，
时， ，
存在 使得 ，则 ，令 ， ，
，令 ，
则 ， 在 上单调递增， ， ，
， ， .
【题型训练1-刷真题】
1.（2022届高考全国卷甲理22题）已知函数 ．
（1）若 ,求a的取值范围；
（2）证明：若 有两个零点 ,则 ．
【解析】解法一：
（1）因为 ,
令 ,得
当 单调递减；当 单调递增,
所以 ,若 ,则 ,即 ,
所以 的取值范围为 .
（2）由（1）知, 单调递减；当 单调递增,
若 有两个零点 ,则一个零点小于1,一个零点大于1,不妨设
要证 ,即证 ,
因为 ,即证 ,因为 ,即证
即证 ,
即证 ,
下面证明 时, ,
设 ,
则
,
设 ,
所以 ,而 ,所以 ,所以 ,
所以 在 单调递增
即 ,所以
令
,
所以 在 单调递减,
即 ,所以 ；
综上, ,所以 .
2．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
【答案】（1） 的递增区间为 ，递减区间为 ；（2）证明见解析.
【详解】(1) 的定义域为 ．
由 得， ，
当 时， ；当 时 ；当 时， ．
故 在区间 内为增函数，在区间 内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
由 得 ，即 ．由 ，得 ．
由（1）不妨设 ，则 ，从而 ，得 ，
①令 ，
则 ，
当 时， ， 在区间 内为减函数， ，
从而 ，所以 ，
由（1）得 即 ．①
令 ，则 ，
当 时， ， 在区间 内为增函数， ，
从而 ，所以 ．
又由 ，可得 ，
所以 ．②
由①②得 ．
【题型训练2-刷模拟】
1 . 对称构造
一、解答题
1．已知函数 ，a为实数．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 在 处取得极值， 是函数 的导函数，且 ， ，证明：
【答案】(1) 递减区间为 ，递增区间为 .(2)证明见解析
【分析】（1）求导，由导函数的正负即可确定 的单调区间，
（2）构造函数 ，求导得 的单调性，即可证明 ，构造函数
求导，利用单调性即可求证 .
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
令 ，所以 ，得 ，
当 ， ，当 ， ，
故函数 递减区间为 ，递增区间为 .
（2）因为函数 在 处取得极值，
所以 ，得 ，
所以 ，得 ，
令 ，
因为 ，当 时， ，
所以函数 在 单调递减，在 单调递增，
且当 时, ,当 时, ,
故 .
先证 ，需证 .
因为 ，下面证明 .设 ,
则 ,
故 在 上为增函数,故 ,
所以 ,则 ,
所以 ,即得 ，
下面证明：
令 ，当 时 ，所以 成立,
所以 ，所以 .
当 时，记 ,
所以 时 ，所以 为减函数得 ,
所以 ,即得 .
所以 得证，
综上， .
【点睛】思路点睛：求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，
往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调
性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，
构造有效的函数往往是解题的关键.
2．已知函数 ．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当 时，若 ，求证：
【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析
【分析】（1）先求定义域，再求导，分 与 两种情况，由导函数的正负求出函数的单调性；
（2）先结合（1）中函数单调性得到 ，构造 ，求导得到其单调
性，从而证明出 ，得到结论.
【详解】（1） 的定义域为 ，
因为 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增；
当 时，令 得 ，令 得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）当 时 ， ，定义域为 ，
，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又因为 ，所以 ，
设 ，
则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，所以 ， 即 ，
又因为 ， ，所以 ，
又因为 在 上单调递减，
所以 ，即 ．
【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变
量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用 进行变形，可构造关于 的函数，利
用导函数再进行求解.
3．已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间和最大值；
(2)设函数 有两个零点 ，证明： ．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出导函数，分类讨论，研究单调性，求出最大值；
（2）利用极值点偏移直接求解.
【详解】（1）函数 的定义域是 .
当 时， 恒成立，故 在 上单调递增，无最大值；
当 时，令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
．
（2） ，因为 为 的两个零点，
所以 ，不妨设 ．
因为 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ．
又证明 等价于证明 ，
又因为 在 上单调递增，
因此证明原不等式等价于证明 ，即要证明 ，
即要证明 ，
即 恒成立．
令 ，
则 ，
所以 在 上为减函数，
所以 ，
即 在 时恒成立，
因此不等式 恒成立，
即 ．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导
数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
（4）利用导数证明不等式．
4．已知函数 .
(1)讨论 的零点个数；
(2)当 有两个零点时，分别设为 ， ，试判断 与2的大小关系，并证明.
【答案】(1)答案见解析；
(2) ，证明见解析.
【分析】（1）利用导数可求出 的最小值为 ，后讨论最小值与0的大小结合零点存在性定理可
解决问题；
（2）由（1）可得 ， 在区间 上单调递增，则 与2的大小关系，等价于 与
的大小关系，即 与 的大小关系，又注意到 ，故利用导数研究函数
的单调性即可.
【详解】（1）
，
因为 ，所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 .
所以当 ，即 时， 的零点个数为0；
当 ，即 时， 的零点个数为1；当 ，即 时，注意到 ，
，
因 ，则 ，令 ，则 .
令 ，则 ，
因 ，得 ，即 在 上单调递增.
则 ，则 .
故 ，使得 ，得 时， 的零点个数为2.
综上： 时， 的零点个数为0；
时， 的零点个数为1；
得 时， 的零点个数为2.
（2） .证明如下：
由（1）可知，当 时，函数 有两个零点，且 .
令 ， ，
则 ，当 时， ，所以 在区间 上单调递增，
所以 ，
所以 .因为 ，所以 .
又由（1）知 在区间 上单调递增，则 ，
故 .
【点睛】关键点点睛：本题涉及讨论函数零点与双变量问题，难度较大.
（1）讨论零点常利用导数结合零点存在性定理或数形结合，本题采用第一种方法，难点在于取点；
（2）该问为极值点偏移问题，常利用构造差函数或利用消元将双变量变为单变量.
5．已知函数 （ ）．
(1)试讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个零点 ， （ ），求证： ．
【答案】(1)当 时， 在区间 上单调递增；
当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
(2)证明见解析
【分析】（1）求导后，根据 的不同取值范围，对 的符号进行讨论即可；
（2）由已知及（1）中单调性，可知 ， 且 ，故只需证明 ，再借助不等式性质和
放缩，即可证出 .
【详解】（1）由已知， 的定义域为 ， ，
①当 时， ， 恒成立，∴此时 在区间 上单调递增；
②当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 在区间 上单调递增，
当 时， ， 在区间 上单调递减，
综上所述，当 时， 在区间 上单调递增；
当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
（2）若函数 有两个零点 ， （ ），
则由（1）知， ， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
且 ， ， ，
当 时， ，当 时， ，（*）
∵ ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴只需证明 ，即有 .
下面证明 ，
设
， ，设 ，则 ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 在区间 单调递减，
当 时， ， 在区间 单调递增，
∴ ， 在区间 上单调递增，
又∵ ，∴ ，
即 ，
∴由（*）知， ，∴ ，即 .
又∵ ， ，
∴ ，原命题得证.
【点睛】本题第（2）问为极值点偏移的变式，首先需要通过 和 ，确认只需证 ，再
通过构造关于其中一个零点的一元差函数，利用导数研究该函数的单调性，证出 ，最后使用不
等式性质和放缩得到 .
2 . 比值代换
一、解答题
1．设 ，函数 ．
（1）若 ，求曲线 在 处的切线方程；
（2）若 无零点，求实数 的取值范围；（3）若 有两个相异零点 ，求证： ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析.
【分析】（1）求函数 的导数，当 时 ，点斜式写出切线方程即可；
（2）当 时，由 可知函数有零点，不符合题意；当 时，函数 有唯一零点
有唯一零点，不符合题意；当 时，由单调性可知函数有最大值，由函数的最大值小于零列出不
等式，解之即可；
（3）设 的两个相异零点为 ， ，设 ，则 ， ，两式作差可得，
即 ，由 可得 即 ，
，设 上式转化为 ，构造函数 ，证
（1） 即可．
【详解】解：（1）函数的定义域为 ， ，
当 时， ，则切线方程为 ，即 ．
（2）①若 时，则 ， 是区间 上的增函数，
∵ ， ，
∴ ，函数 在区间 有唯一零点；
②若 ， 有唯一零点 ；
③若 ，令 ，得 ，
在区间 上， ，函数 是增函数；
在区间 上， ，函数 是减函数；
故在区间 上， 的极大值为 ，由于 无零点，须使 ，解得 ，
故所求实数 的取值范围是 ．
（3）证明：设 的两个相异零点为 ， ，设 ，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，故 ，故 ，
即 ，即 ，
设 上式转化为 （ ），
设 ，
∴ ，
∴ 在 上单调递增，
∴ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查分类讨论思想方法和构造函
数法，以及转化思想的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题．
2．已知函数 .
（1）若 ，讨论函数 的零点个数；
（2）设 ， 是函数 的两个零点，证明： .
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）当 时，显然 无零点；当 时，考查函数 图象与函数 图象的
公共点个数，数形结合可得结果；
（2）由（1）得 ，将要证不等式转化为 ，根据 是函数 的两个零点得
，不等式转化为 ，不妨设 ，令 ，通过换元不等式转化为
，构造函数 ，由单调性可证得不等式成立.
【详解】（1） ，
①当 时， ，因为 ，所以 无零点；
②当 时， ，下面考查函数 图象与函数 图象的公共点个数.
当二者相切时，设切点为 ，则 ，解得 ，即函数 图象与函数 图象相切.
由图可知，当 时，两函数图象有且只有一个公共点，即 有1个零点；当 ，即 时，
两函数图象无公共点，即 无零点；当 ，即 时，两函数图象有2个公共点，即 有2个零
点.
综合①②可知，当 时，函数 无零点；当 时，函数 有1个零点；当 时，函数
有2个零点.（2）由（1）知，当 时， ，即对任意 ， .
因为函数 有2个零点，由（1）知， ，所以 ，即 .
要证 ，即证 ，只需证 .
因为 是函数 的两个零点，所以 ，两式相减得 ，所以只需证
.
不妨设 ，则 ，即证 ，令 ，即证 .
令 ，则 ，所以函数 在 上单调递增.
所以对任意 ， ，即 成立.
故原不等式成立.
【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是：通过层层转化，把要证的不等式转化为 时，
，最终通过构造函数 ，由单调性证得不等式成立.
3．已知函数 .(1)若 有两个零点， 的取值范围；
(2)若方程 有两个实根 、 ，且 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分析可知 ，由参变量分离法可知直线 与函数 的图象有两个交点，利用
导数分析函数 的单调性与极值，数形结合可求得实数 的取值范围；
（2）令 ，其中 ，令 ， ，分析可知关于 的方程 也有两个实根 、
，且 ，设 ，将所求不等式等价变形为 ，令 ，即证 ，
令 ，其中 ，利用导数分析函数 的单调性，即可证得结论成立.
【详解】（1）解：函数 的定义域为 .
当 时，函数 无零点，不合乎题意，所以， ，
由 可得 ，
构造函数 ，其中 ，所以，直线 与函数 的图象有两个交点，
，由 可得 ，列表如下：增 极大值 减
所以，函数 的极大值为 ，如下图所示：
且当 时， ，
由图可知，当 时，即当 时，直线 与函数 的图象有两个交点，
故实数 的取值范围是 .
（2）证明：因为 ，则 ，
令 ，其中 ，则有 ，
，所以，函数 在 上单调递增，
因为方程 有两个实根 、 ，令 ， ，
则关于 的方程 也有两个实根 、 ，且 ，
要证 ，即证 ，即证 ，即证 ，
由已知 ，所以， ，整理可得 ，
不妨设 ，即证 ，即证 ，令 ，即证 ，其中 ，
构造函数 ，其中 ，
，所以，函数 在 上单调递增，
当 时， ，故原不等式成立.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
4．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个不相同的零点 ，设 的导函数为 .证明： .
【答案】(1)当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）求定义域，求导，分 与 两种情况，根据导函数的正负求出函数的单调性；
（2）先确定 ，不等式变形，只需证明 ，且得到 ，接下来证明对数平均
不等式，得到 ，从而得到 ，所以 ， .
【详解】（1） 的定义域为 ，且 ，
当 时， 恒成立， 在 上单调递增，
当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
综上：当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2）由（1）知：当 时， 在 上单调递增，故 至多有一个零点，不合要求，故 ，
要想 有两个不相同的零点 ，则 ，
解得： ，
，故
要证 ，即证 ，
即证： ，
因为 在 上单调递增，
所以只需证 ，不妨设 ，
两式相减得： ，
变形为 ，
下面证明 在 上成立，
只需证 ，即 ，令 ，即证 ，
构造 ， ，
则 恒成立，
故 在 上单调递增，
故 ，所以 ， ，
故 ，即 ，所以 ， ，证毕.
【点睛】对数平均不等式为 ，在处理函数极值点偏移问题上经常用到，可先证
明，再利用对数平均不等式解决相关问题，证明的方法是结合 ，换元后将二元问题一元
化，利用导函数进行证明.
3 . 含指数、对数式
1．已知函数 有两个零点．
（1）求 的取值范围；
（2）设 ， 是 的两个零点，证明： ．
【分析】（1）求出 ，然后分 、 、 、 四种情况讨论，每种情况下求出
的单调性，再结合函数值的符号即可得到答案；
（2）借助（1）的结论来证明，由单调性可知 等价于 ，即 ．设
，则 ．则当 时， ，而 ，故当 时， ．从而 ，故 ．
【详解】（1） ．
①当 时，则 ， 只有一个零点．
②当 时，则当 时， ；当 时， ．
所以 在 单调递减，在 单调递增．
又 ， ，取 满足 且 ，
则 ，
故 存在两个零点．
③当 时，由 得 或 ．
若 ，则 ，故当 时， ，因此 在 单调递增．
又当 时 ，所以 不存在两个零点．
若 ，则 ，故当 时， ；当 时， ．
因此 在 单调递减，在 单调递增．
又当 时， ，所以 不存在两个零点．
综上， 的取值范围为 ．
（2）不妨设 ，由（1）知 ， ，
在 单调递减，所以要证 ，即证 ，即证 ．
由于 ，而 ，
所以 ．
设 ，则 ．
所以当 时， ，而 ，故当 时， ．
从而 ，故 ．
【点睛】（1）对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题，通常要根据参数进行分类讨论，要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；
（2）解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性或极值破解.
2．已知函数 ， .
（1）若函数 是 上的增函数求 的取值范围；
（2）若函数 恰有两个不等的极值点 、 ，证明： .
【分析】（1）问题转化为 对 恒成立.求导后分离参数得到 ，设 ，利
用导数研究单调性，求得最小值，根据不等式恒成立的意义得到所求范围；
（2）由 ， 为两个极值点不妨设 ，联立极值点的条件，并结合要证不等式，消去a,将要证不等
式转化为只含有 ， 的不等式，适当变形转化为只含有 的不等式，作换元 ，转化为
关于t的不等式，构造函数，利用导数研究单调性，进而证明即可.
【详解】解：（1） ， 在 上增函数等价于 对 恒成立.
即 ，设 ， ，
0
－ 0 +
极小值
，故
（2）由
，由 ， 为两个极值点不妨设则 两式相减得
要证明： 等价于证明
即 两边同除
等价于证明： ，设
即 ，
设
由（1）可知：当 时， 恒成立， 成立，
即 ，∴
∴ 在 单调递减
∴
故 成立.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及不等式恒成立中的参数范围，考查利用导数研究函数
的极值点，以及关于极值点的不等式的证明问题，涉及消参思想和换元思想，构造函数，并利用导数研究
函数的最值解决不等式相关问题，是典型题.
3.已知函数 与直线 交于 两点．
求证：
【解析】由 ，可得：①， ②
①-②得：
③
①+②得：
④
根据对数平均不等式
利用③④式可得：
由题于 与 交于不同两点，易得出则
∴上式简化为：
∴
4．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ，证明：当 时， ；
（3）若函数 的图象与 轴交于 两点，线段 中点的横坐标为 ，证明： ．
【解析】（1）易得：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）法一：构造函数 ，则 ，
在 上单调递增，
又 ，即 ．
法二：构造以 为主元的函数，设函数 ，
则 ， ，
由 ，解得 ，
当 时， ，∴ 在 上单调递增，
而 ，所以 ，故当 时， ．
（3）由
故要证
．
