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培优 04 实数有关类型题（7 大题型）
题型1 实数的性质
实数性质的解题策略
依有理数（分数形式）和无理数（无限不循环）定义分类；利用相反数、倒数、绝对值性质计
算，含参时验证存在性．
1．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）下列关于 的说法错误的是（ ）
A． 的绝对值是 B． 的相反数是
C． 的平方是 D． 是无理数
【答案】C
【详解】本题考查实数的绝对值、相反数、平方及无理数的概念，需逐一分析各选项的正确性．【分析】解：A． 的绝对值是 ，正确，故此选项不符合题意；
B． 的相反数是 ，正确，故此选项不符合题意；
C. 的平方是5，原说法错误，故此选项符合题意；
D． 是无理数，正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）实数 的相反数为 ．
【答案】
【分析】本题考查实数的相反数， 的相反数是 ，据此求解．
【详解】实数 的相反数为 ，
故答案为： ．
3．（24-25七年级下·山东滨州·期末）实数 的绝对值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了实数的性质，利用绝对值的意义是解题关键．根据绝对值的意义即可得答案．
【详解】解：实数 的绝对值为 ．
故答案为： ．
4．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末） ．
【答案】 /
【分析】本题考查的是实数的绝对值，根据绝对值的含义可得答案.
【详解】解：∵ ，
∴∴ ，
故答案为： ．
5．（21-22八年级上·河北石家庄·期末）已知 、 是实数，下列四条命题：
①如果 ，那么 ；
②如果 ，那么 ；
③如果 ，那么 ；
④如果 ，那么 ．
其中真命题的是 ．（填写所有真命题的序号）
【答案】②④/④②
【分析】根据绝对值得性质以及二次根式的性质分别分析得出答案即可．
【详解】解：①如果|a|=|b|，那么a=±b，故此选项错误；
②如果 ，那么a=b；根据二次根式的性质，故此选项正确；
③如果|a|=|b|，那么 ，∵|a|=|b|中，a，b可以是负数，故此选项错误；
④如果 ，那么|a|=|b|，a，b为非负数，故此选项正确．
故答案为：②④．
【点睛】此题主要考查了实数的性质，熟练根据二次根式的性质得出是解题关键．
6．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的相反数与绝对值： ．
【答案】见解析
【分析】对于每个数，先根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数， 的相反数是 ）求出
其相反数；再依据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数， 的绝对值是
）判断数的正负性，进而求出绝对值．分别对 ， ， ， ， ， 这几个数进行分
析计算．本题主要考查了实数的相反数和绝对值的求解，熟练掌握相反数的定义（只有符号不同的两个数
互为相反数， 的相反数是 ）和绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是 ）是解题的关键．
【详解】解： 相反数是只有符号不同的数， （ 时）
的相反数是 ， 的绝对值是
相反数是只有符号不同的数， （ 时）
的相反数是 ， 的绝对值是
相反数是只有符号不同的数， （ 时）
的相反数是 ， 的绝对值是
，所以 ；相反数是只有符号不同的数， （ 时）
的相反数是 ， 的绝对值是
，则 ，所以 ；相反数是只有符号不同的数， （ 时）
的相反数是 ， 的绝对值是
的相反数是 ， 的绝对值是
的相反数是 ， 的绝对值是
7．（20-21七年级下·陕西商洛·期中）已知 是绝对值最小的整数， 是最大的负整数， 和 互为相反数，
表示的数是 ．求式子 的值．
【答案】
【分析】根据描述分别求得 的值，代入代数式求解即可．
【详解】∵ 是绝对值最小的整数， 是最大的负整数， 和 互为相反数，
∴ ， ， ，
原式．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握有理数的分类，相反数的性质，实数的混合运算是解题的关键．
8．（24-25七年级下·全国·课后作业）写出所有符合下列条件的数：
(1)小于 的所有正整数；
(2)大于 且小于 的所有整数；
(3)绝对值小于 的所有整数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵ ，即 ，
正整数是大于0的整数
∴小于 的所有正整数： ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴大于 且小于 的所有整数 ；
（3）解：∵绝对值小于 的整数 满足 ，
而 ，
∴ ，∴绝对值小于 的所有整数有： ．
题型2 实数与数轴
实数与数轴问题的解题策略
数轴上的点与实数一一对应，利用勾股定理求出线段长，用距离公式求出两点距离．
9．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在数轴上点 表示的数为 ， ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查实数与数轴的关系，利用勾股定理表示出长度为无理数的线段是解决问题的关键．首先
利用勾股定理求出 ，然后得到点A表示的数．
【详解】解：在直角三角形 中，根据勾股定理得，
，
则 ，
故点A表示的数为 ，
故选B．
10．（2025·河南周口·三模）如图所示，数轴上各点表示的数中比 小的点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q【答案】A
【分析】本题考查了在数轴上找表示无理数的点的方法，无理数的估算．首先判断出 的范围，然后根
据数轴的特征，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴数轴上 四点中，比 小的点是点M．
故选：A．
11．（24-25七年级下·山西大同·期末）如图所示，数轴上表示3、 的对应点分别为C、B，点C是
的中点，则点A表示的数是（ ）
A．－ B．6－ C． －3 D． ＋3
【答案】B
【分析】本题考查了实数与数轴，数轴上两点间的距离，正确理解数轴上两点间的距离是解题的关键．
设A表示的数是a，根据点C是 的中点，得 ，求解即可．
【详解】解：设A表示的数是a，
∵点C是 的中点，
∴
解得： ，
故选：B．
12．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）把无理数 表示在数轴上，在这四个无理数中，被
墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ．【答案】
【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
根据无理数的估算求出各个无理数的取值范围，由此即可得出答案．
【详解】解： ，
，即 ，
，
，
则在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ，
故答案为： ．
13．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示 的
点重合，将该圆沿数轴无滑动滚动1周，点A到达点 处，则点 表示的数为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查实数与数轴、圆的周长公式，理解数与数轴上的点的对应关系是解答的关键．
求出圆的周长，再根据实数与数轴上的点的对应关系解答即可．
【详解】解： 圆的直径为1个单位长度，
该圆的周长为 ．
当圆向左滚动时，点 表示的数为 ；
当圆向右滚动时，点 表示的数为 ．
综上，点 表示的数为 或 ．
故答案为： 或
14．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，把一个半径为1的半圆形纸片放在数轴上的原点 处，此时
它的直径与数轴平行，将它向右无滑行地滚动，直至其直径再一次与数轴平行，此时它与数轴的交点为 ，
那么点 所表示的数是 ．【答案】 /
【分析】本题考查了无理数与数轴，根据圆的周长，结合数轴特点进行分析即可求解．
【详解】解：半径为1的半圆，
∴直径为2，半圆的周长为 ，
∵根据题中滚动方式半圆滚动了直径的长度和半圆周长的长度，
∴此时半圆滚动的长度为 ，
∴点 所表示的数是 ．
故答案为： ．
15．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在数轴上点 表示的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练运用勾股定理是解题的关键．
分别对 ， 运用勾股定理求解，即可求出 ，再由 即可求解．
【详解】解：如图，
由图可得 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴在数轴上点 表示的数是 ，
故答案为： ．
16．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是 的正方形
网格上的格点，以点A为圆心， 长为半径画圆交数轴于M，N两点，则N点所表示的数为
．
【答案】 /
【分析】本题考查了实数与数轴，直接利用勾股定理得出 的长，再利用数轴得出答案．
【详解】解：由图知， ，
∴ 是直角三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴N点所表示的数为： ．
故答案为： ．
题型3 无理数的估算与大小比较
无理数的估算与大小比较问题的解题策略
平方去根号比较正数；估算用相邻整数夹逼．17．（2025·河南南阳·模拟预测）如图，数轴上可表示 的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】B
【分析】本题主要考查了实数与数轴，
根据 ，进而得 ，再确定 的范围，即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
所以数轴上可表示 的点是B．
故选：B．
18．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即
弦”，即 （ 为“勾”， 为“股”， 为“弦”）若“勾”为 ，“股”为 ，则“弦”在如
图所示数轴上可表示在（ ）
A． 点 B． 点 C． 点 D． 点
【答案】C
【分析】本题考查无理数的估算，实数与数轴，理解题意并列得正确的算式是解题的关键．根据题意列式
计算后估算其大小，然后确定其在数轴上的位置即可．
【详解】解：若“勾”为 ，“股”为 ，则 ，
，
，
则“弦”在如图所示数轴上可表示在 点，故选：C．
19．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）估计 的值在（ ）
A． 和 之间 B． 和 之间 C． 和 之间 D． 和 之间
【答案】A
【分析】本题主要考查的是无理数的估算，掌握有理数的意义是解题的关键．首先求出 在 和 之间，
从而得出 的在 华润 之间，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
20．（24-25七年级下·广东汕尾·期末）估计 的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；通过估算 的值，再减去
2，确定结果所在区间．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ 的值应在2和3之间；
故选B．
21．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）比较大小： ．（填“>”“<”或“=”）
【答案】＞
【分析】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、平方
法等．首先把两个数平方，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大．
【详解】解：∵ ， ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为：>．
22．（2025·河南漯河·二模）在数轴上表示实数 的相反数的点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】本题考查了实数与数轴，相反数，先得 的相反数是 ，结合数轴，即可作答．
【详解】解： 的相反数是 ，
结合数轴得表示实数 的相反数的点是点 ，
故选：C
23．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）比较大小： ．
【答案】
【分析】本题考查了估算无理数的大小和实数的大小比较．先估算出 的范围，再减去1，最后除以4
即可．
【详解】解： ，
，
，
即 ，
故答案为： ．
24．（25-26八年级上·全国·随堂练习）比较下列各组数的大小：
(1) 与 ；(2) 与1．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法，是解题的关键：
（1）估算法比较大小即可；
（2）估算法比较大小即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，即： ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即： ．
25．（25-26八年级上·全国·随堂练习）阅读材料：对于任意两个实数 和 比较大小，若 ，则
；若 ，则 ；若 ，则 ．上面的规律反过来也成立．参考材料，解决问题：
(1)比较大小： ________ ；（填“ ”“ ”或“ ”）
(2)已知 ，且 ，若 ，试比较 和 的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数以及整式比较大小，解题的关键是掌握作差法比较大小的方法和依据．
（1）运用作差法进行比较大小即可，即计算 ，再比较 和 的大小；（2）运用作差法进行比较大小即可，计算 ，然后发现 的符号即可．
【详解】（1）解：
，
，
，
故答案为：<
（2） ， ，
，
，
，
，
．
题型4 实数与程序运算
实数与程序运算问题的解题策略
逐步执行计算步骤，注意循环终止条件；多次循环归纳周期律，分支结构分类讨论所有路径．
26．（24-25七年级下·吉林·期末）有一个数值转换器，运算流程如图所示，当输入的x值为64时，输出的
y值是（ ）A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了数的算术平方根及立方根的计算方法和无理数、程序图，解题时要注意数值如何
转换．依据转换器流程，先求出64的算术平方根是8，是有理数；取立方根为2，是有理数：再取算术平
方根为 ， 最后输出，即可求出 的值．
【详解】解： 的算术平方根是8，8是有理数，
取8的立方根为2，是有理数，
再取2的算术平方根为 ， 是无理数，
则输出 ，
的值是 ．
故选：A．
27．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下图是一个数值转换器，当输入 时，则输出 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了立方根的计算、无理数、程序图等知识点，读懂程序框图的走向是解题关键．
依据转换器流程，先求出 的立方根是 ，是有理数；取立方根为 是无理数直接输出．
【详解】解：当输入 时，由 的立方根是 ，是有理数；
当 时，由 的立方根是 是无理数，所以输出y的值是 ．
故选：C．
28．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）根据图中的程序，当输入 为 时，输出 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，立方根，算术平方根，无理数，先把 输入，计算出
的值，若结果为无理数则输出结果，若结果为有理数，继续把 的值输入进行计算，如此反复直至 的
结果为无理数即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：当输入 为 时，
， 是有理数，
当输入 为 时，
， 是有理数，
当输入 为 时，
，是无理数，
∴输出的值是 ，
故选： ．
29．（24-25七年级下·湖南郴州·期中）如图，是一个数值转换器示意图，根据图示工作原理解决：当 为
时， 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数与流程图计算，根据流程图计算即可求解，看懂流程图是解题的关键．【详解】解：当 为 时， ， ，
∵ 不是无理数，
∴输入 ， ，
∵ 的算术平方根是 ，是无理数，
∴ 的值是 ，
故选： ．
30．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图为一个数值转换器，当输入的x值为 后，经过
三次取算术平方根运算，输出的y值为 ．
【答案】16
【分析】本题考查了算术平方根．根据题意结合算术平方根的定义解答即可．
【详解】解：当输出的y的值为 时，输入的值为 ，
，
，
所以当输入的x值为16后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为 ，
故答案为：16．
31．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为7，则输出的值
为 ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，把 的值代入操作步骤计算即可求出输出结果．
【详解】解：把 代入运算程序得： ．
故答案为： ．32．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）小壮设计了一个小程序如图所示，当输入的x值为2时，y的
相反数为 ．
【答案】
【分析】此题考查了程序图的运算，求算术平方根和立方根，无理数的判断，相反数的概念等知识，解题
的关键是根据题意列出算式．
根据程序图将 代入利用算术平方根和立方根的性质求解即可．
【详解】当输入的x值为2时，
∴64的算术平方根为8，是有理数
∴8的立方根为2，是有理数，
∴2的算术平方根为 ，是无理数
∴输出
∴y的相反数为 ．
故答案为： ．
33．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）按照如图所示的操作步骤进行计算，若输入的值为 ，则输出的
值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了实数的运算，根据运算程序列式计算，然后与 比较后即可得相应的输出结果，熟练
掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
34．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）一个数值转换器如图所示：
(1)当输入的x值为16时，输出的y值是 ．
(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为 ．
(3)若输出的y值是 ，请直接写出两个满足要求的x的值 ．
【答案】(1)
(2)0和1
(3)5和25（答案不唯一）
【分析】本题考查了算术平方根，正确理解转换器的运算法则、熟知算术平方根的定义是解题的关键；
（1）根据转换器的运算程序求解即可；
（2）0或1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，即可解答；
（3）根据25的算术平方根是5，5的算术平方根是 即可得到答案.
【详解】（1）解：当输入的x值为16时，取算术平方根，即 ，4是有理数，
第二次输入，取算术平方根，即 ，2是有理数，
第三次输入，取算术平方根，即 ， 是无理数，
所以输出的y值是 ；
故答案为： ；
（2）解：∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，
∴当 和1时，始终输不出y的值；
故答案为：0和1；（3）解：25的算术平方根是5，5的算术平方根是 ，
∴满足要求的x的值可以是5和25；
故答案为：5和25（答案不唯一）.
题型5 算术平方根非负性的应用
算术平方根非负性的应用问题的解题策略
利用 、 、 等非负数形式，构造解方程或求最值．
35．（24-25七年级下·西藏日喀则·期末）若 与 互为相反数，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了相反数和算术平方根、绝对值的性质，掌握非负数的性质是解题的关键．
根据算术平方根、绝对值非负性，可知两个非负数互为相反数，这两个数均为0，由此得出关于x，y方程
组，进而解题．
【详解】解：依题意得：
∵ 和 ，
∴ ，
∴ ，即 ．
故答案为 6．
36．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若 ，则 的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查二次根式与平方的非负性，完全平方公式的应用．先由完全平方公式将式子变形为
，再根据二次根式与平方的非负性求出x，y的值，进而即可解答．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
37．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）若直角三角形的两边的长分别为m、n，且满足
，则该直角三角形的第三边长为 ．
【答案】 或
【分析】根据 得 ，分类计算即可．
本题考查了实数的非负性，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得 ，
解得 ，
当4为斜边时，第三边长为 ；
当 都是直角边时，第三边长为 ，
故答案为： 或 ．
38．（21-22九年级下·浙江台州·期末）已知实数 、 、 满足 ，求
的值．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式非负数的性质，完全平方公式，解题的关键是熟练掌
握二次根式性质，先将原方程化为 ，进而求出a、b、c的值，再代入计算即可．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
，
．
39．（24-25八年级上·湖南常德·期末）已知： ， ， 满足 ．
(1)求 ， ， 的值；
(2)请判断以 ， ， 为边构成的 的形状，并说明理由．
【答案】(1) ； ；
(2)直角三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，正确求出a、b、c的值是解题的关键．
（1）几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此求解即可；
（2）根据（1）所求可证明 ，则可证明 是直角三角形．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ；
（2）解：以 ， ， 为边构成的 是直角三角形，理由如下：
∵ ， ， ，∴ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
40．（24-25七年级下·山东日照·期中）如图，已知点 ， 是数轴上两点， ，点 在点 的右侧，
点 表示的数为 ，设点 表示的数为 ．
(1)实数 的值是___________；
(2)求 的值；
(3)在数轴上有 两点分别表示实数 和 ，且有 与 互为相反数，求 的算术平方根．
【答案】(1)
(2)1
(3) 的算术平方根为4
【分析】本题考查的是实数与数轴，非负数的性质，算术平方根平方根的含义等知识点．
（1）根据数轴上两点之间的距离可得答案；
（2）由数轴可知： ，再根据绝对值的意义化简即可；
（3）根据非负数的性质求解 ， ，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵点B在数轴上点A右右侧，点A表示的数为 ， ，
∴ ；
（2）解：由数轴可知： ，
∴ ， ，
∴ ；
（3）解：∵ 与 互为相反数，
∴ ，又 ， 均为非负数，故 且 ，
即 ， ，
∴ ，
∴ 的算术平方根 ．
41．（25-26八年级上·全国·随堂练习）先阅读下列例题：
已知 ，求 和 的值．解：把等式左边变形，
得 ，即 ．
因为 ，所以 ，即 ．仿照以上解法，解答下列问题．
(1)无论 取何值，多项式 的值总是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
(2)已知 的三边长分别为 ，且 ，则 为 三角形；
(3)已知 ，求 和 的值．
【答案】(1)A
(2)等腰
(3)
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，平方和算术平方根的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方的非负性得出结果即可；
（2）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方和算术平方根的非负性求出a、b、c的值，即可解答；
（3）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方的非负性求解即可．
【详解】（1）解：∵
，
又 ∵ ，，
∴ 值总是正数，
故选：A．
（2）解： ，
，
即 ，
，
，
，
是等腰三角形．
（3）解： ，
，
，
，
．
题型6 平方根与立方根的应用
平方根与立方根的应用问题的解题策略
区别平方根（±）与立方根（唯一），实际问题利用勾股定理、计算平方根、立方根进行计算注意取有意义解（如长度取正值）．
42．（24-25七年级下·贵州黔西·期末）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，
完全浸入盛满水的烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积为 ，由此可估计该正方体铁块的棱长
位于哪两个相邻的整数之间（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】B
【分析】本题考查正方体的体积，立方根的应用，无理数的估算，掌握夹逼法是解题的关键．
本题主要考查了立方根的实际应用，无理数的估算，根据题意可得铁块的体积为 ，则铁块的棱长为
，再估算出 的范围即可得到答案．
【详解】解：由排水法可知，排出的水的体积即为铁块的体积，
铁块的体积为 ，
铁块的棱长为 ，
，
，
铁块的棱长在3和4之间，
故选：B．
43．（24-25七年级下·吉林·期末）用电器的功率 、电路中的电流 及用电器的电阻 满足 ，
当 ， 时， ．
【答案】10
【分析】本题考查平方根的应用，把 ， 代入 ，再用平方根的定义求解即可．
【详解】把 ， 代入 ，
得 ，整理，得 ，
解得： （负值舍去）
故答案为：10．
44．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知 的立方根是3， 的算术平方根是4．求：
(1)x，y的值；
(2) 的平方根．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解
决本题的关键．
（1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题；
（2）根据平方根的定义解决此题．
【详解】（1）解：∵ 的立方根是3， 的算术平方根是4
∴ ， ．
∴ ， ；
（2）解：由（1）得， ， ，
∴
，∴ 的平方根为： ．
45．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）魔方又叫鲁比克方块，与华容道、独立钻石棋一同被称为智力
游戏界的三大不可思议．如图（1）是一个4阶魔方，由四层完全相同的64个小正方体组成，体积为
．
若把正方形 放在数轴上，如图（2），使得点A与表示1的点重合，那么点D在数轴上表示的数为
，这个数的绝对值是 ．
【答案】 / /
【分析】本题主要考查了立方根，实数的运算，实数与数轴，勾股定理等．求出大正方体的棱长，进而求
出小正方体棱长即可；用勾股定理求出边长，根据求出的边长结合数轴上两点距离计算公式求解即可．
【详解】解： ，则小正方体的棱长为 ，
由勾股定理得 ，
∵ ，点 表示的数为 1 ，
∴点 表示的数为 ．
∵ ，
∴这个数的绝对值是 ．
故答案为： ．
46．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图 是由8个同样大小的立方体组成的二阶魔方，体积为 ．(1)求这个魔方的棱长；
(2)图 中阴影部分是一个正方形 ，求阴影部分的面积及其边长．
(3)把正方形 放到数轴上，如图 ，使得点A与1重合，数轴上有一个动点E，若 ，则点E
在数轴上表示的数为______．
【答案】(1)2
(2)阴影部分的面积为2，边长为
(3) 或 ．
【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可；
（2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可
得解；
（3）分当动点 在点A左边和右边两种情况求解．
本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长．
【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为x，
则 ，
解得：
故这个魔方的棱长为2；
（2） 棱长为2，
每个小立方体的棱长都是1，
阴影部分 ；
阴影部分正方形 的边长为： ；
（3） 正方形 的边长为 ，点A与1重合， ，动点E在点 左边时，数轴上表示的数为： ，
动点E在点 右边时，数轴上表示的数为： ，
故答案为： 或 ．
47．（24-25七年级下·河南商丘·期末）在学习《实数》时，我们思考了在网格中画格点（网格线的交点）
正方形（顶点都在格点上的正方形）的问题．如图，这是由边长为1的小正方形组成的网格．
(1)网格中以 为边的格点正方形的面积是________．如图，以原点O为圆心， 长为半径画弧，与数轴
正半轴交于点B，则点B表示的数m为________，说明可以在数轴上表示________（填“有理数”或“无
理数”）．
(2)仿照（1）中的思路，在网格中设计以 为边的正方形，并求出线段 的长．
(3)若C，D两点分别表示实数c和d，且有 与 互为相反数．求 的立方根．
【答案】(1)2； ；无理数
(2)正方形如图，
(3) 的立方根为2
【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的定义，算术平方根的应用，求立方根等；
（1）由网格可求出正方形的面积，由算术平方根求出边长，再由无理数的定义，即可求解；
（2）有网格可求格点正方形 为 ，算术平方根即可求解；
（3）由相反数的定义得 ，求出 、 ，即可求解．
理解实数与数轴，无理数的定义，会用算术平方根求解，会求立方根是解题的关键．
【详解】（1）解：正方形的面积为 ，
，由算术平方根得 ，
正方形的边长为 ，
是无理数；
故答案为：2； ；无理数．
（2）解：如图，构造以 为边的格点正方形 （答案不唯一）．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：由条件，可知 ，
∴ ，且 ，
解得 ， ．
，
的立方根为2．
48．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）【问题提出】
正方形 的边长为1，求对角线 的长．
【情境再现】
老师在课堂上引导同学们探究边长为1的正方形的对角线的长时，如图1，把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个等腰直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，大正方形的边
长即为所求．
【问题探究】
（1）按上述情景，求对角线 的长．
（2）如图2，将这个边长为1的正方形沿虚线剪开，利用拼图的方法，先画出拼接后的图形，再求对角线
的长．
【拓展应用】
（3）如图3，将长为2，宽为1的2个小长方形分别沿对角线剪开，得到4个直角三角形，请用这4个直
角三角形在右边的正方形网格中（每个小正方形的边长都是1）拼出顶点在格点上且边长为 的正方形
．
【答案】（1） ；（2）见解析， ；（3）见解析
【分析】本题主要考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键．
（1）由算术平方根的定义，即可解答；
（2）根据三角形的面积公式，即可解答；
（3）根据正方形的面积为5，边长即为 ，即可解答．
【详解】解：【问题探究】（1）∵大正方形面积为2，
∴大正方形的边长 ．
(2) 如图所示
有 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得
或 （不符合题意，舍去）．
答：对角线 的长为 ．
（3）如图所示
或 ，
∴ ．
即正方形 的边长为 ．
49．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）小悦和小涵利用当地一座高楼探究小球的下落时间和下落高度之间
的关系．
实验一：小悦从80米高处释放小球，记录小球下落时间 ；
实验二：小涵从20米高处释放小球，记录小球下落时间 ．
已知一个物体从高处自由下落时，下落高度h（米）和下落时间t（秒）可以用公式 来表示．
(1)请利用公式，求 的值．
(2)实验后，小涵对小悦说：“我记录的时间 刚好是你记录的时间 的一半．”小悦说：“你一定是记录
错了．”两位同学谁的说法正确？请通过计算说明理由．
【答案】(1) ；
(2)小涵说得对．【分析】本题考查算术平方根的应用．
（1）把 代入 进行计算即可；
（2）根据 求出 ， 即可判断．
【详解】（1）解：当 米时，
，
答：小悦从80米高处释放小球，小球下落时间 ；
（2）解：小涵说得对．理由：由（1）得 ，
当 0米时， ，
即小涵从20米高处释放小球，小球下落时间 ，
∵ ，
∴ ，
所以小涵说得对．
50．（24-25七年级下·山东济宁·期末）综合与实践
在综合实践课上，老师让同学们用一张正方形纸片制作一个无盖长方体盒子．
(1)操作计算：如图①，在边长为a的正方形的四个角分别剪去边长为b的小正方形，再将剩余部分折成无
盖长方体盒子，如图②．
计算：ⅰ．折成的长方体盒子的高 ______；（用含a或b的代数式表示）．
ⅱ．折成的长方体盒子的底面面积 ______．（用含a或b的代数式表示）(2)规律探究：设图①中正方形纸片的边长为 ，小正方形的边长b取不同值时，对应的长方体盒子的
容积如下表：
边长 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
容积 40.5 m 73.5 72 62.5 n 31.5 16 4.5
ⅰ．表格中， ______， ______；
ⅱ．在图③中近似画出长方体盒子的容积随小正方形边长变化的趋势图，并根据趋势图写出一条正确的信
息：______．
(3)拓展应用：如图④，该长方形纸片的长是宽的2倍，且小正方形的边长等于长方形宽的 ，剪去小正方
形后，若用剩余纸片折成的长方体盒子的容积为 ，求长方形纸片的长．
【答案】(1)ⅰ．b．ⅱ．
(2)ⅰ．64，48，ii，见解析
(3)长方形纸片的长为
【分析】本题主要考查了几何体的展开与折叠，列代数式，长方体的体积公式，立方根的应用；
（1）根据剪去的小正方形边长为b可知 ，长方体盒子底部的长与宽均为 ，然后根据长方形的面积公式列式即可；
（2）根据长方体体积公式，分别代入计算即可求出m，n；根据表格中的数据在坐标系中描点，再用平滑
的曲线连接起来，观察趋势图即可写出一个正确的信息；
（3）设正方形的边长为x，进一步写出长方形的长与宽，依据长方体体积公式列出方程，求出正方形的边
长，从而求得长方形纸片的长．
【详解】（1）解：∵剪去的小正方形边长为b，
∴ ，长方体盒子底部的长与宽均为 ，
∴底面积 ，
故答案为：ⅰ．b．ⅱ． ；
（2）ⅰ．当 时， ，
当 时， ；
故答案为：64；48；
②趋势图如下：
信息为：当小正方形的边长 大于2时，折成的长方体盒子的容积随着 的增大而减小；（答案不唯一）
（3）设小正方形的边长为 ，
由题意可知，长方形的宽为 ，长为 ，
∴折成的长方体盒子的容积 ，
∴ ，
∴ ，∴长方形纸片的长为 ．
51．（24-25八年级上·山东菏泽·阶段练习）求下列各式中 或 值：
(1)
(2)
(3) ；
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】本题考查了平方根和立方根的实际应用，注意计算的准确性即可．
（1）根据 即可求解；
（2）根据 即可求解；
（3）根据 即可求解；
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴
（3）解：∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ 或
题型7 与平方根、立方根有关的规律探究
与平方根、立方根有关的规律探究问题的解题策略
观察进行开立方、开平方时被开方数小数点的变化规律．
52．（24-25七年级下·河北邢台·期末）嘉淇发现 ， ， 根据嘉淇的发现解决
问题：已知 ， ，则 的值是（ ）
A．4.5 B．14.23 C．45 D．142.3
【答案】A
【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的性质即可求得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选：A．
53．（24-25七年级下·山东临沂·期末）下面是一个按某种规律排列的数阵：
第一行 1
第二行 2
第三行 3
第四行 4
…… ……
根据数阵规律，第八行第十五个数是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查数阵的排列规律，需确定第八行第十五个数对应的被开方数．通过观察数阵，每行末尾
数的被开方数为行数 与 的乘积，且每行有 个数．利用此规律推导第八行的起始和末尾数，进而定
位第十五个数的位置．
【详解】解：根据题中规律确定每行末尾数： ，
则第 行的末尾数为 ．
故第八行末尾数为 ．
根据题中规律每行数的个数是： ，
则第 行有 个数，
故第八行共有 个数．
定位第八行第十五个数：第十五个数为倒数第二个数（因总数为16）．末尾数的被开方数为 ，倒数第
二个数的被开方数为 ，故该数为 ．
综上，第八行第十五个数为 ，
故选：B．
54．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下表是部分正数x的平方和立方．
x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5
65.61 67.24 68.89 70.56 72.25
531.441 551.368 571.787 592.704 614.125
根据上表的数据，可得： ； ； ．
【答案】 8.3 8.2 85.85
【分析】本题主要考查平方根和立方根，根据表格中的数据找出开平方和开立方规律解答即可．
【详解】解：根据表格中的数据可得：
∵ ，∴ ；
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵
∴
∴
∴ ．
故答案为：8.3；8.2；85.85
55．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下：
① ，又 ， ，∴能确定59319的立
方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又 ，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③划去59319后面的三位319得到数59，而 ，则 ，可得 ，由
此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是
．
【答案】68
【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，
即可解答．
【详解】解： ，
又 ，，
∴能确定314432的立方根是个两位数．
314432的个位数是2，
又 ，
∴能确定314432的立方根的个位数是8．
划去314432后面的三位432得到数314，而 ，则 ，
可得 ，由此能确定314432的立方根的十位数是6，
因此314432的立方根是68，
故答案为68．
56．（24-25七年级下·河南许昌·期末）已知 ， ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键．根据立方根的小数点就向
左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出 的值．
【详解】解：∵ ， ，
，
故答案为： ．
57．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）规律探究，观察 ，即
，即 ．
(1)猜想 等于什么？并通过计算验证你的猜想；
(2)写出符合这一规律的一般等式（用含有n的式子表示出来）．
【答案】(1) ；见解析(2)
【分析】本题考查了实数的运算，类比题目中所给的运算方法进行计算是解决问题的关键.
（1）类比题目中的计算方法解答即可
（2）根据算式规律写出一般等式，即可求解．
【详解】（1）解： ，
验证： .
（2）解：
∵左边 右边
∴
58．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
(1)观察算式规律，计算 ＝ ； ＝ ．
(2)用含正整数 的式子表示上述算式的规律： ．
(3)计算： ．
【答案】(1) ；
(2)
(3)
【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键．
（1）根据算术平方根进行计算即可求解；
（2）从数字找规律，即可解答；
（3）从数字找规律，进行计算即可解答．【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律： ；
故答案为： ；
（3）解：
．
59．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）（1）观察发现：表格中 ___________， ___________；
（2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动
___________位；
1000
… 0.0001 0.01 1 100 …
0
… 0.01 x 1 y 100 …
（3）规律运用：
①已知 ，则 ___________；
②已知 ，则 ___________．
【答案】（1）0.1；10（2）右；1（3）①22.4；②50
【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键．
（1）根据算术平方根的定义即可求出答案；
（2）找到规律即可得出答案；
（3）根据（2）中的规律即可得出答案．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
故答案为：0.1；10．
（2）根据表格可得，
被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位．
故答案为：右；1．
（3）①∵ ，
∴ ．
②∵ ， ，
∴ ．
故答案为：22.4；50．
60．（24-25七年级下·江西上饶·期末）观察下表，并解决问题．
a 0.0004 0.04 4 400 40000
0.02 0.2 2 20 200
(1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右
（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位．
(2)已知 ， ，则 ______．
(3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知 ， ， ，则
______．
【答案】(1)一
(2)
(3)
【分析】本题考查了数字类规律探索、算术平方根、立方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出
规律是解此题的关键．
（1）根据表格中的数据总结规律即可；
（2）根据所得规律即可求得答案；
（3）由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得立方根的规律，从而求得答
案．【详解】（1）解：由表格数据可得：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根
的小数点就相应地向右（或向左）移动一位；
（2）解：∵ ，
∴ ；
（3）解：由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得：若被开立方数的小数
点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位；
∵ ，
∴ ．
培优综合练
61．（2024八年级上·全国·专题练习）实数 在数轴上对应的点的位置如图所示，计算 的结
果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，由数轴可知， ，则 ， ，再
运算绝对值即可求解．
【详解】解：由数轴可知， ，
， ，
，
故选：B．
62．（22-23七年级下·重庆江津·期中）对代数式 定义新运算： ．在代数式 中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数 ， ， 在数轴上的位置如图所
示．例如： ， ， ．下列说法正确的个数是
（ ）
① ；
② ；
③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0；
④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为 ．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据数轴上的位置可得 即可判断①；分别求出 和 的结果即可判
断②；根据 即可判断③；推出不论怎么操作，都不可能出现 这种情况即可判
断④．
【详解】解：由题意得， ，
∴ ， ，
① ，故①正确；
② ， ，
∴ ，故②正确；
③∵原代数式为 ，
∴要想新操作的结果与原代数式之和为0，那么新操作的结果为 ，
∵ ，
∴至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0，故③正确；④∵ ， ，
∴不论怎么操作，都不可能出现 这种情况，故④错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，新定义，正确理解题意是解题的关键．
63．（24-25八年级下·上海·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把 表示在数轴上点
处，记 右侧最近的整数点为 ．以点 为圆心， 为半径画半圆，交数轴于点 ，记 右侧最近的
整数点为 ；以点 为圆心， 为半径画半圆，交数轴于点 ，…，如此继续，则 的长为
．
【答案】 /
【分析】本题考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变
化规律是解题的关键．利用 表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算 、
、……，得出规律即可解决．
【详解】解：根据题意得： ，点 表示的数为2，点 表示的数为3，
即点 表示的数为 ， ，
∴ ，
∴ ，
同理 ， ， ……，
以此类推可得，当n为奇数时， ；当n为偶数时， ，∴ ，
故答案为： ．
64．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）有一个数值转换器原理如图．
(1)当 时，y是多少？
(2)输入的x能是任何实数吗？为什么？
(3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的
值；如果不存在，请说明理由；
(4)若输出的y是 ，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个．
【答案】(1)
(2)输入的x不能是任何实数，理由见解析
(3) 或 时始终在进行循环计算而输不出y的值
(4)若输出的y是 ，则输入的x值不唯一；如： 、 ．
【分析】本题主要考查了算术平方根、代数式求值、无理数等知识点，掌握无理数的定义成为解题的关键．
（1）把 代入程序中计算即可确定出y的值；
（2）根据算术平方根的有意义的条件即可解答；
（3）根据程序确定出x的值即可；
（4）举反例即可解答；
【详解】（1）解：当 时， ，
，4不是无理数不能输出，2不是无理数不能输出
是无理数，输出．
所以输出y是 ．
（2）解：输入的x不能是任何实数，理由如下：
当x是正数时，x与 的乘积为负数，负数没有算术平方根，所以输入的x不能是任何实数．
（3）解：存在x的值输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值；
∵0和1的算术平方根是0和1
∴当 或 ，即 或 时始终在进行循环计算而输不出y的值．
（4）解：若输出的y是 ，则输入的x值不唯一；如： ， ，3再次输出为 ； ，
， ，3再次输出为 ；所以输入x值不唯一．
65．（24-25七年级下·福建厦门·期末）某校的数学兴趣小组开展主题为“纸张中的奥秘”的探究活动．
【探究一】正方形纸张的对角线的长
如图1，该小组用了两个面积为 的小正方形分别沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，
得到一个面积为 的大正方形．
（1）根据上述操作过程，小正方形的对角线的长为_____；
【探究二】A型纸中的奥秘
根据国际标准， 系列纸为长方形，其中A4纸的宽为 ．将A0纸沿长边对折、裁开，便成A1纸；将
A1纸沿长边对折、裁开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、裁
开，便成A4纸；……将A4纸按如图2所示的方式折叠．根据上述操作过程，
（2）直接写出A4纸的长；
（3）求A0纸的长和宽；（结果保留根号）
【探究三】拓展迁移
该兴趣小组类比A型纸，设计了一种长方形纸张，该长方形纸张沿着长边的五等分点所连线段裁开成5个
相同的小长方形，这5个小长方形的长宽比与大长方形的长宽比相同，记该种长方形纸张为 型纸．他们
用5个边长为 的正方形，通过剪拼得到宽为 的 型纸的长，截取该长度，画出一张 型纸．
（4）根据上述描述，请你借助5个图3的正方形，剪拼得到M型纸的长，并在图4中画出这张 型纸．
（说明：不需要尺规作图，但需要保留类似于图2的裁切线和设计的操作步骤）
【答案】（1） （2） （3）长为 ，宽为 （4）图见解析
【分析】本题考查折叠的性质，算术平方根的实际应用，熟练掌握折叠的性质，算术平方根的定义，是解
题的关键：
（1）由图可知，小正方形的对角线的长即为大正方形的边长，进行求解即可；
（2）根据折叠得到A型纸的长与宽的比为正方形的对角线与边长的比即为： ，进行求解即可；
（3） 纸是由 纸经过4次折叠后得到的，进而得到 纸的长和宽均为 纸的长和宽的4倍，进行
求解即可；
（4）设 型纸的长为 ，宽为 ，根据题意得到 ，得到M型纸的长为 ，而5个小正方形的
面积恰好为 ，进而得到M型纸的长为5个小正方形构成的一个大正方形的边长，画图即可．
【详解】解：（1）由图可知，小正方形的对角线的长即为大正方形的边长，
∵大正方形的面积为 ，∴大正方形的边长为 ，即小正方形的对角线长为 ；
故答案为： ；
（2）由图可知，折叠上去的斜边正好与长方形的长相等，
∴A型纸的长与宽的比为正方形的对角线与边长的比，
由（1）可知，正方形的对角线与边长的比为 ，
∴故A型纸的长与宽的比为 ，
∵ 纸的宽为 ，
∴ 纸的长为 ；
（3）∵ 纸是由 纸经过4次折叠后得到的，
∴ 纸的长和宽均为 纸的长和宽的4倍，
∵ 纸的长为 ，宽为 ，
∴ 纸的长和宽分别为 和 ；
（4）设 型纸的长为 ，宽为 ，
∵该长方形纸张沿着长边的五等分点所连线段裁开成5个相同的小长方形，
∴小长方形的长为 ，宽为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴M型纸的长为 ，∵5个小正方形的面积恰好为 ，
∴将5个小正方形按照如下图剪拼成一个大正方形的边长即为M型纸的长，
因此如下图即为所求：
66．（24-25七年级下·广东湛江·期末）项目式学习活动主题：估算 纸的长与宽
【知识储备】
（1）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正
方形，则大正方形的边长为 ．
一般结论：正方形的对角线与边长的比是 ．
【项目素材】如图2，按照国际标准，A系列纸为长方形（长宽比相同），其中 纸的面积为 ．
将 纸沿长边对折、裁开，便成两张 纸；将 纸沿长边对折、裁开，便成两张 纸；将 纸沿长边
对折、裁开，便成两张 纸；．．．．．．，将 纸沿长边对折、裁开，便成两张 纸．
（2）【任务探究】
任务一： 纸面积是 纸面积的 倍， 纸周长是 纸周长的 倍；
（3） 任务二：将一张 纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是AB和AE），观察发现点B恰好和
点C重合，求 纸的长与宽之比．（4） 任务三：根据上述结论，估算 纸的长和宽分别是多少毫米（结果取整数）．
（参考数据： ， ， ， ， ，
， ， ）
【答案】（1） ； ；（2）2，2；（3） ；（4） 纸的宽约为 ，则长约为 ．
【分析】本题主要考查正方形面积公式、无理数的估算、折叠的性质、算术平方根的应用，等面积转换等
知识点；掌握这些和数形结合思想是解决本题的关键．
（1）由等面积法可知一个大正方形面积为2，从而得到大正方形的边长为 ； 正方形的对角线与边长的
比是 ，即可解答；
（2）根据图2的面积关系发现： 纸面积是 纸面积的2倍， 纸周长是 纸周长的2倍；
（3）由折叠的性质可知 ，由（1）可知在正方形中 ，由此即可解答；
（4）设 纸的宽为 ，则长为 ，根据面积建立方程，计算即可解答．
【详解】解：（1） 两个边长为1的小正方形 ，合成一个大正方形面积为2，
大正方形的边长为 ； 正方形的对角线与边长的比是 ，
故答案为： ；
（2）根据图2的面积关系发现： 纸面积是 纸面积的2倍， 纸周长是 纸周长2倍；
故答案为：2，2；
（3）解：由折叠的性质可知 ，由（1）可知在正方形中 ，
，即A4纸的长宽之比为 ；
（4）解：由（3）可知： 纸的长与宽之比是
设 纸的宽为 ，则长为 ，
纸的面积为 ，，
，
，
；
故 纸的宽约为 ，长约为 ．
