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培优 05 二次根式有关运算（7 大题型）
题型1 二次根式中的字母参数问题
二次根式中的字母参数问题的解题策略
先抓隐含条件：注意被开方数≥0且分母≠0，解出参数范围．
1．（24-25八年级下·广东汕头·期末）已知 是整数，则自然数m的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）等式 成立的条件是（ ）
A． B． C． D． 或
3．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）已知 ，则 的值是（ ）A．9 B．8 C．6 D．5
4．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若 是一个整数，则正整数m的最小值是 ．
5．（24-25八年级下·广东肇庆·期末）若 有意义，则 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年级下·福建福州·期末）若 ，则 ．
7．（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）已知 是整数，则满足条件的最小正整数 的值为
．
8．（24-25八年级下·青海海东·期末）若 ，则 的值为 ．
9．（24-25八年级下·四川广安·期末）若式子 有意义，则自变量x的取值范围是 ；
题型2 利用二次根式的性质化简
利用二次根式的性质化简的解题策略
双重非负性优先：遇 化为∣a∣，分类讨论正负；分母含根式则分子分母同乘有理化因式．
10．（2025年广西来宾市九年级中考三模数学试题）计算 的结果是（ ）
A．2 B．4 C．2或 D．4或
11．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）①化简 ．
②已知： ，则 ．
12．（24-25八年级下·山东德州·期末）已知 ，化简 ．
13．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）化简：
14．（24-25八年级下·福建福州·期中）计算： ．15．（24-25八年级下·吉林延边·期末）计算： ．
16．（25-26八年级上·全国·随堂练习）实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，则
的值为( )
17．（21-22八年级下·广东江门·阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可
以写成另一个式子的平方，如 ，善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中 、 、 、 均为正整数），
则有 ， ．这样小明找到了一种把部分 的式子化为
平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当 、 、 、 均为正整数时，若 ，用含 、 的式子分别表示 、 ，得： ，
；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数 、 、 、 填空： ；
(3)化简
18．（24-25九年级上·吉林长春·期末）下列式子中运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型3 二次根式的运算
图形折叠问题的解题策略
三步走：一化简（分解因数提完全平方），二合并同类根式，三分母有理化。混合运算注意分配律逆
用．
19．（24-25八年级上·江苏南通·期末）下列二次根式中能与 合并的是（ ）A． B． C． D．
20．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）估计 的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
21．（24-25八年级下·山东淄博·期末）计算 的结果是 ．
22．（22-23九年级下·广东阳江·阶段练习）计算：
23．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
24．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）计算：
(1) ；
(2) ．
25．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
26．（24-25八年级下·山东济宁·期末）计算：
(1) ；
(2) ．27．（24-25八年级下·山东德州·期末）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
28．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
题型4 二次根式的求值问题
二次根式的求值问题的解题策略
先化简后代入：复杂表达式先因式分解或配方；遇 考虑平方消根号或构造倒数关系．
29．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知 ，则 的值为 ．
30．（24-25八年级下·福建福州·期中）已知 ，求 的值．
31．（24-25八年级下·山东滨州·期末）当 时，代数式 ．
32．（24-25八年级下·四川德阳·期中）已知 ，那么 的值是 ．
33．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）先化简，再求值： ，其中 ．34．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知 ， ，求下列代数式的值．
(1) ；
(2) ．
35．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程：
阅读材料，解答下列问题．
材料：已知 ，求 的值．
小明同学是这样解答的：
，
这种方法称为“构造对偶式”．
问题：已知 ．
(1)求 的值；
(2)求x的值．
36．（24-25八年级下·江西赣州·期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知
，求 的值．他是这样解答的：
．
．
．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：(1) _______； _______；
(2)比较大小： ； （用“ ”“ ”或“ ”填空）；
(3)若 ，求 的值．
题型5 二次根式的实际应用
图形折叠问题的解题策略
几何问题抓勾股定理进行计算求解；物理问题（如弹簧长度）依题意列含根式方程或者物理公式计算，
平方去根号求解．
37．（24-25八年级下·云南昭通·期中）高空坠物现象被称为“悬在城市上空的痛”．随着城市化进程加快，
一栋栋高楼大厦拔地而起．然而，高空坠物、抛物伤人的事件也呈多发态势．经过查阅相关资料，小明同
学得到高空坠物下落的时间t（单位： ）和高度h（单位： ）近似满足公式 （不考虑风速的影响，
，单位： ）．若某玩具在高空被抛出后经过 后落在地上，则玩具抛出前离地面的高度h为
（ ）
A．15 B．30 C．45 D．405
38．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，这是运动会颁奖台的贴纸，在矩形内绘制三个紧邻的正方形
并标注相应的名次，三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，将剩余阴影部分剪掉，则剪掉的面积为
（ ）
A． B．
C． D．
39．（24-25八年级下·山东济宁·期末）在一个大正方形上，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．8
40．（24-25八年级下·河北保定·期末）活动课上，淇淇打算用长方形卡纸做一个长、宽、高的比为
的长方体纸盒，且纸盒的底面积为 ，他设计的展开图（阴影部分）如图所示（恰好剪出），关于①、
②，下列判断①这个长方体纸盒的体积为 ；②该长方形卡纸的长为 ，宽为 ；正确
的是（ ）
A．①、②都不对 B．①、②都对 C．①对②不对 D．①不对②对
41．（25-26八年级上·全国·随堂练习）将一列数 按如图所示的数表排列，
的位置可记为 ， 的位置可记为 若这列数中最大的有理数记为 ，则 的值为
．
42．（24-25八年级下·河北张家口·期中）如图甲是第七届国际数学教育大会（ ）的会徽，主体图案
是由如图乙的一连串直角三角形演化而成，其中 ，现把图乙中的直角三
角形继续作下去，若 的值是整数，且 ，则符合条件的 有 个．43．（24-25八年级下·福建莆田·期末）我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦分别提出利用三
角形的三边求面积的公式并加以证明，人们把这个公式称为海伦﹣秦九韶公式．即如果一个三角形的三边
长分别为a，b，c，记 ，那么三角形的面积 ．若 的三边长分
别为4，5，7，利用海伦﹣秦九韶公式可求出 的面积为
44．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为“悬在城市上空的痛”，
是我们必须杜绝的行为．物理兴趣小组通过查阅相关资料了解到，物品从离地面为 的高处自由落下，
落到地面的时间为 ，满足 不考虑阻力的影响
(1)求物体从 的高空落到地面的时间 结果保留根号 ；
(2)已知从高空坠落的物体所带能量 单位： 物体质量 高度 ，一串质量为 的钥匙经
过3 落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？ 注：人体只需要 的能量
就会对人体造成危害
45．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）某室内展区有一块长方形闲置区域 （如图），该区域的长
为 米，宽 为 米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为
米．(1)求该长方形闲置区域 的周长；
(2)除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大
约需要花费多少元？（参考数据： ，结果精确到0.1）
46．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）阅读材料：
小甘在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ，
善于思考的小甘进行了以下探索：设 （其中a，b，m，n均为正整数），则有
．∴ ， ．这样小甘就找到了一种把部分形如 的式子
化为平方式的方法．
请你仿照小甘的方法探索并解决下列问题：
(1)当a，b，m，n均为正整数时，若 ，用含m，n的式子分别表示a，b，得 ______，
______；
(2)若 ，且a，m，n为依次减小的正整数，求a的值．
47．（24-25八年级下·山东济南·期末）某居民小区有块形状为长方形的绿地 ，绿地的长 为
，宽 为 ，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为
，宽为 ．(1)求长方形绿地 的周长；
(2)除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元 ，求通道铺地砖需要
花费多少元？
48．（24-25八年级下·江苏南京·期末）海啸是一种破坏力极强的海浪，在广阔的海面上，海啸的行进速度
可近似的地按公式 计算，其中v表示海啸的行进速度 ，d表示海水的深度 ，g表示重力加
速度，g取 ．
海水深度 500 1000 1500 2000 2500
海啸行进速度 ____ 140
(1)根据海啸的行进速度公式，完成上表：
(2)如果测得海啸在海面两处的行进速度分别为 和 ，那么这两处的海水深度差值是多少？
(3)下列关于海啸行进速度的描述：
①随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大；
②当海水的深度是 的k倍时，海啸的行进速度是 ；
③随着海水深度的增加，海啸行进速度的增加幅度会越来越小．
其中，描述正确的序号是______（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）．
200
海水深度 500 1000 1500 2500
0
海啸行进速度 70 140
题型6 定义运算中的二次根式运算
定义运算中的二次根式运算问题的解题策略
按自定义规则分步计算，结合参数隐含范围筛选有效解．49．（25-26八年级上·全国·随堂练习）对实数 ，定义运算 ，已知 ，则 的
值为（ ）
A．4 B． C． D．5或
50．（24-25八年级下·四川泸州·期末）用 表示不超过 的最大整数，例如： ．已
知 ， ，则 （ ）
A．4 B．2 C．-4 D．2
51．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样
的数为“最美实数”．若 是“最美实数”，则a的值是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
52．（24-25七年级下·全国·期中）任何正实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如
对一个正实数先取算术平方根，再将结果取不超过算术平方根的最大整数，叫做
一次操作．如对72进行如下操作： ，这样对72只需进
行3次操作后变为1，类似地，对81只需进行3次操作后变为1．那么只需进行3次操作变为1的所有正数
中，最大的是（ ）
A．256 B．255 C．225 D．224
53．（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）定义新运算“☆”：若 ，则 ．
54．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为 ，则方
程 的解为 ．
55．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）对于任意满足 的两个非零实数a，b，定义一种新运算“#”，满足： ，例如 ，那么 ．
56．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）对于任意不相等的两个数 ， ，定义一种运算
，例如 ，若 是有理数，则x的最小正整数值为 ．
57．（24-25七年级下·河南焦作·期末）用“ ”表示一种新运算：对于任意实数 、 （其中 ），都
有 ．例如： ，则 ；若 ，则 ．
58．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）对于实数 ， ，规定一种新运算 ： ，例如
，则 ．
题型7 与二次根式有关的规律问题
与二次根式有关的规律问题的解题策略
分母有理化后观察相邻项抵消关系（如 )，累加消中间项．
59．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图数阵是按一定规律排成的．规定：从上往下第a行，同时在该
行，从左往右第b个数所在的位置用数对 表示，如：数 所在的位置可表示为 ，则数45所在
的位置可表示为（ ）
A． B． C． D．60．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）请认真观察下列等式： ；
； ； ；……利用上述等式的规律，计算
．
61．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：
① ；② ；③ ；④ __________；…
（2）深入探究，观察下列等式：
① ，② ；③ ；…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：
___________．
（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：
① ；
② ．
62．（24-25七年级下·全国·假期作业）观察下列两组算式，解答下列问题第一组：
．
第二组： ．
(1)由第一组可得结论：对于任意实数a，有 ______；
(2)由第二组可得结论：当 时， ______；
(3)利用（1）（2）的结论计算：______； ______．
(4)当 时，计算 的值．
63．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）观察下列各式：
① ；② ；③ ；…．
(1)根据上列式子的规律，直接写出 ；
(2)①根据上列式子的规律，直接写出 ；
②小明同学将99…9写成 ，将 写成 ，进而验证了①中规律的正确性．请你根据小明
同学的思路，证明①中你写出的结果．
64．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）观察下列等式：第1个等式为： ；第2个等式为：
；第3个等式为： ；第4个等式为： ，…．根据等式所反
映的规律，解答下列问题：
(1)第5个等式为______；
(2)猜想：第 个等式为______（ 为正整数）；
(3)根据你的猜想，计算： ．
65．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）观察下列等式：
第1个等式 ；
第2个等式
第3个等式 ；…
根据你所发现的规律，解决下列问题：
(1)填空 ______；
(2)猜想 ______；（用含n的式子表示，n为正整数）
(3)计算 ．
66．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）学习勾股定理后，我们发现美丽的“数学海螺”中蕴含着相关知识．
观察、分析并解决问题．
是 的面积
（ 是 的面积）；
（ 是 的面积）；
…．．
(1)推算出 ____________； ___________（ 为正整数）．
(2)求出 的值．
67．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）观察下列等式．第1个： ；
第2个： ；
第3个： ；
……
根据以上规律，解决下列问题：
(1) ___________；
(2)写出第 个等式：___________；（用含 的式子表示， 为正整数）
(3)计算： ．
68．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探
究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
特例1： ，
特例2： ，
特例3： ，
特例4： ____________．
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果 为正整数，按此规律第 个式子可以表示为：____________．
(3)应用运算规律：①化简： ____________．
②若 （ 均为正整数），则 ____________．
培优综合练
69．（24-25八年级下·重庆丰都·期末）对于一个正实数m，我们规定：用符号 表示不大于 的最
大整数（ 表示不大于m的最大整数），称 为m的根整数，如： ， ．如果我们
对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次， ，这时候结
果为1．现有如下四种说法：① ；② ；③若方程
，则满足条件的x的整数值有4个；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1
的所有正整数m中，最大值与最小值之差为239．其中正确说法的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
70．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）若记 表示任意实数的整数部分，例如： ， ，
…，
则 （其中“ ”“ ”依次相间）的值为 ．
71．（24-25七年级下·广东湛江·期末）对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，
它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数．如 的整数部分为 ，小数部分为 ．如果
的小数部分是 ， 的整数部分是 ，那么 的值为 ．
72．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）已知 求代数式 的值．
73．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）对于求三角形的面积，古今中外不少人都进行了研究，其中比较早且卓有成效的当属我国古代数学家秦九韶．他在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的
三边长，求它的面积．用现代式子表示即为： ①（其中 为三角形
的三边长， 为面积）．
（ ）若已知三角形的三边长分别为 ，试运用公式①，计算该三角形的面积 ；
（ ）国外有求三角形面积的“海伦公式”： ②（其中 ）．请你
取一组你喜欢的 值，验算公式①、公式②的结果是否一样？
74．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，已知正方形 的面积为2，将正方形 和等腰直
角三角形 两个障碍物放在数轴上，使正方形顶点 与数轴原点重合，边 与 在数轴上．
(1)点 表示的数为______； 的长度为______．
(2)甲虫 从点 处沿 的方向以每秒1个单位长度的速度爬到点 ．
①求甲虫 爬行的距离；
②另一只甲虫 从点 沿 的方向爬行到点 ，两只甲虫同时出发，在 中点 处相遇，
求甲虫 的爬行速度．
75．（24-25八年级下·山东济南·期末）【阅读材料】当 ， 时，
， ，
【获得结论】
当 ， 时， ；
当且仅当 时，等号成立，即 ；
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值问题中有着广泛的应用．
【应用举例】
例如：在 的条件下， ， ，当且仅当 ，即 时， 有最小值，最
小值为【解决问题】
(1)函数 ，y的最小值为______，此时， ______．
(2)当 时， 的最小值为______，此时， ______．
(3)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为 的长方形的生物园，其中生物园的一面 靠墙 墙足够
长 ，其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边 的长为 米，当这个矩形花园的宽 为______ 时，
所用的篱笆的总长度最短，最短为______米．
76．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）对于两个正数 ， ，定义一种新的运算，记作 ，
即：如果： ，那么 例如： 则
(1)根据上述运算填空： ； ；
(2)先观察 ， 与 的结果之间的关系， 再观察（1）中的三个数4，8，32之间的关系，试着
归纳：
(3)如图①，正方形 的边长为 ，小正方形 的边长为 ，若，求图中阴影部分的面积．
(4)如图②，四边形 ， 是长方形纸条， 按如图所示叠放在一起，
将重叠的部分长方形 ，沿着 翻折得到长方形 ．若 ，长方形 的面
积是 ， 求 的值．
77．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）对于任意有理数 ，定义一种新运算：
．
(1) ______；
(2)对于有理数 、 ，若 ， ．
①求 的值：
②将长方形 和长方形 按照如图方式进行放置，其中点 在同一条直线上，点 在边
上，连接 ．若 ，图中阴影部分的面积为45，求 的值．
78．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）【阅读材料】对于两个正数a，b，其中 ，如果 ，那么可
将指数c记作 ，即 ．例如： ，则 ．【问题解决】
(1)填空： ________； ________．
(2)小茗同学在研究这种运算时发现一个规律： ，并给出了如下证明：设
， ，则 ， ，
，
，
．
请利用小茗探究的结论，解决下列问题：
①已知两个正方形的边长分别为m，n，若 ， ．求这两个正方形的面积之
和．
②如图，把长方形 分成4个小长方形．其中，长方形 的面积是a，长方形 、 的
面积都是b，长方形 的面积是c．若 ，求 的值．
