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培优 05 二次根式有关运算（7 大题型）
题型1 二次根式中的字母参数问题
二次根式中的字母参数问题的解题策略
先抓隐含条件：注意被开方数≥0且分母≠0，解出参数范围．
1．（24-25八年级下·广东汕头·期末）已知 是整数，则自然数m的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了求二次根式中的参数．
由题意可知， 为整数，则 必为完全平方数，根据自然数 的取值范围，确定符合条件的 值即可．
【详解】设 （ 为非负整数），
则 ，
即 ，
∵ 为自然数，
∴ ，
即 ，
完全平方数 的可能值为 ，对应 ，
当 时， （不在选项中）；
当 时， （不在选项中）；
当 时， （不在选项中）；
当 时， （对应选项B）；
故选B．
2．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）等式 成立的条件是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质，先根据二次根式的性质列出不等式组 ，解不等式组，即可
求解．
【详解】解：依题意， ，
解得：
故选：C．
3．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）已知 ，则 的值是（ ）
A．9 B．8 C．6 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，正确解出x和y的值，是解答本题的关键．根据二次根式的定义，被开方数必须非负，确定x的取值范围，进而求出x和y的值，最后计算 的值．
【详解】解：确定x的取值范围： 由 可知， ，即 ；
由 可知， ，即 ．
．
将 代入原式： ，
．因此， 的值为9．
故选：A．
4．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若 是一个整数，则正整数m的最小值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查二次根式的化简，化简二次根式后判断 是个平方数是求解本题的关键．得出 是一
个平方数，进而求解即可．
【详解】解：∵ 是一个整数，
∴ 是一个平方数，
∴ 的最小值是3．
故答案为：3．
5．（24-25八年级下·广东肇庆·期末）若 有意义，则 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解决此题的关键．
根据二次根式有意义的条件，被开方数非负，即 ，解得 ，再判断即可．
【详解】解：要使 有意义，需满足被开方数 ，解得 ，
观察选项，只有A选项 满足 ，而B、C、D选项均小于5，不符合条件．
故选：A．
6．（24-25八年级下·福建福州·期末）若 ，则 ．
【答案】【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
7．（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）已知 是整数，则满足条件的最小正整数 的值为
．
【答案】1
【分析】本题主要考查二次根式的运算．根据题意可得 是完全平方数，即可求解．
【详解】解：∵ 是整数，
∴ 是完全平方数，
∴满足条件的最小正整数 的值为1，此时 ，满足条件．
故答案为：1
8．（24-25八年级下·青海海东·期末）若 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．
根据二次根式结果的非负性求出 的值即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
9．（24-25八年级下·四川广安·期末）若式子 有意义，则自变量x的取值范围是 ；
【答案】
【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的
关键．根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为： ．
题型2 利用二次根式的性质化简
利用二次根式的性质化简的解题策略
双重非负性优先：遇 化为∣a∣，分类讨论正负；分母含根式则分子分母同乘有理化因式．
10．（2025年广西来宾市九年级中考三模数学试题）计算 的结果是（ ）
A．2 B．4 C．2或 D．4或
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的性质，根据 解答即可．
【详解】解： ，
故选：A．
11．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）①化简 ．
②已知： ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的应用；
①根据完全平方公式以及二次根式的性质化简，即可求解；
②根据已知得出 ，进而可得 ，根据完全平方公式变形得出 ，进而根据完全
平方公式进行计算即可求解．
【详解】解：①
故答案为： ．②∵
∴ ，即
∴ ，
∴ ，
∴
∴ 即
∴
故答案为： ．
12．（24-25八年级下·山东德州·期末）已知 ，化简 ．
【答案】1
【分析】本题考查了二次根式性质和绝对值化简．根据二次根式性质和绝对值意义化简计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为：1．
13．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）化简：
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．直接利用二次根式的性质化
简即可得．
【详解】解： ，
故答案为： ．
14．（24-25八年级下·福建福州·期中）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握 ．根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解： ．
故答案为：15．
15．（24-25八年级下·吉林延边·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了无理数的估算，二次根式的化简，先得出 ，再根据二次根式的性质化简
即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
16．（25-26八年级上·全国·随堂练习）实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，则
的值为( )
【答案】
【分析】本题考查了数轴和二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据数轴的性质可
得 ，从而可得 ，再根据二次根式的性质化简即可得．
【详解】解：由数轴可知 ，
则 ，
所以，
故答案为： ．
17．（21-22八年级下·广东江门·阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可
以写成另一个式子的平方，如 ，善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中 、 、 、 均为正整数），
则有 ， ．这样小明找到了一种把部分 的式子化为
平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当 、 、 、 均为正整数时，若 ，用含 、 的式子分别表示 、 ，得： ，
；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数 、 、 、 填空： ；
(3)化简
【答案】(1) ，
(2)13，4，1，2
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，分析所给的材料进行解答是解题的关键．
（1）根据上面的例子，将 ，按完全平方展开，可得出答案；
（2）由（1）可写出一组答案，不唯一；
（3）将 展开得出 ，由题意得 ， ，再
由a、m、n均为正整数，可得到 ，根据二次根式的性质可得出答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，∴ ， ；
故答案为： ， ．
（2）由（1）可得 ， ， ， ；
故答案为：13，4，1，2．
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵m、n均为正整数，
∴ ， ；
∴
∴ ．
18．（24-25九年级上·吉林长春·期末）下列式子中运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质，分母有理化，二次根式的减法、乘法运算，根据二次根式的性质，
二次根式的减法，乘法运算运算法则逐项排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、 ，原运算错误，不符合题意；
B、 ，原运算正确，符合题意；
C、 ，原运算错误，不符合题意；
D、 ，原运算错误，不符合题意；
故选：B．题型3 二次根式的运算
图形折叠问题的解题策略
三步走：一化简（分解因数提完全平方），二合并同类根式，三分母有理化。混合运算注意分配律逆
用．
19．（24-25八年级上·江苏南通·期末）下列二次根式中能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的加减，二次根式的性质，同类二次根式，几个二次根式，化成最简二次根
式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，据此进行求解即可．
【详解】解：A、 ，与 不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
B、 ，与 不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
C、 ，与 不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
D、 ，与 是同类二次根式，能合并，故本选项正确；
故选：D．
20．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）估计 的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的化简、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解题关键．先
根据二次根式的运算化简，再利用无理数的估算即可得．【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
∴估计 的值应在2和3之间，
故选：B．
21．（24-25八年级下·山东淄博·期末）计算 的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
利用二次根式的乘除法则计算即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
22．（22-23九年级下·广东阳江·阶段练习）计算：
【答案】
【分析】此题考查了实数的混合运算，利用绝对值、负整数指数幂、零指数幂、算术平方根的性质进行计
算即可．
【详解】解：23．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
24．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）计算：(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是关键．
（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）分别算出立方根，二次根式，绝对值的值，最后算加减即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
25．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质、立方根的定义计算，再根据有理数的加减法则计算即可；
（2）先根据零指数幂、绝对值、立方根的运算法则计算，再合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
26．（24-25八年级下·山东济宁·期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)1
【分析】本题考查了二次根式的混合计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先化简二次根式，再计算加减法即可；
（2）先根据完全平方公式和二次根式乘法计算，再计算加减法即可．
【详解】（1）解：；
（2）
．
27．（24-25八年级下·山东德州·期末）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算：
（1）先根据二次根式的性质化简，再和并，即可求解；
（2）先根据二次根式的性质化简，再计算乘除，即可求解；
（3）先根据完全平方公式和平方差公式计算，再和并，即可求解．
【详解】（1）解：（2）解：
；
（3）解：
28．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)7
(2)
(3)
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算和实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
（1）原式利用算术平方根、乘方和立方根的定义计算后再进行乘法和加减运算即可；
（2）利用二次根式的乘除法法则计算后再算加减即可；
（3）原式利用平方差公式、完全平方公式以及二次根式的乘方计算后再进行加减运算即可．【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
题型4 二次根式的求值问题
二次根式的求值问题的解题策略
先化简后代入：复杂表达式先因式分解或配方；遇 考虑平方消根号或构造倒数关系．
29．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的运算，掌握完全平方公式、二次根式的乘除法法则是解题的关键．根据
二次根式的加减法、乘除法法则求出 、 ，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．
【详解】解：∵ ，∴ ， ，
∴
．
故答案为：
30．（24-25八年级下·福建福州·期中）已知 ，求 的值．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则．
解法一：将 代入 求解即可；
解法二：首先求出 ， ，然后利用平方差公式求解即可．
【详解】解法一：原式
．
解法二： ，
原式．
31．（24-25八年级下·山东滨州·期末）当 时，代数式 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算．
将原式变形为 ，再把a的值代入代数式中计算即可．
【详解】∵ ，
∴
．
故答案为： ．
32．（24-25八年级下·四川德阳·期中）已知 ，那么 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，能够正确的判断出化简过程中被开方数的符号是解答此题的
关键．先化简，再分同正或同负两种情况作答即可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴x、y同号，
当 ， 时，原式 ；当 ， 时，原式 ；
故答案为： ．
33．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ；
【分析】本题考查了整式的化简求解，包括完全平方公式和单项式乘多项式，将整式正确化简是解决本题
的关键．
先根据完全平方公式化简，再将a的值代入求解即可．
【详解】解：
，
∵ ，
∴上式 ．
34．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知 ， ，求下列代数式的值．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)1
(2)18
【分析】此题考查了二次根式的化简求值及完全平方公式，掌握二次根式的加减法则和乘法法则是解题关
键．
（1）直接利用已知得出 的值即可；
（2）直接利用已知得出 的值，再根据完全平方公式求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ；（2） ，
则 ．
35．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程：
阅读材料，解答下列问题．
材料：已知 ，求 的值．
小明同学是这样解答的：
，
这种方法称为“构造对偶式”．
问题：已知 ．
(1)求 的值；
(2)求x的值．
【答案】(1)2
(2)
【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握题干给定的方法，是解题的关键：
（1）根据题干给定的方法，进行求解即可；
（2）将两式相加后，利用平方法解方程即可．
【详解】（1）解：
，
，
，
的值为2；（2）由（1）得： ， ，
，
，
，
，
经检验， 是原方程的解．
36．（24-25八年级下·江西赣州·期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知
，求 的值．他是这样解答的：
．
．
．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
(1) _______； _______；
(2)比较大小： ； （用“ ”“ ”或“ ”填空）；
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)5
【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）利用分母有理化计算；
（2）根据分母有理化 、 、 、
，然后再比较大小即可；
（3）根据题干的方法可得 ，结合 ，即可求解．
【详解】（1）解： ；
；
故答案为： ； ．
（2）解： ，
，
，
；
，
，
，
，即 ．
故答案为： ； ．（3）解： ，
，
， ，即
题型5 二次根式的实际应用
图形折叠问题的解题策略
几何问题抓勾股定理进行计算求解；物理问题（如弹簧长度）依题意列含根式方程或者物理公式计算，
平方去根号求解．
37．（24-25八年级下·云南昭通·期中）高空坠物现象被称为“悬在城市上空的痛”．随着城市化进程加快，
一栋栋高楼大厦拔地而起．然而，高空坠物、抛物伤人的事件也呈多发态势．经过查阅相关资料，小明同
学得到高空坠物下落的时间t（单位： ）和高度h（单位： ）近似满足公式 （不考虑风速的影响，
，单位： ）．若某玩具在高空被抛出后经过 后落在地上，则玩具抛出前离地面的高度h为
（ ）
A．15 B．30 C．45 D．405
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键．
将 ， 代入 求解即可．
【详解】将 ， 代入 得，解得
因此，玩具抛出前离地面的高度为45米．
故选：C．
38．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，这是运动会颁奖台的贴纸，在矩形内绘制三个紧邻的正方形
并标注相应的名次，三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，将剩余阴影部分剪掉，则剪掉的面积为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据图形列出关系式是关键．
依据题意，由三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，则三个正方形的边长从左到右依次为 ，2，
，可得矩形的长为 ，宽为2，进而阴影部分的面积，即剪掉的面积＝矩形的面积﹣三个正
方形的面积和，从而可以列式计算得解．
【详解】解：由题意，∵三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，
∴三个正方形的边长从左到右依次为 ，2， ．
∴矩形的长为 ，宽为2．
∴阴影部分的面积，即剪掉的面积＝矩形的面积﹣三个正方形的面积和
．
故选：D．
39．（24-25八年级下·山东济宁·期末）在一个大正方形上，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个
小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（ ）A． B． C． D．8
【答案】A
【分析】本题考查二次根式混合运算的运用，先由题中正方形的面积得到各个正方形的边长，再表示出两
个空白图形的长与宽即可得到空白部分的面积为 ，运用二次根式混合运算法则计算
即可得到答案．熟记二次根式性质、二次根式乘法及加减运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
面积为10的正方形边长为 、面积为12的正方形边长为 、面积为3的正方形边长为 ，
空白的长为 ，宽为 ； 空白的长为 ，宽为 ；
空白部分的面积为 ，
故选：A．
40．（24-25八年级下·河北保定·期末）活动课上，淇淇打算用长方形卡纸做一个长、宽、高的比为
的长方体纸盒，且纸盒的底面积为 ，他设计的展开图（阴影部分）如图所示（恰好剪出），关于①、
②，下列判断①这个长方体纸盒的体积为 ；②该长方形卡纸的长为 ，宽为 ；正确
的是（ ）
A．①、②都不对 B．①、②都对 C．①对②不对 D．①不对②对【答案】B
【分析】本题考查算术平方根的应用，认识立体图形．设长方体纸盒的长是 、宽是 、高是 ，
得到 ，求出 ，即可求出这个长方体纸盒的体积，该长方形卡纸的长和宽．
【详解】解：∵长方体纸盒的长、宽、高的比为 ，
∴设长方体纸盒的长是 、宽是 、高是 ，
∴ ，
∴ （舍去负值），
∴这个长方体纸盒的体积 ，
该长方形卡纸的长为 ，宽为 ，
∴①对②对．
故选：B．
41．（25-26八年级上·全国·随堂练习）将一列数 按如图所示的数表排列，
的位置可记为 ， 的位置可记为 若这列数中最大的有理数记为 ，则 的值为
．
【答案】23
【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是明确题意，发现题目中的数据的特点和排列的特点，
找出最大的有理数所在的位置．根据题目中的数据可以得到这列数中最大有有理数的位置，进而得到m、n
的值，从而可以求得 的值．
【详解】解： ， ，
的位置记为 ，这列数中的最大有理数是 ，
这列数中的最大有理数是 记为 ，
这列数中的最大有理数的位置可记为 ，
，
，
故答案为：23．
42．（24-25八年级下·河北张家口·期中）如图甲是第七届国际数学教育大会（ ）的会徽，主体图案
是由如图乙的一连串直角三角形演化而成，其中 ，现把图乙中的直角三
角形继续作下去，若 的值是整数，且 ，则符合条件的 有 个．
【答案】3
【分析】本题考查了勾股定理的应用；探索图形规律，找到规律是解题的关键．
利用勾股定理可求出 ，得到 ，即可得到 ，再根据 是整数及
，由此可求出n的值的个数．
【详解】解：由题意得
；
；
；
∵ ，∴ 的值是整数，
∴· 的值可以是 ， ， ，是整数的有3个．
故答案为：3．
43．（24-25八年级下·福建莆田·期末）我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦分别提出利用三
角形的三边求面积的公式并加以证明，人们把这个公式称为海伦﹣秦九韶公式．即如果一个三角形的三边
长分别为a，b，c，记 ，那么三角形的面积 ．若 的三边长分
别为4，5，7，利用海伦﹣秦九韶公式可求出 的面积为
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解
答，难度不大．根据a，b，c的值求得 ，然后将其代入三角形的面积
求值即可．
【详解】解：由 的三边长分别为4，5，7，
得 ．
∴三角形的面积 ．
故答案为： ．
44．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为“悬在城市上空的痛”，
是我们必须杜绝的行为．物理兴趣小组通过查阅相关资料了解到，物品从离地面为 的高处自由落下，
落到地面的时间为 ，满足 不考虑阻力的影响
(1)求物体从 的高空落到地面的时间 结果保留根号 ；(2)已知从高空坠落的物体所带能量 单位： 物体质量 高度 ，一串质量为 的钥匙经
过3 落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？ 注：人体只需要 的能量
就会对人体造成危害
【答案】(1)落到地面的时间为 ；
(2)这串钥匙在下落后会对人体造成危害，理由见解析．
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
（1）依据题意，由 ， ，则 ，进而可以得解；
（2）依据题意，由 ， ，则 ，从而 ，结合人体只需要 的
能量就会对人体造成危害，即可判断得解．
【详解】（1）解：由题意， ， ，
，
答：落到地面的时间为 ；
（2）由题意， ， ，
，
这串钥匙在下落后会对人体造成危害．
45．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）某室内展区有一块长方形闲置区域 （如图），该区域的长
为 米，宽 为 米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米．
(1)求该长方形闲置区域 的周长；
(2)除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大
约需要花费多少元？（参考数据： ，结果精确到0.1）
【答案】(1) 米
(2)1350.7元
【分析】本题考查了二次根式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据长方形的周长进行列式计算，即可作答．
（2）先算出其余区域的面积为 平方米，再结合所铺红毯的售价为10元/平方米，进行列式计算，
即可作答．
【详解】（1）解：依题意， （米）．
答：该长方形闲置区域 的周长为 米
（2）解：
（平方米）．
∴其余的面积为 平方米，
（元）．
答：购买红毯大约需要花费1350.7元．46．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）阅读材料：
小甘在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ，
善于思考的小甘进行了以下探索：设 （其中a，b，m，n均为正整数），则有
．∴ ， ．这样小甘就找到了一种把部分形如 的式子
化为平方式的方法．
请你仿照小甘的方法探索并解决下列问题：
(1)当a，b，m，n均为正整数时，若 ，用含m，n的式子分别表示a，b，得 ______，
______；
(2)若 ，且a，m，n为依次减小的正整数，求a的值．
【答案】(1) ，
(2) 或
【分析】本题考查了二次根式的应用．
（1）根据示例作答即可；
（2）根据示例得到 ， ，根据题意得到 或 ，计算即可．
【详解】（1）解：若 ，
则有 ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）若 ，
则有 ，
∴ ， 即 ，∵a，m，n为依次减小的正整数，
∴ 或
当 时， ；满足a，m，n为依次减小的正整数，符合题意；
当 时， ；a，m，n为依次减小的正整数，符合题意．
∴ 或
47．（24-25八年级下·山东济南·期末）某居民小区有块形状为长方形的绿地 ，绿地的长 为
，宽 为 ，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为
，宽为 ．
(1)求长方形绿地 的周长；
(2)除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元 ，求通道铺地砖需要
花费多少元？
【答案】(1)
(2)2240元
【分析】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混
合运算顺序和运算法则及其性质．
（1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可；
（2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意，长方形绿地的周长为：
，
答：长方形绿地的周长为 ；（2）解：
，
，
答：铺地砖需要花费2240元．
48．（24-25八年级下·江苏南京·期末）海啸是一种破坏力极强的海浪，在广阔的海面上，海啸的行进速度
可近似的地按公式 计算，其中v表示海啸的行进速度 ，d表示海水的深度 ，g表示重力加
速度，g取 ．
海水深度 500 1000 1500 2000 2500
海啸行进速度 ____ 140
(1)根据海啸的行进速度公式，完成上表：
(2)如果测得海啸在海面两处的行进速度分别为 和 ，那么这两处的海水深度差值是多少？
(3)下列关于海啸行进速度的描述：
①随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大；
②当海水的深度是 的k倍时，海啸的行进速度是 ；
③随着海水深度的增加，海啸行进速度的增加幅度会越来越小．
其中，描述正确的序号是______（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）．
【答案】(1)填表见解析
(2)60米
(3)①③
【分析】本题主要考查二次根式的计算，解题的关键是根据题中的公式列式求解．
（1）直接将 代入速度公式，计算，完成表格填空．
（2）设两处深度为 、 ，根据公式，分别将 和 代入，通过列方程，解得 、 ，
作差得深度差值．
（2）①分析速度公式 是算术平方根函数，因被开方数 增大时 递增，故 随 增大而增大，判断正确；②设深度 ，代入公式化简得 ，与题目表述 对比，发现计算和单位错
误，判断错误；③将公式变形为 ，利用算术平方根函数“增速变缓”的性质，结合具体数值
验证（ 越大，相同增量下 增量越小），判断正确．
【详解】（1）解：当 时：
，
200
海水深度 500 1000 1500 2500
0
海啸行进速度 70 140
（2）解：设两处海水深度为 、 ，由 得：
当 时， ，
，
；
当 时， ，
，
；
深度差值为 米，
（3）①：“随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大”
海啸速度公式为 （ ，是常数）．
从函数角度看， 是关于 的算术平方根函数，形式为 （ ，是正数）．
根据算术平方根函数的性质：当被开方数 增大时， 递增，因此 也递增．．
∴随着海水深度 增加，海啸速度 必然逐渐增大，描述①正确．②：“当海水的深度是 的 倍时，海啸的行进速度是 ”
设海水深度 ，代入速度公式：
化简 ：
而题目中表述为“ ”，描述②错误；
③：速度公式 可变形为 ，其中 是常数（记为 ），即 ．
从“函数的变化率”角度理解：算术平方根函数 的增速趋势是逐渐变缓的．当 较小时， 增加
， 的增量较大；当 很大时， 同样增加 ， 的增量会变小，
当 时， ；
当 时， ，增量 ；
当 时， ；
当 时， ，增量 ；
可见， 越大，相同增量下 的增量越小）．
∴描述③正确．
故答案为①③．
题型6 定义运算中的二次根式运算
定义运算中的二次根式运算问题的解题策略
按自定义规则分步计算，结合参数隐含范围筛选有效解．49．（25-26八年级上·全国·随堂练习）对实数 ，定义运算 ，已知 ，则 的
值为（ ）
A．4 B． C． D．5或
【答案】C
【分析】此题考查实数运算，根据新定义分别列式计算求出m的值，再判断即可得到答案
【详解】由题意可分两种情况讨论：
①当 时，有 ，
解得 ，不符合 ，
此种情况不符合题意；
②当 时，有 ，解得 ．
， 舍去，即 ．
故选：C．
50．（24-25八年级下·四川泸州·期末）用 表示不超过 的最大整数，例如： ．已
知 ， ，则 （ ）
A．4 B．2 C．-4 D．2
【答案】A
【分析】本题考查新定义、无理数的估算，二次根式的混合运算，先估算出 ，根据题中新定
义规定可求得 和 ，进而求出 的值，然后代入 计算可得答案．
【详解】解：∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
故选：A．
51．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样
的数为“最美实数”．若 是“最美实数”，则a的值是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】本题考查算术平方根及立方根，根据“最美实数”的定义，可知 或 ，求出a
的值即可．
【详解】解：若 是“最美实数”，
则有 或 ，
若 ，解得 ，
若 ，解得 ，
综上，a的值为 或 ，
故选：D．52．（24-25七年级下·全国·期中）任何正实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如
对一个正实数先取算术平方根，再将结果取不超过算术平方根的最大整数，叫做
一次操作．如对72进行如下操作： ，这样对72只需进
行3次操作后变为1，类似地，对81只需进行3次操作后变为1．那么只需进行3次操作变为1的所有正数
中，最大的是（ ）
A．256 B．255 C．225 D．224
【答案】B
【分析】本题考查了算术平方根、估算无理数的大小的应用，根据 表示不超过a的最大整数，对各选项
进行操作，找出只需进行3次操作变为1的最大正数即可解答．
【详解】解：A、256第一次操作 ，第二次操作 ，第三次操作 ，第四次操作
，
∴256需要进行4次操作才变为1，不符合题意；
B、255第一次操作 ，第二次操作 ，第三次操作
∴255需要进行3次操作才变为1；
C、225第一次操作 ，第二次操作 ，第三次操作 ，
∴225需要进行3次操作才变为1；
D、224第一次操作 ，第二次操作 ，第三次操作 ，
∴224需要进行3次操作才变为1；
∵ ，
∴只需进行3次操作变为1的所有正数中，最大的是255．
故选：B．
53．（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）定义新运算“☆”：若 ，则 ．
【答案】7【分析】本题考查了定义新运算，算术平方根，理解题意是解题的关键．先计算 ，其答案为6，再计
算 即可．
【详解】解： ，
，
，
故答案为：7．
54．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为 ，则方
程 的解为 ．
【答案】
【分析】本题属于新定义计算，根据平方根的定义解方程，掌握新的运算法则是解答本题的关键．按照题
中给出的运算法则将所给式子进行变形，得到关于x的方程，然后利用平方根解方程即可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴
∴
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
55．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）对于任意满足 的两个非零实数a，b，定义一种新运算
“#”，满足： ，例如 ，那么 ．【答案】 /
【分析】根据所规定的运算方法求解即可．本题考查了新定义运算，理解新定义的运算方法是解答本题的
关键．
【详解】解： ．
故答案为： ．
56．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）对于任意不相等的两个数 ， ，定义一种运算
，例如 ，若 是有理数，则x的最小正整数值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查实数的运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键．根据题意列得算式为
，再结合已知条件确定x的最小正整数值即可．
【详解】解：由题意得 ，
要使该式为有理数，则 要为平方数，
当 取最小正整数时， ，在此范围内的最小平方数为 ，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
57．（24-25七年级下·河南焦作·期末）用“ ”表示一种新运算：对于任意实数 、 （其中 ），都
有 ．例如： ，则 ；若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查新定义运算，涉及算术平方根运算、二次根式性质、去绝对值等知识，理解新定义运算算法是解决问题的关键．由新定义运算 ，直接按照算法计算，代值求解即可得到答案．
【详解】解： ，
；
，
则 ，
，
，
故答案为： ， ．
58．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）对于实数 ， ，规定一种新运算 ： ，例如
，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义，二次根式的运算，二次根式的性质，根据新定义把转化为二次根式的运算计
算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：由题意可得：
，
故答案为： ．
题型7 与二次根式有关的规律问题
与二次根式有关的规律问题的解题策略分母有理化后观察相邻项抵消关系（如 )，累加消中间项．
59．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图数阵是按一定规律排成的．规定：从上往下第a行，同时在该
行，从左往右第b个数所在的位置用数对 表示，如：数 所在的位置可表示为 ，则数45所在
的位置可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，由题意得，第n行有n个数，且第k个数为 ，则可求出前
n行一共有 个数，数45是第2025个数，再确定数45在第64行，而偶数行是从左到右按照从小到
大的顺序排列，据此可确定数45的位置，则可得到答案．
【详解】解：由题意得，第n行有n个数，且第k个数为 ，
∴前n行一共有 个数，
∵ ，
∴数45是第2025个数，
∵ ，
∴数45在第64行，
∵奇数行从左到右是按照从大到小的顺序排列，偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列，
∴45在第64行第 个数，
∴数45所在的位置可表示为 ，故选：D．
60．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）请认真观察下列等式： ；
； ； ；……利用上述等式的规律，计算
．
【答案】
【分析】本题考查了实数的计算的规律探究，，熟练掌握规律探索是解题的关键．根据已知等式的规律，
将目标式子化为 ，即可求解．
【详解】解：原式
故答案为： ．
61．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：
① ；② ；③ ；④ __________；…
（2）深入探究，观察下列等式：
① ，② ；③ ；…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：___________．
（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：
① ；
② ．
【答案】（1）10；（2） ；（3）①5050；②41075
【分析】（1）观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和；
（2）所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可；
（3）利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解．
【详解】解：（1） ；
（2）根据以上等式的规律可得， ；
（3）①
；
②
．
【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律，掌握这三个知识点的应用，其中探求规
律是解题关键62．（24-25七年级下·全国·假期作业）观察下列两组算式，解答下列问题第一组：
．
第二组： ．
(1)由第一组可得结论：对于任意实数a，有 ______；
(2)由第二组可得结论：当 时， ______；
(3)利用（1）（2）的结论计算：
______； ______．
(4)当 时，计算 的值．
【答案】(1)
(2)a
(3) ；
(4)
【分析】此题主要考查了算术平方根的计算以及与实数有关的规律问题，根据已知能准确归纳探究结果并
能运用其正确化简是解题的关键，此题重点培养学生的归纳应用能力．
（1）根据题干数据规律即可求解；
（2）根据题干数据规律即可求解；
（3）由（1）的结论计算即可；
（4）由（1）的结论计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴可得 ，
故答案为： ；
（2）解：∵ ，
∴当 时， ，故答案为： ；
（3）解： ； ，
故答案为： ； ；
（4）解：∵
∴ ．
63．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）观察下列各式：
① ；② ；③ ；…．
(1)根据上列式子的规律，直接写出 ；
(2)①根据上列式子的规律，直接写出 ；
②小明同学将99…9写成 ，将 写成 ，进而验证了①中规律的正确性．请你根据小明
同学的思路，证明①中你写出的结果．
【答案】(1)
(2)① ；②见解析
【分析】本题考查规律型—实数运算的规律题，算术平方根，完全平方公式，弄清题中的规律是解题的关
键．
（1）仿照已知中的①②③，以及算术平方根的定义即可得出结果；
（2）①观察一系列等式，得出一般规律，即可确定所求式子的结果；
②按小明的思路作变形，然后进行化简，即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意得： ，
故答案为： ；
（2）解：①观察下列等式：
，
，，
，
∴ ，
故答案为： ；
②证明：
，
∴ ，
即①中的结论成立．
64．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）观察下列等式：第1个等式为： ；第2个等式为：
；第3个等式为： ；第4个等式为： ，…．根据等式所反
映的规律，解答下列问题：
(1)第5个等式为______；
(2)猜想：第 个等式为______（ 为正整数）；
(3)根据你的猜想，计算： ．
【答案】(1)(2)
(3)40
【分析】本题考查了二次根式的分母有理化和规律探究，找到规律是解题的关键；
（1）根据已知的等式找到规律即可解答；
（2）根据（1）等式规律即可解答；
（3）根据（2）的规律将每一项变形后再计算加减即可．
【详解】（1）解：∵第1个等式为： ；
第2个等式为： ；
第3个等式为： ；
第4个等式为： ，
∴第5个等式是 ；
故答案为： ．
（2）解：由（1）题的等式规律可得：第 个等式为 （ 为正整数）；
故答案为： ；
（3）解：．
65．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）观察下列等式：
第1个等式 ；
第2个等式
第3个等式 ；
…
根据你所发现的规律，解决下列问题：
(1)填空 ______；
(2)猜想 ______；（用含n的式子表示，n为正整数）
(3)计算 ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】本题考查数式规律问题，实数的运算，结合已知条件总结出规律是解题的关键．
(1)根据题干中的已知等式即可求得答案；
(2)根据已知等式总结规律即可；
(3)根据所的规律先化简再算乘法即可．
【详解】（1）解： ，故答案为： ；
（2） （n为正整数 ，
故答案为： ；
（3）原式 ．
66．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）学习勾股定理后，我们发现美丽的“数学海螺”中蕴含着相关知识．
观察、分析并解决问题．
是 的面积
（ 是 的面积）；
（ 是 的面积）；
…．．
(1)推算出 ____________； ___________（ 为正整数）．
(2)求出 的值．
【答案】(1)
(2)18【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，二次根式的除法运算，数字类规律探索，求一个
数的算术平方根，实数的混合运算等知识点，发现并总结出其一般规律是解题的关键．
（1）根据已知条件中 和 的值发现并总结出其变化规律，再总结出的规律求出答案即可；
（2）根据（1）中发现并总结出的规律，求出 ， ， ， ， ， ， ，再代入所求代数式，然
后利用分母有理化进行计算即可．
【详解】（1）解： ， （ 是 的面积），
， （ 是 的面积），
， （ 是 的面积），
，
， （ 是 的面积），
， ，
∴ ；
（2）解：
．
．67．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）观察下列等式．
第1个： ；
第2个： ；
第3个： ；
……
根据以上规律，解决下列问题：
(1) ___________；
(2)写出第 个等式：___________；（用含 的式子表示， 为正整数）
(3)计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了数字类规律探索，理解题意，正确得出规律是解此题的关键．
（1）根据题干所给式子进行计算即可得解；
（2）根据题干所给式子得出规律即可；
（3）利用（2）中得出的规律，计算即可得解．
【详解】（1）解：∵第1个： ；
第2个： ；第3个： ；
……
∴ ；
（2）解：由（1）可得第 个等式为： ；
（3）解：
．
68．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探
究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
特例1： ，
特例2： ，
特例3： ，
特例4： ____________．
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果 为正整数，按此规律第 个式子可以表示为：____________．
(3)应用运算规律：①化简： ____________．
②若 （ 均为正整数），则 ____________．
【答案】(1)
(2) （ 为正整数）
(3)① ；②22
【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键．
（1）观察特例可得结论；
（2）观察特例与结果间及数字间关系得结论；
（3）①先计算 ，再算二次根式的乘法得结论；
②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果．
【详解】（1）解： ．
故答案为： ；
（2）解: 当 为正整数，按此规律第 个式子可以表示为 ，
（3）解: ①；
②∵ (a，b均为正整数)，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴ ．
培优综合练
69．（24-25八年级下·重庆丰都·期末）对于一个正实数m，我们规定：用符号 表示不大于 的最
大整数（ 表示不大于m的最大整数），称 为m的根整数，如： ， ．如果我们
对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次， ，这时候结
果为1．现有如下四种说法：① ；② ；③若方程
，则满足条件的x的整数值有4个；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1
的所有正整数m中，最大值与最小值之差为239．其中正确说法的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查新定义“根整数”的理解与应用，涉及无理数的估算、二次根式及最值分析．根据新定
义再结合无理数的估算、二次根式及最值逐一验证各说法的正确性即可．
【详解】解：①：计算左边 ， ，和为 ；右边 ，等式成立．故①正确．
②： ，取反例 ，左边 ，右边 ，显然 ．故②错误．
③：方程 ，x为整数且 ．
逐一验证：
当 时，左边分别为 ，满足条件；其他x值均不满足．故满足条件的x有3个，而非4个．故③错误．
④：设正整数m进行3次连续求根整数运算后结果为1，即 ，
第三次操作时： ，则 ；
第二次操作时： ，则 ，其中 ；
第一次操作时： ，则 ．
排除提前终止的情况：
若 ，则 ，对应 ，但这些m在2次操作内即可终止，需排除；
若 ，则 ，对应 ；
若 ，则 ，对应 ；
∴需进行3次根整数运算结果为1的正整数m的范围为 ，
∴m的最大值为255，最小值为16，差值为 ．故④正确．
综上，正确说法为①④，共2个．
故选：B．
70．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）若记 表示任意实数的整数部分，例如： ， ，
…，
则 （其中“ ”“ ”依次相间）的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的新定义运算，解题的关键是正确运用估算思想，确定整数部分中的运算规律．
按照整数是1，整数是2，…整数是44，确定算术平方根的个数，运用估算思想，列式，寻找规律计算．
【详解】解： ，即 时， ，此时 ，
；
，即 时， ，此时 ，；
，即 时， ，此时 ，
；
由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数
部分是2的算术平方根的整数和是 ，整数部分是3的算术平方根的整数和是3，
，
，即 时， ，
，
，
故答案为： ．
71．（24-25七年级下·广东湛江·期末）对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，
它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数．如 的整数部分为 ，小数部分为 ．如果
的小数部分是 ， 的整数部分是 ，那么 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，由夹逼法可得 ，即得 ，
，进而求出 的值，再代入代数式计算即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，∵ 的小数部分是 ， 的整数部分是 ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
72．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）已知 求代数式 的值．
【答案】5
【分析】利用二次根式的化简，完全平方公式，因式分解解答即可．
本题考查了二次根式的化简，完全平方公式，因式分解，熟练掌握完全平方公式．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
73．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）对于求三角形的面积，古今中外不少人都进行了研究，其中比较早
且卓有成效的当属我国古代数学家秦九韶．他在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的
三边长，求它的面积．用现代式子表示即为： ①（其中 为三角形
的三边长， 为面积）．
（ ）若已知三角形的三边长分别为 ，试运用公式①，计算该三角形的面积 ；
（ ）国外有求三角形面积的“海伦公式”： ②（其中 ）．请你
取一组你喜欢的 值，验算公式①、公式②的结果是否一样？【答案】（ ） ；（ ）一样
【分析】（ ）把 ， ， 代入公式①计算即可求解；
（ ）取 ， ， ，求出 的值，再代入公式②计算求出结果，进而根据（ ）的结果比较即可
判断求解；
本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：（ ）把 ， ， 代入公式①得，
；
（ ）取 ， ， ，
则由公式②得， ，
∴把 ， ， ， 代入公式②得，
，
∴结合（ ）可知，公式①、公式②的结果是一样．
74．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，已知正方形 的面积为2，将正方形 和等腰直
角三角形 两个障碍物放在数轴上，使正方形顶点 与数轴原点重合，边 与 在数轴上．(1)点 表示的数为______； 的长度为______．
(2)甲虫 从点 处沿 的方向以每秒1个单位长度的速度爬到点 ．
①求甲虫 爬行的距离；
②另一只甲虫 从点 沿 的方向爬行到点 ，两只甲虫同时出发，在 中点 处相遇，
求甲虫 的爬行速度．
【答案】(1) ；2．
(2)① ；②每秒 个单位长度．
【分析】本题考查轴上的几何问题，重点在于理解正方形和等腰直角三角形的性质，以及如何在数轴上表
示和计算点的位置和距离．同时，需要运用速度和时间的关系来求解甲虫的爬行距离和速度．
（1）根据正方形面积计算出边长，即是点 到原点的距离，且点 在原点右侧，注意符号； 是等腰直
角三角形 的斜边，根据勾股定理可以求出长度．
（2）①甲虫 爬行的距离可以根据图像将甲虫 走过的线段长度求和；
②根据相遇位置，求出甲虫 所走过的距离，从而得到两只甲虫相遇的时间，再根据甲虫 走过的距离，
求出甲虫 的爬行速度．
【详解】（1）解： 正方形 的面积为2，
正方形 的边长为 ，
点 表示的数为 ．
为等腰直角三角形，
．
故答案为： ，2．
（2）解：①根据题意，甲虫爬行的距离 ；②甲虫 ， 相遇时，甲虫 爬行距离为 ，
则甲虫 爬行时间为 秒，
甲虫 爬行距离为 ，
爬行速度为 ，
甲虫 的爬行速度为每秒 个单位长度．
75．（24-25八年级下·山东济南·期末）【阅读材料】当 ， 时，
， ，
【获得结论】
当 ， 时， ；
当且仅当 时，等号成立，即 ；
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值问题中有着广泛的应用．
【应用举例】
例如：在 的条件下， ， ，当且仅当 ，即 时， 有最小值，最
小值为
【解决问题】
(1)函数 ，y的最小值为______，此时， ______．
(2)当 时， 的最小值为______，此时， ______．
(3)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为 的长方形的生物园，其中生物园的一面 靠墙 墙足够
长 ，其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边 的长为 米，当这个矩形花园的宽 为______ 时，
所用的篱笆的总长度最短，最短为______米．【答案】(1)6；3；
(2) ； ；
(3)10；
【分析】本题主要考查了二次根式的应用、配方法的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意，列出关系式
是关键．
（1）依据题意，当 时，由 ，则 ，当且仅当 ，即 时， 有最小值，
最小值为6，进而可以判断得解；
（2）依据题意，当 时，由 ，则 ，当且仅当 ，即 时，
有最小值，最小值为 ，进而可以判断得解；
（3）依据题意，由 米，则 米，则篱笆的总长度 ，又 ，则
，当且仅当 ，即 时， 有最小值，最小值为40，最后可以判断得解．
【详解】（1）由题意，当 时， ，
，当且仅当 ，即 时， 有最小值，最小值为
故答案为：6；
（2）由题意，当 时，
，，
当且仅当 ，即 时， 有最小值，最小值为
故答案为： ；
（3）由题意， 米，则 米，
篱笆的总长度
，
，
当且仅当 ，即 时， 有最小值，最小值为
答：当这个矩形花园的宽 为 米时，所用的篱笆的总长度最短，最短为 米．
故答案为： ；
76．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）对于两个正数 ， ，定义一种新的运算，记作 ，
即：如果： ，那么 例如： 则
(1)根据上述运算填空： ； ；
(2)先观察 ， 与 的结果之间的关系， 再观察（1）中的三个数4，8，32之间的关系，试着归纳：
(3)如图①，正方形 的边长为 ，小正方形 的边长为 ，若
，求图中阴影部分的面积．
(4)如图②，四边形 ， 是长方形纸条， 按如图所示叠放在一起，
将重叠的部分长方形 ，沿着 翻折得到长方形 ．若 ，长方形 的面
积是 ， 求 的值．
【答案】(1)2，3，5
(2)
(3)120
(4)1
【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式的变形求值，幂的乘方计算，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据如果 ，那么 ，据此计算即可；
（2）由 得 ；
（3）由 得到 ，由 得到 ，由 得到 ，
最后根据图中阴影部分的面积为 计算即可；
（4）由 得到 ， ，由图可得：矩形 的面积是 ，
，解得 ，即可得到 ， ，再根据 ，得到 ， ，代入求值即
可．
【详解】（1）解：∵ ，∴ ；
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）解：∵ ， ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）解：∵ ，
∴由（2）可得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴，
∵正方形 的边长为 ，小正方形 的边长为 ，
∴图中阴影部分的面积为 ；
（4）解：∵ ，
∴ ， ，由图可得：矩形 的面积是 ， ，
∴ ，解得 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
，
∴ ， ，
∴ ．
77．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）对于任意有理数 ，定义一种新运算：
．
(1) ______；
(2)对于有理数 、 ，若 ， ．
①求 的值：
②将长方形 和长方形 按照如图方式进行放置，其中点 在同一条直线上，点 在边
上，连接 ．若 ，图中阴影部分的面积为45，求 的值．
【答案】(1)(2)①56；②2
【分析】本题主要考查了新定义，完全平方公式在几何图形中的应用：
（1）直接根据 计算即可；
（2）①先根据新定义化简，再利用完全平方公式变形求解即可；
②根据图形用含x，y的式子表示出阴影部分的面积，再根据①中的结果代入即可求出n．
【详解】（1）解：原式 ．
故答案为： ；
（2）解：①原式
，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
②由图知： ，
∴ ，
化简得 ，
∴ ，
由①得， ， ，
∴ ，
∴ ．
78．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）【阅读材料】对于两个正数a，b，其中 ，如果 ，那么可
将指数c记作 ，即 ．例如： ，则 ．【问题解决】
(1)填空： ________； ________．
(2)小茗同学在研究这种运算时发现一个规律： ，并给出了如下证明：设
， ，则 ， ，
，
，
．
请利用小茗探究的结论，解决下列问题：
①已知两个正方形的边长分别为m，n，若 ， ．求这两个正方形的面积之
和．
②如图，把长方形 分成4个小长方形．其中，长方形 的面积是a，长方形 、 的
面积都是b，长方形 的面积是c．若 ，求 的值．
【答案】(1)6；1
(2)①192；② ．
【分析】（1）根据所给的新定义运算即可解答；
（2）①根据新定义给出的特证求得 ， ，再根据完全平方公式变形，计算即可；
②设 ， ， ， ，则 ， ，根据题意得到
， ， ，计算 得到 ，再根据新定义给出的特证运算即可．【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：6；1；
（2）解：①∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵两个正方形的边长分别为m，n，
∴这两个正方形的面积之和 ；
②由题意，设 ， ， ， ，则 ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法法则，完全平方公式，掌握并灵活运用对应法则是解题的
关键．
