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专题 6.1 平面向量的概念及其运算
练基础
1．（2020·西藏日喀则上海实验学校高二期中（文））若四边形 是矩形，下列说法中不正确的是（
）
A． 与 共线 B． 与 相等
C． 与 是相反向量 D． 与 模相等
【答案】B
【解析】
根据四边形 是矩形再结合共线向量，相等向量，相反向量，向量的模的概念判断即可．
【详解】
解： 四边形 是矩形
且 ，故 ， 答案正确；
但 的方向不同，故 答案错误；
且 且 的方向相反，故 答案正确；
故选： ．
2．（2020·全国高一课时练习）已知正六边形 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由 ，结合向量的加法运算得出答案.
【详解】如图所示，
故选：B
3．（2020·全国高三其他模拟（文））已知两非零向量 ， ，满足 ，且 ，则
（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】
利用向量的垂直关系，可得 ，结合向量的模的运算法则化简求解即可.
【详解】
两非零向量 ， ，满足 ，且 ，
可得 ，
.
故选：A.
4．（2020·全国高二课时练习）已知向量 ， ， 满足 ，则（ ）
A． ＝ ＋
B． ＝－ －
C． 与 同向D． 与 同向
【答案】D
【解析】
利用向量加法的意义，判断 与 同向.
【详解】
由向量加法的定义 ＝ ＋ ，故A、B错误
由 ，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以
与 同向．故D正确，C错误.
故选：D.
5．（2020·全国高二课时练习）若 均为非零向量，则“ ”是“ 与 共线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
根据向量数量积和向量共线的定义可得选项．
【详解】
解： ，所以 与 的夹角为 ，
所以 与 共线，反之不成立，因为当 与 共线反向时， ．
所以“ ”是“ 与 共线”的充分不必要条件，
故选：A．
6．（2020·全国高一课时练习）下列关于向量的命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】C
【解析】
利用平面向量的知识对每一个选项逐一分析判断得解．
【详解】
选项A，向量的长度相等，方向不一定相同，从而得不出 ，即该选项错误；
选项B，长度相等,向量可能不平行， 该选项错误；
选项C， 显然可得出 ， 该选项正确；
选项D， 得不出 ，比如 不共线，且 ， 该选项错误.
故选：C.
7．（2020·江苏高三专题练习）设 ， 为非零向量，则“ ∥ ”是“ 与 方向相同”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
根据向量共线性质判断即可.
【详解】
因为 ， 为非零向量，所以 ∥ 时， 与 方向相同或相反，
因此“ ∥ ”是“ 与 方向相同”的必要而不充分条件．
故选：B．
8．（2020·天津市军粮城中学高一月考）下列说法正确的是（ ）
A． ， 则
B．起点相同的两个非零向量不平行
C．若 ，则 与 必共线
D．若 则 与 的方向相同或相反【答案】C
【解析】
对于A：当 时， 不一定成立；
对于B：起点相同的两个非零向量，当他们的方向相同或相反时，这两个向量一定共线（平行）；
对于C：若 ，则 与 同向；
对于D：当 ， 为零向量时，命题不正确.
【详解】
对于A：当 时， ， ，但 不一定成立，故A不正确；
对于B：起点相同的两个非零向量，当他们的方向相同或相反时，这两个向量一定共线（平行），故B不
正确；
对于C：若 ，则 与 同向，即 与 必共线，故C正确；
对于D：当 ， 为零向量时，命题不正确，故D不正确，
故选：C.
9．（2020·广东高三专题练习）在 中，已知点 是边 上靠近点A的一个三等分点，则 （
）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
直接利用向量加法的三角形法则即可求解.
【详解】
由题可得 ，
故选：D．
10．（2020·海南鑫源高级中学高一期末）已知 ， ， 与 的夹角 ，则
（ ）A．10 B． C． D．
【答案】B
【解析】
由平面向量数量积的定义可求解结果．
【详解】
由平面向量数量积的定义可得： ．
故选：B
练提升
TIDHNE
1．（2020·江苏镇江市·高一月考）已知正方形 的边长为2，点P满足 ，则
的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【解析】
利用数量积的定义和性质，即可计算结果.
【详解】
由条件可知
.
故选：C
2．（2020·江苏镇江市·高一月考）若向量 满足： ，且 与 的夹角为 ，则 在 上
的投影向量为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
先计算出 在 上的投影，然后对比 即可得到对应的投影向量.
【详解】
因为 在 上的投影为 ，
又因为 ，所以 在 上的投影向量为 ，
故选：A.
3．（2020·晋中市·山西寿阳县一中高一月考）已知向量 ，若 间的夹角为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由 ，展开利用数量积公式求解即可.
【详解】
因为 ， 间的夹角为 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
故选：A
4．（2020·河北高三其他模拟（文））已知正三角形 的边长为2，点 满足 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
找到两个基底 ， ，然后用两个基底向量表示 ， ，再通过向量的运算即可得出结果.
【详解】
∵ ，
，
∴
.
故选：C.
5．（2020·青海西宁市·湟川中学高一期末）已知 ， ， ，若 ，则的最小值为（ ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】C
【解析】
由 ，再平方转化为关于 的关系，即可根据二次函数性质求出.
【详解】
，
则当 时， 取得最小值为3.
故选：C.
6．（2020·湖北武汉市第十一中学高一月考）已知O是 所在平面内的一定点，动点P满足
，则动点P的轨迹一定通过 的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【解析】
表示的是 方向上的单位向量，画图象，根据图象可知点 在 的角平分线上，故动点 必过三
角形的内心.
【详解】如图，设 ， ，
已知 均为单位向量，
故四边形 为菱形，所以 平分 ，
由
得 ，又 与 有公共点 ，
故 三点共线，
所以点 在 的角平分线上，故动点 的轨迹经过 的内心.
故选：A.
7．（2020·江苏镇江市·高一月考）已知 是平面上夹角为 的两个单位向量， 在该平面上，且
，则下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C． 与 不可能垂直 D．
【答案】BCD
【解析】因为 是平面上夹角为 的两个单位向量，所以设 ，建立直角坐标系，然后利用平面
向量的坐标运算数形结合逐项分析即可.
【详解】
因为 是平面上夹角为 的两个单位向量，所以设 ，建立如图所示直角坐标系：
，由 ，即 ，
所以点 在以 为直径的圆上，
所以 ，故A错误；
，故B正确；
由图可知， 与 的夹角为锐角，所以 与 不可能垂直，故C正确；
的最大值为： ，故D正确，
故选：BCD
8．（2020·全国高考真题（理））设 为单位向量，且 ，则 ______________.
【答案】
【解析】
整理已知可得： ，再利用 为单位向量即可求得 ，对 变形可得：，问题得解.
【详解】
因为 为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
9．（2020·江西吉安市·高三其他模拟（理））向量 ， 满足 ， ， 与 的夹角为120°，则
___________.
【答案】
【解析】
由于 ，然后代值求解即可
【详解】
解：因为向量 ， 满足 ， ， 与 的夹角为120°，
所以，
故答案为：
10．（2020·江苏镇江市·高一月考）已知向量 满足 ， 的夹角为 ，
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的最小值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）根据数量积的定义展开计算即可求得结果；
（2）采用先平方再开根号的方法先表示出 ，然后根据二次函数的性质求解出 的最小值.
【详解】
（1） ；
（2）因为 ，
所以 ，
当 时， 取最小值，且最小值为 .
练真题
TIDHNE
1．（2020·海南高考真题）在 中，D是AB边上的中点，则 =（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】
根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
2.（2021·浙江高考真题）已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】
若 ，则 ，推不出 ；若 ，则 必成立，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件
故选：B.
3．（2020·全国高考真题（文））已知单位向量 ， 的夹角为60°，则在下列向量中，与 垂直的是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
【详解】由已知可得： .
A：因为 ，所以本选项不符合题意；
B：因为 ，所以本选项不符合题意；
C：因为 ，所以本选项不符合题意；
D：因为 ，所以本选项符合题意.
故选：D.
a b
4．（2019·全国高考真题（文））已知非零向量a，b满足 =2 ，且（a–b）b，则a与b的夹角
为（ ）
π π 2π 5π
A．6 B．3 C． 3 D． 6
【答案】B
【解析】
ab |b|2 1
因为 (ab)b ，所以 (ab)babb2=0，所以 abb2 ，所以 cos = a b 2|b|2 2 ，所以
与 的夹角为 ，故选B．
a b 3
5．（2021·全国高考真题）已知向量 ， ， ， _______．
【答案】
【解析】
由已知可得 ，展开化简后可得结果.
【详解】
由已知可得 ，因此， .
故答案为： .
6．（2020·全国高考真题（理））已知单位向量 , 的夹角为45°， 与 垂直，则
k=__________.
【答案】
【解析】
由题意可得： ，
由向量垂直的充分必要条件可得： ，
即： ，解得： .
故答案为： ．
