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专题 40 导数压轴选择填空必刷 100 题
类型一:单选题1-50题
1．若不等式 恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
把不等式转化为 对x>0恒成立，设 ，故 对任意的
恒成立，利用导数可求a的取值范围.
【详解】
由不等式 恒成立，可知 对x>0恒成立.
设 ，则该函数为 上的增函数，故 ，
故 对任意的 恒成立，
设 ，则 ，
当 时， ，故 为 上的增函数，
而当 时，有 ，不合题意；
当 时， 对任意的 恒成立，
当 时，
若 ，则 ，当 时， ，
故 在 为减函数，在 为增函数，
故 ，故
综上： 的取值范围是 .
故选：A
2．已知函数 ， 的图象与 的图象关于 对称，且 为奇函数，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据 的图象与 的图象关于 对称，可求出 的表达式，再根据 为奇函数求出 ，从而
可知其单调性，即可解出不等式．
【详解】
设 是函数 的图象上任意一点，其关于直线 的对称点为 在 的图象上，所以
，其定义域为 ，而 为奇函数，所以 ，即
，即 ，而易知函数 ，当且仅当 时取等号，所以
，即 ，故 ，易知函数 在 上递增，所以 的解集为 ．
故选：D．
3．过曲线C： 上一点 作斜率为 的直线，该直线与曲线C的另一交点为P，曲线
C在点P处的切线交y轴于点N．若 的面积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，结合三角形面积公式进行求解即可.
【详解】
设 ， ， ，
切线方程为： ，令 ， ，∴ ，
．
过P作x轴的垂线，垂足为M，
梯形PNOM面积 ，
∴ ，
即 ，∴ ，
显然 是该方程的一个根，设 ，
由题意可知： ，所以 ，此时函数单调递增，
故方程 有唯一实根，
即 ，∴ ，
故选：B4．已知函数. （ 为自然对数的底数）， .若存在实数 ，使得
，且 ，则实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】
根据 可求得 ，利用 得到 ，将问题转化为 ，
的最大值的求解问题，利用导数求得 ，从而求得结果.
【详解】
，即 ，又 且 ，
∴ ，
由 ，即 ，整理得： ，
令 ， ，则 ，
和 在 上均为减函数，
在 上单调递减，
，即 在 上恒成立，
在 上单调递减，
，即实数 的最大值为 .
故选：C.5．设函数 ，定义在 上的连续函数 使得 是奇函数，当 时，
，若存在 ，使得 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题设，应用导数可证 在 上递减，利用单调性解 ，即知：存在
使 ，将问题转化为在 上 有解，再构造中间函数，利用导数研
究单调性，并结合零点存在性定理求 的取值范围.
【详解】
由题设， 等价于 ，
∵当 时， ，即 ，
∴ 在 上递减，又 是奇函数，
∴ 在 上递减，又 连续，
∴ 在 上递减，则 ，可得 .
又 的定义域为 ，且 ，即 在定义域上递增，
∴题设条件为：存在 使 ，即使 ，
∴在 上 有解，则 在 上有零点，
由 ，即 递增，又 ，且 时 ，
∴只需 ，即 即可.
故选：B
6．已知 若 ，则 的最大值是
( )A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用数形结合，画出 的图像可得 为定值，再将 转化为关于x的函数，最后利
用求导求出 的最大值.
【详解】
如图作出 的图象，
依题意， ，注意到 ，且 ，
因此 ，其中 ，
设 ，当 ，时 ，当 ，时 ，
因此 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，
即 的最大值为
故选：C.
7．已知函数 ， ，若 都有 ，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】
根据题意转化为 ，先求出 ，再利用 列出不等式
即可求解.
【详解】
因为 ， ，由 得 或 ，
又因为 ，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单
调递增，所以 ，
， ，所以 ，
若 都有 ，则转化为 恒成立 ，对于 恒成立
，对于 恒成立，
设 ，
， ，当 时， ，所以 单调递减，
，所以 单调递减，
当 时， ，当 时， ，
所以 时 ， 单调递增， 时， ， 单调递减，
所以 ，所以 .
故选：B
8．已知函数 有两个不同的极值点 ， ，若不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求得导函数 且 ，根据极值点可得 ， 关于 的表达式及 的范围，由此可
得 关于 的函数式，构造 ，则只需 恒成立，利用导数研究 的最值，
即可求 的取值范围.
【详解】
由题设， 且 ，由 有两个极值点，
∴令 ，则 在 上有两个不等的实根 ， ，
∴ ， ，且 ，得 .
又 ，且 ，
∴ ， ，即 ，
∴ ，
令 且 ，要使题设不等式恒成立，只需 恒成立，
∴ ，即 递增，故 ，
∴ .
故选：B
9．若 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C．e D．2e【答案】C
【分析】
由题设得 ，构造 并利用导数研究单调性，易知 恒成立，进而构
造 只需 即可求 的最大值.
【详解】
由题设， ，
若 ，则 ，即 在 上单调递增，而 ，
∴ ，要使 ，只需 恒成立，
令 ，则 ：当 时 ，即 递减；当 时 ，即 递增；
∴ ，故只需 ，即 .
故选：C
10．已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ，若方程
有三个不同的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题设，求分段函数 的解析式并画出图像，将方程有三个不同实根转化为 和 有三个
不同的交点问题，由数形结合思想结合导数研究函数的交点情况，进而求参数 的范围.
【详解】
∵当 时， ，
∴当 时， ，综上， ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
当 时， ，则 在 上单调递减，
∵ 有三个不同的实数根，
∴ 的图像和直线 有三个不同的交点，
作 的大致图像如图所示，
当直线 和 的图像相切时，设切点为 ，
∴ ，可得 ， ，代入 ，可得 ，
当 过点 时， ，
由图知，实数 的取值范围为 .
故选：D.
11．已知函数 有且只有一个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】
分析可知函数 在 上有一个零点，则函数 在 上没有零点，由 可得出
，则直线 与函数 的图象无交点，利用导数分析函数 的单调性与极值，
数形结合可得出关于实数 的不等式，由此可求得实数 的取值范围.
【详解】
当 时， 为增函数， 为减函数，此时函数 为增函数，
因为 ， ，
由零点存在定理可知，函数 在 上有一个零点，故函数 在 上只有一个零点，
由题意可知，函数 在 上没有零点.
当 时，由 可得 ，即 ，即 ，
设 ，其中 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，作出函数 的图象如下图所示：因为 ，则 ，故当 时，即当 时，
直线 与函数 的图象没有交点.
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：D.
12．若 ， 恒成立，则a的最大值为（ ）
A． B．1 C．e D．
【答案】C
【分析】
根据题设可得 、 ，当 易知 ，当 时构造 ，利用导
数研究单调性可得 ，即可知 在 上恒成立，构造 并研究求其最小值即可得a的
最大值.
【详解】
由 ， ，
由 ，
①若 ， ，此时满足 ；②若 ，令 ， 在 恒成立，
∴ 在 单调递增，而 ，
∴ 在 恒成立 ，
综上， 在 恒成立， ，
令 ， ，
在 单调递减， 单调递增，
∴ ，即有 ．
故选：C
13．设实数 ，若对任意的 ，不等于 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
将不等式 转换为 ，进而构造函数 ，从而可转化为
恒成立，即 ，参变分离即可求出结果.
【详解】
因为 ，不等式 成立，即 ，转化为 恒成立，构造函数
（ ）.
所以 ，当 ， ， 单调递增，所以不等式 恒成立等价于 恒成立，即 恒成立，进而转化为
恒成立.
设 ，可得 ，当 时， ， 单调递增；当 时， ，
单调递减.
所以当 ，函数 取得最大值 ，
所以 ，即实数 的取值范围是 ．
故选：B．
14．已知函数 ．则使不等式 成立的实数 的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据函数表达式可得，函数为偶函数，当 时，可通过求导判断函数的单调性，从而确定整个函数的单
调性，根据单调性求解参数的取值范围
【详解】
因为 ， ，所以 为 上的偶函数，且 ，
易得 单调递增且 ，所以，当 时， 恒成立， 单调递增，根据偶函数的对称
性得， 时， 单调递减，若 ，则有 ，两边同时平方得： ，
解得：
故选：C
15．若函数 与函数 有公切线，则实数 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得出两个切线方程，由两个切线方程可整理成 关于一个变量
的函数，利用导数求出函数的取值范围即可求解.
【详解】
设公切线与函数 切于点 ，
，切线的斜率为 ，
则切线方程为 ，即
设公切线与函数 切于点 ，
，切线的斜率为 ，
则切线方程为 ，即
所以有
因为 ，所以 ，可得 ， ，即 ，
由 可得： ，
所以 ，
令 ，则 ， ，设 ，则 ，
所以 在 上为减函数，
则 ，所以 ，
所以实数 的取值范围是 ，
故选：B．
16．已知定义在 上的函数 满足 （ 为常数）且 ，若 ，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
先求出a的值，判断出y=f（x）的单调性，解不等式即可求出 的取值范围.
【详解】
由 ，可得 ， ．
又由 ，可得： ，
所以 ．
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
因为 ， ， ，
所以 ，解得 或 ．
故选：A17．已知函数 的导函数为 ，对任意的实数 都有 ，且 ，若 在
上有极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
令 ，结合已知易得 ，即可写出 ，进而得到 ，再由 、 确定
关于 的含参数 的解析式，根据题设有 在 上有零点，进而求 的范
围.
【详解】
令 ，则 ，
∴ ， ，故 ，
∴ ，又 ，
∴ ，即 ，则 ，
∵ 在 上有极值点，
∴ 在 上有零点，且 ， ，
则 ，即 .
故选：C
18．设函数 在区间 上存在零点，则 的最小值为（ ）A． B． C．7 D．
【答案】B
【分析】
设t为 在 上的零点，可得 ，转化为点 在直线 上，根据
的几何意义，可得 ，令 ，利用导数求得函数的单调性和最值，即
可得答案.
【详解】
设t为 在 上的零点，则 ，
所以 ，即点 在直线 ，
又 表示点 到原点距离的平方，
则 ，即 ，
令 ，可得 ，
因为 ，
所以 ，
可得 在 上为单调递增函数，
所以当t=1是， ，
所以 ，即 的最小值为 .
故选：B
19．设函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有 ，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
令 ，求导确定函数的单调性，然后不等式化为 ，由单调性解得不等式．
【详解】
解：令 ，∴ ，∵ ，
∴ ，在 恒成立，∴ 在 为增函数，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
故选：D.
20．定义在 上的函数 的导函数为 ，满足： ， ，且当 时，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由给定的不等式构造函数 对 求导，根据已知条件可判断 非得单调性，将所求解不等
式转化为 有关的不等式，利用单调性脱去 即可求解.
【详解】
令 ，则 可得
所以 是 上的奇函数，，
当 时， ，所以 ，
是 上单调递增，
所以 是 上单调递增，
因为 ，
由 可得 即 ，
由 是 上单调递增，可得 解得： ，
所以不等式 的解集为 ，
故选：A.
21．已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据条件得到 ，然后将不等式进行转化，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数
的单调性将不等式进行转化求解即可
【详解】
解：因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 的图像关于点 对称，由 ，得
，
由 ，得 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得极大值 ，
所以 恒成立，所以 在 上为减函数，
所以由 ，得 ，
所以 ，
所以原不等式的解集为 ，
故选：A
22．若存在 ， 使得 ，则实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由已知可得 ，令 ， ，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得到
答案
【详解】
解：由 ，得 ，令 ， ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，所以 在 上递增，在 上递减，
所以当 时， 取得极大值即最大值 ，
因为当 时， ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以实数 的最大值为 ，
故选：B
23．设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
把不等式 成立，转化为 恒成立，设函数 ，进而转化为
恒成立，得出 恒成立，构造函数 ，利用导数求得函数的单调性与最值，
即可求解.
【详解】
因为 ，不等式 成立，即 成立，即 ，
进而转化为 恒成立，
构造函数 ，可得 ，
当 ， ， 单调递增，
则不等式 恒成立等价于 恒成立，即 恒成立，
进而转化为 恒成立，
设 ，可得 ，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以当 ，函数 取得最大值，最大值为 ，
所以 ，即实数m的取值范围是 .
故选：A.
24．已知函数 ，若f(x)在R上单调，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
先求函数的导函数，由 在R上单调，可知 恒成立或 恒成立，构造函数
，分类讨论a的取值范围，利用导数研究函数的单调区间及最值即可得解.
【详解】
求导 ，令 ，
由 在R上单调，可知 恒成立或 恒成立，分类讨论：
（1）当 时， ，令 ，得
当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增；
，即 恒成立，符合题意；（2）当 时， ，令 ，得
当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减；
，即 恒成立，符合题意；
（3）当 时，令 ，得 或 ，
研究 内的情况即可：
当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增；当
时， ，函数 单调递减；
当 时，函数 取得极小值，且满足 ；当 时，函数 取得极小值，且满足
，且
同理 ，且
又 ，当 时， ；当 时， ，故不符合；
所以a的取值范围是
故选：A
25．已知函数 ，若曲线 上存在点 ，使得 ，则实数 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据函数 的值域可以确定 ，然后换元令 ，进而根据 讨论得出
，代入可得 ，解出m，转化为用导数求值域的问题.
【详解】
由题意，曲线 上存在点 ，使得 ，所以 ．记 ，若 ，
则 ，所以 ，不满足 ，同理 也不满足，所
以 ，所以 ，所以 ，所以
记 ，则 ，记 ，
因为 ，所以 在 上单调递减，因为 ，所以 时， ，因
为 ，所以 ，所以 的最大值为
故选：D.
26．若关于 的不等式 对一切正实数 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
构造函数 ，将原不等式转化为求解函数 的最小值，通过导数判断函数的单调性研究函数的最值，得到 ，再利用基本不等式进行求解即可．
【详解】
解：设 ，则 对一切正实数 恒成立，即 ，
由 ，令 ，则 恒成立，
所以 在 上为增函数，
当 时， ，当 时， ，
则在 上，存在 使得 ，
当 时， ，当 时， ，
故函数 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
所以函数 在 处取得最小值为 ，
因为 ，即 ，
所以 恒成立，即 ，
又 ，当且仅当 ，即 时取等号，
故 ，所以 ．
故选：C．
27．已知函数 ， ，又当 时， 恒成立，则实数a的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先根据 求出 ，进而参变分离解决恒成立的问题即可.【详解】
因为 ，所以 ，即 ，
所以当 时， 恒成立，即 ，
即 ，
当 时， 恒成立，符合题意；
当 时，有 ，即 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，而 ，所以 ，
故选：A.
28．设函数 ， ，其中 为自然对数的底数，若存在实数 ，使得
成立，则实数 值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
将问题转化为 在 上有解，由均值不等式可得 ，
设 ，求出其导数，得出单调区间，从而得出 ，由等号成立的条件
得出 ，从而得出答案.
【详解】
由题意当 时 有解
即 在 上有解.
即 在 上有解.由 , 当且仅当 ，即 时取得等号.
设 ，
则
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以
要使得 在 上有解.
则 时成立，即
故选：D
29．已知函数 ，若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
原不等式化为 ，函数 与函数 互为反函数，其图象关于直线 对
称，要使得 恒成立，只需 恒成立，即 恒成立，利用导数求出函数 的最小
值即可得结果.
【详解】
函数 的定义域为 ，由 ，得 ，因为函数 与函数 互为反函数，所以其图象关于直线 对称，
所以要使得 恒成立，只需 恒成立，即 恒成立，
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递减，在 递增，
可知当 时， 取得最小值 ，
所以 ，又因为 ，所以 的取值范围是 ，
故选：B．
30．已知函数 在 上有两个零点，则a的取值范是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据解析式可得 ，原题转化为求 在 上有一个零点，当 时，求导可
得 的单调性，分析不符合题意；当 时，令 ，解得 ，分别讨论 、
和 三种情况下 的单调性，结合题意，即可求得a的范围.
【详解】
由题意得： ， ，
所以原题转化为求 在 上有一个零点，，
当 时， ，则 在 上单调递减，且 ，不符合题意，
当 时，令 ，解得 ，
当 ，即 时， ，此时 在 上单调递减，且 ，不符合题意，
当 ，即 时， ，此时 在 上单调递增，且 ，不符合题意，
当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，当
时， 在 上有一个零点，
所以 ，解得 ，所以 .
综上：a的取值范是
故选：C
31．若函数 有 个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求得 ，对实数 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数 在 上的单调
性，根据已知条件可得出关于 不等式，由此可解得实数 的取值范围.
【详解】
函数 的定义域为 ，
则 ，
令 ，则 ，
所以，函数 在 上为增函数，且 .①当 时，即当 时， 对任意的 恒成立，
所以函数 为 上的增函数，则函数 在 上至多只有一个零点，不合乎题意；
②当 时，即当 时，则存在 使得 ，
当 时， ，此时 ，则函数 在 上单调递减，
当 时， ，此时 ，则函数 在 上单调递增，
由于函数 有两个零点，
当 时， ；当 时， .
可得 ，
可得 ，解得 .
故选：D.
32．定义在 上的连续函数 的导函数为 ，且 成立，则下列各式一定
成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
设 ，由条件可得 ，即 在 上单调递减，且 ，由此卡判断选项A，
B， C， 将 代入条件可得 ，可判断选项D.
【详解】由题可得 ，
所以 ，
设 则 ，
所以 在 上单调递减，且
由 可得 ，
所以 ， ，所以选项A､B错误，选项C正确.
把 代入 ，可得 ，所以选项D错误，
故选：C.
33．若函数 与函数 的图象在区间 上有且仅有一个公共点，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由已知 在区间 上有且仅有一个解 令 在
上有且仅有一个零点 当 时， 在区间 上单调递增
结果
【详解】
解：由题意知方程 ，即 在区间 上有且仅有一个解．令
，则 在 上有且仅有一个零点，，当 时， ，所以
，所以 ，故函数 在区间 上单调递增，又
函数 在区间 上只有一个零点，所以结合零点存在定理可
解得 ，即 的取值范围是 ，
故选：D．
34．已知定义在 上的图象连续的函数 的导数是 ， ，当 时，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题设，易知 ，构造 ，利用导数研究其在 上的单调性，
并确定对称轴，进而得到 的单调性，由 等价于 ，即可求解集.
【详解】
当 时， ，即有 ．
令 ，则当 时， ，故 在 上单调递增．
∵ ，∴ 关于直线 对称，故 在 上单调递减，
由 等价于 ，则 ，得 ．
∴ 的解集为 ．
故选：A.
35．已知函数 ， .若不等式 在 上恒成立，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据绝对值将原不等式转化为 ，进而分别讨论每个函数与 的大小关系，通过导
函数的单调性讨论得到当 时， ，所以必须有 时， ，分离参数求得 的取
值范围.
【详解】
∵ ，
∴ ，即 ，
∴对任意的 ， 或 ，
当 时，两式均成立；
当 时，有 或 ，
令 ， ， ，
，， ，
∴ 在 单调递减，在 上单调递增，
而 ，且 ，
∴当 时， 单调递减， ，即 ，
当 时， 单调递减， ，即 ，
当 时， 单调递增， ，即 ，
当 时， 单调递增， ，即
故只有当 时， ，所以此时必须有 ，
即 ， ，
∴ .
故选：B.
36．已知曲线 上一点 ，曲线 上一点 ，当 时，
对任意 ， ，都有 恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题中条件，得到 ， ，推出 ， ；证明
，得到 ，推出 ，分离参数得 ，构造函数求出的最大值，即可得出结果.
【详解】
因为当 时，对于任意 ， 都有 恒成立，
所以有： ， ，
，
，
令 ，则 ，
所以当 时， ，则 单调递增；
当 时， ，则 单调递减；
因此 ，即 显然恒成立；
因为 ，所以 ，即 ；
为使 恒成立，只需 恒成立；即 恒成立；
令 ，则 ，
由 解得 ；由 解得 ；
所以 在 上单调递增；在 上单调递减；
所以 ；
，因此 的最小值为 .
故选：
37．已知函数 ， ，当 时， 恒成立，则实数a的取值
范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
经过恒等变形，原问题变成当 时， 恒成立，构造函数，利用导数的性质进行
求解即可.
【详解】
由 ，
当 时，上式可变形为： ，问题转化为：
当 时， 恒成立，
设 ， ，
，
因为 ， ，所以 ，因此 ，
所以当 时， 单调递减，
当 时， 单调增，故 ，要想
当 时， 恒成立，只需 ，
设 ， ，
，
当 时， ，所以函数 单调递增，而 ，
显然当 ， 成立，
故选：B38．已知函数 的导函数为 ，对任意的实数 都有 ， ，则不
等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求出 的解析式，然后再探究其奇偶性和单调性，最后将原不等式转化，进而求出结果.
【详解】
由 可得 ，
即 ，所以 （其中 为常数），
因此， ，由 可得 ，故 .
显然， 是 上的偶函数.
当 时， ，
所以， 在 上是增函数. 故
故选：C.
39．已知函数 ，若函数 有三个极值点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【分析】
要使 有三个极值点，则 有三个变号实根，转化为方程 有两个不等于1的变号实根，
令 ，通过研究 的最小值可得 的取值范围.
【详解】
，求导，得 ，
令 ，得 ，或 .
要使 有三个极值点，则 有三个变号实根，
即方程 有两个不等于1的变号实根.
，令 ，
则 ，令 ，得 .
易知 ，且 ， ； ， .
所以，当 时，方程 即 有两个变号实根，
又 ，所以 ，即 .
综上， 的取值范围是 .
故选：C.
40．已知直线 分别与 和 的图象交于 ， 两点，则下列结论正确
的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】
先分析得出函数 和 的图象关于直线 对称，从而得出 ,结合零点存在定理得
出 的范围.选项A.结合基本不等式得出 ，设 ，求出单数得出其单调性可判断;选
项B. 由 可判断;选项C. 由 ，可得 可判断;选项D. 由对称性有 ，
结合函数解析式得到 ，从而可判断.
【详解】
在函数 的图像上任取一点 ，则 ，即
由 ，两边取以 为底的对数，得到 即点 满足函数 表达式.
所以在函数 的图像上任取一点 ，都有点 在函数 的图像上.
故函数 及函数 的图象关于直线 对称，
又直线 与直线 垂直，且相交于点 .
从而直线 与函数 及函数 的图象的交点 ， 也关于直线 对称，
， ，又 在 上，
即有 ，故 ，
则 ，由于 ，所以 ．
对于 ，令 ， ， ，
所以 在 上单调递增，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，故 错误．
由图象易知 ，故 错误．
， ，
又 ， ， 错误．
由 ，可得 ，即 ，
又由 ，可得 ，故 正确.
故选：D
41．已知函数 ，若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
构造函数 ，判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式转化为，即 ，再利用函数单调性解不等式即可.
【详解】
，
令 ，则 ，可得 是奇函数，
又 ，
又利用基本不等式知 当且仅当 ，即 时等号成立；
当且仅当 ，即 时等号成立；
故 ，可得 是单调增函数，
由 得 ，
即 ，即 对 恒成立.
当 时显然成立；当 时，需 ，得 ，
综上可得 ，
故选：D.
42．已知函数 ， ，若 成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
令 ，得到 关于t的函数式，进而可得 关于t的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确定最值，即可求 的最小值.
【详解】
令 ，则 ， ，
∴ ， ，即 ，
若 ，则 ，
∴ ，有 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
∴ ，即 的最小值为 .
故选：D.
43．已知函数 ， ，曲线 上总存在两点 ， ，
使曲线 在 两点处的切线互相平行，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题设可知 且 ，令 即总存在 在
上有两个不同的解 ，则 ，利用基本不等式求 的范围即可.
【详解】
由题设， 且 ，令 ，
要使 上总存在两点 ， ，使曲线 在 两点处的切线互相平行，∴若 ， ，
∴在 上总存在 有两个解分别为 、 ，而 的对称轴 ，
故 ，而 ，
∴ ，整理得 ， 上 ，
∴ 即可.
故选：B
44． ，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
构造函数 ，应用导数研究其单调性，进而比较 ， ， 的大小，若
有两个解 ，则 ， ，构造 ，利用导数确定
，进而得到 ，即可判断a、c的大小，即可知正确选项.
【详解】
令 ，则 ， ， ，
而 且 ，即 时 单调增， 时 单调减，又 ，
∴ ， .
若 有两个解 ，则 ， ，即 ， ，
令 ，则 ，即 在 上递增，
∴ ，即在 上， ，若 即 ，故 ，有
∴当 时， ，故 ，
综上： .
故选：A
45．当x>1时，函数y=(lnx)2+alnx+1的图象在直线y=x的下方，则实数a的取值范围是（ ）
A．(-∞，e) B．(-∞， )
C．(-∞， ) D．(-∞，e-2)
【答案】D
【分析】
分离参数，构造函数，求导分析出单调性，求出该函数的最小值，即可得到 的取值范围.
【详解】
由题意知， 构造函数 ，
令 则 故当 时
单调递减 当 时 单调递增，所以 所以
故选：D.
46．已知函数 ，若存在唯一的正整数 ，使得 ，则实数a的取值范围是（
）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将存在唯一的正整数 ，使得 转化为存在唯一的正整数 ，使得 ，然后构造函数
，然后利用导数研究函数的性质，进而数形结合即可得出结果.
【详解】
因为存在唯一的正整数 ，使得 ，则因为存在唯一的正整数 ，使得 ，令
，所以存在唯一的正整数 ，使得 ， ，所以
， ，所以 单调递减； ， ，所以 单调递增，所以
， 恒过定点 ，所以当 时，有无穷多个整数，使得
，当 时，函数 单调递增，作出函数 图象：记 上 ，所以 ，所以
实数a的取值范围是 ，
故选：C.
47．已知 、 ，且 ，对任意 均有 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】
推导出 与 符号相同，构造函数 ，然后对四个选项中的条件逐一
验证，即可得出合适的选项.
【详解】
，故 与 的符号相同，
当 时， ；当 时， .
所以， 与 的符号相同.
，
令 ，所以，当 时， 恒成立，
令 ，可得 ， ， .
，分以下四种情况讨论：
对于A选项，当 ， 时，则 ，当 时， ，不合乎题意，A选项错误；
对于B选项，当 ， 时，则 ，
若 ，若 、 、 均为正数，①若 ，则 ，当 时， ，不合乎题意；
②若 ，则 ，当 时， ，不合乎题意.
③若 、 、 都不相等，记 ，则当 时， ，不合乎题意.
由上可知， ，当 时，若使得 恒成立，则 ，如下图所示，
所以，当 ， 时，且 ， 时，当 时， 恒成立；
对于C选项，当 ， 时，则 ，
①若 时，则当 时， ，不合乎题意；
②当 时，构造函数 ，其中 ， ，
函数 在 上单调递增，则 ， .
当 时，由于 ，则 ，不合乎题意，C选项错误；
对于D选项，当 ， 时，则 ，此时 、 、 为正数.
①当 、 、 都不相等时，记 ，当 时， ，不合乎题意；
②若 ，则 ，当 时， ，不合乎题意；③当 时， ，当 时， ， 不合乎题意.
所以，D选项错误.
故选：B.
48．若关于 的方程 有三个不相等的实数解 ， ， ，且 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
化简方程，令 ，得到 ．构造函数 ，则 ，利用函
数的单调性，结合函数的图象，要使关于 的方程有三个不相等的实数解 ， ， ，且 ，结
合图象可得关于 的方程 一定有两个实根 ， （ ），结合韦达定理，推
出所求表达式的关系式，然后求解即可．
【详解】
由方程 ，可得 .
令 ，则有 ，即 .
令函数 ，则 ，
由 ，解得 ， ，解得
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，且作出图象如图所示，要使关于 的方程 有三个不相等的实数解 ， ， ，且
，
结合图象可得关于 的方程 一定有两个实根 ， ，
且 ， ， ， .
所以 ，解得 或
若 ，则 ,解得 ，则
此时 只有1个实数根，此时原方程没有3个不等实数根，故不满足题意.
若 ，则 ，可得 ，显然此时原方程没有3个不等实数根，故不满足题意.
要使原方程有3个不等实数根，则
所以 ， ，解得 .
所以 ，
故 .
故选：A
49．已知函数 （其中e为自然对数的底数）有三个零点，则实数m的取值范围为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
令 ，可得 ，令 ，利用导数可判断 的单调性，求得 的极
值，令 ， ，根据 的图象，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求得答案.
【详解】
令 ，可得 ，
令 ，则 ，
令 ，解得 ，
当 时， ，当 时，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 图象如下图所示：
所以 ，令 ， ，因为函数有三个零点，设 的两根分别为 ， ， ，解得 或
则 ， 有下列三种情况，
（1）当 ， 时，将 带入方程，即 ，
解得 ，带入方程，即 ，
解得 ， 故舍去；
（2）当 ， 时，将 带入方程，则 ， ，不满足 ，故舍去；
（3）当 ， 时， 解得 ，
所以
故选：C
50．已知函数 有且仅有两个不同的零点，且函数 满足：
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
问题可转化为 有两个不同的零点，利用导数作出 的大致图象，
转化为 ，通过数形结合求得 的取值范围.
【详解】令函数 ，则有 ，
即 有两个不同的零点，
∴ ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
∴当 时， 取得最小值，且 ，
显然， .
由此可以画出函数 的大致图象，如下图所示，
于是可得，当 时， 恒成立.
由图象可得，要使函数 有且仅有两个不同的零点，
只需 ，即 .
而此时 ，∴
即为 ，又 ， ，
∴ .
故选：A.类型二:填空题51-100题
51．已知关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【分析】运用常变量分离法，结合构造函数法进行求解即可.
【详解】
因为 ，所以 ，
因此由 ，可得
构造函数 ，当 ， 单调递增，当 时，
单调递减，因此有 ，
即 ，当且仅当 时取等号，
所以有 ，当且仅当存在 ，使得 即可，设
， ，即 ，因此当 时，必存在
一个零点 ，因此 成立，故 ，即实数 的取值范围是 ．
故答案为：
52．已知函数 有两个极值点，则实数m的取值范围为___________.
【答案】
【分析】
把函数 有两个极值点，转化为 有两个不同正根 ，利用分离参数法得到
.令 ， ，只需 和 有两个交点.利用导数研究
的单调性与极值，即可求出m的取值范围.
【详解】
的定义域为 ， .要使函数 有两个极值点，
只需 有两个不同正根 ，并且在 的两侧 的单调性相反，在 的两侧 的单调
性相反.
由 得， .
令 ， ，要使函数 有两个极值点，只需 和
有两个交点.
，令 得：x>1；令 得：0
