文档文本内容
专题 40 导数压轴选择填空必刷 100 题
类型一:单选题1-50题
1．若不等式 恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
把不等式转化为 对x>0恒成立，设 ，故 对任意的
恒成立，利用导数可求a的取值范围.
【详解】
由不等式 恒成立，可知 对x>0恒成立.
设 ，则该函数为 上的增函数，故 ，
故 对任意的 恒成立，
设 ，则 ，
当 时， ，故 为 上的增函数，
而当 时，有 ，不合题意；
当 时， 对任意的 恒成立，
当 时，
若 ，则 ，当 时， ，
故 在 为减函数，在 为增函数，
故 ，故
综上： 的取值范围是 .
故选：A
2．已知函数 ， 的图象与 的图象关于 对称，且 为奇函数，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据 的图象与 的图象关于 对称，可求出 的表达式，再根据 为奇函数求出 ，从而
可知其单调性，即可解出不等式．
【详解】
设 是函数 的图象上任意一点，其关于直线 的对称点为 在 的图象上，所以
，其定义域为 ，而 为奇函数，所以 ，即
，即 ，而易知函数 ，当且仅当 时取等号，所以
，即 ，故 ，易知函数 在 上递增，所以 的解集为 ．
故选：D．
3．过曲线C： 上一点 作斜率为 的直线，该直线与曲线C的另一交点为P，曲线
C在点P处的切线交y轴于点N．若 的面积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，结合三角形面积公式进行求解即可.
【详解】
设 ， ， ，
切线方程为： ，令 ， ，∴ ，
．
过P作x轴的垂线，垂足为M，
梯形PNOM面积 ，
∴ ，
即 ，∴ ，
显然 是该方程的一个根，设 ，
由题意可知： ，所以 ，此时函数单调递增，
故方程 有唯一实根，
即 ，∴ ，
故选：B4．已知函数. （ 为自然对数的底数）， .若存在实数 ，使得
，且 ，则实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】
根据 可求得 ，利用 得到 ，将问题转化为 ，
的最大值的求解问题，利用导数求得 ，从而求得结果.
【详解】
，即 ，又 且 ，
∴ ，
由 ，即 ，整理得： ，
令 ， ，则 ，
和 在 上均为减函数，
在 上单调递减，
，即 在 上恒成立，
在 上单调递减，
，即实数 的最大值为 .
故选：C.5．设函数 ，定义在 上的连续函数 使得 是奇函数，当 时，
，若存在 ，使得 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题设，应用导数可证 在 上递减，利用单调性解 ，即知：存在
使 ，将问题转化为在 上 有解，再构造中间函数，利用导数研
究单调性，并结合零点存在性定理求 的取值范围.
【详解】
由题设， 等价于 ，
∵当 时， ，即 ，
∴ 在 上递减，又 是奇函数，
∴ 在 上递减，又 连续，
∴ 在 上递减，则 ，可得 .
又 的定义域为 ，且 ，即 在定义域上递增，
∴题设条件为：存在 使 ，即使 ，
∴在 上 有解，则 在 上有零点，
由 ，即 递增，又 ，且 时 ，
∴只需 ，即 即可.
故选：B
6．已知 若 ，则 的最大值是
( )A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用数形结合，画出 的图像可得 为定值，再将 转化为关于x的函数，最后利
用求导求出 的最大值.
【详解】
如图作出 的图象，
依题意， ，注意到 ，且 ，
因此 ，其中 ，
设 ，当 ，时 ，当 ，时 ，
因此 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，
即 的最大值为
故选：C.
7．已知函数 ， ，若 都有 ，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】
根据题意转化为 ，先求出 ，再利用 列出不等式
即可求解.
【详解】
因为 ， ，由 得 或 ，
又因为 ，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单
调递增，所以 ，
， ，所以 ，
若 都有 ，则转化为 恒成立 ，对于 恒成立
，对于 恒成立，
设 ，
， ，当 时， ，所以 单调递减，
，所以 单调递减，
当 时， ，当 时， ，
所以 时 ， 单调递增， 时， ， 单调递减，
所以 ，所以 .
故选：B
8．已知函数 有两个不同的极值点 ， ，若不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求得导函数 且 ，根据极值点可得 ， 关于 的表达式及 的范围，由此可
得 关于 的函数式，构造 ，则只需 恒成立，利用导数研究 的最值，
即可求 的取值范围.
【详解】
由题设， 且 ，由 有两个极值点，
∴令 ，则 在 上有两个不等的实根 ， ，
∴ ， ，且 ，得 .
又 ，且 ，
∴ ， ，即 ，
∴ ，
令 且 ，要使题设不等式恒成立，只需 恒成立，
∴ ，即 递增，故 ，
∴ .
故选：B
9．若 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C．e D．2e【答案】C
【分析】
由题设得 ，构造 并利用导数研究单调性，易知 恒成立，进而构
造 只需 即可求 的最大值.
【详解】
由题设， ，
若 ，则 ，即 在 上单调递增，而 ，
∴ ，要使 ，只需 恒成立，
令 ，则 ：当 时 ，即 递减；当 时 ，即 递增；
∴ ，故只需 ，即 .
故选：C
10．已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ，若方程
有三个不同的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题设，求分段函数 的解析式并画出图像，将方程有三个不同实根转化为 和 有三个
不同的交点问题，由数形结合思想结合导数研究函数的交点情况，进而求参数 的范围.
【详解】
∵当 时， ，
∴当 时， ，综上， ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
当 时， ，则 在 上单调递减，
∵ 有三个不同的实数根，
∴ 的图像和直线 有三个不同的交点，
作 的大致图像如图所示，
当直线 和 的图像相切时，设切点为 ，
∴ ，可得 ， ，代入 ，可得 ，
当 过点 时， ，
由图知，实数 的取值范围为 .
故选：D.
11．已知函数 有且只有一个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】
分析可知函数 在 上有一个零点，则函数 在 上没有零点，由 可得出
，则直线 与函数 的图象无交点，利用导数分析函数 的单调性与极值，
数形结合可得出关于实数 的不等式，由此可求得实数 的取值范围.
【详解】
当 时， 为增函数， 为减函数，此时函数 为增函数，
因为 ， ，
由零点存在定理可知，函数 在 上有一个零点，故函数 在 上只有一个零点，
由题意可知，函数 在 上没有零点.
当 时，由 可得 ，即 ，即 ，
设 ，其中 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，作出函数 的图象如下图所示：因为 ，则 ，故当 时，即当 时，
直线 与函数 的图象没有交点.
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：D.
12．若 ， 恒成立，则a的最大值为（ ）
A． B．1 C．e D．
【答案】C
【分析】
根据题设可得 、 ，当 易知 ，当 时构造 ，利用导
数研究单调性可得 ，即可知 在 上恒成立，构造 并研究求其最小值即可得a的
最大值.
【详解】
由 ， ，
由 ，
①若 ， ，此时满足 ；②若 ，令 ， 在 恒成立，
∴ 在 单调递增，而 ，
∴ 在 恒成立 ，
综上， 在 恒成立， ，
令 ， ，
在 单调递减， 单调递增，
∴ ，即有 ．
故选：C
13．设实数 ，若对任意的 ，不等于 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
将不等式 转换为 ，进而构造函数 ，从而可转化为
恒成立，即 ，参变分离即可求出结果.
【详解】
因为 ，不等式 成立，即 ，转化为 恒成立，构造函数
（ ）.
所以 ，当 ， ， 单调递增，所以不等式 恒成立等价于 恒成立，即 恒成立，进而转化为
恒成立.
设 ，可得 ，当 时， ， 单调递增；当 时， ，
单调递减.
所以当 ，函数 取得最大值 ，
所以 ，即实数 的取值范围是 ．
故选：B．
14．已知函数 ．则使不等式 成立的实数 的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据函数表达式可得，函数为偶函数，当 时，可通过求导判断函数的单调性，从而确定整个函数的单
调性，根据单调性求解参数的取值范围
【详解】
因为 ， ，所以 为 上的偶函数，且 ，
易得 单调递增且 ，所以，当 时， 恒成立， 单调递增，根据偶函数的对称
性得， 时， 单调递减，若 ，则有 ，两边同时平方得： ，
解得：
故选：C
15．若函数 与函数 有公切线，则实数 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得出两个切线方程，由两个切线方程可整理成 关于一个变量
的函数，利用导数求出函数的取值范围即可求解.
【详解】
设公切线与函数 切于点 ，
，切线的斜率为 ，
则切线方程为 ，即
设公切线与函数 切于点 ，
，切线的斜率为 ，
则切线方程为 ，即
所以有
因为 ，所以 ，可得 ， ，即 ，
由 可得： ，
所以 ，
令 ，则 ， ，设 ，则 ，
所以 在 上为减函数，
则 ，所以 ，
所以实数 的取值范围是 ，
故选：B．
16．已知定义在 上的函数 满足 （ 为常数）且 ，若 ，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
先求出a的值，判断出y=f（x）的单调性，解不等式即可求出 的取值范围.
【详解】
由 ，可得 ， ．
又由 ，可得： ，
所以 ．
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
因为 ， ， ，
所以 ，解得 或 ．
故选：A17．已知函数 的导函数为 ，对任意的实数 都有 ，且 ，若 在
上有极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
令 ，结合已知易得 ，即可写出 ，进而得到 ，再由 、 确定
关于 的含参数 的解析式，根据题设有 在 上有零点，进而求 的范
围.
【详解】
令 ，则 ，
∴ ， ，故 ，
∴ ，又 ，
∴ ，即 ，则 ，
∵ 在 上有极值点，
∴ 在 上有零点，且 ， ，
则 ，即 .
故选：C
18．设函数 在区间 上存在零点，则 的最小值为（ ）A． B． C．7 D．
【答案】B
【分析】
设t为 在 上的零点，可得 ，转化为点 在直线 上，根据
的几何意义，可得 ，令 ，利用导数求得函数的单调性和最值，即
可得答案.
【详解】
设t为 在 上的零点，则 ，
所以 ，即点 在直线 ，
又 表示点 到原点距离的平方，
则 ，即 ，
令 ，可得 ，
因为 ，
所以 ，
可得 在 上为单调递增函数，
所以当t=1是， ，
所以 ，即 的最小值为 .
故选：B
19．设函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有 ，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
令 ，求导确定函数的单调性，然后不等式化为 ，由单调性解得不等式．
【详解】
解：令 ，∴ ，∵ ，
∴ ，在 恒成立，∴ 在 为增函数，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
故选：D.
20．定义在 上的函数 的导函数为 ，满足： ， ，且当 时，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由给定的不等式构造函数 对 求导，根据已知条件可判断 非得单调性，将所求解不等
式转化为 有关的不等式，利用单调性脱去 即可求解.
【详解】
令 ，则 可得
所以 是 上的奇函数，，
当 时， ，所以 ，
是 上单调递增，
所以 是 上单调递增，
因为 ，
由 可得 即 ，
由 是 上单调递增，可得 解得： ，
所以不等式 的解集为 ，
故选：A.
21．已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据条件得到 ，然后将不等式进行转化，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数
的单调性将不等式进行转化求解即可
【详解】
解：因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 的图像关于点 对称，由 ，得
，
由 ，得 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得极大值 ，
所以 恒成立，所以 在 上为减函数，
所以由 ，得 ，
所以 ，
所以原不等式的解集为 ，
故选：A
22．若存在 ， 使得 ，则实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由已知可得 ，令 ， ，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得到
答案
【详解】
解：由 ，得 ，令 ， ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，所以 在 上递增，在 上递减，
所以当 时， 取得极大值即最大值 ，
因为当 时， ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以实数 的最大值为 ，
故选：B
23．设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
把不等式 成立，转化为 恒成立，设函数 ，进而转化为
恒成立，得出 恒成立，构造函数 ，利用导数求得函数的单调性与最值，
即可求解.
【详解】
因为 ，不等式 成立，即 成立，即 ，
进而转化为 恒成立，
构造函数 ，可得 ，
当 ， ， 单调递增，
则不等式 恒成立等价于 恒成立，即 恒成立，
进而转化为 恒成立，
设 ，可得 ，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以当 ，函数 取得最大值，最大值为 ，
所以 ，即实数m的取值范围是 .
故选：A.
24．已知函数 ，若f(x)在R上单调，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
先求函数的导函数，由 在R上单调，可知 恒成立或 恒成立，构造函数
，分类讨论a的取值范围，利用导数研究函数的单调区间及最值即可得解.
【详解】
求导 ，令 ，
由 在R上单调，可知 恒成立或 恒成立，分类讨论：
（1）当 时， ，令 ，得
当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增；
，即 恒成立，符合题意；（2）当 时， ，令 ，得
当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减；
，即 恒成立，符合题意；
（3）当 时，令 ，得 或 ，
研究 内的情况即可：
当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增；当
时， ，函数 单调递减；
当 时，函数 取得极小值，且满足 ；当 时，函数 取得极小值，且满足
，且
同理 ，且
又 ，当 时， ；当 时， ，故不符合；
所以a的取值范围是
故选：A
25．已知函数 ，若曲线 上存在点 ，使得 ，则实数 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据函数 的值域可以确定 ，然后换元令 ，进而根据 讨论得出
，代入可得 ，解出m，转化为用导数求值域的问题.
【详解】
由题意，曲线 上存在点 ，使得 ，所以 ．记 ，若 ，
则 ，所以 ，不满足 ，同理 也不满足，所
以 ，所以 ，所以 ，所以
记 ，则 ，记 ，
因为 ，所以 在 上单调递减，因为 ，所以 时， ，因
为 ，所以 ，所以 的最大值为
故选：D.
26．若关于 的不等式 对一切正实数 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
构造函数 ，将原不等式转化为求解函数 的最小值，通过导数判断函数的单调性研究函数的最值，得到 ，再利用基本不等式进行求解即可．
【详解】
解：设 ，则 对一切正实数 恒成立，即 ，
由 ，令 ，则 恒成立，
所以 在 上为增函数，
当 时， ，当 时， ，
则在 上，存在 使得 ，
当 时， ，当 时， ，
故函数 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
所以函数 在 处取得最小值为 ，
因为 ，即 ，
所以 恒成立，即 ，
又 ，当且仅当 ，即 时取等号，
故 ，所以 ．
故选：C．
27．已知函数 ， ，又当 时， 恒成立，则实数a的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先根据 求出 ，进而参变分离解决恒成立的问题即可.【详解】
因为 ，所以 ，即 ，
所以当 时， 恒成立，即 ，
即 ，
当 时， 恒成立，符合题意；
当 时，有 ，即 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，而 ，所以 ，
故选：A.
28．设函数 ， ，其中 为自然对数的底数，若存在实数 ，使得
成立，则实数 值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
将问题转化为 在 上有解，由均值不等式可得 ，
设 ，求出其导数，得出单调区间，从而得出 ，由等号成立的条件
得出 ，从而得出答案.
【详解】
由题意当 时 有解
即 在 上有解.
即 在 上有解.由 , 当且仅当 ，即 时取得等号.
设 ，
则
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以
要使得 在 上有解.
则 时成立，即
故选：D
29．已知函数 ，若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
原不等式化为 ，函数 与函数 互为反函数，其图象关于直线 对
称，要使得 恒成立，只需 恒成立，即 恒成立，利用导数求出函数 的最小
值即可得结果.
【详解】
函数 的定义域为 ，由 ，得 ，因为函数 与函数 互为反函数，所以其图象关于直线 对称，
所以要使得 恒成立，只需 恒成立，即 恒成立，
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递减，在 递增，
可知当 时， 取得最小值 ，
所以 ，又因为 ，所以 的取值范围是 ，
故选：B．
30．已知函数 在 上有两个零点，则a的取值范是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据解析式可得 ，原题转化为求 在 上有一个零点，当 时，求导可
得 的单调性，分析不符合题意；当 时，令 ，解得 ，分别讨论 、
和 三种情况下 的单调性，结合题意，即可求得a的范围.
【详解】
由题意得： ， ，
所以原题转化为求 在 上有一个零点，，
当 时， ，则 在 上单调递减，且 ，不符合题意，
当 时，令 ，解得 ，
当 ，即 时， ，此时 在 上单调递减，且 ，不符合题意，
当 ，即 时， ，此时 在 上单调递增，且 ，不符合题意，
当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，当
时， 在 上有一个零点，
所以 ，解得 ，所以 .
综上：a的取值范是
故选：C
31．若函数 有 个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求得 ，对实数 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数 在 上的单调
性，根据已知条件可得出关于 不等式，由此可解得实数 的取值范围.
【详解】
函数 的定义域为 ，
则 ，
令 ，则 ，
所以，函数 在 上为增函数，且 .①当 时，即当 时， 对任意的 恒成立，
所以函数 为 上的增函数，则函数 在 上至多只有一个零点，不合乎题意；
②当 时，即当 时，则存在 使得 ，
当 时， ，此时 ，则函数 在 上单调递减，
当 时， ，此时 ，则函数 在 上单调递增，
由于函数 有两个零点，
当 时， ；当 时， .
可得 ，
可得 ，解得 .
故选：D.
32．定义在 上的连续函数 的导函数为 ，且 成立，则下列各式一定
成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
设 ，由条件可得 ，即 在 上单调递减，且 ，由此卡判断选项A，
B， C， 将 代入条件可得 ，可判断选项D.
【详解】由题可得 ，
所以 ，
设 则 ，
所以 在 上单调递减，且
由 可得 ，
所以 ， ，所以选项A､B错误，选项C正确.
把 代入 ，可得 ，所以选项D错误，
故选：C.
33．若函数 与函数 的图象在区间 上有且仅有一个公共点，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由已知 在区间 上有且仅有一个解 令 在
上有且仅有一个零点 当 时， 在区间 上单调递增
结果
【详解】
解：由题意知方程 ，即 在区间 上有且仅有一个解．令
，则 在 上有且仅有一个零点，，当 时， ，所以
，所以 ，故函数 在区间 上单调递增，又
函数 在区间 上只有一个零点，所以结合零点存在定理可
解得 ，即 的取值范围是 ，
故选：D．
34．已知定义在 上的图象连续的函数 的导数是 ， ，当 时，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题设，易知 ，构造 ，利用导数研究其在 上的单调性，
并确定对称轴，进而得到 的单调性，由 等价于 ，即可求解集.
【详解】
当 时， ，即有 ．
令 ，则当 时， ，故 在 上单调递增．
∵ ，∴ 关于直线 对称，故 在 上单调递减，
由 等价于 ，则 ，得 ．
∴ 的解集为 ．
故选：A.
35．已知函数 ， .若不等式 在 上恒成立，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据绝对值将原不等式转化为 ，进而分别讨论每个函数与 的大小关系，通过导
函数的单调性讨论得到当 时， ，所以必须有 时， ，分离参数求得 的取
值范围.
【详解】
∵ ，
∴ ，即 ，
∴对任意的 ， 或 ，
当 时，两式均成立；
当 时，有 或 ，
令 ， ， ，
，， ，
∴ 在 单调递减，在 上单调递增，
而 ，且 ，
∴当 时， 单调递减， ，即 ，
当 时， 单调递减， ，即 ，
当 时， 单调递增， ，即 ，
当 时， 单调递增， ，即
故只有当 时， ，所以此时必须有 ，
即 ， ，
∴ .
故选：B.
36．已知曲线 上一点 ，曲线 上一点 ，当 时，
对任意 ， ，都有 恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题中条件，得到 ， ，推出 ， ；证明
，得到 ，推出 ，分离参数得 ，构造函数求出的最大值，即可得出结果.
【详解】
因为当 时，对于任意 ， 都有 恒成立，
所以有： ， ，
，
，
令 ，则 ，
所以当 时， ，则 单调递增；
当 时， ，则 单调递减；
因此 ，即 显然恒成立；
因为 ，所以 ，即 ；
为使 恒成立，只需 恒成立；即 恒成立；
令 ，则 ，
由 解得 ；由 解得 ；
所以 在 上单调递增；在 上单调递减；
所以 ；
，因此 的最小值为 .
故选：
37．已知函数 ， ，当 时， 恒成立，则实数a的取值
范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
经过恒等变形，原问题变成当 时， 恒成立，构造函数，利用导数的性质进行
求解即可.
【详解】
由 ，
当 时，上式可变形为： ，问题转化为：
当 时， 恒成立，
设 ， ，
，
因为 ， ，所以 ，因此 ，
所以当 时， 单调递减，
当 时， 单调增，故 ，要想
当 时， 恒成立，只需 ，
设 ， ，
，
当 时， ，所以函数 单调递增，而 ，
显然当 ， 成立，
故选：B38．已知函数 的导函数为 ，对任意的实数 都有 ， ，则不
等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求出 的解析式，然后再探究其奇偶性和单调性，最后将原不等式转化，进而求出结果.
【详解】
由 可得 ，
即 ，所以 （其中 为常数），
因此， ，由 可得 ，故 .
显然， 是 上的偶函数.
当 时， ，
所以， 在 上是增函数. 故
故选：C.
39．已知函数 ，若函数 有三个极值点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【分析】
要使 有三个极值点，则 有三个变号实根，转化为方程 有两个不等于1的变号实根，
令 ，通过研究 的最小值可得 的取值范围.
【详解】
，求导，得 ，
令 ，得 ，或 .
要使 有三个极值点，则 有三个变号实根，
即方程 有两个不等于1的变号实根.
，令 ，
则 ，令 ，得 .
易知 ，且 ， ； ， .
所以，当 时，方程 即 有两个变号实根，
又 ，所以 ，即 .
综上， 的取值范围是 .
故选：C.
40．已知直线 分别与 和 的图象交于 ， 两点，则下列结论正确
的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】
先分析得出函数 和 的图象关于直线 对称，从而得出 ,结合零点存在定理得
出 的范围.选项A.结合基本不等式得出 ，设 ，求出单数得出其单调性可判断;选
项B. 由 可判断;选项C. 由 ，可得 可判断;选项D. 由对称性有 ，
结合函数解析式得到 ，从而可判断.
【详解】
在函数 的图像上任取一点 ，则 ，即
由 ，两边取以 为底的对数，得到 即点 满足函数 表达式.
所以在函数 的图像上任取一点 ，都有点 在函数 的图像上.
故函数 及函数 的图象关于直线 对称，
又直线 与直线 垂直，且相交于点 .
从而直线 与函数 及函数 的图象的交点 ， 也关于直线 对称，
， ，又 在 上，
即有 ，故 ，
则 ，由于 ，所以 ．
对于 ，令 ， ， ，
所以 在 上单调递增，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，故 错误．
由图象易知 ，故 错误．
， ，
又 ， ， 错误．
由 ，可得 ，即 ，
又由 ，可得 ，故 正确.
故选：D
41．已知函数 ，若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
构造函数 ，判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式转化为，即 ，再利用函数单调性解不等式即可.
【详解】
，
令 ，则 ，可得 是奇函数，
又 ，
又利用基本不等式知 当且仅当 ，即 时等号成立；
当且仅当 ，即 时等号成立；
故 ，可得 是单调增函数，
由 得 ，
即 ，即 对 恒成立.
当 时显然成立；当 时，需 ，得 ，
综上可得 ，
故选：D.
42．已知函数 ， ，若 成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
令 ，得到 关于t的函数式，进而可得 关于t的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确定最值，即可求 的最小值.
【详解】
令 ，则 ， ，
∴ ， ，即 ，
若 ，则 ，
∴ ，有 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
∴ ，即 的最小值为 .
故选：D.
43．已知函数 ， ，曲线 上总存在两点 ， ，
使曲线 在 两点处的切线互相平行，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题设可知 且 ，令 即总存在 在
上有两个不同的解 ，则 ，利用基本不等式求 的范围即可.
【详解】
由题设， 且 ，令 ，
要使 上总存在两点 ， ，使曲线 在 两点处的切线互相平行，∴若 ， ，
∴在 上总存在 有两个解分别为 、 ，而 的对称轴 ，
故 ，而 ，
∴ ，整理得 ， 上 ，
∴ 即可.
故选：B
44． ，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
构造函数 ，应用导数研究其单调性，进而比较 ， ， 的大小，若
有两个解 ，则 ， ，构造 ，利用导数确定
，进而得到 ，即可判断a、c的大小，即可知正确选项.
【详解】
令 ，则 ， ， ，
而 且 ，即 时 单调增， 时 单调减，又 ，
∴ ， .
若 有两个解 ，则 ， ，即 ， ，
令 ，则 ，即 在 上递增，
∴ ，即在 上， ，若 即 ，故 ，有
∴当 时， ，故 ，
综上： .
故选：A
45．当x>1时，函数y=(lnx)2+alnx+1的图象在直线y=x的下方，则实数a的取值范围是（ ）
A．(-∞，e) B．(-∞， )
C．(-∞， ) D．(-∞，e-2)
【答案】D
【分析】
分离参数，构造函数，求导分析出单调性，求出该函数的最小值，即可得到 的取值范围.
【详解】
由题意知， 构造函数 ，
令 则 故当 时
单调递减 当 时 单调递增，所以 所以
故选：D.
46．已知函数 ，若存在唯一的正整数 ，使得 ，则实数a的取值范围是（
）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将存在唯一的正整数 ，使得 转化为存在唯一的正整数 ，使得 ，然后构造函数
，然后利用导数研究函数的性质，进而数形结合即可得出结果.
【详解】
因为存在唯一的正整数 ，使得 ，则因为存在唯一的正整数 ，使得 ，令
，所以存在唯一的正整数 ，使得 ， ，所以
， ，所以 单调递减； ， ，所以 单调递增，所以
， 恒过定点 ，所以当 时，有无穷多个整数，使得
，当 时，函数 单调递增，作出函数 图象：记 上 ，所以 ，所以
实数a的取值范围是 ，
故选：C.
47．已知 、 ，且 ，对任意 均有 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】
推导出 与 符号相同，构造函数 ，然后对四个选项中的条件逐一
验证，即可得出合适的选项.
【详解】
，故 与 的符号相同，
当 时， ；当 时， .
所以， 与 的符号相同.
，
令 ，所以，当 时， 恒成立，
令 ，可得 ， ， .
，分以下四种情况讨论：
对于A选项，当 ， 时，则 ，当 时， ，不合乎题意，A选项错误；
对于B选项，当 ， 时，则 ，
若 ，若 、 、 均为正数，①若 ，则 ，当 时， ，不合乎题意；
②若 ，则 ，当 时， ，不合乎题意.
③若 、 、 都不相等，记 ，则当 时， ，不合乎题意.
由上可知， ，当 时，若使得 恒成立，则 ，如下图所示，
所以，当 ， 时，且 ， 时，当 时， 恒成立；
对于C选项，当 ， 时，则 ，
①若 时，则当 时， ，不合乎题意；
②当 时，构造函数 ，其中 ， ，
函数 在 上单调递增，则 ， .
当 时，由于 ，则 ，不合乎题意，C选项错误；
对于D选项，当 ， 时，则 ，此时 、 、 为正数.
①当 、 、 都不相等时，记 ，当 时， ，不合乎题意；
②若 ，则 ，当 时， ，不合乎题意；③当 时， ，当 时， ， 不合乎题意.
所以，D选项错误.
故选：B.
48．若关于 的方程 有三个不相等的实数解 ， ， ，且 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
化简方程，令 ，得到 ．构造函数 ，则 ，利用函
数的单调性，结合函数的图象，要使关于 的方程有三个不相等的实数解 ， ， ，且 ，结
合图象可得关于 的方程 一定有两个实根 ， （ ），结合韦达定理，推
出所求表达式的关系式，然后求解即可．
【详解】
由方程 ，可得 .
令 ，则有 ，即 .
令函数 ，则 ，
由 ，解得 ， ，解得
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，且作出图象如图所示，要使关于 的方程 有三个不相等的实数解 ， ， ，且
，
结合图象可得关于 的方程 一定有两个实根 ， ，
且 ， ， ， .
所以 ，解得 或
若 ，则 ,解得 ，则
此时 只有1个实数根，此时原方程没有3个不等实数根，故不满足题意.
若 ，则 ，可得 ，显然此时原方程没有3个不等实数根，故不满足题意.
要使原方程有3个不等实数根，则
所以 ， ，解得 .
所以 ，
故 .
故选：A
49．已知函数 （其中e为自然对数的底数）有三个零点，则实数m的取值范围为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
令 ，可得 ，令 ，利用导数可判断 的单调性，求得 的极
值，令 ， ，根据 的图象，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求得答案.
【详解】
令 ，可得 ，
令 ，则 ，
令 ，解得 ，
当 时， ，当 时，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 图象如下图所示：
所以 ，令 ， ，因为函数有三个零点，设 的两根分别为 ， ， ，解得 或
则 ， 有下列三种情况，
（1）当 ， 时，将 带入方程，即 ，
解得 ，带入方程，即 ，
解得 ， 故舍去；
（2）当 ， 时，将 带入方程，则 ， ，不满足 ，故舍去；
（3）当 ， 时， 解得 ，
所以
故选：C
50．已知函数 有且仅有两个不同的零点，且函数 满足：
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
问题可转化为 有两个不同的零点，利用导数作出 的大致图象，
转化为 ，通过数形结合求得 的取值范围.
【详解】令函数 ，则有 ，
即 有两个不同的零点，
∴ ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
∴当 时， 取得最小值，且 ，
显然， .
由此可以画出函数 的大致图象，如下图所示，
于是可得，当 时， 恒成立.
由图象可得，要使函数 有且仅有两个不同的零点，
只需 ，即 .
而此时 ，∴
即为 ，又 ， ，
∴ .
故选：A.类型二:填空题51-100题
51．已知关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【分析】运用常变量分离法，结合构造函数法进行求解即可.
【详解】
因为 ，所以 ，
因此由 ，可得
构造函数 ，当 ， 单调递增，当 时，
单调递减，因此有 ，
即 ，当且仅当 时取等号，
所以有 ，当且仅当存在 ，使得 即可，设
， ，即 ，因此当 时，必存在
一个零点 ，因此 成立，故 ，即实数 的取值范围是 ．
故答案为：
52．已知函数 有两个极值点，则实数m的取值范围为___________.
【答案】
【分析】
把函数 有两个极值点，转化为 有两个不同正根 ，利用分离参数法得到
.令 ， ，只需 和 有两个交点.利用导数研究
的单调性与极值，即可求出m的取值范围.
【详解】
的定义域为 ， .要使函数 有两个极值点，
只需 有两个不同正根 ，并且在 的两侧 的单调性相反，在 的两侧 的单调
性相反.
由 得， .
令 ， ，要使函数 有两个极值点，只需 和
有两个交点.
，令 得：x>1；令 得：0<x<1；
所以 在 上单减，在 上单增.
当 时， ；当 时， ；
作出 和 的图像如图，
所以-1<m<0
即实数m的取值范围为 .
故答案为：
53．已知函数 （其中 ， ），当 时 恒成立，则
的取值范围为___________.
【答案】
【分析】将 拆分为 、 分别研究单调性，令 可得 ，讨论该方
程 、 情况下参数a、b、c的关系或范围，进而利用导数求目标式的范围.
【详解】
令 ，则 ，
∴ 时 ， 时 ，
∴ 在 上递减，在 上递增，故 ，
若 ，则 在 上递减，在 上递增，
令 ，即 ， ，
1、 即 时，在 上 的两个零点为 ，同时它们恰好为 的零点，
∴ ，即 ，又 ，则 ，
此时， ，令 ，则 ，
∴ 递减且 时 ，则 ，故 .
2、 ，即 时，在 上 ，此时只需 即 即可.
此时， ，令 ，则 ，即 在 递减，
∴ ，而 ，故 .
综上，
54．设函数 ，对任意正实数 ，不等式 恒成立，
则正数 的取值范围是_________.【答案】
【分析】
利用导数求出函数 的最大值，再求出 的值域，最后根据任意的含义，结合一
元二次不等式的解法进行求解即可.
【详解】
，当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，因此当 时，函数 有最大值，
最大值为： ，因此对任意正实数 ，有 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，当 时，函数 是单调递增函数，
所以 ，
因此任意正实数 ，有 ，因此有 ，
所以要想对任意正实数 ，不等式 恒成立，
只需 恒成立，而 ，
所以由 ，
故答案为：
55．函数 ，当 时， 恒成立，则整数 的最大值为______．
【答案】2．
【分析】
先求导，然后对 进行讨论，判断出 的单调性，求出其最小值，由当 时， 恒成立得到
，然后再设新函数，通过求导，分析出零点所在区间即可.
【详解】因为 ，所以 ．
①当 时，由 ，可得 恒成立，所以 单调递增，
所以 ，而 ，所以 恒成立；
②当 时，令 ，可得 ；由 ，可得 ．
所以 在 单调递减，在 单调递增．
因为 恒成立，所以 ，
即 ，所以 ．
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
故 在 单调递减．
又因为 ， ， ，
所以存在 ，使得 ，
且当 时， ；当 时， ．
又因为 且 为整数，所以 的最大值为2．
故答案为：2．
56．已知 ，对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最小值为___________.
【答案】
【分析】
将已知转化为对于任意 ， 恒成立，利用同构思想，构造函数 ，将不等式
转化为 ，再结合函数的单调性转化为 恒成立，利用参数分离，构造函数即可得解.
【详解】
∵对于任意 ， ，不等式 恒成立
∴对于任意 ， ，即 恒成立
当 时， ；
当 ， ，
设 ，则 ，所以 在 上单调递增，
由 ，知 ，即 ，即
设 ， ，求导
令 ，得
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
∴ 在 处取得极大值，且为最大值，
所以 时，不等式 恒成立
故答案为：
57．已知函数 ，若函数 有唯一极值点，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【分析】
对函数进行求解，根据极值点的定义，结合函数零点的性质，利用导数，分类讨论进行求解即可.
【详解】
由题意知，函数 的定义域为 ，
，因为函数 有唯一极值点，所以 是函数 的唯一极值点，所以 在 无变号零点，令 ，则 ，
当 时， 恒成立，所以 在 内单调递增，且 ，所以 在
上无解，符合要求；当 时， 有解，且 ，又因为 时，
，所以 在 上单调递减； 时， ，所以 在 上单
调递增，所以 ，解得 ，当 时，函数
，当 时， ，所以过 的切线方程为： ，因此 和
的图象相切于点 ，所以符合条件，综上所述： ，
故答案为： ．
58．已知函数 和 ，对于任意 ， ，且 时，都
有 成立，则实数 的取值范围为________.
【答案】
【分析】
根据 的单调性同时不妨设 ，可以得 ，进而可以转化为
，即 ，构造函数
， ,转化为 在 单调递增，且 在 单调递增；然后
参变分离即可求出结果.
【详解】因为函数 和 ，且 ， ，所以 ，所以
单调递增，不妨设 ，则 ，所以 等价于
恒成立，即 ，即
，则 ，
构造函数 ，
,
所以 ，因此 在 单调递增，且 在 单调递增；
故 在 上恒成立， 在 上恒成立，
所以 ，设 ，则当 时， ，所以 ，设
，则当 时， ，所以 ，所以 ，即 ，
故答案为： .
59．设函数 ，若在 上有且只有一个正整数 ，使得 ，则a的取值范围
是_______________.
【答案】
【分析】由题设 可得 ，令 、 ，则在 上有且只有一个正整数 使
，即 、 的交点横坐标之间只有一个正整数(除交点)即可，利用导数研究 的单调性，由解析
式判断 的定点，应用数形结合的思想确定参数a的范围.
【详解】
由 ， ，得 ，
令 ， .
由 ，在 上 ， 单调递减；在 上 ， 单调递增，
由 经过定点 ，斜率为 .
∴在 上有且只有一个正整数 使 ，即 、 的交点横坐标之间只有一个正整数(除交点)，
如下图， 、 ， 的斜率 ， 的斜率 ，
∴ 时，符合题意，即 .
故答案为： .60．已知函数 ，对任意的 ，使得 ，则 ___________.
【答案】-3
【分析】
由题设易知 为奇函数且 ，当 由导数研究 单调性并确定最值，可得
，结合已知判断是否符合题设；当 由导数确定 的零点，讨论
、 判断是否符合题设，若符合结合恒成立，列不等式组求参数m、n即可.
【详解】
由题意，令 ，易知 是奇函数， ，
1、当 时， ，即 单调递增， ， ，
∴ ，任意的 ，使得 ，
当 时， ，不合题意；
当 时， ，不合题意；
2、当 时， 有 ，
∴当 ，则 上 ，即 单调递减，故 ，同1可知不
合题意；
当 ，则 、 上 ，即 单调递增， 上 ，
即 单调递减，
∴① 得 ，或② 得 ，∴ ，代入①得 ，故 .
故答案为：
61．已知函数 的定义域为 ， 为单调函数且对任意的 都有 ，
若方程 有两解，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
由题意得 ，方程 化简得 ，变形得 ，构造函数 ，
利用导数研究函数的单调性及最值，作出图像，数形结合可得解.
【详解】
令 ，则 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，可得
方程 化简得 ，变形得
令 ，求导 ，令 ，解得
当 时， ，函数 是单调增函数；
当 时， ，函数 是单调减函数；
所以当 时，函数有最大值 ，当 时， ；当 时，
作出函数 的图像，如图所示
由图可知，实数 的取值范围是故答案为：
62．若函数 在区间 有三个不同的零点，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
利用导数可求得 在 上的单调性､极值和最值，由零点个数可确定 大致图象，由此可得不等关
系，解不等式可求得结果.
【详解】
∵ ，
∴当 时， ；当 时， ；
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，
显然 ， ，
则 在区间 有三个不同的零点，则其大致图象如下图所示：∴ ，解得 ，即实数m的取值范围为 .
故答案为： .
63．如果关于 的方程 有唯一的正实数根，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【分析】
原方程可化为 ，令 ， ，则方程有唯一正实数根
转化为函数 ， 的图象在 上有唯一的交点.然后借助函数的单调性以及正弦函数的有界性，
将问题转化为两个函数图象在交点处的切线斜率之间的大小关系，进而解决问题．
【详解】原方程可化为 ，令 ， ，则由题意知函数 ，
的图象在 上有唯一的交点．当 时， ，所以 在 上单调递减．
的最小正周期为4，最大值为 ，且 ，作出 ， 在 上的大致
图象如图所示，数形结合可知，要使函数 ， 的图象在 上有唯一的交点，应满足
，因为 ，所以 ，又 ，所以 ，得 ．
故答案为： .
64．已知关于 的方程 在 上有两个不相等的实根，则实数 的取值范围是
________
【答案】
【分析】
先利用指、对数性质整理方程为 ，令 ， ，即得 在
有两个不相等的实根，再转化为 和 ， 有两个不同
的交点，利用导数研究函数图象，并结合图象得到结果即可.
【详解】
解: 由 ，则方程 ，即 ，令 ， ，则由 单调性可知，函数 是递增的，故 时，
值域为 .
而 转化为 ，
当 时，方程为 ，不成立，故 ，即转化为 在 有两个不相等的实
根，即 和 ， 有两个不同的交点.
，当 和 时， ，即 在 上递减，在
上递减；当 时， ， 递增.
另外， 时， ； 时， ； .
结合函数 ， 图象可知，
当 时， 和 ， 的图象有两个不同的交点.
故答案为： .
65．已知不等式 对任意 恒成立，则实数a的取值范围是___________.【答案】
【分析】
设 ， ，对实数 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数 的单
调性与最值，根据已知条件列出关于实数 的不等式（组），综合可求得实数 的取值范围.
【详解】
设 ， ，其中 ，则 ，
①当 时， 对任意的 恒成立，此时，函数 在 上单调递减，
当 时， ，
对于函数 ，该函数的对称轴为直线 ，
函数 在 上单调递增，当 时， ，
所以，当 时， ，不符合题意；
②当 时，令 ，可得 ，列表如下：
极小值
所以， .
（i）当 时，即当 时， ，则 ，不符合题意；
（ii）当 时，即当 时，则 ，此时 ，即 .对于函数 ， ，
所以，当 时， ， ，则 对任意的 恒成立.
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
66．设函数 ，若存在唯一的整数 使得 ，则实数m的取值范围是________.
【答案】
【分析】
当 ，应用导数研究 单调性可知不符合题设；当 ，要使 则 在 上成
立且只有一个整数符合要求，令 、 研究函数图象的性质，应用数形结合的方法知：
仅当 与 的一个交点在 、 之间[含 ]，符合题设条件，即可求m的范围.
【详解】
由题意知：函数定义域为 ，且 ，
∴当 时， ， 单调递增，显然不止有一个整数 使 ，不合题意；
当 时，要使 ，则 ，
令 ，则 ，有 ，易知 上 ， 单调递增， 上 ，
单调递减，且 ；
令 ，过定点 ，图象如下：∴要使存在唯一的整数 使得 ，即 的解集只有一个整数，则 与 的一个交点在
、 之间[含 ]，
∴当 过 时， ，可得 ；当 过 时， ，可得 ；
∴ .
故答案为：
67．设函数 恰有两个极值点，则实数t的取值范围为___________.
【答案】
【分析】
求导可得 的解析式，根据题意，有两个极值点，可得 恰有两个正根，所以 有唯
一正根，即 有唯一正根，设 ，求导可得 的单调性，结合 的图象，综合分
析，即可得答案.
【详解】
因为 ，所以 ，
因为 有两个极值点，
所以 恰有两个正根，即 为一个根，
则 有唯一正根，且 ，即 有唯一正根，且 ，
设 ，则 的图象与 图象有一个交点，
，
所以 时， ，所以 在 为增函数，
又 ，
因为 ，所以
所以只需 且 ，即可满足题意，
所以实数t的取值范围为 .
故答案为：
68．已知函数 ， ，且 ， ， ， 恒成立，则实数 的取
值范围是______．
【答案】【分析】
先由 恒成立，得到 恒成立，令 ，得到
在 上恒成立，所以函数 在区间 上单调递减，对函数求导，得到
在 上恒成立，推出 在 上恒成立，令 ，用导数的
方法研究其单调性，求出最值，即可得出结果.
【详解】
解： ， ， 恒成立，
即 恒成立，
即 恒成立，
令 ，则 在 上恒成立，
即函数 在区间 上单调递减，
又 ，
在 上恒成立，
当 时，不等式可化为 显然成立；
当 时，不等式 可化为 ，
令 ，则 在区间 上恒
成立，
函数 在区间 上单调递减，
，
，
即实数a的取值范围是 .
故答案为： .
69．设函数 满足 ，且 ，若不等式 恒成立，则 的取值范围是
_________.
【答案】
【分析】
由 ，得 ，构造函数 ，则可得 ，
从而可得 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数，则有 ，即 ，
进而可求得结果
【详解】
由 ，得 ，
所以 ，令 ，则 ，
当 时， 在区间 上是减函数；当 时， 在区间 上是增函数，
所以 ，所以 .
因为 对 恒成立，所以a的取值范围是 .
故答案为：
70．若关于x的不等式 恒成立，则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【分析】
首先不等式变形为 ，经讨论 不成立，当 时，不等式变形为
，通过设函数 ，转化为不等式 恒成立，通过函数
的单调性，和正负区间，讨论求 的取值范围.
【详解】
解：
若 ， 时， ， ，∴ ，
此时 不恒成立，∴ ，
，
令 ， ，
时， ， ， ，
在 单调递减， 单调递增，∴ ，
， 时， ， ，原不等式恒成立；时，
令 ， ， ，
时， ， 时， ，
在 单调递减，在 单调递增，
∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，∴ ．
故答案为： .
71．已知函数 ，若对于任意 ，不等式 恒成立，则实数a的最大值
为________.
【答案】1
【分析】
依题意，对任意 ， 恒成立，令 ，则 ，
利用导数求得 的最小值，进而可得 的最大值.
【详解】
依题意，对任意 ， 恒成立，
令 ，则 .
，令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，又 ，
所以，当 时， 即 ， 单调递减；
当 时， 即 ， 单调递增，
所以 ，故 ，即实数 的最大值为1.
故答案为：1.
72．已知函数 在定义域内没有零点，则a的取值范围是________.
【答案】
【分析】
利用导数并得到隐零点，可得 ，然后将 代入 ，
可得 的范围，最后简单计算即可得到结果.
【详解】
函数定义域为
，令 ，由 单调递增，且
又 单调递减，且 ，所以存在 ，使得
当 时， ；当 时，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
所以 ，即
所以 ，即 ，两边取对数可得
则
由 ，即令 ，易得函数 在定义域中是单调递减的，且
所以 ，由 ，令
又 在 单调递减，所以
所以 ， 则
故答案为：
73．已知函数 (e为自然对数的底数)有两个不同零点，则实数 的取值范围是
___________.
【答案】
【分析】
求出 ，当 ，则 ，此时 ， 在 上单调递增，不满足
条件，当 ，讨论出 的单调性，得出最小值，根据条件可得出答案.
【详解】
由 ，得 ，且
由 ，则
若 ，则 ，此时 ， 在 上单调递增，至多有一个零点，不满足题意.
若 ，设 ，则 ，所以 在 上单调递增
由 ，所以 有唯一实数根，设为 ，即
则当 时， ， ，则 在 单调递减，
当 时， ， ，则 在 单调递增，
所以当 时，
由 可得 ，即 ，即所以 ，
又当 时， ，
当 ，指数函数增加的速度比对数函数增加的速度快得多，可得
所以函数 有两个不同零点，则
设 ，则
当 时，有 ，则 在 上单调递增.
当 时，有 ，则 在 上单调递减.
又当 时， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 的解集为
故答案为：
74．已知对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为______.
【答案】
【分析】
由不等式恒成立构造 ，只需 成立：利用导函数研究 单调性知
使 ，此时得 ，而 ，构造 得到 时
恒成立，进而可求 的取值范围.
【详解】
由题意，对任意的 不等式 恒成立，
令 ，则 ， ，∴ 在 上单调增，且 使 ，即 ，
∴ 在 上递减， 上递增，
故： ，即 ，
而 在 上单调增，又 ，
∴ ，即有 时 恒成立，
∴ ，
故答案为： .
75．已知函数 ，若 在 上恒成立，则
正实数 的取值范围为______．
【答案】
【分析】
先分析 的单调性，然后将问题转化为 在 上恒成立，再利用导数采用分类
讨论的方法求解出 的取值范围.
【详解】
因为 ，
令 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
又因为 在 上单调递减，所以 在 上单调递增，
又因为 ，
所以 在 上恒成立 在 上恒成立，所以 在 上恒成立，所以 在 上恒成立，
设 ，所以 ，且 ，
当 时， ，所以 在 上递增，所以 ，满足；
当 时，令 ，所以 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递
增，
所以 ，这与 矛盾，所以不满足，
综上可知： ，
故答案为： .
76．已知对任意 ，都有 ，则实数 的取值范围为_________．
【答案】
【分析】
首先将不等式转化为 ，再利用对数的运算法则转化为 ，构造
函数 ，应用导数研究函数的单调性得到其在 单调递增，不等式可以转化为
，所以 ，所以 ，根据 在 单调递增，在 单调递减，得到
，从而求得 的取值范围.
【详解】
因为 ，
所以 ①，
令 ，则 ，
所以 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
所以 ，
所以 在 单调递增，
因为①式可化为 ，
所以 ，所以 ，
令 ，
所以可求得 在 单调递增，在 单调递减，
所以 ，所以 ，
故答案为： .
77． 在 单调递增，则 的范围是__________．
【答案】
【分析】
由求导公式和法则求出 ，由题意可得 在区间 上恒成立，设 ，从而转化为
，结合变量的范围，以及取值范围，可求得其最大值，从而求得结果.
【详解】
，则 ，
因为函数 在 上单调增，可得 在 上恒成立，
即 ，令 ，则 ， ，
所以 ，因为 在 上是增函数，所以其最大值为 ，
所以实数 的取值范围是 .
78．若a，b为实数，且 ， ，则 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
构造函数 ，根据其在 单调性，得到两边含有 的不等式组，结合 的范围、基本不
等式，应用导数研究 的最值，即可求 的范围.
【详解】
设 ，
故 上 单调减，
∴ ，
令 ，则 ，
即 在 上单调减，在 上单调增，
有 ，
令 ，则 ，
即 在 上单调减，在 上单调增，
而 ， ，所以 ，
综上，有
故答案为： .79．已知函数 ，函数 有四个零点，则实数 的取值范围是
______．
【答案】
【分析】
将问题转化为 与 有四个不同的交点的问题；画出 图象后可知，当 与
在 和 上分别相切时，两切线斜率之间的范围即为所求 的范围，利用导数几何意义和二次
函数的知识分别求解出两条切线斜率，从而得到所求范围.
【详解】
有四个零点等价于 与 有四个不同的交点
当 时， ，
当 时， ；当 时，
即 在 上单调递减，在 上单调递增
当 时， ，此时
由此可得 图象如下图所示：
恒过 ，由图象可知，直线位于图中阴影部分时，有四个不同交点即临界状态为 与 两段图象分别相切
当 与 相切时，可得：
当 与 相切时
设切点坐标为 ，则
又 恒过 ，则
即 ，解得：
由图象可知：
80．已知定义于实数 上的奇函数 满足 ，则不等式 的解
集为______.
【答案】
【分析】
设 ，则 ，
，令 ，则 ，求导后可得 ，
结合题意可得 ，得函数 在 上单调递增，而 ，由此可求出解集．
【详解】
解：设 ，
则 ，
∵ ，
令 ，则 ，由 得 ，由 得 ，
∴当 时，函数 取得极小值同时也是最小值 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴函数 在 上单调递增，
又 ，
∴由 得 ，
∴ ，
故答案为： ．
81．若对任意x＞0，恒有 ，则实数a的取值范围为_____.
【答案】
【分析】
由题意可得 ，构造函数 ，求得导数和单调性，原题转化为
，结合单调性转化后分离参数，二次构造函数后转化为求解函数的最值，结合不等式恒成
立思想可得所求范围.
【详解】
解：由不等式 ，可得 ，
设 ，则 ，
设 ，当0＜t＜1时， ；当t＞1时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
因此 ，
因此 在 上单调递增，由
得eax≥x2，即 ，设 ， ，
当x＞e时， ，函数 单调递减，
当0＜x＜e时， ，函数 单调递增，
从而 的最大值为 ，故 .
故答案为: .
82．已知函数 ，其中 为实数，若对任意的 ，有 ，则
的最小值为_________．
【答案】
【分析】
对任意的 ，都有 ，可构造函数 ，求导并讨论
的单调性，易知当 时， 不恒大于或等于0，即 不符合题意；当 时，可求出
，则 ，可得到 ，进而得到 ，求出
的最小值，进而可求出 的最小值.
【详解】对任意的 ，有 ，即 ，
即 ．
设 ，则 ．
①当 时， ，函数 在 上单调递减，
易知 时， ，
即 不恒大于或等于0，所以 不符合题意；
②当 时，令 ，解得 ，
则 时， ， 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ．
记 ，则 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，故 ，
所以 ，则 ，
所以 ，即 的最小值为 ．
故答案为： .
83．关于 的方程 有两个不等实根，则实数 的取值范围是___________．
【答案】
【分析】
通过参数分离，将 表示成关于 的式子，构造函数，再利用导数求出函数在定义域上的极值，从而得解.
【详解】由 ，得 ，
令 ，
函数 的定义域为 ，
则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增.
所以， ，
当 时， ，
故实数 的取值范围是 .
故答案为： .
84．若 是实数， 是自然对数的底数， ，则 ______．
【答案】
【分析】
令 ，结合导数可求 即 ；令 同理结合导数可求出 ，即
，从而可得 ，再结合
，可得 ，即可求出 的值，从而求出 的值.【详解】
解：令 ，则
．当 时， 单调递减；当 时， 单调递增．
故 ，所以 ，即 （当且仅当 时等号成立）．
令 ，则 ．
当 时， ， 单调递增；当 时， 单调递减．
故 ，所以 ，即 （当且仅当 时等号成立）．
所以 ，又
，所以 ，解得 ，所以 ．
故答案为: .
85．已知关于 的方程 恰有两个实数解，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【分析】
由题意转化条件为 恰有两解，设 ，求
导后求得函数 的单调性和极值，令 ， ，求导后确定函数 的单调性和极值，
根据两函数的单调性和极值情况即可确定m的值.
【详解】
由题意可得 恰有两解，
设 ，则 ，
令 ，则 ，所以函数 在 单调递增，在 上单调递减，
又 ， ， ，
所以函数 存在两个零点 ， ，
所以函数 在 ， 单调递减，在 上单调递增，且 ，
令 ， ，则 ，
可得 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 即 ，
则要使 恰有两根，则要使 在 ， 上
各有一个根，
故 在 上的根为 ，此时 即 .
故答案为： .
86．已知m为整数，若对任意 ，不等式 恒成立，则m的最大值为______.
【答案】1
【分析】
构造 ，然后对 求导，结合导数研究函数的单调性，再结合函数的性质可求.
【详解】
解：令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，又 ， ，
故存在 使得 ，
当 时， ，即 ， 单调递增，当 时， ，即 ，
单调递减，
，
故 ，则 ，即m的最大值为1.
故答案为：1
87．函数 的图象恰好经过三个象限，则实数 的取值范围是_________.
【答案】
【分析】
先分析得当 时， ；当 时， ，记 ，利用导数分析 的单
调性，结合函数的特殊值，且函数图象经过三个象限，分类讨论求解 的取值范围即可.
【详解】
当 时， ；当 时， ；且 ，
记 ，则 ，
①当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，
又 ，所以当 时， ， ；当 时， ， .
所以 的图象经过第一、二两个象限，不符合题意；
②当 时，令 ，得 .
当 和 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
因为函数 的图象经过三个象限，
函数 的极大值为 ，则该函数的极小值为 ，解
得 ，此时， ；
③当 时，令 ，得 .
当 和 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
因为函数 的图象经过三个象限，
函数 的极小值 ，则该函数的极大值为 ，
，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
88．已知周期为 的函数 满足 ，当 时， ，则当 时（
为自然对数的底数），关于 的不等式 在区间 上的整数解的个数为______．
【答案】
【分析】
根据抽象函数满足的关系式和周期可知 关于 、 对称，结合导数可求得 在 上的单
调性，并得到 的值及函数的图象；由 的范围可将不等式化为 ，可确定
在 的整数解个数，结合周期性和对称性可得 上的其他整数解，进而得到结果.【详解】
由 得： 关于 对称，
又 是周期为 的周期函数， 关于 对称，
当 时， ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
，且 ， ， ， ，
由此可得 图象如下图所示：
当 时， ， 等价于 ，
当 时，整数解为： 和 ；
当 时，整数解为： 、 、 、 和 ；
综上所述：不等式 在区间 上的整数解的个数为 个.
故答案为： .
89．已知函数 ，若 是函数 的唯一极值点，则实数 的取值集合是
________．【答案】 ．
【分析】
由已知可知 是 唯一的根，进而可转化为 在 时没有变号零点，构造函数
，结合导数及函数的性质可求．
【详解】
解：函数定义域 ， ，
由题意可得， 是 唯一的根，
故 在 上没有变号零点，
即 在 时没有变号零点，
令 ， ，则 ，
当 时， ，函数单调递增，
当 时， ，函数单调递减，
故当 时， 取得最小值 ，
故 即 ．
故答案为： ．
90．函数 是定义在 上的可导函数， 为其导函数，若 且 ，
则不等式 的解集为__________.
【答案】【分析】
构造函数 ，由题知 得到 在 的最小值为0，得到 在
单增，在 上， 等价于 ，利用 单调性可解.
【详解】
构造函数 ，
在 上， 等价于 ，
,
, 得 ，
在 上单增，在 上单减，
在 上， 恒成立，
又 ，则
又在 上， 等价于 ，即 ，则
不等式 的解集为
故答案为：
91．已知函数 ，若 有两个零点 ，则 的取值范围______.
【答案】
【分析】
先运用分段函数的解析式，得出 的解析式，再利用导数求得函数的单调性区间,即可
求得 的取值范围.
【详解】
当 时, , , ,当 ,
综上可知： ,
则 ， 有两个根 ， ,(不妨设 ,
当 时, ，当 时, ,
令 ,则 ， ， ， ， ， ,
设 ， , 所以 , ，函数 单调递减, ,
的值域为 , 取值范围为 ,
故答案为： .
92．已知定义在 上函数 满足 ，且当 时， 恒成立，则不等式
的解集为____________.
【答案】
【分析】
根据所求不等式的形式，结合 ，构造函数 ，结合判断该函数的单调性和
奇偶性，利用 的单调性和奇偶性进行求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，令 ，则函数 为偶函数，因
为 ，且当 时， ，所以当 ，时， ，故函数 在区间
上单调递增，在区间 上单递减，因为
，解得 .
故答案为：
93．存在 使 对任意的 恒成立，则 的最小值为________.
【答案】
【分析】
将问题转化为直线 恒在 上方来求解，利用导数与切线的知识将 转化为只含 的表
达式，并利用导数求得这个表达式的最小值.
【详解】
存在 使 对任意的 恒成立，
则等价于等价于存在 ， ， 在 的上方.
直线 过定点 ，即定点在直线 上，
设直线 与 相切于点 ，
，所以 ，
由 得 ，化简得 ，故 .
构造函数 ，
则 ，
所以当 时， ，函数 递减，
当 时， ，函数 递增，
所以 .所以 的最小值为 .
故答案为：
94．已知函数 ，若函数 有6个零点，则实数 的取值范围为
________.
【答案】
【分析】
函数零点等价与 的零点，设 ，求导根据单调性画出图像，
，有4个零点且满足 ，计算得到答案.
【详解】
，
函数零点等价与 的零点，
设 ，则 ，
故函数 在 上单调递减，在 上单调递增，且当 时， ，
画出 的图像，如图所示：
，原函数有6个零点，
则只需 有4个零点且满足 ，故 ，
解得 或 ；且 ，解得 ，
且对称轴满足 ， ，解得 .
综上所述： .
故答案为： .
95．已知函数 为 上的奇函数，满足 .则不等式 的解集
为________.【答案】
【分析】
构造函数 ，利用导数判断出函数 的单调性，再将所求不等
式变形为 ，利用函数 的单调性即可得解.
【详解】
设 ，则 ，
设 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递减；当 时， ，此时函数 单调递增.
所以，函数 在 处取得极小值，也是最小值，即 ，
， ， ，即 ，
所以，函数 在 上为增函数，
函数 为 上的奇函数，则 ，
，则不等式 等价于 ，
又 ，解得 .
因此，不等式 的解集为 .
故答案为： .
96．已知 是定义在 上的偶函数，其导函数为 ．当 时， ，则不等式
的解集是_________．
【答案】【分析】
令 ，则 是 上的偶函数，由 ，知 在 上递减，于是
在 上递增，由 ，得出 ，进而列出不等式求解即可.
【详解】
解：令 ，则 是 上的偶函数，
由 ，知 在 上递减，于是在 上递增．
由 得 ，
即 ，于是有 ，
解得 ．
故答案为： .
97．已知关于 的方程 在 上有且只有一个实数根，则 的取值范围是______.
【答案】 或
【分析】
利用换元法，把方程根的问题转化为两个函数的交点问题，设出函数，求解导数，判断单调性，结合函数
图象可求范围.
【详解】
令 ，则 ,则问题等价于关于t的方程 在 上有且只有一个实数根，
即函数 与函数 在 上有且只有一个交点；
因为 ，所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增,此时函数 在 即 处的切线斜率为 .
在平面直角坐标系内画出函数 的大致图象如图所示,
因为直线 过定点(1,0),
由图可知 的取值范围为 或 时，
函数 与函数 在 上有且只有一个交点.
故答案为： 或 .
98．已知函数 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为___________.
【答案】
【分析】
首先利用导数判断出 ，由此化简不等式 ，分离常数 得到 ，由此
分别利用基本不等式和导数求得 的最小值与 的最大值，由此求得 的取值范围.
【详解】
定义域为 ，
构造函数 ，
，由于 ，令 解得 ，
所以 时， ， 递减，
时， ， 递增，
所以 在 上的极小值也即是最小值为
，
所以 ，
也即当 时， .
所以由 ，
得 ，可得 ，
其中 .
令 ， .可得函数 的增区间为 .减区间为 ，可得
.
即 .
故实数 的取值范围为
故答案为：
99．若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的最大值为__________．
【答案】【分析】
分类讨论， 时不合题意； 时求导，求出函数的单调区间，得到 在 上的最
小值，利用不等式恒成立转化为函数最小值 ，化简得 ，构造 放缩函数对自变量 再研
究，可解,
【详解】
令 ；当 时， ，不合题意；
当 时， ，
令 ，得 或 ，
所以 在区间 和 上单调递减.
因为 ，且 在区间 上单调递增，
所以 在 处取极小值 ，即最小值为 .
若 ， ，则 ，即 .
当 时， ，当 时，则 .
设 ，则 .
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增；在 上单调递减，
所以 ，即 ，所以 的最大值为 .
故答案为：
100．设 为椭圆 在第一象限上的点，则 的最小值为________.【答案】
【分析】
利用椭圆的参数方程，将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题，利用两角和的正弦公式和三
角函数的性质，以及求导数、单调性和极值，即可得到所求最小值．
【详解】
解：设点 ， ，其中 ，
，
由 ， ， ，
可设
，
导数为 ，
由 ，可得
，
可得 或 ，
由
， ，
可得 ，即 ，可得 ，
由 可得函数 递减；由 ，可得函数 递增，
可得 时，函数 取得最小值，且为 ，
则 的最小值为4．故答案为：4．
