文档内容
2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
思维拓展 06 三次函数的图像与性质（精讲+精
练）
一、三次函数概念
定义：形如 叫做三次函敞
，把 叫做三次函数导函数的判别式
当 时，令 ，记两根为
二、三次函数的图像及单调性
注：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个！
系数关系式 的图像 的图像 的性质
恒成立
在 上递增
无极值点
恒成立
在 上递减
无极值
增区间
减区间
有两个极值点
极大值 ，极小值
增区间
减区间
有两个极值点
极大值 ，极小值三、三次函数的零点个数
若三次函数 存在极值时，其图像、零点、极值的关系如下：
三次函数图像
性质 说明
三
个 两个极值异与
图像与 轴有三个交点
零
两
点
有一个极值为0
个
个
图像与 轴有两个交点
数
存在极值时
一
个 不存在极值时，
函数单调，与 轴有一个交点
四、三次函数的韦达定理
设 的三个零点分别为 ，则
(1)
(2)
(3)
(4)
五、三次函数的对称性
结论1 三次函数 的图象关于点 中心对称
结论2 已知三次函数 中心对称点的横坐标为 ，两个极值点分别为
，则
结论3 若 图像关于点 对称，则 图像关于轴 对称
点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数
奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数【典例 1】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 下列结论中正确的是
（ ）
A．若 ，则 是 的极值点
B． ，使得
C．若 是 的极小值点，则 在区间 上单调递减
D．函数 的图象是中心对称图形
【答案】BD
【分析】求出函数的导数，当 时， 有两解，列表表示出导数值的正负以及函数的
单调情况，当 时， ，即可判断A，B，C；证明等式
成立即可判断D.
【详解】A：因为 ，所以 ，
当 时， ，则 在R上单调递增， 不是极值点，故A错
误；
B：由选项A的分析知，函数 的值域为 ，所以 ，使得 ，故B正确；
C：由选项A的分析知，当 时， 在 上单调单调递增，在 上单调递减，
所以若 为 的极小值点时， 在 上先递增再递减，故C错误；
D： ，
而 ，
则 ，
所以点 为 的对称中心，即函数 的图象是中心对称图形，故D正确.
故选：BD．
【典例2】（多选题）（2024·湖北武汉·模拟预测）设函数 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．存在实数 使得 B．方程 有唯一正实数解
C．方程 有唯一负实数解 D． 有负实数解
【答案】ABC
【分析】求导，分析函数 的图象与性质，对个选项逐一验证即可.【详解】因为 ， .
由 ，
设 ，因为函数定义域为 ，且 ， ，
可知方程 一定有实数根，故A正确；
由 或 .
所以函数在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
且 为极大值， 为极小值.
做出函数草图如下：
观察图象可知：方程 有唯一正实数解， 有唯一负实数解，
故BC正确；
又 ，结合函数的单调性，当 时， ，所以 无负实数解.故D错误.
故选：ABC
【题型训练-刷真题】
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）函数 存在3个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】写出 ，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.
【详解】 ，则 ，
若 要存在3个零点，则 要存在极大值和极小值，则 ，
令 ，解得 或 ，且当 时， ，
当 ， ，
故 的极大值为 ，极小值为 ，
若 要存在3个零点，则 ，即 ，解得 ，
故选：B.
二、多选题
2．（2024·全国·高考真题）设函数 ，则（ ）
A． 是 的极小值点 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】ACD
【分析】求出函数 的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数
在 上的值域即可判断C；直接作差可判断D.
【详解】对A，因为函数 的定义域为R，而 ，
易知当 时， ，当 或 时，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故 是函数 的极小
值点，正确；
对B，当 时， ，所以 ，
而由上可知，函数 在 上单调递增，所以 ，错误；
对C，当 时， ，而由上可知，函数 在 上单调递减，
所以 ，即 ，正确；
对D，当 时， ，
所以 ，正确；
故选：ACD.
3．（2024·全国·高考真题）设函数 ，则（ ）
A．当 时， 有三个零点
B．当 时， 是 的极大值点C．存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
【答案】AD
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为 ，根据零点存在定理和极值的符号判断出 在
上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存
在这样的 ，使得 为 的对称轴，则 为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在
这样的 ，使得 为 的对称中心，则 ，据此进行计算判断，亦可利用拐
点结论直接求解.
【详解】A选项， ，由于 ，
故 时 ，故 在 上单调递增，
时， ， 单调递减，
则 在 处取到极大值，在 处取到极小值，
由 ， ，则 ，
根据零点存在定理 在 上有一个零点，
又 ， ，则 ，
则 在 上各有一个零点，于是 时， 有三个零点，A选项正确；
B选项， ， 时， ， 单调递减，
时 ， 单调递增，
此时 在 处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的 ，使得 为 的对称轴，
即存在这样的 使得 ，
即 ，
根据二项式定理，等式右边 展开式含有 的项为 ，
于是等式左右两边 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的 ，使得 为 的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的 ，使得 为 的对称中心，
则 ，事实上，
，
于是
即 ，解得 ，即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
， ， ，
由 ，于是该三次函数的对称中心为 ，
由题意 也是对称中心，故 ，
即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1） 的对称轴为 ；（2） 关于 对称
；（3）任何三次函数 都有对称中心，对称中心是三次函
数的拐点，对称中心的横坐标是 的解，即 是三次函数的对称中心
4．（2022·全国·高考真题）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
【答案】AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合 的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数
的几何意义判断D.
【详解】由题， ，令 得 或 ，
令 得 ，
所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减，所以 是极值点，故A
正确；
因 ， ， ，
所以，函数 在 上有一个零点，
当 时， ，即函数 在 上无零点，
综上所述，函数 有一个零点，故B错误；
令 ，该函数的定义域为 ， ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，
将 的图象向上移动一个单位得到 的图象，所以点 是曲线 的对称中心，故C正确；
令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
5．（2024·全国·高考真题）曲线 与 在 上有两个不同的交点，则 的取值
范围为 ．
【答案】
【分析】将函数转化为方程，令 ，分离参数 ，构造新函数 结
合导数求得 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.
【详解】令 ，即 ，令
则 ，令 得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增， ，
因为曲线 与 在 上有两个不同的交点，
所以等价于 与 有两个交点，所以 .
故答案为：
【题型训练-刷模拟】
一、单选题
1．（2023·广西·模拟预测）设 ，若 为函数 的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用极大值点的定义和三次函数的性质求解即可.
【详解】由三次函数的性质可知，要使 为函数 的极大值点，则：当 时，函数 大致图象如图（1）所示，则 ，此时 ；
当 时，函数 大致图象如图（2）所示，则 ，此时 .
综上： .
故选：C.
2．（2023·辽宁葫芦岛·二模）已知函数 ，则（ ）
A． 有一个极值点
B． 有两个零点
C．点（0，1）是曲线 的对称中心
D．直线 是曲线 的切线
【答案】C
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合 的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数
的几何意义判断D.
【详解】由题， ，令 得 或 ，
令 得 ，
所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减，所以 是极值点，故A
错误；
因 ， ， ，
所以，函数 在 上有一个零点，
当 时， ，即函数 在 上无零点，
综上所述，函数 有一个零点，故B错误；
令 ，该函数的定义域为 ， ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，将 的图象向上移动一个单位得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故C正确；
令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，故D错误.
故选：C.
3．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知函数 ，则以下正确的个数有（ ）
（1） 有两个极值点；（2） 的驻点为 和 ；（3） 有3个零
点；（4）直线 是曲线 的切线.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】根据函数 的解析式，求得 ，从而判断函数的单调性，利用极值点和驻点的定义，可
判断（1）（2），
根据单调性和零点存在性定理可判断（3），求出函数的斜率为 的切线方程可判断（4）.
【详解】对于（1），因为 ，令 ，得 ，
当 ， 或 ，当 时， ，
则 的增区间为 ， ，
的减区间为 ，所以 有两个极值点为 与 ，
故（1）正确；
对于（2），因为 ， ，所以 的驻点为 和
，故（2）正确；
对于（3），因为 的增区间 ， ，
减区间为 ，又因为 ， ， ，所以 有 个零点，故
（3）错误；
对于（4）， ，得 ，又 ，
则曲线 的切线在点 和 的切线方程为 和 ，则直线 不是曲线 的切线，故（4）错误；
所以正确的个数是 个.
故选：C.
4．（23-24高三上·云南·阶段练习）关于函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在 上单调递减
B．当 时，函数 在 上恒成立
C．当 或 时，函数 有2个零点
D．当 时，函数 有3个零点，记为 ，则
【答案】D
【分析】利用导数求出函数单调性可得A错误；画出函数 的图象可求得BC错误，根据零点
个数可求得 ，令 再利用三角函数值域以及倍角公式即可求得D正确.
【详解】对于A，因为函数 ，令 ，则 ；
当 或 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ；此时函数 单调递减，
作出函数 的大致图象如图，故A错；
对于B，由A选项可知，易知 ，
又易知 时，函数 单调递减， 时，函数 单调递增；
当 时，若 ， 不一定成立，例如当 时， ，
所以当 ， 不一定成立，故B错；
对于C，方程 的根即为 与函数 的交点横坐标，
由A可知，函数 在 时取得极大值1，在 时取得极小值 ；
作出函数 的图象如图，当 或 时，函数 有1个零点，故C错；
对于D，函数 有3个零点，则可得 ，且 ；
记 ，
令 ，则 ，所以 ，
于是
，
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将函数 有3个零点 的范围限定在 上，再
利用倍角公式即可得出结论.
5．（23-24高二下·广东广州·期中）已知函数 的导函数 的极值点同时也是
的零点，则（ ）
A．
B． 在R上单调递增
C． 的图象关于点 中心对称
D．过坐标原点只有两条直线与曲线 相切
【答案】BCD
【分析】利用二次导数可求得 的极值点为 ，结合该极值点为 的零点可构造方程求得 的
值；利用 的正负可确定 的单调性；关于点 对称，则需要验证 是否成
立；利用过某一点横坐标 表示切线方程，再由切线方程过原点得到关于 的方程，通过这个方程解的
个数可以判断切线方程的条数.
【详解】由题意知： ，
设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ； 在 上单调递减，在上单调递增；
是 的极小值点，即 是 的极小值点，
由于 的极值点同时也是 的零点，
，解得： ，即选项A错误.
；
即 ，又 在 上不恒为 ，
在 上单调递增，即选项B正确；
又 ，
，
的图象关于点 中心对称，即选项C正确；
又设过坐标原点的直线与曲线 相切于点 ，
， 切线方程为： ，
即切线方程为： ，
代入点 得： ，即 ，
解得： 或 ，
即得到切线方程为 或 ，
过坐标原点有两条不同的直线与 相切，即选项D是正确的.
故选：BCD
二、多选题
6．（23-24高二下·重庆·阶段练习）定义：设 是 的导函数， 是函数 的导数，若方
程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数
都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数 图象的对称中心为
，则下列说法中正确的有（ ）
A． ， B．函数 的极大值与极小值之和为6
C．函数 有三个零点 D．函数 在区间 上的最小值为1
【答案】AB
【分析】根据函数对称中心的定义求出 ， 的值，可判断A的真假；用导数分析函数的单调性，求出极值，可判断B的真假；结合函数极值的符号，判断函数零点的个数，判断C的真假；求函数在区间端点
处的函数值，与极值点的函数值比较，得到函数的最小值，判断D的真假.
【详解】由题意，点 在函数 的图象上，故 ；
又 .
由 ，即 .故A正确；
所以 ，所以 .
由 或 .
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的极大值为 ；极小值为 ，
所以极大值与极小值之和为： ，故B正确；
因为函数的极小值 ，所以三次函数只有一个零点，故C错误；
又 ， ，
所以函数 在 上的最小值为 ，故D错.
故选：AB
7．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知三次函数 有三个不同的零点
，函数 .则（ ）
A．
B．若 成等差数列，则
C．若 恰有两个不同的零点 ，则
D．若 有三个不同的零点 ，则
【答案】ABD
【分析】对于A，由题意可得 有两个不同实根，则由 即可判断；对于B，若 成等差
数列，则 ，从而结合 即可判断；对于C，若 恰有两个零点，
则 或 必为极值点，分类讨论即可判断；对于D，由韦达定理即可判断.
【详解】 ， ， ，对称中心为 ，对A：因为
有三个零点，所以 必有两个极值点，所以 ， ，A正确；
对B，由 成等差数列，及三次函数的中心对称性可知 ，所以 ，
又 ，故 ，所以 ，所以 ，故B正确；
对C： ，即 ，
若 恰有两个零点，则 或 必为极值点；
若 为极值点，则该方程的三个根为 ， ， ，由一元三次方程的韦达定理可知： ；
若 为极值点，同理可得 ，故C错；
对D：由韦达定理 ，
得 ，
即 ，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：判断C选项得关键是得出 或 必为极值点，由此即可顺利得解.
8．（2024·贵州毕节·一模）已知 ，函数 有两个极值点 ，则（ ）
A．
B． 时，函数 的图象在 处的切线方程为
C． 为定值
D． 时，函数 在 上的值域是
【答案】ABC
【分析】选项 ：由函数的导数等于0的方程有两个根可得 ；选项 ：由导函数的几何意义得到切
线的斜率，再由点斜式写出方程即可；选项 ：由函数的极值点互为相反数代入 计算可得；选项
：由导数求出极值，再求出区间端点的值，即可得到函数在闭区间上的值域.
【详解】对于A，由题意，当 时， ，无极值点，
当 时， ，
时， ，函数 单调递减，无极值点，
当 时，令 ，得 ，解得 ，
当 ，解得 或 ， 上单调递增，当 ，解得 ， 上单调递减，
所以 是 的极大值点， 是 的极小值点，
所以当 时，函数有两个极值点，故 正确；
对于B，若 ，则 ，则 ，则 ， ，
所以函数 在 处的切线方程为 ，即 ，故 正确；
对于C，因为 ，
当 时，由 ，得 ，则 ，
所以 为定值，故C正确；
对于D，当 时，则 ，则 ，
令 ，解得 或 ，
所以当 时， ，
， ，
上的值域是 ，故 错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：对含参的问题，要注意对参数的讨论；利用导数求切线方程问题要注意是“在”某处
还是“过”某处；利用导数求函数在闭区间上的最值或值域问题，要注意舍去不在区间内的极值.
9．（23-24高二下·广东梅州·期中）已知 是定义在 上的奇函数，当 时，
，则（ ）
A． 的极大值点为
B．函数 的零点个数为3
C．函数 的零点个数为7
D． 的解集为
【答案】ABC
【分析】利用导函数求出单调区间，根据极值定义和奇偶性可判断A；数形结合判断B、C；赋值方法判
断D
【详解】由题意得 ，
当 时， ，得 ，
令 ，得 ，令 ，得 ；
所以 在 单调递减，在 单调递增，
所以 的极小值点为1，
又是定义在 上的奇函数，所以 的极大值点为 ，故A对；
当 时，则 ，所以 ，
又 是定义在 上的奇函数，所以 ，所以
分别画出 和 的图象，
得函数 的零点个数为3，B对；
令 ，得 或 或 ，
令 ，得 ，或 ，
如图，分别画出 的图象，
由图可知：函数 的零点个数为7， C 对；
令 ，则 ，
故D错；
故选：ABC
【点睛】方法点睛：对于零点个数的求法：一是通过解方程求出零点，二是数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函
数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
