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2.2 二次函数的图象与性质
第 2 课时 二次函数 y=ax2和 y=ax2+c 的图象与性质
1．能画出二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的图象；(重点)
2．掌握二次函数y＝ax2与y＝ax2＋c(a≠0)图象之间的联系；(重点)
3．能灵活运用二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的知识解决简单的问题．(难点)
一、情境导入
在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋2的图象．观察这两个函数图
象，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有哪些相同和不同之处？你能由此说出函数y＝
2x2与y＝2x2＋2的图象之间的关系吗？本节就探讨二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c的图象与性
质．
二、合作探究
探究点一：二次函数y＝ax2的图象与性质
关于二次函数y＝2x2，下列说法中正确的是( )
A．它的开口方向是向下
B．当x<0时，y随x的增大而减小
C．它的对称轴是x＝2
D．当x＝0时，y有最大值是0
解析：∵二次函数y＝2x2中，a＝2＞0，∴此抛物线开口向上，A选项错误；∵抛物线y
＝2x2的对称轴为y轴，当x＜0时，函数图象在对称轴左侧，y随x的增大而减小，B选项
正确，C选项错误；∵抛物线开口向上，∴此函数有最小值，D选项错误．故选B.
方法总结：解答本题的关键是结合图象熟记二次函数y＝ax2的性质．
探究点二：二次函数y＝ax2＋c的图象与性质
【类型一】 二次函数 y ＝ a x 2 ＋ c 的图象与 y ＝ a x 2 的图象的关系
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
解析：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到的．故
选D.
方法总结：熟记二次函数y＝ax2(a≠0)图象平移得到y＝ax2＋c图象的规律：“上加下
减”．
【类型二】 在同一坐标系中判断二次函数和一次函数的图象
在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝ax2＋c的图象大致为(
)解析：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的点(0，c)，∴两个函数图象交于y轴上的
同一点，故B选项错误；当a＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象从左向右
上升，故C选项错误；当a＜0时，二次函数的图象开口向下，一次函数的图象从左向右下
降，故A选项错误，D选项正确．故选D.
方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数
的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．
【类型三】 二次函数 y ＝ a x 2 ＋ c 的图象与三角形的综合
如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S ＝
△PAB
4，求P点的坐标．
解析：令抛物线解析式中y＝0求出x的值，确定出A点与B点的坐标，进而求出线段
AB的长，△ABP可看作是以AB为底，P点的纵坐标的绝对值为高的三角形，根据已知面积
求出高即为P点纵坐标的绝对值，代入解析式求出对应x的值，即可确定出P点坐标．
解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐
标为(2，0)，∴AB＝4.∵S ＝4，设P点纵坐标为b，∴×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－
△PAB
2.当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝±，此时P点坐标为(，2)，(－，2)；当b＝－2时，x2－4
＝－2，解得x＝±，此时P点坐标为(，2)，(－，2)．
综上所述，P点的坐标为(，2)或(－，2)或(，2)或(－，2)．
方法总结：解决本题的关键是会求二次函数与x轴的交点坐标以及掌握坐标系中三角
形面积的求法．
三、板书设计
二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c的图象与性质
1．二次函数y＝ax2的图象与性质
2．二次函数y＝ax2＋c的图象与性质
3．二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c的应用本节课的设计重视学生数学学习的过程，采取数学归纳的方式，使学生有机会回忆亲身体
验，亲历知识的自主建构过程，使学生学会从具体情境中提取概念，并作更深层次的数学
概括与抽象，从而学会数学思考方式．注重创设机会，使学生有机会看到数学的全貌，体
会数学的全过程．整堂课的设计围绕研究函数的图象及性质展开，以问题：“函数的性质
有哪些？”为主线，通过对性质的探讨让学生清楚研究函数的必要性，明确学习目标，又
让学生学会如何应用性质解决问题，体会知识的价值，增强求知欲.
