文档内容
2.2 平方根
第1课时 算术平方根
第一环节：问题情境
方法一：问题导入
内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，
掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限
循环小数，无理数是无限不循环小数．比如上一节课
我们做过的：由两个边长为 1的小正方形，通过剪一
剪，拼一拼，得到一个边长为 的大的正方形，那么有
， ＝ ，2是有理数，而 是无理数．在前
面我们学过若 ，则 叫 的平方，反过来 叫 的
什么呢？本节课我们一起来学习．
方法二：问题导入
内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结
合图形完成填空：
， ， ，
．
目的：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算
术平方根的必要性．
效果：能表示 ， ， ， ；能求得 ，但不能求得 ， ， 的
值．
说明：方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前
启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明
学习这节课的必要性．相对而言，建议选用方法二．
第二环节：初步探究
第 1 页 共 6 页内容1：情境引出新概念
， ， ， ，已知幂和指数，求底数 ，你能求出来吗？
目的：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性．
效果：学生可以估算出 ， 是1到2之间的数， 是2到3之间的数，但无法
表示 ， ， ，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算——开方．
说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习的
兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数 ，你能求出来吗？”
内容2：在上面思考的基础上，明晰概念：
一般地，如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么这个正数 就叫做 的算
术平方根，记为“ ”，读作“根号 ”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，
即 ．
目的：对算术平方根概念的认识．
效果：了解算术平方根的概念，知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆
的．
内容3：简单运用 巩固概念
例1 求下列各数的算术平方根：
(1) 900； (2) 1； (3) ； (4) 14．
目的：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算
术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算
术平方根只能用根号表示，如14的算术平方根是 ．
效果：会求一个正数的算术平方根，更进一步了解算术平方根的性质：一个正
数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．
答案：解：(1)因为 ，所以900的算术平方根是30，即 ；
(2)因为 ，所以1的算术平方根是1，即 ；
(3)因为 ，所以 的算术平方根是 ， 即 ；
(4)14的算术平方根是 ．
第 2 页 共 6 页内容4：回解课堂引入问题
， ， ，那么 ， ， ．
第三环节：深入探究
内容1：例2 自由下落物体的高度 (米)与下落时间 (秒)
的关系为 ．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，
到达地面需要多长时间？
目的：用算术平方根的知识解决实际问题．
效果：学生多能利用等式的性质将 进行变形，再用
求算术平方根的方法求得题目的解．
解：将 代入公式 ，得 ，所以正数
(秒)．
即铁球到达地面需要2秒．
说明：强调实际问题 是正数，用的是算术平方根，此题是为得出下面的结论
作铺垫的．
内容2：观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点．
目的：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义： 中的 是一个非负数，
的算术平方根 也是一个非负数，负数没有算术平方根．这也是算术平方根的
性质——双重非负性．
效果：再一次深入地认识算术平方根的概念，明确只有非负数才有算术平方
根．
第四环节：反馈练习
一、填空题：
1．若一个数的算术平方根是 ，那么这个数是 ；
2． 的算术平方根是 ；
第 3 页 共 6 页3． 的算术平方根是 ；
4．若 ，则 ．
二、求下列各数的算术平方根：
36， ，15，0.64， ， ， ．
三、如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一
根绳子AC固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固
定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米，则帐篷
支撑竿的高是多少米？
答案：一、1．7；2． ；3． ；4．16；二、6； ；
；0.8； ； ；1．
三、解：由题意得 AC＝5.5米，BC＝4.5米，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，由
勾股定理得 (米)．所以帐篷支撑竿的高是
米．
目的：旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生
情况调整教学进程.
效果：练习注意了问题的梯度性，由浅入深，一步步加深对算术平方根的概念
以及性质的认识.对学生的回答，教师要给予评价和点评．
第五环节：学习小结
内容：这节课学习的算术平方根是本章的基本概念，是为以后的学习做铺垫
的．通过这节课的学习，我们要掌握以下的内容：
(1)算术平方根的概念，式子 中的双重非负性：一是a≥0，二是 ≥0．
(2)算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根
是0；负数没有算术平方根．
(3)求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆
第 4 页 共 6 页运算关系求非负数的算术平方根．
目的：依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点，强化算
术平方根的概念和性质．
第六环节：作业布置
习题2.3
四、教学设计反思
1．细讲概念、强化训练
要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化
的过程．概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，
保持本质属性而形成的．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教
学，对提高学生的思维水平是很有必要的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加
强训练，逐步深化．
“讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征．算术平方根
的本质特征就是定义中指出的：“如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么这
个正数 就叫做 的算术平方根，”的“正数 ”，即被开方数是正的，由平方的意
义， 也是正数，因此算术平方根也必须是正的．当然零的算术平方根是零.
“加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练，使练习题达到一定的
质和量，也包括书写格式的训练，如在求正数的算术平方根时，不是直接写出算
术平方根，而是通过平方运算来求算术平方根，非平方数的算术平方根只能用根
号来表示.
“逐步深化”是指利用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”
组成题组，在教学的不同阶段按由浅入深的原则加以使用.
2．发展思维、适度拓展
在教学中，根据学生的实际情况，在学有余力的情况下，可以对 的双重非
负性的知识进行适当的拓展.
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