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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
思维拓展 07 新高考压轴题中函数的新定义问题
（精讲+精练）
①定义新性质
②定义新概念
③定义新运算
一、必备知识整合
一、新定义问题
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决
问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本
质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是
制胜法宝.
二、新定义问题的方法和技巧
1.可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
2.可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
3.发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
4.如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书
上的概念.
二、考点分类精讲
【典例1】（2024·福建泉州·模拟预测）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线
年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为 ，其中 为参数．当 时，该表达式就是双曲
余弦函数，记为 ，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数： ；②二倍角公式： ；③平方关系：
．定义双曲正弦函数为 ．
(1)写出 ， 具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；
(2)任意 ，恒有 成立，求实数 的取值范围；
(3)正项数列 满足 ， ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的
值；若不存在，请说明理由．
【典例2】（2024·山东滨州·二模）定义：函数 满足对于任意不同的 ，都有
，则称 为 上的“ 类函数”．
(1)若 ，判断 是否为 上的“2类函数”；
(2)若 为 上的“3类函数”，求实数a的取值范围；
(3)若 为 上的“2类函数”，且 ，证明： ， ， ．
【典例3】（23-24高三下·浙江·开学考试）置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合
的函数称为 次置换.满足对任意 的置换称作恒等置换.所有 次置换组成
的集合记作 .对于 ，我们可用列表法表示此置换： ，记
.
(1)若 ，计算 ；
(2)证明：对任意 ，存在 ，使得 为恒等置换；
(3)对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张
变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，......，依次类推.这样操作最少重复几次就能恢复原
来的牌型？请说明理由.【题型训练-刷模拟】
①定义新性质
一、解答题
1．（2024·浙江绍兴·三模）若函数 在区间 上有定义，且 ， ，则称 是 的一个
“封闭区间”．
(1)已知函数 ，区间 且 的一个“封闭区间”，求 的取值集合；
(2)已知函数 ，设集合 ．
（i）求集合 中元素的个数；
（ii）用 表示区间 的长度，设 为集合 中的最大元素．证明：存在唯一长度为 的闭区
间 ，使得 是 的一个“封闭区间”．
2．（2024·上海普陀·二模）对于函数 ， 和 ， ，设 ，若 ，
，且 ，皆有 成立，则称函数 与 “具有
性质 ”.
(1)判断函数 ， 与 是否“具有性质 ”，并说明理由；
(2)若函数 ， 与 “具有性质 ”，求 的取值范围；
(3)若函数 与 “具有性质 ”，且函数 在区间 上存在两个零
点 ， ，求证 .
3．（2024·上海·模拟预测）已知 为实数集 的非空子集，若存在函数 且满足如下条件：①
定义域为 时，值域为 ；②对任意 ， ，均有 . 则称 是集
合 到集合 的一个“完美对应”.
(1)用初等函数构造区间 到区间 的一个完美对应 ；
(2)求证：整数集 到有理数集 之间不存在完美对应；
(3)若 ， ，且 是某区间 到区间 的一个完美对应，求 的取值范围.
4．（2024·上海黄浦·二模）若函数 的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数
的图象的“自公切线”，称这两点为函数 的图象的一对“同切点”.(1)分别判断函数 与 的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；
(2)若 ，求证：函数 有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；
(3)设 ， 的零点为 ， ，求证：“存在 ，使得点
与 是函数 的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“ 是数列 中的项”.
5．（2024·浙江绍兴·三模）若函数 有且仅有一个极值点 ，函数 有且仅有一个极值点 ，且
，则称 与 具有性质 ．
(1)函数 与 是否具有性质 ？并说明理由．
(2)已知函数 与 具有性质 ．
（i）求 的取值范围；
（ii）证明： ．
②定义新概念
一、解答题
1．（2024·江西·二模）随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数
据加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传输
敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，
q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与
n互素的正整数的个数，记为 .
(1)试求 ， 的值；
(2)设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示 （ ），并探究 与 和 的关系；
(3)设数列 的通项公式为 （ ），求该数列的前m项的和 .
2．（2024·安徽合肥·三模）把满足任意 总有 的函数称为和弦型函
数.
(1)已知 为和弦型函数且 ，求 的值；
(2)在（1）的条件下，定义数列： ，求 的值；(3)若 为和弦型函数且对任意非零实数 ，总有 ．设有理数 满足 ，判断 与
的大小关系，并给出证明．
3．（2024·黑龙江·三模）若函数 满足：对任意的实数 ，有 恒成
立，则称函数 为“ 增函数”.
(1)求证：函数 不是“ 增函数”；
(2)若函数 是“ 增函数”，求实数 的取值范围；
(3)设 ，若曲线 在 处的切线方程为 ，求 的值，并证明函数
是“ 增函数”.
4．（2024·河北唐山·二模）数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者
局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：1．证明当 （ ）时命题成立；2．假设
（ ，且 ）时命题成立，推导出在 时命题也成立．用模取余运算： 表示
“整数 除以整数 ，所得余数为整数 ”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即
，整数 是商．如 ，则 ；再如 ，则 ．当
时，则称 整除 ．现从序号分别为 ， ， ， ，…， 的 个人中选出一名幸运者，为了增加趣
味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到 （ ）时，此人退
出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为 ．如
表示当只有1个人时幸运者就是 ； 表示当有6个人而 时幸运者是 ； 表示当
有6个人而 时幸运者是 ．
(1)求 ；
(2)当 时， ，求 ；当 时，解释上述递推关系式的实际
意义；
(3)由（2）推测当 （ ）时， 的结果，并用数学归纳法证明．
5．（2024·河北沧州·模拟预测）对于函数 和 ，设 ，若存在
使得 ，则称 和 互为“零点相邻函数”.设 ， ，
且 和 互为“零点相邻函数”.
(1)求 的取值范围；
(2)令 （ 为 的导函数），分析 与 是否互为“零点相邻函数”；(3)若 ，证明： .
③定义新运算
一、解答题
1．（2024·湖北·一模）我们知道通过牛顿莱布尼兹公式，可以求曲线梯形（如图1所示阴影部分）的面积
，其中 ， ．如果平面图形由两条曲线围成
（如图2所示阴影部分），曲线 可以表示为 ，曲线 可以表示为 ，那么阴影区域的
面积 ，其中 ．
(1)如图，连续函数 在区间 与 的图形分别为直径为1的上、下半圆周，在区间
与 的图形分别为直径为2的下、上半圆周，设 ．求 的值；
(2)在曲线 上某一个点处作切线，便之与曲线和x轴所围成的面积为 ，求切线方程；
(3)正项数列 是以公差为d（d为常数， ）的等差数列， ，两条抛物线 ，记它们交点的横坐标的绝对值为 ，两条抛物线围成的封闭图形的面积为 ，求
证： ．
2．（22-23高三下·上海闵行·阶段练习）设函数 ，其中a为常数．对于给定的一组
有序实数 ，若对任意 、 ，都有 ，则称 为 的
“和谐数组”．
(1)若 ，判断数组 是否为 的“和谐数组”，并说明理由；
(2)若 ，求函数 的极值点；
(3)证明：若 为 的“和谐数组”，则对任意 ，都有 ．
3．（2024·江西吉安·模拟预测）初中学过多项式的基本运算法则，其实多项式与方程的根也有密切关联.对
一组变量 ，幂和对称多项式 ，且 ；初等对称
多项式 表示在 中选出 个变量进行相乘再相加，且 .例
如：对 .已知三次函数
有3个零点 ，且 .记 ， .
(1)证明： ；
(2)（i）证明： ；
（ii）证明： ，且 ；
(3)若 ，求 .
4．（2024·甘肃兰州·一模）定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 ， ，
那么称 为A，B两点间的曼哈顿距离．
(1)已知点 ， 分别在直线 ， 上，点 与点 ， 的曼哈顿距离分别为
， ，求 和 的最小值；
(2)已知点N是直线 上的动点，点 与点N的曼哈顿距离 的最小值
记为 ，求 的最大值；
(3)已知点 ，点 （k，m， ，e是自然对数的底），当 时， 的最大值为，求 的最小值．
