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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
思维拓展 06 三次函数的图像与性质（精讲+精
练）
一、三次函数概念
定义：形如 叫做三次函敞
，把 叫做三次函数导函数的判别式
当 时，令 ，记两根为
二、三次函数的图像及单调性
注：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个！
系数关系式 的图像 的图像 的性质
恒成立
在 上递增
无极值点
恒成立
在 上递减
无极值
增区间
减区间
有两个极值点
极大值 ，极小值
增区间
减区间
有两个极值点
极大值 ，极小值三、三次函数的零点个数
若三次函数 存在极值时，其图像、零点、极值的关系如下：
三次函数图像
性质 说明
三
个 两个极值异与
图像与 轴有三个交点
零
两
点
有一个极值为0
个
个
图像与 轴有两个交点
数
存在极值时
一
个 不存在极值时，
函数单调，与 轴有一个交点
四、三次函数的韦达定理
设 的三个零点分别为 ，则
(1)
(2)
(3)
(4)
五、三次函数的对称性
结论1 三次函数 的图象关于点 中心对称
结论2 已知三次函数 中心对称点的横坐标为 ，两个极值点分别为
，则
结论3 若 图像关于点 对称，则 图像关于轴 对称
点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数
奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数【典例1】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 下列结论中正确的是
（ ）
A．若 ，则 是 的极值点
B． ，使得
C．若 是 的极小值点，则 在区间 上单调递减
D．函数 的图象是中心对称图形
【典例2】（多选题）（2024·湖北武汉·模拟预测）设函数 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．存在实数 使得 B．方程 有唯一正实数解
C．方程 有唯一负实数解 D． 有负实数解
【题型训练-刷真题】
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）函数 存在3个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·全国·高考真题）设函数 ，则（ ）
A． 是 的极小值点 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
3．（2024·全国·高考真题）设函数 ，则（ ）
A．当 时， 有三个零点
B．当 时， 是 的极大值点
C．存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
4．（2022·全国·高考真题）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线三、填空题
5．（2024·全国·高考真题）曲线 与 在 上有两个不同的交点，则 的取值
范围为 ．
【题型训练-刷模拟】
一、单选题
1．（2023·广西·模拟预测）设 ，若 为函数 的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·辽宁葫芦岛·二模）已知函数 ，则（ ）
A． 有一个极值点
B． 有两个零点
C．点（0，1）是曲线 的对称中心
D．直线 是曲线 的切线
3．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知函数 ，则以下正确的个数有（ ）
（1） 有两个极值点；（2） 的驻点为 和 ；（3） 有3个零
点；（4）直线 是曲线 的切线.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（23-24高三上·云南·阶段练习）关于函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在 上单调递减
B．当 时，函数 在 上恒成立
C．当 或 时，函数 有2个零点
D．当 时，函数 有3个零点，记为 ，则
5．（23-24高二下·广东广州·期中）已知函数 的导函数 的极值点同时也是
的零点，则（ ）
A．
B． 在R上单调递增
C． 的图象关于点 中心对称
D．过坐标原点只有两条直线与曲线 相切
二、多选题
6．（23-24高二下·重庆·阶段练习）定义：设 是 的导函数， 是函数 的导数，若方
程有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都
有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数 图象的对称中心为
，则下列说法中正确的有（ ）
A． ， B．函数 的极大值与极小值之和为6
C．函数 有三个零点 D．函数 在区间 上的最小值为1
7．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知三次函数 有三个不同的零点
，函数 .则（ ）
A．
B．若 成等差数列，则
C．若 恰有两个不同的零点 ，则
D．若 有三个不同的零点 ，则
8．（2024·贵州毕节·一模）已知 ，函数 有两个极值点 ，则（ ）
A．
B． 时，函数 的图象在 处的切线方程为
C． 为定值
D． 时，函数 在 上的值域是
9．（23-24高二下·广东梅州·期中）已知 是定义在 上的奇函数，当 时，
，则（ ）
A． 的极大值点为
B．函数 的零点个数为3
C．函数 的零点个数为7
D． 的解集为
