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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
思维拓展 05 嵌套函数的零点问题（精讲+精练）
一、嵌套函数形式：形如
二、解决嵌套函数零点个数的一般步骤
(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．
(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．
注：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．
【典例1】（单选题）（23-24高二下·云南·阶段练习）设 ，函数 ，若函数
恰有3个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令 ，先考虑 时，函数 在 上有2个零点，再考虑 ，分
与 两种情况，结合函数图象，得到不等式，求出答案.
【详解】设 ，当 时， ，此时 ，
由 得 ，即 ，解得 或 ，
所以 在 上有2个零点，
时，若 ，对称轴为 ，
函数 的大致图象如下：
此时 ，即 ，则 ，
所以 无解，则 无零点， 无零点，综上，此时 只有两个零点，不符合题意，
若 ，此时 的大致图象如下：
令 ，解得 ，
显然令 在 上存在唯一负解，
要使 恰有3个零点，
只需 在 上除 或 外不能再有其他解，
即 不能再有除 或 外的其他解，
故 ，即 ，解得 ，
所以 .
故选：D
【点睛】思路点睛：复合函数零点个数问题处理思路： 利用换元思想，设出内层函数； 分别作出内
层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围； 内外层函数相结合确定函数交点个
① ②
数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.
③
【题型训练-刷模拟】
一、单选题
1．（2024·辽宁·一模）已知函数 ，若关于 的方程 有五个不等的实
数解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先判断函数在各段的单调性，即可得到 的大致图象，令 ，则 化为
，分 、 、 、 、 、 六种情况讨论，结合函数图象即可得
解.
【详解】由 ，
当 时 ，函数在 上单调递减，且 ， ，当 时 ，当 时 ，则 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
可得 的大致图象如下所示：
令 ，则 化为 ，
当 时 无解，则 无解；
当 时 ，解得 ，由图可知 有两解，即 有两解；
当 时 有一解且 ，又 有一个解，即 有一解；
当 时 有两个解，即 、 ，
又 有一个解， 有两个解，所以 共有三个解；
当 时 有三个解，即 ， ， ，
无解， 有三个解， 有两个解，
所以 共有五个解；
当 时 有两个解，即 ， ，
有三个解， 有两个解，
所以 共有五个解；
综上可得 的取值范围是 .
故选：C
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是数形结合，另外分类讨论需做到不重不漏.
2．（22-23高一上·上海·期末）已知 ，则方程 的实数根
个数不可能为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】A【分析】作出 的图象，令 ，由对勾函数的性质作出 的图象，再对 分类讨论，
将问题转化为关于 的方程 （具体到每种类型时 为常数）的解的个数问题.
【详解】因为 ，
当 时 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ， ，
当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 ， ， ， ， ，
作出 的图象，如图所示：
令 ，由对勾函数的性质可知 在 ， 上单调递减，
在 ， 上单调递增，且 ， ，则 的图象如下所示：
当 时，令 或 ，
①
则关于 的方程 有两个实数解，关于 的方程 的方程也有两个实数解，
即此时对应 的个数为 ，（以下处理方法类似）；
当 时，令 或 或 ，此时对应 的个数为6；
②当 时，
③
令 或 或 或 ，
此时对应 的个数为 ；
当 时， 或 或 或 ，此时对应 的个数为 ；
④
当 时， 或 或 ，此时对应 的
个数为 ；
⑤
当 时， 或 ，此时对应 的个数为3；
⑥
当 时， ，此时对应 的个数为2.
综上可知，实数根个数不可能为5个.
⑦
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键是作出 的图象，再对 分类讨论，将问题转化为关于 的方程
（具体到每种类型时 为常数）的根的问题.
3．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数 ，若函数 与函数
的零点相同，则 的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设函数 的零点为 ，由 可得出 ，可求出 的值，可得出
，进而可得出 ，由此可知，方程 无解或
方程 与方程 的解相同，可得出 或 ，可求得 的取值范围，进而可得
出 的取值范围.
【详解】设 的零点为 ，则 ，
又 ，故 ，即 ，解得 ，
所以， ，
所以，
因为函数 与函数 的零点相同，
所以方程 无解或方程 与方程 的解相同，
若方程 无解，则 ，解得 ，
若方程 与方程 的解相同，等式 与等式 作差可得 .
综上所述， ，则 ，所以 ，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查依据方程的根求参数的取值范围，解题的关键在于利用函数的零点的定义
得出 ，求出 的值，进而化简函数 的解析式，结合二次函数的零点问题求解.
4．（23-24高一上·湖南永州·期末）已知函数 ，若方程 有5个不
同的实数解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分段函数解析式，结合指对数函数性质画出函数大致图象，令 并讨论 判断对应方
程根的个数，再由 有5个不同的实数解，讨论 范围，结合对应 的分布确定根的个数，即可得
范围.
【详解】由解析式得函数大致图象如下，由 ，令 ，可得 或
，
令 ，当 或 时有1个解；当 或 时有2个解；
当 时有3个解；当 时无解；
要使 有5个不同的实数解，
若 ，则 ，此时方程有1解；
若 ，则 有2个解， 有1解，此时方程共有3个解；
若 ，则 有1个解， 有3解， 有1解，此时方程共有5个解；
若 ，则 有1个解， 有3解， 有2解，
此时方程共有6个解；
若 ，则 有1个解， 有3解， 有3解，
此时方程共有7个解；
若 ，则 有3个解， 有3个解，此时方程共有6个解；
若 ，则 有3个解，此时方程共有3个解；
若 ，没有对应 ，此时方程无解；
综上， .
故选：B
【点睛】关键点点睛：根据函数图象研究 对应根的个数，再数形结合讨论 范围研究根的
个数.
5．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数 ，则方程
（ 为正实数）的实数根最多有（ ）个
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】借助导函数以及二次函数性质分别作出 和 的图象，再利用换元思想和分类讨论法并结
合图象求解即可.
【详解】函数 的定义域为R，求导得 ，
当 时， , 单调递增；当 时， , 单调递减；
当 时， , 单调递增， ， ，
函数 的图象如下：方程 ，令 ，则 ，
由已知条件可作 的图象如下：
由 的图象知，
当 时，方程 有两个根 、 ，且 ， ，
①由 的图象知，当 时， 有1个根，当 时， 有3个根，
此时方程 有4个根；
当 时，方程 有两个根 、 ，且 ， ，
②
由 的图象知，当 时， 有2个根，当 时， 有3个根，
此时方程 有5个根；
当 时，方程 有两个根 、 ，且 ， ，
③
由 的图象知，当 时， 有3个根，当 时， 有3个根，
此时方程 有6个根；
当 时，方程 只有1个根 ，且 ，由 的图象知，当 时， 有2个
根，
④
此时方程 有2个根；
当 时，方程 只有1个根 ，且 ，由 的图象知，当 时， 有1个
根，
⑤
此时方程 有1个根；
所以方程 的实根最多有6个根.
故选：C
【点睛】思路点睛：研究方程根的情况，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，借助数形
结合思想分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.
二、多选题6．（23-24高三上·山东潍坊·阶段练习）已知函数 ， ，且 ，
则关于x的方程 实根个数的判断正确的是（ ）
A．当 时，方程 没有相异实根
B．当 或 时，方程 有1个相异实根
C．当 时，方程 有2个相异实根
D．当 或 或 时，方程 有4个相异实根
【答案】AB
【分析】先由题中条件，得到 ；根据导数的方法，判定函数 在 时的单调性，求函数值域，
再由 得出 或 ；再根据函数零点个数的判定方法，逐项判定，即可得出
结果.
【详解】由 得 ，则 ；
所以 ，故 ，
当 时， ，则 ，
由 得 ；由 得 ；
则 ，又 ， 时， ；
即 时， ；
当 时， ；
由 解得 或 ；
作出 的图象如图所示：
A选项，当 时， 与 都无解，故没有相应实根；故A正确；
B选项，当 或 时，方程 有1个相应实根，即 只要一个根，
则
只需 或 ，解得 或 ；故B正确；
C选项，当 时， 有三个根， 有一个根，所以方程 有4个相
异实根；故C错；D选项， 时，方程 有两个解； 有一个解，共三个解；
当 时，方程 有两个解； 有一个解，共三个解；
当 时，方程 无解；方程 有三个解，共三个解；故D错.
故选：AB.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是首先求出分段函数在各自区间的 范围，再化简解得 或
，最后再对各选项分析即可.
三、填空题
7．（2024·河南新乡·二模）已知函数 ， ，若关于 的方程
有6个解，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】令 ，根据 的图象可知， 等于常数的解最多只有3个，根据 图象性质可
知， 等于常数的解最多只有2个，若 有6个解，需要 有3个解， 有2
个解，根据 图象先求出 ，再得出 和 中最小解之间的等式关系，而后结合 的
值域即可建立关于 的不等式，最后构造关于 的函数，求导求单调性即可解不等式，进而得出结果.
【详解】令 ，由函数 的图象可知，方程 ( 为常数)最多有3个解，
在 上单调递增，
当 时， ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 处取得极大值，即极大值为 ，如下图：故结合图象可得 ，且方程 的三个解中最小的解为 .
又 ，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 最小值为 ，即当 时， 有2个零点，
所以使关于 的方程 有6个解，则 ，
，即 ，令 ，
易知 在 上单调递增，又 ，所以 的解集为 ，
综上所述， 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：本题考查复合函数零点个数问题，此类题目一般做法为：
（1）先根据解析式画出两个函数图象；
（2）令复合函数内函数为；
（3）结合函数图象及零点个数，分析外函数根的个数以及自变量对应的取值范围；
（4）再确定内函数根个数及对应参数取值范围；
（5）解出参数范围即可.
8．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数 ，若函数 恰
有两个零点，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令 ，可得 ，将问题转化为 与 、以及 的交点问题，
结合图象分析求解.
【详解】作出 的图象，如图所示，可知 的值域为 ，
令 ，可得 ，令 ，则 ，
若 ，可得 ，即 ，
令 ，解得 或 ，
检验可知 不合题意，所以 ；
若 ，可得 ，即 ，
若 ，解得 ；
令 ，解得 ；
由图可知：
1.若 ， 与 没有交点，
即方程 无根，不合题意；
2.若 ，可知 与 有1个交点，设交点横坐标为 ，
即方程 的根为 ，
可知方程 有2个根，符合题意；
3.若 ，可知 与 有2个交点，设交点横坐标为 ，
即方程 的根为 ，且 至少有一个值小于 ，
可知方程 和 至少有3个根，不合题意；
4.若 ，可知 与 有1个交点，设交点横坐标为 ，
即方程 的根为 ，
可知方程 有2个根，符合题意；
5.若 ，可知 与 有2个交点，设交点横坐标为 ，即方程 的根为 ，
可知方程 和 有4个根，不合题意；
6.若 ，可知 与 有3个交点，设交点横坐标为 ，
即方程 的根为 ，
可知方程 和 和 至少有3个根，不合题意；
综上所述：实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】易错点睛：利用数形结合求方程解应注意两点
1.讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方
程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解；
2.正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形
结合．
9．（23-24高一上·吉林白山·期末）设 ， ，若 在
上是增函数且 在R上至少有3个零点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据给定单调区间及单调性，可得 ，再探讨函数 的最小值，并由 所在范围求
出 的根即可推理得解.
【详解】由 在 上是增函数，得 ，解得 ，
显然 ， ，且当 时， ，
令 ，由 ，得 ，解得 或 ，而 ，
由于 在R上至少有3个零点，只需 ，又 ，解得 ；
当 时， ，符合题意，因此 ．
所以a的取值范围是 .故答案为：
【点睛】方法点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意
上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．
