文档内容
第 03 讲 导数与函数的极值、最值
(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：函数图象与极值（点）的关系
高频考点二：求已知函数的极值（点）
高频考点三：根据函数的极值（点）求参数
高频考点四：求函数的最值（不含参）
高频考点五：求函数的最值（含参）
高频考点六：根据函数的最值求参数
高频考点七：函数的单调性、极值、最值的综合应用
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 03 讲 导数与函数的极值、最值（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、函数的极值一般地，对于函数 ，
（1）若在点 处有 ，且在点 附近的左侧有 ，右侧有 ，则称
为 的极小值点， 叫做函数 的极小值.
（2）若在点 处有 ，且在点 附近的左侧有 ，右侧有 ，则称
为 的极大值点， 叫做函数 的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
2、函数的最大（小）值
一般地，如果在区间 上函数 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小
值.
设函数 在 上连续，在 内可导，求 在 上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求 在 内的极值；
（2）将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的
一个是最小值.
3、函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间 的整体而言；
（2）在函数的定义区间 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个
（或者没有）；
（3）函数 的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2021·全国·高二课前预习）函数 在区间 上连续，则 在区间 上一定有最值，但不
一定有极值. ( )
【答案】正确
2．（2021·全国·高二课前预习）函数的最大值不一定是函数的极大值.( )
【答案】正确
3．（2021·全国·高二课前预习）函数的极大值一定大于极小值. ( )
【答案】错误4．（2021·全国·高二课前预习）有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值. ( )
【答案】错误
二、单选题
1．（2022·广东·高州市长坡中学高二阶段练习）函数 在闭区间 上的最大值、最小值
分别是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
，令 得： 或 ，令 得： ，故 在
处取得极大值，在 处取得极小值，且 ， ， ，
所以函数 在闭区间 上的最大值、最小值分别是3，-17.
故选：C
2．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二期末）函数y＝ 的最大值为（ ）
A．e－1 B．e C．e2 D．10
【答案】A
令 当 时， ；当 时 ，
所以函数得极大值为 ，因为在定义域内只有一个极值，所以
故选：A.
3．（2022·河北邢台·高二阶段练习）已知函数 的导函数的图象如图所示，则 极值点的个数为
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
对于处处可导的函数，函数的极值点要满足两个条件，一个是该点的导数为0，另一个是该点左、右的导
数值异号，
由图象可知，导函数与 轴有5个交点，因为在0附近的左侧 ，右侧 ，所以0不是
极值点．
其余四个点的左、右的导数值异号，所以是极值点，故 极值点的个数是4.
故选：A.
4．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二阶段练习）若函数 在 处取得极值，
则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
解：因为函数 在 处取得极值， ，
所以 ，解得 ，
检验当 时，函数 在 处取得极大值，
所以 .
故选：A.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：函数图象与极值（点）的关系
1．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二开学考试）已知函数 的导函数 的图像如图所示，
则下列结论正确的是（ ）
A．当 时，函数 取得极小值
B．函数 在区间 上是单调递增的
C．当 时，函数 取得极大值
D．函数 在区间 上是单调递增的
【答案】A
由图像可知，
时， ，所以 单调递减，故B错误；
时， ，所以 单调递增，所以当 时，函数 取得极小值，故A正确；
当 时，函数 取得极大值，不是 的极值，故C错误；
导函数 在区间 上存在 使得 ，
所以函数 在区间 上是先减后增，故D错误；
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）设函数 的导函数为 ，函数 的图像如图所示，则
（ ）
A． 的极大值为 ，极小值为
B． 的极大值为 ，极小值为
C． 的极大值为 ，极小值为
D． 的极大值为 ，极小值为
【答案】D
当 时， ，∴ ， 单调递减；
同理可得，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
∴ 的极大值是 ， 的极小值是 .
故选：D.
3．（2022·宁夏·银川二中高二期末（文））已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列结论正
确的是（ ）.
A．函数 在 上是增函数
B．
C．
D． 是函数 的极小值点【答案】B
解：根据函数 的导函数 的图象，
可得 或 时， ，当 或 时， ，
所以函数 在 和 上递减，在 和 上递增，
故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
是函数 的极大值点，故D错误.
故选：B.
4．（2022·全国·高二）如图是函数 的大致图象，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由图示可知： 经过（0,0）、（1,0）、（2,0），
所以有： ，即 ，解得： ，
所以 ， .
由图示可知 是 的极值点，所以 是 的两根.
所以 .
故选：C.
高频考点二：求已知函数的极值（点）
1．（2022·山东师范大学附中高二阶段练习）函数 ， 有（ ）A．极大值25，极小值 B．极大值25，极小值
C．极大值25，无极小值 D．极小值 ，无极大值
【答案】D
由 ，得 ，
令 ，则 ，解得 或 （舍去），
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以当 时， 取得极小值，无极大值，
极小值为 ，
故选：D
2．（2022·江苏·海门中学高二期末）已知函数 在 处取得极值，则 的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因为 ，所以 ，依题意可得 ，即
，解得 ，所以 定义域为 ，且 ，令
，解得 或 ，令 解得 ，即 在 和 上单调递增，在
上单调递减，即在 处取得极大值，在 处取得极小值，所以
；
故选：B
3．（2022·全国·高二）已知函数 ，则 在定义域上（ ）
A．有极小值 B．有极大值 C．有最大值 D．无最小值
【答案】A
解：因为 定义域为 ，所以 ，令 ，即 ，解得 ，即
在 上单调递增，令 ，即 ，解得 ，即 在 上单调递减，
所以 时函数取得极小值即最小值，所以 ，故有极小值
，最小值 ，无极大值与最大值；
故选：A4．（2022·全国·高二）函数 的极大值与极小值之和为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
根据题意 ，今 ，∴ 或1，当 或 时， ，当 时，
，
所以 ， ，所以极大值与极小值之和为 .
极小值 极大值
故选：D．
5．（2022·全国·高二课时练习）若 是函数 的极值点，则函数 （ ）
A．有极小值1 B．有极大值1 C．有极小值-1 D．有极大值-1
【答案】A
因为x =1是函数 的极值点，所以 ， ，解得 ，
所以 ， ，
所以 时， ，函数 单调递增， 时， ，函数 单调递减，所以函数 有
极小值 ，
故选：A．
高频考点三：根据函数的极值（点）求参数
1．（2022·河南新乡·二模（文））已知 ，函数 的极小值为 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
，则 在 和 上单调递减，在 上单调递增，所以
，则 ，则 ．
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 在 处取得极值，则 的
最小值为___________.
【答案】3
，因为 在 处取得极值，所以 ，即 ，所以 .所以 ，当且仅当 时取等号.把
， 代入 检验得， 是 的极值点，故 的最小值为3.
故答案为：3.
3．（2022·全国·高三专题练习）若函数 不存在极值点，则 的取值范围是______．
【答案】
∵ ，∴ ，
若 ，则 恒成立， 在 上为增函数，满足条件；
若 ，则 时，即 时， 恒成立， 在 上为增函数，满足条件；
综上可得 ，即 ．
故答案为： .
4．（2022·江西南昌·高二期末（文））已知函数 在 处有极值2，则 ______.
【答案】6
解： ，
因为函数 在 处有极值2，
所以 ，即 ，解得 ，
则 ，
故当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 处有极大值，
所以 ，
所以 .
故答案为：6.
5．（2022·全国·高二课时练习）函数 在x＝1处有极值为10，则b的值为
__.
【答案】， ，
依题意可知 ，即 ，
解得 或 .
当 时， ，
在区间 递减；在区间 递增，
所以 是 的极小值，符合题意.
当 时， ， 在 上递增，没有极值.
所以 .
故答案为：
6．（2022·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（文））若函数 在区间 上有两个
极值点，则实数a的取值范围是______．
【答案】
由题意，函数 ，可得 ，
因为函数 在区间 上有两个极值点，
即 在 上有两个不等的实数根，
即 在 上有两个不等的实数根，
即函数 和 的图象有两个交点，
又由 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 ，且当 时， ，当 时， ，
所以 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .故答案为： .
7．（2022·宁夏·平罗中学高二期末（文））若函数 ，函数 有极值 ．
(1)求函数 的解析式；
(2)求函数 的单调区间.
【答案】(1)
(2)单调增区间为 ， ；单调减区间 ．
(1)
解：因为 ，所以 ，
由题意知 ，
解得 ， ，
所求的解析式为 ；
(2)
解：由（1）可得 ，令 ，解得 、 ，
令 ，解得 或 ，函数的单调增区间为 ， ；
令 ，解得 ，所以函数的单调减区间 ．
高频考点四：求函数的最值（不含参）
1．（2022·四川·攀枝花七中高二阶段练习（理））已知 是 的极值点，则 在
上的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由题意, 且则 ,
当 时, 单调递减;
当 或 时, 单调递增,
在 上, 单调递增; 单调递减,
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
在 上最大值是 ,
故选： A.
2．（多选）（2022·山东省东明县第一中学高二阶段练习）函数 在 上的最值情
况为（ ）
A．最大值为12 B．最大值为5
C．最小值为 D．最小值为
【答案】AC
由题意得： ，
令 ，则 或 ，
当 时， >0.，当 时， ,
故 是函数的极大值点，
则函数的极大值也即在 上的最大值为 ，故A正确，B错误；
而当 时， ，当 时， ，
故函数在 上的最小值为 ，故C正确，D错误，
故选：AC
3．（2022·福建·启悟中学高二阶段练习）已知函数
(1)求 在 处的切线方程；
(2)求 在 上的最值．
【答案】(1)
(2)最大值为2，最小值为-25(1)
， ，
又 ，
在 处的切线方程为 ，即
(2)
，
令 ，得 ，令 ，得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减．
又 ，
，
故 在 上的最大值为2，最小值为-25.
4．（2022·广东·深圳市南山区华侨城中学高二阶段练习）已知关于x的函数 ，
且函数f（x）在 处有极值－ ．
(1)求实数b，c的值；
(2)求函数f（x）在[－1，2]上的最大值和最小值．
【答案】(1) ，
(2)最大值为 ，最小值为
(1)
因为 ，所以 ．
因为函数f（x）在 处有极值－ ．
所以 ，解得 ，或 ．
（i）当 ， 时， ，所以f（x）在R上单调递减，不存在极值．
（ii）当 时， ，
当 时， ，f（x）单调递增；
当 时， ，f（x）单调递减．
所以f（x）在 处存在极大值，符合题意．综上所述， ，
(2)
由（1）知． ，则 ，
令 ，得 ， ．
当x变化时， ，f（x）在[－1，2]的变化情况如下表：
x －1 （－1，1） 1 （1，2） 2
＋ 0 －
f（x） 单调递增 单调递减
所以f（x）在[－1，2]上的最大值为 ，最小值为 ．
5．（2022·广东·高州市长坡中学高二阶段练习）已知函数 ．（ 为常数）
(1)当 时，求函数 的最值；
【答案】(1)函数 的最小值为1，无最大值.
(1)
当 时， ，定义域为 ， ，当 时， ，当 时，
，故 在 处取得极小值，也是最小值， ，综上：函数
的最小值为1，无最大值.
6．（2022·辽宁·朝阳市第二高级中学高二阶段练习）已知 ．
(1)若 在 处取得极值，求 的最小值；
【答案】(1)
(1)
∵ ，∴ ，
∵ 在 处取得极值， ，∴ ，
∴ ， ，
当 时， ；当 时， ；当 时， .
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减.又∵当 时， ， ，
∴ 的最小值为 .
7．（2022·江苏·常熟中学高二阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，求 在区间 上的最大值；
【答案】(1)
(1)
当 时， ，
，
所以 在区间 递减；在区间 递增.
，
所以 在区间 上的最大值为 .
高频考点五：求函数的最值（含参）
1．（2022·广西·高二期末（文））已知函数 .
(1)若 ，讨论函数 的单调性；
(2)当 时，求 在区间 上的最小值和最大值.
【答案】(1) 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
(2)答案见解析.
(1)
函数定义域为 ， ， 时， 或 ，因为 ，所以 ，
时， 或 ， 时， ，所以函数 在 和 上单调递增，
在 上单调递减.
(2)
因为 ，由（1）知， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 的最小值为
，又因为 ，当 时， ，此时最小值为 ，最大值为 ；当 时， ，此时最小值为 ，最大值为 .
2．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）设函数 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若函数 有最大值并记为 ，求 的最小值；
【答案】(1)
(2) 取得最小值
(1)
， ， ，
所以函数 在 处的切线方程是 ；
(2)
， ，
当 时， ，所以函数 在 单调递减，函数没有最大值，故舍去；
当 时， ，得 ，
当 时， ，函数单调递增，
当 时， ，函数单调递减，
所以当 时，函数取得最大值 ，
，得 ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
所以当 时，函数 取得最小值， .
3．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数 .
(1)当 时，判断函数 的单调性；
(2)证明函数 存在最小值 ，并求出函数 的最大值.
【答案】(1)在 上单调递减，在 上单调递增
(2)证明见解析，
(1)由题意知，
， ， .
所以函数 单调递增.
又 ，所以当 时 ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递
增.
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
(2)
由题意知， ， .
所以函数 单调递增.
令 ，则 .
当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减.
所以 ，即 .
所以 ，即 .
另一方面， ，
所以存在 ，使得 ，①
即当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增.
所以函数 存在最小值 .
由①式，得 .所以 （当且仅当 ，即 ， 时，等号成立）.
所以 ，即为所求.
4．（2022·山东·菏泽一中高二阶段练习）已知函数 ， ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)求 在区间 上的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(1)根据题意，函数 ，其导数 ．
①当 时， ，则 在 上为增函数；
②当 时，令 ，解得 或 ，则 的单调递增区间为 和 ，
单调递减区间为 ；
③当 时，令 ，解得 或 ，则 的单调递增区间为 和 ，
单调递减区间为 ．
(2)
由（1）可得，当 或 ， ．
①当 ，即 时， 在 上单调递增，此时 在区间 上的最小值为 ；
②当 ，即 时， 在 上单调递减，在 内单调递增，此时 在区间
上的最小值为 ；
③当 ，即 时， 在 上单调递减，此时 在区间 上的最小值为 ．
综上可得：当 时， 的最小值为 ；当 时， 的最小值头 ；当
时， 的最小值为 ．
5．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数 ．
(1)若 仅有一个零点，求a的取值范围；
(2)若函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
(1)
① 时， 恒成立， 在 上单调递增，易知其有1个零点，满足题意
② 时， 时 ， 时
故 在 和 上单调递增，在 上单调递减
，
由题意 仅有1个零点，故 ，解得综上， 的取值范围是
(2)
由（1）可知
① 时， 在区间 上单调递增，
② 即 时， 在区间 上单调递减，
③ 即 时， 在区间 上单调递减，在 上单调递增
， ，
故
综上，
可得
高频考点六：根据函数的最值求参数
1．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数 无最大值，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
令 ，则 ，
令 ，解得 或 ；令 ，解得 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
g(－1)＝2，g(1)＝－2，
据此，作出 和y＝－2x的图像，由图可知，当x＝a＜－1时，函数f(x)无最大值.
故选：D.
2．（2022·陕西安康·高二期末（文））已知 ，函数 的最小值为 ，则
（ ）
A．1或2 B．2 C．1或3 D．2或3
【答案】A
由 （ ），得 （ ， ），
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，得 ，
解得 或2.
故选：A
3．（2022·河南开封·高二阶段练习（理））已知函数 在区间 上有最小值，
则实数a的取值范围是______．
【答案】
由题知， ， ，
因为 在区间 上单调递增，
若函数 在区间 有最小值，
则 ，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
4．（2022·河北·武安市第三中学高二阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，求 的极值；
(2)若 在 上的最大值为 ，求实数 的值．
【答案】(1)有极大值e，无极小值
(2)
(1)
若 ， ，所以 ，
所以 时， ； 时， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，所以 有极大值e，无极小值；
(2)
由于 ，
①当 ，即 时， 在 上恒成立，故 在 上单调递增， 在 上的最大
值为 ，故 ，满足 ；
②当 ，即 时， 在 上恒成立，故 在 上单调递减， 在 上的最大
值为 ，故 ，不满足 ，舍去；
③当 ，即 时，由 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 的最大值为 ，所以 ，不满足 ，舍去，
综上所述， ．5．（2022·福建·福鼎市第一中学高二阶段练习）已知函数
(1)讨论 在定义域内的单调性；
(2)若 ，且 在 上的最小值为 ，求实数 的值.
【答案】(1)答案见解析；
(2) .
(1)
由题意知： 定义域为 ， ；
当 时， 在 上恒成立， 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得： ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 上单
调递增.
(2)
由（1）知：当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
若 ，则 在 上单调递增， ，不合题意；
若 ， 在 上单调递减，在 上单调递增，
，解得： ；
若 ，则 在 上单调递减， ，解得： ，不合题意；
综上所述： .
6．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习（文））已知函数 .
(1)若 在 上不单调，求a的取值范围；
(2)若 的最小值为 ，求a的值.
【答案】(1)
(2)
(1).
若 在 上单调，则 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
所以 ，即 .
因为 在 上不单调，所以a的取值范围是 .
(2)
.
①当 时， ， 在 上单调递增，此时 无最值.
②当 时，令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 的最小值是 ，则 .
令 则 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ，所以方程 只有一个根 ，所以
故a的值为 .
7．（2022·全国·高二单元测试）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)函数 在区间 上的最小值小于零，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2) .
(1)
由题设， 且定义域为 ，
当 ，即 时，在 上 ，即 在 上递增；
当 ，即 时，在 上 ，在 上 ，所以 在 上递减，在
上递增；
(2)由（1）知：
若 ，即 时，则 在 上递增，故 ，可得 ；
若 ，即 时，则 在 上递减，在 上递增，故
，不合题设；
若 ，即 时，则 在 上递减，故 ，得 ；
综上，a的取值范围 .
高频考点七：函数的单调性、极值、最值的综合应用
1．（2022·全国·高二）已知函数 ，若函数 在 上存在最小值，则a
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
，
当 时， 单调递减；当 或 时， 单调递增，
在 、 处取得极值.
，
，
∴函数 在 处取得最小值，
∵函数 在 上存在最小值，
∴ ，解得 .
故选：A.
2．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三阶段练习（文））函数 有极小值，且
极小值为0，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B由 ，可得 ，
因为 有极小值，记为 ，则 ，即 ，
又由 ，所以 ，
即 ，所以 .
设 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，
当 时，可得 ，
所以 的最小值为 .
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 处取得极小值 ，且
在区间 上存在最小值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D由题意函数 在 处取得极小值 ，则有
，则 ，解得 ，又因为 在区间
上存在最小值， ，当 或 时 ，当 时， ，所以函
数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故函数 的极小值为
，令 ，则 或 ，因为 区间 上存在最小值，则有 ，
则有 ，则 .
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数 在区间 上存在最小值，则实数m
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
函数 的导函数为 ，令 ，得 或 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 为极小值点， 为极大值点.
由 在区间 上存在最小值，
可得 ，解得 ，
此时 ，
因此实数m的取值范围是 ，
故选：D.
5．（2022·河南焦作·二模（文））已知函数 .
(1)求 的极值；
(2)若函数 在区间 上没有极值，求实数k的取值范围.
【答案】(1)极小值为 ，无极大值
(2)
解：由题意，函数 ，可得 ，
令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以当 时，函数 取得的极小值为 ，无极大值.
(2)
解：由 ，可得 ，
因为 在区间 上没有极值，所以 在 上单调递增或单调递减，
当 时， 或 恒成立，即 或 恒成立，
即 或 在 恒成立，
设 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，要使 或 恒成立，则 或 ，
即实数 的取值范围是 .
6．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知函数 ，其中 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)证明： 是函数 存在最小值的充分而不必要条件.
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
(1)
由题：函数的定义域为R； .
1° 时， 在 上单调递减；
2° 时， 在 单调递减； 在 单调递增；
3° 时， 在 单调递减； 在 单调递增.
(2)
由（1）可知，当 时， 的变化情况如下表：
x 2
0 0
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
所以， 时， 的极小值为 .
又 时， ，
所以，当 时， 恒成立.
所以， 为 的最小值.
故 是函数 存在最小值的充分条件.
又当 时， 的变化情况如下表：
x 2 5
0 0
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减因为当 时， ，又 ，
所以，当 时，函数 也存在最小值所以，
故 不是函数 存在最小值的必要条件.
综上， 是函数 存在最小值的充分而不必要条件.
7．（2022·全国·高二课时练习）已知函数 ，
(1)讨论函数 的极值情况；
(2)求函数 在区间 上的最大值.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(1)
（1）
当 时， ，函数 在 上单调递增, 无极值；
当 时，令 ，解得 或 , 令 ,解得
函数 在 上单调递增, 在 上单调递减,
函数 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值
(2)
（2）由（1）知，当 时，函数 在 上单调递增,
故
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增,
又 ,
当 时， ；
当 时， ；
当 时，函数 在 上单调递减， .
综上，当 时，函数 在 上的最大值为 ；当 时，函数 在 上的最大值为 .
第四部分：高考真题感悟1．（2021·全国·高考真题（理））设 ，若 为函数 的极大值点，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 .
有 和 两个不同零点，且在 左右附近是不变号，在 左右附近是变号的.依题意，
为函数 的极大值点， 在 左右附近都是小于零的.
当 时，由 ， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 .
当 时，由 时， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 .
综上所述， 成立.
故选：D
2．（2021·北京·高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 处取得极值，求 的单调区间，以及其最大值与最小值．【答案】（1） ；（2）函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 ，最
大值为 ，最小值为 .
（1）当 时， ，则 ， ， ，
此时，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）因为 ，则 ，
由题意可得 ，解得 ，
故 ， ，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 .
当 时， ；当 时， .
所以， ， .
3．（2021·全国·高考真题（文））设函数 ，其中 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 的图象与 轴没有公共点，求a的取值范围.
【答案】（1） 的减区间为 ，增区间为 ；（2） .
（1）函数的定义域为 ，
又 ，
因为 ，故 ，
当 时， ；当 时， ；所以 的减区间为 ，增区间为 .
（2）因为 且 的图与 轴没有公共点，
所以 的图象在 轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得 ，
故 即 .
4．（2020·北京·高考真题）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 的斜率等于 的切线方程；
（Ⅱ）设曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的最小值．
【答案】（Ⅰ） ，（Ⅱ） .
（Ⅰ）因为 ，所以 ，
设切点为 ，则 ，即 ，所以切点为 ，
由点斜式可得切线方程为： ，即 .
（Ⅱ）[方法一]：导数法
显然 ，因为 在点 处的切线方程为： ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，
不妨设 时，结果一样 ，
则 ，
所以
，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 时， 取得极小值，
也是最小值为 .[方法二]【最优解】：换元加导数法
．
因为 为偶函数，不妨设 ， ，
令 ，则 ．
令 ，则面积为 ，只需求出 的最小值．
．
因为 ，所以令 ，得 ．
随着a的变化， 的变化情况如下表：
a
0
极小
减 增
值
所以 ．
所以当 ，即 时， ．
因为 为偶函数，当 时， ．
综上，当 时， 的最小值为32．
[方法三]：多元均值不等式法
同方法二，只需求出 的最小值．
令 ，
当且仅当 ，即 时取等号．
所以当 ，即 时， ．
因为 为偶函数，当 时， ．
综上，当 时， 的最小值为32．[方法四]：两次使用基本不等式法
同方法一得到
,下同方法一.
【整体点评】
（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方
法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有
知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.
5．（2020·全国·高考真题（文））已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）= 的单调性．
【答案】（1） ；（2） 在区间 和 上单调递减，没有递增区间
（1）
[方法一]【最优解】：
等价于 ．
设 ，则 ．
当 时， ，所以 在区间 内单调递增；
当 时， ，所以 在区间 内单调递减．
故 ，所以 ，即 ，所以c的取值范围是 ．
[方法二]：切线放缩
若 ，即 ，即 当 时恒成立，
而 在点 处的切线为 ，从而有 ，
当 时恒成立，即 ，则 ．所以c的取值范围为 ．
[方法三]：利用最值求取值范围
函数 的定义域为：
，
设 ，则有 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以当 时，函数 有最大值，即 ，
要想不等式 在 上恒成立，
只需 ；
所以c的取值范围为 ．
（2） 且
因此 ，设 ，
则有 ，
当 时， ，所以 ， 单调递减，因此有 ，即
，所以 单调递减；
当 时， ，所以 ， 单调递增，因此有 ，即 ，所以
单调递减，
所以函数 在区间 和 上单调递减，没有递增区间.
【整体点评】
(1)方法一：分类参数之后构造函数是处理恒成立问题的最常用方法，它体现了等价转化的数学思想，同时
是的导数的工具也得到了充分利用；
方法二：切线放缩体现了解题的灵活性，将数形结合的思想应用到了解题过程之中，掌握常用的不等式是
使用切线放缩的基础.
方法二：利用最值确定参数取值范围也是一种常用的方法，体现了等价转化的数学思想.
第五部分：第 03 讲 导数与函数的极值、最值（精
练）
一、单选题
1．（2022·甘肃省民乐县第一中学高二阶段练习（理））已知函数 在 处有极小值，
则实数m的值为（ ）
A．3 B．－1或－3 C．－1 D．－3
【答案】D
由 ，可得
令 ，得 ，
由题知， 或
当 时， ，当 时， ， 时， ，
∴ 在 处有极大值，不满足题意；当 时， ，当 时， ， 时 ，
∴ 在 处有极小值，所以 .
故选：D.
2．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二阶段练习）函数 的定义域为开区间 ，导函数
在 内的图象如图所示，则函数 在开区间 内有极小值点（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
由图知： 在 内有3个异号零点，其中有1个零点的左侧到右侧是由负变正，
所以 在开区间 内有1个极小值点.
故选：A
3．（2022·河北·武安市第三中学高二阶段练习）函数 的极值点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由已知，得 的定义域为 ，且 ，
令 ，得 （ 舍去）．
当 时， ；当 时， ，
∴当 时， 取得极小值，故 的极小值点为 ，无极大值点，
故选：A．
4．（2022·河南·栾川县第一高级中学高二阶段练习（理））已知函数 在 上不存在
极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
，因为函数 在 上不存在极值点，所以 在 上没有变号零点，
所以 ，
所以 ，
所以实数t的取值范围是 ．
故选：D．
5．（2022·福建省漳州第一中学高二阶段练习）函数 在区间(0，e](其中e为自然对数的底数)
上的最大值为（ ）
A． B．－1 C．－e D．0
【答案】B
， ，
当 时， ，函数 单调递增，当 时， 函数单调递减，所以当 时，
函数取得最大值，最大值是 .
故选：B
6．（2022·福建·福鼎市第一中学高二阶段练习）函数 在区间 上有最大值，则m的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
解：因为 ，所以 ，
所以当 或 时 ，当 时 ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值，因为在 上有最大值，
所以极大值点 ，
又 ，当 时，即 ，解得 或 ，
所以 ，
故选：D．
7．（2022·陕西商洛·一模（理））若对任意的 ，恒有 ，则a的取值范围为
（ ）
A．（—∞，e] B．C．（—∞， ] D．[ ，+∞）
【答案】B
令 ，所以 ，
所以函数 是偶函数，设 ，所以 ，
所以 在（0，+∞）上单调递增，
所以 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立.
设 ，则 ，
所以函数 在 单调递增，在 单调递减，
可知当 时， 有最大值 ，
所以 .
所以 或 .
故选：B
8．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））直线 分别与函数 ， 交于 ， 两点，
则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
因为直线 分别与函数 ， 交于 ， 两点，
令 ，则 ，令 ，则 ，所以
，因为 所以 ，所以 ，则 .
则 ，令 ，
，
令 ，得 或 (舍去)，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
.
故选：A.
二、填空题
9．（2022·山东师范大学附中高二阶段练习）若函数 在 上的最大值为3，则
___________.
【答案】
，
则 ，
由 得 ；由 得
则 ， 在 单调递增，在 单调递减
则函数 ，
在 时求得最大值
故 ，解之得
故答案为：
10．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0，3]上的最大值、最小值
分别为m，n，则m－n＝________.
【答案】20
∵f′(x)＝3x2－3，
∴当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.
∴f(x)在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增．
∴f(x)min＝f（1）＝1－3－a＝－2－a＝n.
又∵f(0)＝－a，f（3）＝18－a，
∴f(0)＜f（3）．
∴f(x)max＝f（3）＝18－a＝m，
∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.
故答案为：20.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 与曲线 相切，当 取得最大值时， 的值为
_______________________．
【答案】
设切点为 ，因为 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，
所以 ，所以 .
令
所以当 时， ，则 在区间 上单调递增，
当 时， ，则 在区间 上单调递减﹐
所以
所以 的最大值为1，此时 .
故答案为：1
12．（2022·重庆市二0三中学校高二阶段练习）已知函数 在x＝2处取得极
小值，则 ______．
【答案】1或3##3或1
依题意， ，因 在x＝2处取得极小值，
则 ，解得m=1或m=3，经检验，当m＝1或m＝3时， 在x＝2处均取得极小
值，
所以m的值为1或3.
故答案为：1或3
三、解答题
13．（2022·北京工业大学附属中学高二阶段练习）设函数 .
(1)若 ，求 的极值；
(2)讨论函数 的单调性.
【答案】(1) 有极小值 ，无极大值；
(2)讨论过程见解析.
(1)
当 时， ，
所以 ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，所以当 时，该函数有极小值 ，无极大值.
(2)
由 ，
，
当 时，当 时， 单调递增，当 时， 单调递减；
当 时， ，或 ，
当 时， ，函数在 时，单调递增，
当 时， ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
当 时， ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
综上所述：当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 单调递增，在 单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 单调递增，在 单调递减，在 上单调递增
14．（2022·陕西·西安市庆安高级中学高二阶段练习（理））已知函数 .
(1)若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的极值；
(2)若函数f（x）是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围.
【答案】(1)极大值为 ，极小值为
(2)(1)
，
，
所以 在区间 递增；
在区间 递减.
所以 的极大值为 ，极小值为 .
(2)
依题意 在 上恒成立，
所以 ，
解得 ，
所以 的取值范围是 .
15．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（文））已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，若 在区间 上的最大值为M，最小值为m，求证： ．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
(1)
因为 ，则 ，
当 时，令 ，解得 或 ，此时 单调递增；
令 ，解得 ，此时 单调递减；
当 时， ，故此时 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得 或 ，此时 单调递增；
令 ，解得 ，此时 单调递减；
综上所述：当 时， 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增；
当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 单调递增，在 单调递减，
在 单调递增.(2)
由（1）可知，当 时， 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增，
又 ， ，
故 ；
又 ， ，
则 ，即 ，
故 ；
则
令 ，
则 ，
令 ，可得 ，此时 单调递增，
令 ，可得 ，此时 单调递减，
又 ，
故当 时， ，即当 时， ，即证.
16．（2022·江西·模拟预测（文））已知函数 .
(1)判断 的单调性；
(2)若对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)单调增区间为 ，单调减区间为
(2)
(1)
令 ，解得 或 ，且当 时， ，当 时， ，
当 时，
即 的单调增区间为 ，单调减区间为
(2)
由（1）知，当 时， 恒成立
所以 在 上为增函数，
即 .
的最大值为
恒成立
即 ，
又
故 的取值范围
